主題五統計與概率

專題19統計與概率

目錄一覽

知識目標（新課程標準提煉）

中考命題趨勢（分析考察方向，精準把握重難點）

重點考向（以真題為例，探究中考命題方向）

A考向一總體、個體、樣本、樣本容量

A考向二用樣本估計總體

A考向三頻數（率）分布直方圖

A考向四扇形統計圖

A考向五條形統計圖

A考向六折線統計圖

A考向七中位數

A考向八眾數

A考向九方差

A考向十概率公式

A考向十一幾何概率

A考向十二列表法與樹狀圖法

A考向十三利用頻率估計概率

最新真題薈萃（精選最新典型真題，強化知識運用，優化解題技巧）

知識目標

1.經歷收集、整理、描述和分析數據的活動，了解處理數據的過程；能用計算器處理較為復雜的數據；體

會抽樣的必要性，通過實例了解簡單的隨機抽樣；通過實例了解頻數和頻數分布的意義，能畫頻數分布直

方圖，能利用頻數分布直方圖解釋數據蘊涵的信息；

2.會制作扇形統計圖，能用統計圖直觀、有效地描述數據.理解平均數的意義，能計算中位數、眾數、加

權平均數，了解它們是數據集中趨勢的描述；體會刻畫數據離散程度的意義，會計算簡單數據的方差；

3.體會樣本與總體的關系，掌握統計量的概念和特點，會通過統計量進行計算，會分析數據.

4.能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機事件所有可能的結果，以及指定事件發生的所有可能的結

果，了解事件的概率；知道通過大量的重復試驗，可以利用頻率來估計概率.

叁:中考解密

該板塊內容以考查基礎為主，也是考查重點，年年都會考查，是廣大考生的得分點，分值為10分左右，

預計2024年各地中考還將出現，并且在選擇、解答中考查事件的判斷、隨機事件的概率、概率與幾何、

頻率估計概率、用樹狀圖或列表法求概率、游戲的公平性問題等知識這部分知識是考生的得分點，應掌握

扎實。

士重點考向

A考向一總體、個體、樣本、樣本容量

1.（2023?聊城）4月15日是全民國家安全教育日.某校為了摸清該校1500名師生的國家安全知識掌握

情況，從中隨機抽取了150名師生進行問卷調查.這項調查中的樣本是（）

A.1500名師生的國家安全知識掌握情況

B.150

C.從中抽取的150名師生的國家安全知識掌握情況

D.從中抽取的150名師生

【思路點撥】總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取

的一部分個體，據此即可判斷.

【完整解答】解：樣本是所抽取的150名師生的國家安全知識掌握情況.

故選：C.

【考點剖析】本題考查了樣本的定義，熟練掌握樣本的定義是解答本題的關鍵.

2.（2023?宜州區模擬）今年我市有5萬名學生參加中考，為了了解這些考生的數學成績，教育部門抽取

了2000名考生的數學成績進行統計分析，在這個問題中，下列說法正確的是（）

A.2000名考生是總體的一個樣本

B.每個考生是個體

C.這5萬名學生的數學中考成績的全體是總體

D.樣本容量是2000名學生

【思路點撥】總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取

的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數目.我們在區分總體、個體、樣本、樣本容量，這

四個概念時，首先找出考查的對象，從而找出總體、個體.再根據被收集數據的這一部分對象找出樣

本，最后再根據樣本確定出樣本容量.

【完整解答】解：A.2000名考生的數學成績是總體的一個樣本，此選項不合題意；

B.每個考生的數學成績是個體，此選項不合題意；

C.這5萬名學生的數學中考成績的全體是總體，此選項符合題意；

D.樣本容量是2000,此選項不合題意.

故選：C.

【考點剖析】本題考查了總體、個體、樣本、樣本容量的概念，解題要分清具體問題中的總體、個體

與樣本，關鍵是明確考查的對象.總體、個體與樣本的考查對象是相同的，所不同的是范圍的大

小.樣本容量是樣本中包含的個體的數目，不能帶單位.

A考向二用樣本估計總體

3.（2023?金昌）據統計，數學家群體是一個長壽群體，某研究小組隨機抽取了收錄約2200位數學家的

《數學家傳略辭典》中部分90歲及以上的長壽數學家的年齡為樣本，對數據進行整理與分析，統計圖

表（部分數據）如下，下列結論錯誤的是（）

年齡范圍（歲）人數（人）

90-9125

92-93

94-95

96-97

98-99

100-101

IOO-IOI歲

94-95歲

A.該小組共統計了100名數學家的年齡

B.統計表中機的值為5

C.長壽數學家年齡在92-93歲的人數最多

D.《數學家傳略辭典》中收錄的數學家年齡在96-97歲的人數估計有110人

【思路點撥】根據統計表和扇形統計圖給出的數據分別對每一項進行分析，即可得出答案.

【完整解答】解：/、該小組共統計的人數為：10X0%=100（人），故不符合題意；

B、統計表中的值為100x5%=5（人），故不符合題意；

C、長壽數學家年齡在92-93歲的人數為100x35%=35,長壽數學家年齡在94-95歲的人數為

100xl4%=14（人），所以長壽數學家年齡在92-93歲的人數最多，故不符合題意；

D、《數學家傳略辭典》中收錄的數學家年齡在96-97歲的人數估計有2200x100=242（人），故符

合題意.

故選：D.

【考點剖析】此題考查了統計表和用樣本估計總體，讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決

問題的關鍵.從扇形圖上可以清楚地看出各部分數量和總數量之間的關系.

4.（2023?樂山）樂山是一座著名的旅游城市，有著豐富的文旅資源.某校準備組織初一年級500名學生

進行研學旅行活動，政教處周老師隨機抽取了其中50名同學進行研學目的地意向調查，并將調查結果

制成如圖統計圖，如圖所示.估計初一年級愿意去“沫若故居”的學生人數為（）

A.100B.150C.200D.400

【思路點撥】用總人數乘以樣本中去“沫若故居”的學生人數所占比例即可.

20

【完整解答】解：估計初一年級愿意去“沫若故居”的學生人數為500、而=200（人）,

故選：C.

【考點剖析】本題主要考查用樣本估計總體，一般來說，用樣本去估計總體時，樣本越具有代表性、

容量越大，這時對總體的估計也就越精確.

A考向三頻數（率）分布直方圖

5.（2023?寧夏）勞動委員統計了某周全班同學的家庭勞動次數x（單位：次），按勞動次數分為4組：

0<x<3,3<x<6,6<x<9,9<x<12,繪制成如圖所示的頻數分布直方圖.從中任選一名同學，則該同

學這周家庭勞動次數不足6次的概率是（）

領數（學生人數）

【思路點撥】根據頻數分布直方圖，求出周家庭勞動次數不足6次的學生數占總人數的幾分之幾即

可.

10+20

【完整解答】解：10+20+14+6=0.6,

故選：A.

【考點剖析】本題考查頻數分布直方圖，概率的定義，理解概率的定義是解決問題的關鍵.

6.（2023?荷澤）某班學生以跨學科主題學習為載體，綜合運用體育、數學、生物學等知識，研究體育課

的運動負荷.在體育課基本部分運動后，測量統計了部分學生的心率情況，按心率次數x（次/分

鐘），分為如下五組：N組：50<x<75,8組：75<x<100,C組100Wx<125,。組：125Wx<150,E

組：150sx<175.其中/組數據為：73,65,74,68,74,70,66,56.

根據統計數據繪制了不完整的統計圖（如圖所示），請結合統計圖解答下列問題：

（次/分鐘）

（1）/組數據的中位數是69,眾數是74；在統計圖中8組所對應的扇形圓心角是54

度；

（2）補全學生心率頻數分布直方圖；

（3）一般運動的適宜心率為100力<150（次/分鐘），學校共有2300名學生，請你依據此次跨學科研

究結果，估計大約有多少名學生達到適宜心率？

【思路點撥】（1）分別根據中位數、眾數的定義可得/組數據的中位數和眾數；用/組頻數除以/

組所占百分比可得樣本容量，用360。乘3組數據所占比例可得在統計圖中3組所對應的扇形圓心角度

數；

（2）先求出C組頻數，即可補全學生心率頻數分布直方圖；

（3）用2300乘樣本中C組和。組所占百分比即可.

【完整解答】解：（1）把/組數據從小到大排列為：56,65,66,68,70,73,74,74,

68+70

故4組數據的中位數是：2=69,眾數是74；

由題意得，樣本容量為：8-8%=100,

15

在統計圖中5組所對應的扇形圓心角是：360°x100=54°.

故答案為：69,74,54；

（2）C組頻數為：100-8-15-45-2=30,

補全學生心率頻數分布直方圖如下：

4()

（3）2300x（30%+100）=1725（名）,

答：估計大約有1725名學生達到適宜心率.

【考點剖析】本題考查頻數分布直方圖、扇形統計圖、眾數、中位數以及用樣本估計總體，解答本題

的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答.

A考向四扇形統計圖

7.（2023?大連）2023年5月18日，《大連日報》公布《下一站，去博物館!》問卷調查結果.本次調查

共收回3666份有效問卷，其中將“您去博物館最喜歡看什么？”這一問題的調查數據制成扇形統計圖，

如圖所示.下列說法錯誤的是（）

建筑風格

B.最喜歡看“文創產品”的人數占被調查人數的14.3%

C.最喜歡看“布展設計”的人數超過500人

D.統計圖中“特效體驗及其他”對應的圓心角是23.76。

【思路點撥】根據扇形統計圖中的百分比的意義逐一判斷即可得.

【完整解答】解：由題意得：

A.最喜歡看“文物展品”的人數最多，占58.25%,說法正確，故本選項不符合題意；

B.最喜歡看“文創產品”的人數占被調查人數的14.3%,說法正確，故本選項不符合題意；

C.最喜歡看“布展設計”的人數為：3666x9.82%~360（人），原說法錯誤，故本選項符合題意；

D.統計圖中“特效體驗及其他”對應的圓心角是：360。*6.6%=23.76。，說法正確，故本選項不符合題

?

故選：C.

【考點剖析】本題主要考查扇形統計圖，扇形統計圖是用整個圓表示總數用圓內各個扇形的大小表示

各部分數量占總數的百分數.

8.（2023?河南）某林木良種繁育試驗基地為全面掌握“無絮楊”品種苗的生長規律，定期對培育的1000

棵該品種苗進行抽測.如圖是某次隨機抽測該品種苗的高度x（cm）的統計圖，則此時該基地高度不

低于300cm的“無絮楊”品種苗約有280棵.

A.工<200

B.200<x<250

C.250<r<300

D.300<x<350

E.x>350

【思路點撥】由統計圖得到高度不低于300cm的“無絮楊''品種苗所占的百分比，再列式計算即可.

【完整解答】解：由統計圖可得，該基地高度不低于300cm的“無絮楊”品種苗約占10%+18%=28%,

：1000x28%=280（棵）,

該基地高度不低于300cm的“無絮楊”品種苗約有280棵.

故答案為：280.

【考點剖析】本題考查扇形統計圖的應用，解題的關鍵是能從統計圖中獲取有用的信息.

A考向五條形統計圖

9.（2023?南充）某女鞋專賣店在一周內銷售了某種女鞋60雙，對這批鞋子尺碼及銷量進行統計，得到

條形統計圖（如圖）.根據圖中信息，建議下次進貨量最多的女鞋尺碼是（）

【思路點撥】利用眾數的意義得出答案.

【完整解答】解：由題意可知，銷量最多的是23.5<?加，

所以建議下次進貨量最多的女鞋尺碼是23.5cm.

故選：D.

【考點剖析】此題主要考查了條形統計圖以及眾數，一組數據中出現次數最多的數據叫做眾數，眾數

也是數據的一種代表數，反映了一組數據的集中程度，眾數可作為描述一組數據集中趨勢的量.

10.（2023?赤峰）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船成功發射，成為我國航天事業的里程碑.某校

對全校1500名學生進行了“航空航天知識”了解情況的調查，調查結果分為B,C,。四個等級

（/：非常了解；5：比較了解；C：了解；D-.不了解）.隨機抽取了部分學生的調查結果，繪制成兩

幅不完整的統計圖.根據統計圖信息，下列結論不正確的是（

0―A――D學級

A.樣本容量是200

B.樣本中C等級所占百分比是10%

C.。等級所在扇形的圓心角為15。

D.估計全校學生/等級大約有900人

【思路點撥】用8等級的人數除以8等級的百分比可得樣本容量；用C等級人數除以總人數可得樣本

中。等級所占百分比；用360。乘。等級的百分比可得。等級所在扇形的圓心角度數；用全校學生人數

乘A等級的百分比可得全校學生A等級人數.

【完整解答】解：A.50-25%=200,即樣本容量為200,故本選項不符合題意；

會100K

B.樣本中c等級所占百分比是200=10%,故本選項不符合題意；

C.。等級所在扇形的圓心角為：360。><（1-60%-25%-10%）=18。，故本選項符合題意；

。.估計全校學生Z等級大約有：1500X60%=900（人）,故本選項不符合題意.

故選：C.

【考點剖析】本題考查了條形統計圖和扇形統計圖等知識點，用樣本估計總體，看懂圖表是解決本題

的關鍵.

A考向六折線統計圖

11.（2023?大連）某射擊隊進行射擊訓練，甲、乙、丙三名射擊運動員分別射擊10次，射擊隊記錄他們

的成績（單位：環），并對數據進行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：

I.甲運動員的射擊成績是：79878999810；

□.乙運動員的射擊成績是：

成績/環678910

次數12223

m.丙運動員射擊成績的折線統計圖為:

成，粼壞

平均數眾數中位數方差

甲8.4a8.50.84

乙方10c1.84

丙8.2d81.56

根據以上信息，回答下列問題：

(1)表格中的。=9，b=8.4,c—8.5,d=8和9

（2）射擊隊準備從甲、乙、丙三名運動員中選取一名參加比賽，你認為應該選擇哪名運動員參賽？為

什么？

【思路點撥】（1）分別根據眾數、算術平均數以及中位數的定義解答即可；

（2）根據方差和平均數的意義解答即可.

【完整解答】解：（1）甲10次射擊中，9環出現的次數最多，故眾數a=9,

1

乙的平均數b=10x（6x1+7x2+8x2+9x2+10x3）=8.4,

8+9

把乙10次射擊的成績從小到大排列，排在中間的兩個數分別是8和9,故中位數‘=1廢=8.5,

丙10次射擊中，8環和9環出現的次數最多，故眾數d=8和9,

故答案為：9,8.4,8.5,8和9；

（2）應該選擇甲參賽，理由如下：

因為甲和乙的平均數相同，且比丙的高，所以在甲和乙中選其中一個參賽；又因為甲的方差比乙小，

所以甲比乙穩定，故該選擇甲參賽.

【考點剖析】此題主要考查了折線統計圖、中位數、眾數、算術平均數和方差，關鍵是掌握相關統計

量的定義與計算方法.

12.（2023?吉林）為了解2018-2022年吉林省糧食總產量及其增長速度的情況，王翔同學查閱相關資

料，整理數據并繪制了如下統計圖:

匚二I賴食總產*—.—比上年增長

本年糧食總.量一去至糧食息產量

注：增長速度=去年糧食總產量X100%.

根據此統計圖，回答下列問題：

（1）2021年全省糧食總產量比2019年全省糧食總產量多161.5萬噸.

（2）2018-2022年全省糧食總產量的中位數是3877.9.

（3）王翔同學根據增長速度計算方法得出2017年吉林省糧食總產量約為4154.0萬噸.結合所得數據

及圖中信息對下列說法進行判斷，正確的畫“才‘，錯誤的畫“x”.

①2018-2022年全省糧食總產量增長速度最快的年份為2019年，因此這5年中，2019年全省糧食總

產量最高.x

②如果將2018-2022年全省糧食總產量的中位數記為。萬噸，2017-2022年全省糧食總產量的中位數

記為6萬噸，那么q

【思路點撥】（1）根據統計圖數據計算可得答案；

（2）根據中位數的定義解答即可；

（3）①根據統計圖數據判斷即可；②根據中位數的定義判斷即可.

【完整解答】解：（1）2021年全省糧食總產量比2019年全省糧食總產量多：4039.2-3877.9=161.3

（萬噸）,

故答案為：161.3；

（2）由題意可知,2018-2022年全省糧食總產量的中位數是3877.9,

故答案為：3877.9；

（3）①由題意可知，2018-2022年全省糧食總產量增長速度最快的年份為2019年，但這5年中，

2022年全省糧食總產量最高.

故答案為：x；

②由（2）可知，2018-2022年全省糧食總產量的中位數是3877.9,而2017-2022年全省糧食總產量

3877.9+4039.2

的中位數記為2=3958.55,

所以a<b.

故答案為：7.

【考點剖析】本題考查折線統計圖，解題的關鍵是讀懂題意，能從統計圖中獲取有用的信息.

A考向七中位數

13.（2023?婁底）一個小組7名同學的身高（單位：cm）分別為：175,160,158,155,168,151,

170.這組數據的中位數是（）

A.151B.155C.158D.160

【思路點撥】根據中位數的定義求解可得.

【完整解答】解：把這些數從小到大排列為：151、155、158、160、168、170、175,

排在中間的數為160,故中位數為160.

故選：D.

【考點剖析】本題主要考查中位數，掌握中位數的計算方法是關鍵.

14.（2023?德陽）在一次數學測試中，張老師發現第一小組6位學生的成績（單位：分）分別為：85,

78,90,72,?，75,其中有一位同學的成績被墨水污染，但知道該小組的平均分為80分，則該小組

成績的中位數是79.

【思路點撥】首先利用平均數求得被墨水污染的數，然后利用中位數的定義確定答案即可.

【完整解答】解：根據題意得：?=80'6-（85+78+90+72+75）=80,

排序為：72,75,78,80,85,90,

78+80

所以中位數為2=79,

故答案為：79.

【考點剖析】本題考查了統計的知識，解題的關鍵是根據題意確定被污染的數，難度中等.

A考向八眾數

15.（2023?甘孜州）在一次中學生田徑運動會上，參加男子跳高的15名運動員的成績如表所示.

成績/米

這些運動員成績的眾數和中位數分別為（

A.1.65米，1.65米1.65米，1.70米

C.1.75米，1.65米D.1.50米，1.60米

【思路點撥】根據眾數和中位數的定義分別進行解答即可.

【完整解答】解：由表可知1.65機出現次數最多，有5次，所以眾數為1.65加，

這15個數據最中間的數據是第8個，即1.65"，所以中位數為1.65〃?，

故選：A.

【考點剖析】此題考查了眾數與中位數，中位數是將一組數據從小到大（或從大到小）重新排列后,

最中間的那個數（最中間兩個數的平均數），叫做這組數據的中位數，如果中位數的概念掌握得不

好，不把數據按要求重新排列，就會出錯；眾數是一組數據中出現次數最多的數.

16.（2023?衡陽）2023年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自

我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動.現從八、九年級中各隨機抽取15名學生的競賽成

績（百分制）進行整理、描述和分析（成績得分用x表示，80分及以上為優秀，共分成四組，A：60<x

<70；B-.70<x<80；C：80<x<90；D-.90<x<100）,并給出下面部分信息：

八年級抽取的學生競賽成績在C組中的數據為：84,84,88

九年級抽取的學生競賽成績為：68,77,75,100,80,100,82,86,95,91,100,86,84,94,

87.

八、九年級抽取的學生競賽成績統計表

年級平均數中位數眾數優秀率

八87a9860%

九8786bC

根據以上信息，解答下列問題：

（1）填空：a=84,b=100,c=80%；

（2）該校八、九年級共500人參加了此次競賽活動，請你估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績

達到90分及以上的學生人數.

Afl級抽取的學生競賽成績期11分布H方圖

【思路點撥】（1）根據中位數、眾數的意義，分別求出八年級的中位數，和九年級的眾數；

（2）利用樣本估計總體即可.

【完整解答】解：（1）八年級的競賽成績從小到大排列后，處在中間位置的一個數是84,因此中位

數是84,即a=84；

九年級的競賽成績出現次數最多的是100,共出現3次，因此眾數是100,即6=100；

12

九年級的競賽成績中80分及以上的共有12人，因此優秀率為15X100%=80%,即C=80%；

故答案為：84,100,80%；

6+6

（2）500x15+15=200（人），

答：估計該校八、九年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數約200人.

【考點剖析】本題考查了方差、平均數、中位數、眾數的意義和計算方法，掌握各個統計量的計算方

法是正確計算的前提.

A考向九方差

17.(2023?丹東)某校擬派一名跳高運動員參加一項校際比賽，對4名跳高運動員進行了多次選拔比

賽，他們比賽成績的平均數和方差如下表:

甲乙丙T

平均數/”?169168169168

方差6.017.35.019.5

根據表中數據，要從中選擇一名平均成績好，且發揮穩定的運動員參加比賽，最合適的人選是

()

A.甲B.乙C.丙D.丁

【思路點撥】先比較平均數得到甲和丙成績較好，然后比較方差得到丙的狀態穩定，于是可決定選丙

運動員去參賽.

【完整解答】解：???甲、丙的平均數比乙、丁大，

，應從甲和丙中選，

:甲的方差比丙的大，

，丙的成績較好且狀態穩定，應選的是丙；

故選：C.

【考點剖析】本題考查了方差：一組數據中各數據與它們的平均數的差的平方的平均數，叫做這組數

據的方差.方差是反映一組數據的波動大小的一個量.方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性

也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好.

18.(2023?北京)某校舞蹈隊共16名學生，測量并獲取了所有學生的身高(單位：c%),數據整理如

下：

小16名學生的身高：

161,162,162,164,165,165,165,166,166,167,168,168,170,172,172,175；

6.16名學生的身高的平均數、中位數、眾數：

平均數中位數眾數

166.75mn

(1)寫出表中加，”的值；

(2)對于不同組的學生，如果一組學生的身高的方差越小，則認為該組舞臺呈現效果越好，據此推

斷：在下列兩組學生中，舞臺呈現效果更好的是甲組(填“甲組”或“乙組”)；

甲組學生的身高162165165166166

乙組學生的身高161162164165175

(3)該舞蹈隊要選五名學生參加比賽，已確定三名學生參賽，他們的身高分別為168,168,172,他

32

們的身高的方差為9.在選另外兩名學生時，首先要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的

32

五名學生的身高的方差小于飛~,其次要求所選的兩名學生與已確定的三名學生所組成的五名學生的身

高的平均數盡可能大，則選出的另外兩名學生的身高分別為170cm和172cm.

【思路點撥】(1)根據眾數和中位數的定義進行計算；

(2)根據方差的計算公式計算方差，然后根據方差的意義進行比較；

(3)根據方差進行比較.

【完整解答】解：(1)數據按由小到大的順序排序：161,162,162,164,165,165,165,166,

166,167,168,168,170,172,172,175,

166+166

則舞蹈隊16名學生身高的中位數為機=2=166(cm),眾數為“=165(cm),

故答案為：166,165：

162+165+165+166+166

(2)甲組學生身高的平均值是：5=164.8(cm),

I

甲組學生身高的方差是：5x[(164.8-162)2+(164.8-165)2+(164.8-165)2+(164.8-166)2+

(164.8-166)2]=2.16,

161+162+164+165+175

乙組學生身高的平均值是：5=165.4(cm),

工

乙組學生身高的方差是：5x[(165.4-161)2+(165.4-162)2+(165.4-164)2+(165.4-165)2+

(165.4-175)2]=25.04,

V25.04>2.16,

???甲組舞臺呈現效果更好.

故答案為：甲組；

11

(3)V168,168,172的平均數為3(168+168+172)=1693(cm),

32

且所選的兩名學生與己確定的三名學生所組成的五名學生的身高的方差小于-

數據的差別較小，

可供選擇的有170cm,172cm,

1

平均數為：5(168+168+170+172+172)=170(cm),

方差為：5[(168-170)2+(168-170)2+(170-170)2+(172-170)2+(172-170)2]=3.2<

32

~9,

工選出的另外兩名學生的身高分別為170c冽和172cm.

故答案為：170cm,172cm.

【考點剖析】本題考查了平均數、眾數、中位數和方差，熟記方差的計算公式以及方差的意義是解題

的關鍵.

A考向十概率公式

19.（2023?丹東）在一個不透明的袋子中，裝有3個紅球和若干個黑球，每個球除顏色外都相同，若從

_1

袋中任意摸出一個球是紅球的概率為4,則袋中黑球的個數為（）

A.IB.3C.6D.9

J.

【思路點撥】根據題意和題目中的數據，可以列出算式”1-3,然后計算即可.

【完整解答】解：由題意可得，

J,

黑球的個數為：3-4-3

=3x4-3

=12-3

=9,

故選：D.

【考點剖析】本題考查概率公式，解答本題的關鍵是明確題意，利用概率的知識解答.

20.（2023?長沙）“千門萬戶瞳瞳日，總把新桃換舊符”.春節是中華民族的傳統節日，古人常用寫“桃

符”

的方式來祈福避禍，而現在，人們常用貼“福”字、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿.某商

家在春節期間開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿100元，就可以從“福”字、春聯、燈籠這三類禮

品中免費領取一件.禮品領取規則：顧客每次從裝有大小、形狀、質地都相同的三張卡片（分別寫有

“福”字、春聯、燈籠）的不透明袋子中，隨機摸出一張卡片，然后領取一件與卡片上文字所對應的禮

品，現有2名顧客都只領取了一件禮品，那么他們恰好領取同一類禮品的概率是（）

2221

A.9B.6c.3D.2

【思路點撥】畫出樹狀圖，利用概率公式求解即可.

【完整解答】解：畫樹狀圖如下：

開始

一共有9種等可能得情況，他們恰好領取同一類禮品的情況有3種，

3_1

.??他們恰好領取同一類禮品的概率是：V=3,

故選：c.

【考點剖析】此題考查求概率，熟記概率=所求情況數與總情況數之比是解題的關鍵.

A考向十一幾何概率

21.（2023?煙臺）如圖，在正方形中，陰影部分是以正方形的頂點及其對稱中心為圓心，以正方形邊長

的一半為半徑作弧形成的封閉圖形.將一個小球在該正方形內自由滾動，小球隨機地停在正方形內的

某一點上.若小球停在陰影部分的概率為停在空白部分的概率為P2,則P與尸2的大小關系為

（）

A.尸1<尸2B.尸產P2C.Pi>P2D.無法判斷

【思路點撥】令正方形的邊長為2a,分別求出空白部分的面積與陰影部分的面積，繼而可得答案.

【完整解答】解：如圖，令正方形的邊長為2a,

————冗a

則空白部分的面積為2x4xjfa2+2（a2-=2na2+2a2-2=2a2,

則陰影部分的面積為（2a）2-2a2=4層一2/=2療，

所以小球停在陰影部分的概率馬=停在空白部分的概率尸2,

故選：B.

【考點剖析】本題考查幾何概率的計算，涉及圓的面積在求面積中的應用，關鍵是正確計算出空白部

分和陰影部分的面積.

22.（2023?常州）如圖，飛鏢游戲板中每一塊小正方形的面積相等.任意投擲飛鏢1次且擊中游戲板，

5.

則擊中陰影部分的概率是

【思路點撥】根據幾何概率的求法：飛鏢落在陰影部分的概率就是陰影區域的面積與總面積的比值.

【完整解答】解：總面積為3x3=9,

其中陰影部分面積為5x1=5,

皂

.??任意投擲飛鏢一次，擊中陰影部分的概率是5,

1

故答案為：9.

【考點剖析】本題考查幾何概率的求法：首先根據題意將代數關系用面積表示出來，一般用陰影區域

表示所求事件U）；然后計算陰影區域的面積在總面積中占的比例，這個比例即事件（A）發生的概

率.

A考向十二列表法與樹狀圖法

23.（2023?安徽）如果一個三位數中任意兩個相鄰數字之差的絕對值不超過1,則稱該三位數為“平穩

數”.用1,2,3這三個數字隨機組成一個無重復數字的三位數，恰好是“平穩數”的概率為（）

5.122

A.9B.2C.3D.9

【思路點撥】先羅列出所有等可能結果，從中找到“平穩數”的結果，再根據概率公式求解即可.

【完整解答】解：用1,2,3這三個數字隨機組成一個無重復數字的三位數出現的等可能結果有：

123、132、213、231、312、321,

其中恰好是'平穩數”的有123、321,

21

所以恰好是“平穩數”的概率為6=3,

故選：C.

【考點剖析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有可能的結果求出力，再

從中選出符合事件Z或2的結果數目m,然后根據概率公式計算事件/或事件8的概率.

24.（2023?大慶）新高考“3+1+2”選科模式是指，除語文、數學、外語3門科目以外，學生應在歷史和物

理2門首選科目中選擇1科，在思想政治、地理、化學、生物學4門再選科目中選擇2科.某同學從4

1

門再選科目中隨機選擇2科，恰好選擇地理和化學的概率為_弓_.

【思路點撥】畫樹狀圖得出所有等可能結果，從中找到恰好選中地理和化學兩科的結果數，再利用概

率公式計算可得.

【完整解答】解：設思想政治、地理、化學、生物學4門科目分別為4B,C,D,

畫樹狀圖如圖所示，

由圖可知，共有12種等可能結果，其中該同學恰好選中地理和化學兩科的有2種結果，

21

所以該同學恰好選擇地理和化學兩科的概率為五=8.

故答案為：

【考點剖析】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果〃，再從

中選出符合事件/或8的結果數目m,然后利用概率公式求事件/或3的概率.

A考向十三利用頻率估計概率

25.（2023?恩施州）縣林業部門考察銀杏樹苗在一定條件下移植的成活率，所統計的銀杏樹苗移植成活

的相關數據如下表所示:

移植的棵數。1003006001000700015000

成活的棵數684279505847633713581

b0.840.930.8420.8470.9050.905

成活的頻率a

根據表中的信息，估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為（精確到0.1）（）

A.0.905B.0.90C.0.9D.0.8

【思路點撥】用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.

【完整解答】解：由表格數據可得，隨著樣本數量不斷增加，這種樹苗移植成活的頻率穩定在0.9左

右，

故估計銀杏樹苗在一定條件下移植成活的概率為0.9.

故選：C.

【考點剖析】此題主要考查了利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率.

26.（2023?鞍山）在L個不透明的口袋中裝有紅球和白球共12個，這些球除顏色外都相同，將口袋中的

球攪勻后，從中隨機摸出1個球，記下它的顏色后再放回口袋中，不斷重復這一過程，共摸球200

次，發現有50次摸到紅球，則口袋中紅球約有3個.

1

【思路點撥】利用頻率估計隨機摸出1個球是紅球的概率為彳，根據概率公式即可求出答案.

【完整解答】解：由題意可得，

50

口袋中紅球的個數約為：12x200=3（個）.

故答案為：3.

【考點剖析】本題考查利用頻率估計概率，解答本題的關鍵是明確題意，計算出相應的紅球個數.

最新真題至奉

1.（2023?武漢）某校為了解學生參加家務勞動的情況，隨機抽取了部分學生在某個休息日做家務的勞動

時間:（單位：A）作為樣本，將收集的數據整理后分為4B,C,D,￡五個組別，其中N組的數據分

別為：0.5,0.4,0,4,0,4,0.3,繪制成如下不完整的統計圖表.

各組勞動時間的頻數分布表

組別時間〃力頻數

A0<^<0.55

B0.5<Z<la

C20

D1.5</<215

Et>28

請根據以上信息解答下列問題.

（1）/組數據的眾數是0.4；

（2）本次調查的樣本容量是60,8組所在扇形的圓心角的大小是72。

（3）若該校有1200名學生，估計該校學生勞動時間超過1/7的人數.

Ml勞就H間的扇形統計圖

【思路點撥】（1）利用眾數的定義即可得出答案；

（2）由。組的人數及其所占百分比可得樣本容量，用360。乘以2組所占百分比即可;

（3）用總人數乘以樣本中學生勞動時間超過lh的人數所占百分比即可.

【完整解答】解：（1）組的數據分別為：0.5,0.4,0.4,0.4,0.3,

組數據的眾數是0.4；

故答案為：0.4；

（2）本次調查的樣本容量是15+25%=60,

■=60-5-20-15-8=12,

12

...2組所在扇形的圓心角的大小是360°x60=72。,

故答案為：60,72°；

2Q+15+8

(3)1200x60=860(人)，

答：估計該校學生勞動時間超過lh的大約有860人.

【考點剖析】本題考查頻數（率）分布表，扇形圖和利用統計圖獲取信息的能力.利用統計圖獲取信

息時，必須認真觀察、分析、研究統計圖，才能作出正確的判斷和解決問題.

2.（2023?泰州）如圖是我國2019?2022年汽車銷售情況統計圖.

刈9年?嗎耀耀A向耐

劉9年~儲揩那能源汽車第華B

銷僅總聯（萬輛）他替最（萬輛）

根據圖中信息，解答下列問題:

（I）2022年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的26%（精確到1%）；這4年

中，我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比最高的年份是2022年;

（2）小明說：新能源汽車2022年的銷售量超過前3年的總和，所以2022年新能源汽車銷售量的增長

率

比2021年高.你同意他的說法嗎？請結合統計圖說明你的理由.

【思路點撥】（1）將圖中數據分別計算2019?2022年我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占

比即可求解；

（2）求出2021、2022年新能源汽車銷售量的增長率即可求解.

【完整解答】解：（1）2022年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：

688.7

2686.4xioo%=26%,

352

2021年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：2627.5XIOO%R3%,

136.7

2020年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：2531X1OO%=5%,

120.6

2019年我國新能源汽車銷售量約占該年各類汽車銷售總量的占比為：2577X1OO%?5%,

這4年中，我國新能源汽車銷售量在各類汽車銷售總量占比最高的年份是2022年.

故答案為:26,2022年;

（2）不同意.理由如下：

688.7-352

2022年新能源汽車銷售量的增長率為：352X1OO%~96%,

352-136.7

2021年新能源汽車銷售量的增長率為：136.7X100%=157%,

/.2022年新能源汽車銷售量的增長率比2021年低.

【考點剖析】本題主要考查了條形統計圖，折線統計圖，準確從統計圖獲取信息是解題的關鍵.

3.（2023?綏化）綏化市舉辦了2023年半程馬拉松比賽，賽后隨機抽取了部分參賽者的成績（單位：分

鐘），并制作了如下的參賽者成績組別表、扇形統計圖和頻數分布直方圖.則下列說法正確的是

績

A70<x<80

B80<x<90

C90<x<

100

D100<x<

110

E110<x<

120

A.該組數據的樣本容量是50人

B.該組數據的中位數落在90?100這一組

C.90?100這組數據的組中值是96

D.110?120這組數據對應的扇形統計圖的圓心角度數為51。

【思路點撥】用C中的頻數除以24%可得樣本容量；根據中位數的定義可得該組數據的中位數落在

90?100這一組；90?100這組數據的組中值是95；用360。乘90?100這組數據的組中值是所占比例

可知這組數據對應的扇形統計圖的圓心角度數.