—2024學年度第一學期期末質量檢測九年級數學試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.下列函數中，的值隨值的增大而減小的是（）A B. C. D.2.反比例函數的圖象經過點（1，-2），則k的值為（）A. B. C.2 D.3.已知點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.4.大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為的黃金分割點（），如果的長度為，那么的長度是（）A. B. C. D.5如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為（）A.4 B.4 C.6 D.46.阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂=動力×動力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則動力F關于動力臂l的函數圖象為（）A. B.C. D.7.正方形網格中，如圖放置，則的值為（）A. B. C.1 D.8.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.89.如圖，一次函數y1＝x與二次函數y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點，則函數y＝ax2＋（b－1）x＋c的圖象可能是（）A. B. C. D.10.如圖，在中，，，為上任意一點，為的中點，連接在上且，連接，則的最小值為（）A. B. C. D.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若，則的值為______．12.若拋物線與軸只有一個公共點，則的值為______．13.如圖，，，，則______．14.如圖，點A在直線上，軸于點B，點C在線段上，以為邊作正方形，點D恰好在反比例函數（k為常數，）第一象限的圖象上，連接．（1）若，，則______；（2）若，則______．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15.計算：16.定義新運算：對于任意實數m、n都有．例如：，根據以上知識解決下列問題：求拋物線的頂點坐標．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的長．18.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C2：(1)將△ABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△A1B1C1；(2)以圖中的點O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C2．五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.學生到工廠勞動實踐，學習制作機械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點B、C分別在EF、DF上，，，，．求零件的截面面積．參考數據：，．20.如圖，將矩形紙片沿著過點D的直線折疊，使點A落在邊上，落點為F，折痕交邊于點E，（1）求證：；（2）若，求的長；六、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）21.如圖，一次函數y＝kx+b的圖象分別與反比例函數y＝的圖象在第一象限交于點A(4，3)，與y軸的負半軸交于點B，且OA＝OB．（1）求函數y＝kx+b和y＝的表達式；（2）已知點C(0，5)，試在該一次函數圖象上確定一點M，使得MB＝MC，求此時點M的坐標．22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，現有動點P從點A出發，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿CB向點B方向運動，如果點P速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．求：（1）當t=3秒時，這時，P，Q兩點之間的距離是多少？（2）若△CPQ面積為S，求S關于t的函數關系式．（3）當t為多少秒時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？七、（本大題共1小題，共14分）23.如圖，已知拋物線與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C，點P是上方拋物線上一動點，作軸于點M，點M的橫坐標為，交于點D．（1）求A，B的坐標和直線的解析式；（2）連接，求面積的最大值；（3）已知點Q也在拋物線上，點Q的橫坐標為，作軸于點F，交于點E，若P，D，Q，E為頂點的四邊形為平行四邊形，求t的值．

2023—2024學年度第一學期期末質量檢測九年級數學試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，共40分）1.下列函數中，的值隨值的增大而減小的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據二次函數的性質，一次函數的性質，逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：A.，，對稱軸為直線，當時，的值隨值的增大而減小，當時，的值隨值的增大而增大，故該選項不正確，不符合題意；B.，，對稱軸為直線，當時，的值隨值的增大而增大，當時，的值隨值的增大而減小，故該選項不正確，不符合題意；C.，，的值隨值的增大而增大，故該選項不正確，不符合題意；D.，，的值隨值的增大而減小，故該選項正確，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一次函數與二次函數的性質，熟練掌握一次函數與二次函數的性質是解題的關鍵．2.反比例函數的圖象經過點（1，-2），則k的值為（）A. B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據給定點的坐標利用反比例函數圖象上點的坐標特征，即可求出k值，此題得解．【詳解】解：∵反比例函數的圖象經過點（1，-2），∴k=1×（-2），∴k=-2．故選：D．【點睛】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征，利用反比例函數圖象上點的坐標特征找出關于k的一元一次方程是解題的關鍵．3.已知點，，都在反比例函數的圖象上，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先根據函數解析式中的比例系數確定函數圖象所在的象限，再根據各象限內點的坐標特點及函數的增減性解答．【詳解】解：在反比例函數中，，此函數圖象在二、四象限，，點，在第二象限，，，函數圖象在第二象限內為增函數，，．，點在第四象限，，，，的大小關系為．故選：C．【點睛】此題考查的是反比例函數圖象上點的坐標特點及平面直角坐標系中各象限內點的坐標特點，比較簡單．4.大自然巧奪天工，一片小樹葉也蘊含著“黃金分割”，如圖，P為的黃金分割點（），如果的長度為，那么的長度是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查黃金分割的應用；由黃金分割知：，由此可求得的長．【詳解】解：∵P為的黃金分割點，∴，即，故選：A．5.如圖，△ABC中，AD是中線，BC＝8，∠B＝∠DAC，則線段AC的長為（）A.4 B.4 C.6 D.4【答案】B【解析】【分析】根據題意判斷出△CBA∽△CAD，從而利用相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：∵BC＝8，AD是中線，∴CD＝BD＝4，在△CBA和△CAD中，∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△CBA∽△CAD，∴，∴AC2＝CD?BC＝4×8＝32，∴AC＝4；故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．6.阿基米德說：“給我一個支點，我就能撬動整個地球”這句話精辟地闡明了一個重要的物理學知識——杠桿原理，即“阻力×阻力臂=動力×動力臂”．若已知某一杠桿的阻力和阻力臂分別為和，則動力F關于動力臂l的函數圖象為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用阻力×阻力臂=動力×動力臂，進而得出動力F關于動力臂l函數關系式，從而確定其圖象即可．【詳解】解：∵阻力×阻力臂=動力×動力臂，且阻力和阻力臂分別為和∴動力F關于動力臂l的函數解析式為：，即，是反比例函數，又∵動力臂，故B選項符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了反比例函數的應用，正確讀懂題意得出關系式是解本題的關鍵．7.正方形網格中，如圖放置，則的值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．利用勾股定理的逆定理判斷是等腰直角三角形，再利用正弦函數的定義求解即可．【詳解】解：由圖形可知，C為邊上的格點，連接，根據勾股定理，，，，所以，，所以，是等腰直角三角形，.故選：B．8.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據小孔成像的性質及相似三角形的性質求解即可．【詳解】解：根據小孔成像的性質及相似三角形的性質可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設蠟燭火焰的高度為，則：，解得：，即蠟燭火焰的高度為，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形性質的應用，解題的關鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．9.如圖，一次函數y1＝x與二次函數y2＝ax2＋bx＋c圖象相交于P、Q兩點，則函數y＝ax2＋（b－1）x＋c的圖象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c圖象相交于P、Q兩點，得出方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個不相等的根，進而得出函數y=ax2+（b-1）x+c與x軸有兩個交點，根據方程根與系數的關系得出函數y=ax2+（b-1）x+c的對稱軸x=-＞0，即可進行判斷．【詳解】點P在拋物線上，設點P（x，ax2+bx+c），又因點P在直線y=x上，∴x=ax2+bx+c，∴ax2+（b-1）x+c=0；由圖象可知一次函數y=x與二次函數y=ax2+bx+c交于第一象限的P、Q兩點，∴方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個正實數根．∴函數y=ax2+（b-1）x+c與x軸有兩個交點，又∵-＞0，a＞0∴-=-+＞0∴函數y=ax2+（b-1）x+c的對稱軸x=-＞0，∴A符合條件，故選A．10.如圖，在中，，，為上任意一點，為的中點，連接在上且，連接，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據銳角三角函數得到，再利用中位線定理得到，最后根據三點共線的時，的值最小即可解答．【詳解】解：取的中點，∵為的中點，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，當三點共線的時，的值最小∴，故選．【點睛】本題考查了銳角三角函數，直角三角形的性質，中位線定理，掌握中位線定理是解題的關鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.若，則值為______．【答案】##【解析】【分析】本題考查了分式的求值，將分式化成含有的形式，再代入的值計算即可，將分式轉化為含已知值的形式，利用整體代入法是解本題的關鍵．【詳解】解：．12.若拋物線與軸只有一個公共點，則值為______．【答案】9【解析】【分析】拋物線與x軸只有一個公共點，則對應的一元二次方程有兩個相等的實數根，據此利用判別式求解即可．【詳解】解：∵拋物線與軸只有一個公共點，∴方程有兩個相等的實數根，∴，∴，故答案為：9．【點睛】本題主要考查了二次函數與一元二次方程之間的關系，熟知拋物線與x軸只有一個公共點，則對應的一元二次方程有兩個相等的實數根是解題的關鍵．13.如圖，，，，則______．【答案】【解析】【分析】利用相似三角形的性質求解．【詳解】解：∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點睛】本題考查相似三角形的性質，解題的關鍵是掌握相似三角形對應邊的比相等，都等于相似比．14.如圖，點A在直線上，軸于點B，點C在線段上，以為邊作正方形，點D恰好在反比例函數（k為常數，）第一象限的圖象上，連接．（1）若，，則______；（2）若，則______．【答案】①.16②.14【解析】【分析】（1）根據，可以計算出點的坐標為，進而計算出的值；（2）設正方形的邊長為，，則，，利用等腰直角三角形的性質得，，點在反比例函數的圖象上，，可得，再代入計算．【詳解】解：（1）∵點A在直線上，，∴，即，，，，點的橫坐標為：，點的坐標為：，．故答案為：16；（2）設正方形的邊長為，，則，，，，點在反比例函數的圖象上，，，即，，故答案為：14．【點睛】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，正方形的性質，勾股定理，平方差公式，等腰直角三角形的判定和性質．三、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）15.計算：【答案】1【解析】【詳解】試題分析：先計算絕對值，三角函數，零指數，負指數，平方再按照實數的運算計算即可.試題解析：=2+2×-3+1=2+-3+1=考點：三角函數，實數的運算.16.定義新運算：對于任意實數m、n都有．例如：，根據以上知識解決下列問題：求拋物線的頂點坐標．【答案】【解析】【分析】本題考查了新定義，二次函數的性質，求拋物線的頂點坐標，解題的關鍵是掌握新定義運算法則．利用新定義運算法則得出解析式，然后利用配方法寫出頂點式解析式，可以直接得到答案．【詳解】解：根據性定義得，，∴頂點坐為．四、（本大題共2小題，每小題8分，共16分）17.如圖，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=，求AB的長．【答案】3+【解析】【分析】過C作CD⊥AB于D，求出∠BCD=∠B，推出BD=CD，根據含30度角的直角三角形求出CD，根據勾股定理求出AD，相加即可求出答案．【詳解】解：過C作CD⊥AB于D，∴∠ADC=∠BDC=90°，∵∠B=45°，∴∠BCD=∠B=45°，∴CD=BD，∵∠A=30°，AC=2，∴CD=，∴BD=CD=，由勾股定理得：AD==3，∴AB=AD+BD=3+，答：AB的長是3+．【點睛】此題考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握了解直角三角形，等腰三角形的性質，含30度角的直角三角形，勾股定理．18.如圖，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，按要求畫出△A1B1C1和△A2B2C2：(1)將△ABC先向右平移4個單位，再向上平移1個單位，得到△A1B1C1；(2)以圖中的點O為位似中心，將△A1B1C1作位似變換且放大到原來的兩倍，得到△A2B2C2．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】【分析】（1）把A、B、C三點先向右平移4個單位，再向上平移1個單位得到A1，B1，C1，順次連接得到的各點即可；（2）延長OA1到A2，使0A2=20A1，同法得到其余各點，順次連接即可．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1即為所求；（2）如圖，△A2B2C2即為所求；五、（本大題共2小題，每小題10分，共20分）19.學生到工廠勞動實踐，學習制作機械零件．零件的截面如圖陰影部分所示，已知四邊形AEFD為矩形，點B、C分別在EF、DF上，，，，．求零件的截面面積．參考數據：，．【答案】53.76cm2【解析】【分析】首先證明，通過解和，求出AE，BE，CF，BF，再根據計算求解即可．【詳解】解：如圖，四邊形AEFD為矩形，，∴EF//AB，∵，∴，∵∴在中，．又同理可得，答：零件的截面面積為53.76cm2【點睛】此題主要考查了解直角三角形，通過解和，求出AE，BE，CF，BF的長是解答此題的關鍵．20.如圖，將矩形紙片沿著過點D的直線折疊，使點A落在邊上，落點為F，折痕交邊于點E，（1）求證：；（2）若，求的長；【答案】（1）見解析（2）2【解析】【分析】（1）根據矩形的性質可得，從而得到，再由根據折疊的性質可得，從而得到，即可求證；（2）根據折疊性質可得，再由勾股定理可得，即可求解．【小問1詳解】證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，根據折疊的性質得：，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：根據折疊的性質得：，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，∴．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定，矩形的性質，勾股定理，折疊的性質，熟練掌握相似三角形的判定，矩形的性質，勾股定理是解題的關鍵．六、（本大題共2小題，每小題12分，共24分）21.如圖，一次函數y＝kx+b的圖象分別與反比例函數y＝的圖象在第一象限交于點A(4，3)，與y軸的負半軸交于點B，且OA＝OB．（1）求函數y＝kx+b和y＝的表達式；（2）已知點C(0，5)，試在該一次函數圖象上確定一點M，使得MB＝MC，求此時點M的坐標．【答案】（1）y＝，y＝2x﹣5；（2）(2.5，0)【解析】【分析】（1）利用待定系數法即可解答；（2）設點M的坐標為（x，2x﹣5），根據MB＝MC，得到，即可解答．【詳解】解：（1）把點A（4，3）代入函數y＝得：a＝3×4＝12，∴y＝．OA＝＝5，∵OA＝OB，∴OB＝5，∴點B的坐標為（0，﹣5），把B（0，﹣5），A（4，3）代入y＝kx+b得：解得：；∴y＝2x﹣5．（2）∵點M在一次函數y＝2x﹣5上，∴設點M的坐標為（x，2x﹣5），∵MB＝MC，∴解得：x＝2.5，∴點M的坐標為（2.5，0）．方法二：∵B（0，﹣5）、C（0，5），∴BC＝10，∴BC的中垂線為：直線y＝0，當y＝0時，2x﹣5＝0，即x＝2.5，∴點M的坐標為（2.5，0）．【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點，解決本題的關鍵是利用待定系數法求解析式．22.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，現有動點P從點A出發，沿AC向點C方向運動，動點Q從點C出發，沿CB向點B方向運動，如果點P的速度是4cm/秒，點Q的速度是2cm/秒，它們同時出發，當有一點到達所在線段的端點時，就停止運動．設運動時間為t秒．求：（1）當t=3秒時，這時，P，Q兩點之間的距離是多少？（2）若△CPQ的面積為S，求S關于t的函數關系式．（3）當t為多少秒時，以點C，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似？【答案】（1）10cm；（2）；（3）t＝3或t＝【解析】【分析】（1）在Rt△CPQ中，當t=3秒，可知CP、CQ的長，運用勾股定理可將PQ的長求出；

（2）由點P，點Q的運動速度和運動時間，又知AC，BC的長，可將CP、CQ用含t的表達式求出，代入直角三角形面積公式=CP×CQ求解；

（3）應分兩種情況：當Rt△CPQ∽Rt△CAB時，根據，可將時間t求出；當Rt△CPQ∽Rt△CBA時，根據，可求出時間t．【詳解】由題意得AP=4t，CQ=2t，則CP=20﹣4t，（1）當t=3秒時，CP=20﹣4t=8cm，CQ=2t=6cm，