高中數學選擇性必修第一冊

第一章空間向量與立體幾何

一、知識要點

1、空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。

(2)向量具有平移不變性

2、空間向量的運算

定義:與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數乘運算如下(如圖)。

0B—0A+AB=a+bBA=OA—OB=a—b;OP=Ad(AeR)

運算律：(1)加法交換律：a+b=b+a(2)加法結合律：m+B)+e=M+(B+C)

(3)數乘分配律：>l(a+b)-Aa+Ab

運算法則：三角形法則、平行四邊形法則、平行六面體法則

3、共線向量

(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫

做共線向量或平行向量，。平行于記作。//B。

(2)共線向量定理：空間任意兩個向量五、b(彼壬0),五〃征存在實數九使五

=Xbo

(3)三點共線：A、B、C三點共線<=>M=X就

-<=>OC=xOA.+yOB(其中x+y=l)

一±A

(4)與。共線的單位向量為-|；|

4、共面向量

(1)定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。

說明：空間任意的兩向量都是共面的。

(2)共面向量定理：如果兩個向量a力不共線，”與向量a力共面的條件是存

在實數x,y使。=xa+yb。

(3)四點共面：若A、B、C、P四點共面<=>Q=xI^+y/

<=>

OP=xOA+yOB+zOC(其中%+y+z=1)

5、空間向量基本定理：如果三個向量〃力"不共面，那么對空間任一向量P，

存在一個唯一的有序實數組X,y,Z,使〃=元4+仍+2(?。

數學一選擇性必修第一冊1

若三向量a,b,c不共面，我們把｛a涉,c｝叫做空間的一個基底，a,6,c叫做基向

量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。

推論：設是不共面的四點，則對空間任一點尸，都存在唯一的三

個有序實數x，y，z,(9P-xOA+yOB+zOC0

6、空間向量的直角坐標系：

(1)空間直角坐標系中的坐標：

在空間直角坐標系。-芝yz中，對空間任一點A,存在唯一的有序實數組(X,y,z),

使后=三+工+五，有序實數組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標系。-孫z中的

坐標，記作A(x,y,z),x叫橫坐標，y叫縱坐標，z叫豎坐標。

注：①點A(x,y,z)關于x軸的的對稱點為(x,-y,-z),關于xoy平面的對稱點為

(x,y,-z).即點關于什么軸/平面對稱，什么坐標不變，其余的分坐標均相反。②在

y軸上的點設為(0,y,0),在平面yOz中的點設為(0,y,z)

(2)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基

底，用｛，,，上｝表示。空間中任一■向量a=xi+y/+z^=(x,y,z)

(3)空間向量的直角坐標運算律：

①若a=(q,a2,4)，6=(4也,4)，

貝！Ja+b=(q+4，?2+%%+Z?3),a-b=(q-bx,a2-b2,a3-Z?3)>Aa=(Afi,,Aa2,/la3)(2eR),

a-b=alb1+a2b2+a3b3>

a//b<^-ax=Ab1,a2=建,/=Ab3(AeR)，aJ-bo她+44=。

②若A(X],%,Z]),B(x2,y2,z2),

則AB=(x2-%；,y2-y1,z2-z1)

一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減

去起點的坐標。

③定比分點公式：若B(x2,y2,z2),AP=APB,則點P坐標為

(*+Ax?,”十,Z|十應)。推導：設P(x,y,z)則(x-xly-yl,z-zl)=/l(x2-x,y2-y,z^-z),

1+A1+21+A

顯然，當P為AB中點時，尸產+%%+%4+z

2'2'2

?/\ABC^,A(x1,y1,z1?,B(x2,y2,z2),C(^,y3,z3),三角形重心P坐標為

x+x+xM+%+%4+Z2+Z3、

<A323'2'2)

數學一選擇性必修第一冊2

⑤AABC的五心：

內心P：內切圓的圓心，角平分線的交點。&〃垂+昱)(單位向量)

.同

外心p：外接圓的圓心，中垂線的交點。￡=品=Sc

垂心P：高的交點：PAPB^PAPC=PBPC(移項，內積為0,則垂直)

重心P：中線的交點，三等分點(中位線比)AP^^AB+AQ

中心：正三角形的所有心的合一。

(4)模長公式：若.=(6,％,%),石=0[也也),

則Ia|=da?a=_+a：+a?~,|b|=db,b=4b；+偽~+b；

(5)夾角公式：cos(a?=^—=i姐+她+地。

飛a：+a)+a；,b；+b；+b；

AA3C中①Q?正>0<=>A為銳角②Q?正<0<=>A為鈍角，鈍角A

(6)兩點間的距離公式：若A(XI，M，ZJ,B(x2,y2,z2),

則|AB-石)2+(%-Ml+仁2-z1)2,或

dA.B=J(%2-Xi。+(%-%3+a2—Z])一

7、空間向量的數量積。

(1)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量4力，在空間任取一點。，作

OA=a,OB=b,則NAOB叫做向量a與萬的夾角，記作<&力>；且規定

_.*,77".,.

0<<a,b><TI,顯然有<a,。>=<>；若<a,b〉=—,則稱a與6互相垂直，記

2

作：a_1_6。

(2)向量的模：設0A=a,則有向線段0A的長度叫做向量a的長度或模，記作：

|a|o

(3)向量的數量積:已知向量a,b,則)1?⑸?cos<Z,方>叫做第6的數量積,

記作即a,》=⑷,⑸-cos<a力〉

(4)空間向量數量積的性質：

①=|a|cos<a,e>②a_LZ?=a-Z?=0③

(5)空間向量數量積運算律：

@(Aa)-b=A(a-b)=a-(Ab)o?a-b=b-a(交換律)。③a《b+c)=a+a-c(分

配律)。

數學一選擇性必修第一冊3

④不滿足乘法結合律：（a.b）cwa（b-c）

二、空間向量與立體幾何

1、線線平行。兩線的方向向量平行

線面平行O線的方向向量與面的法向量垂直

面面平行O兩面的法向量平行

2、線線垂直（共面與異面）o兩線的方向向量垂直

線面垂直O線與面的法向量平行

面面垂直O兩面的法向量垂直

3、線線夾角。（共面與異面）［0°,90°］o兩線的方向向量［r的夾角或夾角的

補角，cos。=cos<n1,n2>

線面夾角。［0。,90。］：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量而與面的法向

量［的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面

的夾角.sin。=cos<AP,n>

面面夾角（二面角）^［0°,180°］：若兩面的法向量一進一出，則二面角等于

兩法向量耳，晟的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.

cos6=±cos<珥,〃2>

4、點面距離/z：求點。（為,為）到平面a的距離：在平面a上去一點。（龍,丁）,

得向量PQ.;計算平面a的法向量九;.〃=|

1-1

線面距離（線面平行）：轉化為點面距離

面面距離（面面平行）：轉化為點面距離

數學一選擇性必修第一冊4

第二章直線和圓的方程

一、直線方程

1、直線的傾斜角：一條直線向上的方向與r軸正方向所成的最小正角叫做這條直

線的傾斜角，其中直線與％軸平行或重合時，其傾斜角為0,故直線傾斜角的范

圍是Y180°（04eY萬）.

注：①當￡=90。或X2=X］時，直線/垂直于X軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與X軸垂直的直線不存在斜率外，其余每

一條直線都有惟一的斜率，并且當直線的斜率一定時，其傾斜角也對應確定.

2、直線方程的幾種形式：點斜式、截距式、兩點式、斜切式.

特別地，當直線經過兩點30）,（0,力，即直線在X軸，y軸上的截距分別為

wO）時，直線方程是:—+—=1.

ab

注：若y=-2是一直線的方程，則這條直線的方程是y=-2,但若

y=-gx-2（xN0）則不是這條線.

附：直線系：對于直線的斜截式方程丫=履+人當太6均為確定的數值時，它

表示一條確定的直線，如果匕b變化時，對應的直線也會變化.①當6為定植，發變

化時，它們表示過定點（0,6）的直線束.②當Z為定值，〃變化時，它們表示一

組平行直線.

3、（1）兩條直線平行：

如42兩條直線平行的條件是：①乙和％是兩條不重合的直線.②在0和

%的斜率都存在的前提下得到的.因此，應特別注意，抽掉或忽視其中任一個“前

提”都會導致結論的錯誤.

（一般的結論是：對于兩條直線0右，它們在y軸上的縱截距是々,為，則0〃

120kl=k2，且打幼2或的斜率均不存在，即AIB2=8IA2是平行的必要不充分條

件，且。力。2）

推論：如果兩條直線/卜Z的傾斜角為。1，。2則.〃11=^2-

（2）兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設兩條直線0和％的斜率分別為和和的，則有

的62=-1這里的前提是O,%的斜率都存在?②/1口20曷=。，且晨的斜率不存

在或購=0,且0的斜率不存在.（即AIB2+A2%=。是垂直的充要條件）

4、直線的交角：

（1）直線到人的角（方向角）；直線乙到%的角，是指直線"繞交點依逆時針

方向旋轉到與I,重合時所轉動的角0,它的范圍是（0,萬），當夕二90。時tanJ=&”.

1+左1左2

（2）兩條相交直線/1與％的夾角：兩條相交直線.與，2的夾角，是指由與，2相

數學一選擇性必修第一冊5

交所成的四個角中最小的正角e,又稱為乙和％所成的角，它的取值范圍是[。，三

當心90。，則有tang

1+—

5、過兩直線[丁丁+丫+丁、的交點的直線系方程

[l2:A2x+B2y+C2=0

Alx+Bly+Cl+A(A2x+B2y+C2)=0(.A^J^^,4x+WV+C2=。不包括在內)

6、點到直線的距離：

(1)點到直線的距離公式：設點尸(而,凡)，直線/:Ac+3+C=0,尸到/的距離為d,

則有〃」"+甌+土

7A2+B2

注：

①兩點Pl(xi,yi)、P2(X2,y2)的距離公式：1881=5。2-為)2+(力—月產?

特例：點P(x,y)到原點。的距離：IOP|=y/x2+y2

②定比分點坐標分式。若點P(x,y)分有向線段而所成的比為酬JP.R,其中

Pi(xi,yi),P2(X2,y2).貝1x=/,、=%+?2

1+A1+A

特例，中點坐標公式；重要結論，三角形重心坐標公式。

③直線的傾斜角(0°<?<180°)^斜率:k=tana

④過兩點6(孫力),2(盯,為)的直線的斜率公式：左=①二”.&WM)

x2_%]

當為i=X2，%/y2(即直線和X軸垂直)時，直線的傾斜角a=90。，沒有

斜率

(2)兩條平行線間的距離公式：設兩條平行直線

I。—cI

ll:Ax+By+Cl=0,l2:Ax+Bv+C2=0(Cl^C2),它們之間的距離為1,則有~.

7A2+B2

注：直線系方程

①與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(meR,C^m).

②與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(meR)

③過定點(xi,yi)的直線系方程是：A(x-xi)+B(y-yi)=0(A,B不全為0)

④過直線人、/2交點的直線系方程：(Aix+Biy+Ci)+MA4+B2y+C2)=0QeR)注:

該直線系不含12.

7、關于點對稱和關于某直線對稱：

(1)關于點對稱的兩條直線一定是平行直線，且這個點到兩直線的距離相等.

(2)關于某直線對稱的兩條直線性質：若兩條直線平行，則對稱直線也平行，

且兩直線到對稱直線距離相等.

數學一選擇性必修第一冊6

若兩條直線不平行，則對稱直線必過兩條直線的交點，且對稱直線為兩直線夾角

的角平分線.

(3)點關于某一條直線對稱，用中點表示兩對稱點，則中點在對稱直線上(方

程①)，過兩對稱點的直線方程與對稱直線方程垂直(方程②)①②可解得所求

對稱點.

注：①曲線、直線關于一直線(y=+x+b)對稱的解法：y換x,x換y例：

曲線段j)=0關于直線y=x-2對稱曲線方程是舟+2X-2)=0.

②曲線C:外,y)=0關于點(a,b)的對稱曲線方程是五a-x,2b->)=0.

二、圓的方程

1、(1)曲線與方程：在直角坐標系中，如果某曲線C上的與一個二元方程

/(x,y)=。的實數建立了如下關系：

①曲線上的點的坐標都是這個方程的解.

②以這個方程的解為坐標的點都是曲線上的點.

那么這個方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線(圖形).

(2)曲線和方程的關系，實質上是曲線上任一點M(x,y~)其坐標與方程/(x,y)=0的

一種關系，曲線上任一點(x,y)是方程/(x,y)=0的解；反過來，滿足方程/(x,y)=0

的解所對應的點是曲線上的點.

注:如果曲線C的方程是f(x,y)=0,那么點Po(xo,y)線C上的充要條件是f(xo,yo)=O

2、圓的標準方程：以點C(a,b)為圓心，廠為半徑的圓的標準方程是

(x-a)2+(y-b)~=r~.

特例：圓心在坐標原點，半徑為廠的圓的方程是：，+/=戶.

注：特殊圓的方程：①與I軸相切的圓方程(X-a)2+(y±b)2斗2

[r=網，圓心(a,力或(a,-b)]

②與y軸相切的圓方程(x+a)2+(y-b)2=a2

[r=|?|,圓心(a,6)或(-a,b)]

③與i軸y軸都相切的圓方程(x+a)2+(y+a)2=a2

[廠=同,圓心(士。,±。)]

3、圓的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

當。2+石27尸>0時，方程表示一個圓，其中圓心《一2,一,半徑「=4》+.一4尸.

<22J2

當爐+產7尸句時，方程表示一個點「名,_9).

當￡>2+E2-4FYO時，方程無圖形(稱虛圓).

注：①圓的參數方程：+(o為參數).

[y=rsm"

22

②方程AX+BXy+Cy+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是：B=0且

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A=C片0且D-+E--4AF>0.

③圓的直徑或方程：已知401，月)8(叼,》2)n(x-Xi)(x-X2)+(y-yi)(y-y2)=。

(用向量可征).

4、點和圓的位置關系：給定點M(xo，y°)及圓。y-。)2+。-》2=戶.

①〃在圓C內oIxo-aV+Uo-b/Y/②M在圓C上o(而-.)2+(囚-6)2=產

③“在圓C外O(刈-。)2+(yo-ZO2A戶

5、直線和圓的位置關系：

設圓圓C:(x-fl)2+(y-fe)2=r2(r>0)；直線/:Ax+By+C=Q(A2+B2^0)；

圓心c(%?到直線/的距離d=叫y+Q

7A2+B2

①d=r時，/與C相切；

附：若兩圓相切，則尸土+5+當>此=°=相減為公切線方程.

x+y+Z)2龍+石2,+/2=0

②dYT時，/與C相交；

12

Cx-.x+y+Dix+Exy+Fr0(Di-D2)x+(Ei-E2)y+(Fi-F2)=0

附：公共弦方程：設C2：X\y\D2X+E2y+F2=0有兩個交點，則其公共弦方程為

③di時，/與C相離.

附：若兩圓相離，則卜2+/+%+￡嚴正0n相減為圓心劣02的連線的中與線方程.

22

yx+y+D2x+E2y+F2=0

由代數特征判斷：方程組卜一"+(尸砂=戶用代入法，得關于X(或y)的一元

[Ax+Bx+C=0

二次方程，其判別式為A,則：A=0o/與C相切；A”0o/與C相交；AYOO/

與C相離.

注：若兩圓為同心圓則無2+廠+5尤+￡\卜+/1=0,++尸2=。相減，不表

示直線.

6、圓的切線方程：圓/+/丁2的斜率為左的切線方程是了=丘±加淳/過圓

22X++

x+y+Dx+Ey+F=0~■點P(.X0,y0)的切線方程為：xox+yoy+D^°+^°+F=0.

①一般方程若點(xo,yo)在圓上，則(x-a)(xo-a)+(y-b)(yo-b)=R2.特別地，過圓

222

x+y=r上一點P(x0,y0)的切線方程為XoX+yoy=戶.

yi-y0=k(x1-x0)

②若點(xo,yo)不在圓上，圓心為(a,b)則，吟,-入-左((2/)|,聯立求出左n切線方

^+1

程.

7、求切點弦方程：方法是構造圖，則切點弦方程即轉化為公共弦方程.如圖：

ABCD四類共圓.已知09的方程無2+/+m+4+尸=。…①又以ABCD為圓為方

數學一選擇性必修第一冊8

2

程為(X-XA)(X-?)+(J-JA)(X-Z?)=k…②

MJ'"：。—…③,所以Re的方程即③代②，①②相切即為所求.

三、曲線和方程

1、曲線與方程：在直角坐標系中，如果曲線C和方程五x,y)=O的實數解建立了

如下的關系：

①曲線C上的點的坐標都是方程五x,y)=O的解(純粹性)；

②方程式關,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上(完備性)。則稱方程五x,y)=O為曲

線C的方程，曲線C叫做方程五x,y)=O的曲線。

2、求曲線方程的方法：.

①直接法：建系設點，列式表標，簡化檢驗;②參數法;③定義法，④待定系數法.

數學一選擇性必修第一冊9

第三章圓錐曲線方程

一、橢圓方程

1、橢圓方程的第一定義：平面內與兩個定點Fi,F2的距離的和等于定長(定長

通常等于2a,且2a>FiF2)的點的軌跡叫橢圓。

|尸尸1|+〔尸尸2〔=2。>|尸1尸21方程為橢圓,

|PFj|+忸川=2aY―碼無軌跡,

|PF1|+|PF2|=2a=忸i%|以后歹2為端點的線段

(1)①橢圓的標準方程：中心在原點，焦點在X軸上：=+二=1("20)?

a2b2

中心在原點，焦點在y軸上：Z+==13>bA0)?

a2b2

注：以上方程中的大小a>3>0,其中及=Y—02；

2222

在與+2=1和為+==1兩個方程中都有的條件，要分清焦點

a-b~ab

的位置，只要看V和丁的分母的大小。

②一般方程：Ax2+By2=l(A>O,B^O).

③橢圓的標準方程：4+==1的參數方程為卜=：儂:(一象限°應是屬于

a2b2[y=bsmO

OY*工).

2

(2)橢圓的性質

①頂點:(±a,0)(0,士?或(0,土a)(±6,0).

②軸：對稱軸：X軸，y軸；長軸長2a,短軸長2b.

③焦點:(―c,0)(c,0)或(0,—c)(0,c).

22

④焦距：|F1F2|=2c,c=7a-^.

22

⑤準線：x=±J或y=±j.

CC

⑥離心率：e=￡(0YeYl).

a

[,.*a>c>0,.,.0<e<l,且e越接近1,c就越接近a,從而Z?就越小，對應的

橢圓越扁；反之，e越接近于0,c就越接近于0,從而b越接近于a,這時橢圓

越接近于圓。當且僅當。=匕時，c=0,兩焦點重合，圖形變為圓，方程為

一+/=/。】

⑦焦(點)半徑：

22

設Pa。,九)為橢圓■+==1(°>6>0)上的一點，尸卜尸2為左、右焦點，則

ab

|PFj=a+exG,\PF2\=a-exG^

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22

設尸(xo，yo)為橢圓a+-=l(a?b>0)上的一點，為上、下焦點，則

\PF^=a+ey0\PF^\=a-eyQ^>

由橢圓第二定義可知：

〃2〃2

e

\pF^=e(xQ-1---)=a+ex0(%oY0),\pF^\~(----%)-ex^-a^x^0)

歸結起來為“左加右減

注意：橢圓參數方程的推導：得N(〃cose,Z?sin6)f方程的軌跡為橢圓.

⑧通徑：垂直于X軸且過焦點的弦叫做通徑.坐標：4=絲(_孰弦)和(c,3

aaa

22

⑨焦點三角形的面積:若P是橢圓：彳+一=1上的點.尸為焦點，若//p/=e,

則APB%的面積為廬tang(用余弦定理與歸%|+|尸&|=2a可得)。若是雙曲線，

則面積為b，cot2

2。

22

(3)共離心率的橢圓系的方程：橢圓彳+==1(°”"0)的離心率是

/b2

_______22

e=—(c=yla2-b2),方程三+4=r(f是大于0的參數，ax。”。)的離心率也是e=￡

aaba

我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程.

2、橢圓的第二定義：平面內到定點F的距離和它到一條定直線L(F不在L上)

的距離的比為常數e(0<e<l)的點的軌跡叫做橢圓。其中定點F為橢圓的焦

點，定直線L為橢圓焦點F相應的準線。

二、雙曲線方程

1、雙曲線的第一定義:平面內到到兩個定點F1,F2的差的絕對值等于定長(定長

通常等于2a,且2a<FiF2)的點的軌跡叫做雙曲線。(||PK|-1%||=2a)。

忸力|-|PF2b2aY忖島|方程為雙曲線

仍尸卜附2卜2八忸1%］無軌跡

伊尸1-附2|=2。=巴&|以八，%的一個端點的一條射線

2222

(1)①雙曲線標準方程：—7-^5-=l(a,b>-0),^--^—=l(a,b>-0).

a2b2a2b2

一般方程：Ax2+Cy2=KAC^0).

(2)①焦點在x軸上：

2

頂點：3,0),(-a,0)焦點：(c,0),(-c,0)準線方程尤=±J漸近線方程：土土；=0或

cab

焦點在y軸上:

數學一選擇性必修第一冊11

2

頂點：(0,-tz),(0,a).焦點：(0,c),(0,-c).準線方程：y=±—.漸近線方程：—±y=0

cab

22fx=asec0或「=btane

或5一%?參數方程:

[y=btan0\y=asec0

②軸為對稱軸，實軸長為2a,虛軸長為2。，焦距2c.

④準線距即i

③離心率e，.(兩準線的距離)；通徑

aC

2b2

a

⑤參數關系。2=/+>,⑥焦(點)半徑公式：對于雙曲線方程

22

/_匕=1

/b2

(%,%分別為雙曲線的左、右焦點或分別為雙曲線的上下焦點)

長加短減”原則：(與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半徑要帶符號計算，而雙曲線不

帶符號）

|MFj=ex0+a

構成滿足阿卜阿21=2”

\MF2\=ex0-a

|A/jp111——ex。—a

|AfF2|=—exQ+a

\MFi\=ey。—a

/21=ey0+a

\M'Fy\=—eyo+a

\M'F2\=—eyo—a

(3)等軸雙曲線：雙曲線--尸=±-稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為y=±x,

離心率e=7L

定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：a=8；

等軸雙曲線的性質：①漸近線方程為：y=±x；②漸近線互相垂直。

注意到等軸雙曲線的特征a=匕，則等軸雙曲線可以設為：

x2-y2=2(20),當2>0時交點在x軸，當2<0時焦點在y軸上。

(4)共輾雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實軸，實軸為虛軸的雙曲線，叫做已

2222

知雙曲線的共輾雙曲線.彳-與二-互為共輾雙曲線，它們具有共

abab

22

同的漸近線：.-2=。.

a2b2

2222

(5)共漸近線的雙曲線系方程：三一一的漸近線方程為彳一二=0如

a2b2a2b2

數學一選擇性必修第一冊12

22

果雙曲線的漸近線為二±2=0時，它的雙曲線方程可設為三-==〃4=0）.

aba2b2

例如：若雙曲線一條漸近線為y=gx且過p（3,-f,求雙曲線的方程？

222

解：令雙曲線的方程為：2（2^0）,代入⑶」1）得二-匕=1.

4282

2、雙曲線的第二定義：平面內到定點F的距離和它到一條定直線L（F不在L

上）的距離的比為常數e（e>l）的點的軌跡叫做雙曲線。其中定點F為雙曲線

的焦點，定直線L為雙曲線焦點F相應的準線。

三、拋物線方程

（1）拋物線的概念：平面內與一定點F和一條定直線I的距離相等的點的軌跡

叫做拋物線（定點F不在定直線/上）。定點F叫做拋物線的焦點，定直線/叫做

拋物線的準線。

方程儼=2內。〉0）叫做拋物線的標準方程。

注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F（R,0）,它的

2

準線方程是x=-K；

2

（2）拋物線的性質

設。>0,拋物線的標準方程、類型及其幾何性質:

)2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

y

圖形X.

TK-、7T\

隹占

八、、八、、

嗎，。）尸(-go)尸（0,爭F(0苦)

準線方程

x=一pYp

X=-22y=l

范圍x>0,y^Rx<0,y^Rxey>0xe7?,y<0

對稱軸x軸y軸

頂點(0,0)

離心率e=l

焦半徑-M附q+M

通徑2p2p2p2p

焦點弦Xl+X2+pXl+X2+pyi+y2+pyi+y2+p

注：①通徑（過焦點且垂直于坐標軸的線段）為2p,這是過焦點的所有弦中最

短的.

數學一選擇性必修第一冊13

⑨產2Px（或尤2=2/）的參數方程為卜=2"（或廠=20（/為參數）.

闿[y=2pt[y=2p產

四、圓錐曲線的統一定義

1、圓錐曲線的統一定義：平面內到定點F和定直線/的距離之比為常數e的點的

軌跡.

當0YCY1時，軌跡為橢圓；當e=l時，軌跡為拋物線；當”1時，軌跡為雙曲線；

當e=0時，軌跡為圓（e=—,當c=O,a=b時）.【弦長公式

|=Jl+k~—Xj|=J（1+1一）[（無]+巧）2—4X]X21]

2、橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程與幾何性質

橢圓雙曲線拋物線

1、到兩定點F1,F2的距離之和1、到兩定點F1,F2的距離之差的

為定值2a（2a>|FiF2|）的點的軌絕對值為定值2a（0<2a<|FiF2|）的

與定點和直線的距離

定義跡點的軌跡

相等的點的軌跡.

2、與定點和直線的距離之比為2、與定點和直線的距離之比為

定值e的點的軌跡.（0<e<l）定值e的點的軌跡.（e>l）

軌跡條點集：({MI1MFi+1MF21點集：{M|1MFi|-IMF21.點集｛M11MF1=

件=2a,1F1F21<2a}.=±2a,1F2F21>2a}.點M到直線1的距離｝.

y，

B,M

圖形1.

B,7r

標準2222

「+4=1(。>〃>0)-7Y-1(a>0,b>0)y2=2px

方方程a2b2ab

。

參數\x-acos(x=asecOX翁（t為參數）

程\y=bsinO[y=btanS

方程（參數防離心角）(參數以離心角)

范圍-a<x<a,-b<y<b