Page23安徽省六安市2024-2025學年高一數學下學期期末試題滿分：150分時間：120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的1.計算A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：考點：復數運算2.獨角獸企業是指成立時間少于10年，估值超過10億美元且未上市的企業．2024年中國獨角獸企業行業分布廣泛，覆蓋居民生活的各個方面．如圖為某探討機構統計的2024年我國獨角獸企業的行業分布圖（圖中的數字表示各行業獨角獸企業的數量），其中京、滬、粵三地的獨角獸企業數量的總占比為70%．則下列說法不正確的是（）A.2024年我國獨角獸企業共有170家B.京、滬、粵三地的獨角獸企業共有119家C.獨角獸企業最多的三個行業的占比超過一半D.各行業獨角獸企業數量的中位數為13【答案】C【解析】【分析】依據給出的圖中信息依次分析選項即可.【詳解】對于選項A，將圖中各行業數量加和，可知2024年我國獨角獸企業共有170家，故A正確；對于選項B，京、滬、粵三地的獨角獸企業數量的總占比為70%，家，故B正確；對于選項C，獨角獸企業最多的三個行業為電子商務、汽車交通、人工智能，共有73家，未超過一半，故C錯誤；對于選項D，將各行業的企業數量從小到大排列，中位數為13正確.故選：C3.在下列推斷兩個平面與平行的4個命題中，真命題的個數是（）．①都垂直于平面r，那么②都平行于平面r，那么③都垂直于直線l，那么④假如l、m是兩條異面直線，且，，，，那么A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】在正方體中視察可推斷①；由平面平行的傳遞性可推斷②；由線面垂直的性質可推斷③；依據面面平行判定定理可推斷④.【詳解】如圖，易知在正方體中相鄰兩個側面都垂直于底面，故①錯誤；由平面平行的傳遞性可知②正確；由線面垂直的性質可知③正確；過直線l做平面與分別交于，過直線m做平面與分別交于，因為，，所以，所以因為，，所以同理，又l、m是兩條異面直線，所以相交，且，所以，故④正確.故選：D4.已知，且向量在向量上的投影向量為，則的模為（）A1 B. C.3 D.9【答案】C【解析】【分析】依據投影向量的公式計算即可【詳解】由題，設的夾角為，則，故，解得故選：C5.已知一組數據，，，1，1，3，4，6，6，7的平均數為3，則這組數據方差的最小值為（）A5 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】依據已知可得，再依據方差公式結合二次函數的性質即可得出答案.【詳解】解：由題意得，得，所以這組數據的方差，所以這組數據方差的最小值為7.故選：C.6.在，其內角，，的對邊分別為，，，若，則的形態是（）A.直角三角形 B.等腰三角形 C..等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】【分析】由正弦定理邊角互化得，進而移項整理得，再結合得或，進而得答案.【詳解】解：依據正弦定理邊角互化得，所以，所以，所以，即，所以或，所以或，即的形態是等腰或直角三角形.故選：D7.如圖，某圓錐的軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后依據空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則依據題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.8.如圖，在菱形中，，，沿對角線將折起，使點A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段，上的動點，則下列說法錯誤的是（）A.平面平面B.線段的最小值為C.當，時，點D到直線的距離為D.當P，Q分別為線段，的中點時，與所成角的余弦值為【答案】C【解析】【分析】取的中點，易知，結合條件及線面垂直的判定定理可得平面，進而有平面平面，即可推斷A；建立坐標系，利用向量法可推斷BCD.【詳解】取的中點，連接，∵在菱形中，，，∴，又，∴，所以，又易知，因為，，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故A正確；以為原點，分別為軸建立坐標系，則，當，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故C錯誤；設，設，可得，，當時，，故B正確；當P，Q分別為線段BD，CA的中點時，，，，，設PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知是單位向量，且，則（）A. B.與垂直C.與的夾角為 D.【答案】BC【解析】【分析】對于A和D，利用向量模的坐標公式進行推斷；對于B，先利用進行平方結合是單位向量可得到即可推斷；對于C，先算出，然后利用向量夾角公式進行推斷即可【詳解】解：對于A和D，因為，所以，故A和D錯誤；對于B，因為，且，所以，所以與垂直，故正確；對于C，因為，所以，所以，因為，所以，故正確，故選：BC10.袋子中共有大小和質地相同的4個球，其中2個白球和2個黑球，從袋中有放回地依次隨機摸出2個球．甲表示事務“第一次摸到白球”，乙表示事務“其次次摸到黑球”，丙表示事務“兩次都摸到白球”，則（）A.甲與乙互斥 B.乙與丙互斥 C.甲與乙獨立 D.甲與乙對立【答案】BC【解析】【分析】結合互斥事務、對立事務和相互獨立事務的學問確定正確選項.【詳解】首先抽取方法是有放回，每次摸出個球，共抽取次.基本領件為：白白，白黑，黑白，黑黑，共種狀況.事務甲和事務乙可能同時發生：白黑，所以甲與乙不是互斥事務，A錯誤.事務乙和事務丙不行能同時發生，所以乙與丙互斥，B正確.事務甲和事務乙是否發生沒有關系，用表示事務甲，用表示事務乙，，則，所以甲與乙獨立，C正確.由于事務甲和事務乙是否發生沒有關系，所以不是對立事務.故選：BC11.在中，角的對邊分別是，下列說法正確的是（）A.若，則有2解；B.若，則；C.若，則為銳角三角形；D.若，則為等腰三角形或直角三角形.【答案】BCD【解析】【分析】利用正余弦定理都每項逐一推斷即可【詳解】對于A，由正弦定理可得：，，此時無解，A錯誤；對于B，，，依據同角三角函數基本關系式可知，故B正確；對于C，，，可知均為銳角，故為銳角三角形，故C正確；對于D，，由余弦定理可得：,整理得：，或即或，為等腰三角形或直角三角形，故D正確故選：BCD12.如圖，在棱長為的正方體中，分別為棱，的中點，為面對角線上的一個動點，則（）A.三棱錐的體積為定值B.線段上存在點，使平面C.線段上存在點，使平面平面D.設直線與平面所成角為，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】對于A選項，利用等體積法推斷；對于B、C、D三個選項可以建立空間直角坐標系，利用空間向量求解【詳解】易得平面平面，所以到平面的距離為定值，又為定值，所以三棱錐即三棱錐的體積為定值，故A正確．對于B,如圖所示,以為坐標原點,為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標系,則，,，，，所以，，，設（），則所以，平面即解之得當為線段上靠近的四等分點時，平面.故B正確對于C，設平面的法向量則，取得設平面的法向量,則取,得,平面平面設即,解得，，不合題意

線段上不存在點,使平面//平面，故C錯誤．對于D，平面的法向量為則因為所以所以的最大值為．故D正確．故選：ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若復數（其中為虛數單位）所對應的向量分別為和，則的面積為_______．【答案】5【解析】【分析】求出向量和的坐標，再利用向量模和垂直的坐標表示即可求解作答.【詳解】依題意，，，則，，而，則，所以的面積為.故答案為：514.如圖所示，已知四面體頂點和，則從頂點D所引的四面體的高__________．【答案】11【解析】【分析】求出，，然后算出平面的一個法向量，通過點到面的距離公式即可得到答案【詳解】解：因為，所以，設平面的法向量為，所以,令，則，所以，所以到平面的距離為，即從頂點D所引的四面體的高，故答案為：1115.己知數據的平均數為10，方差為2，則數據的平均數為a，方差為b，則___________．【答案】27【解析】【分析】利用平均數和方差的線性關系的性質干脆求出a、b，即可求出a+b.【詳解】數據平均數為10，所以數據，，，的平均數為，即a=19；數據的方差為2，所以數據方差為，即b=8，所以19+8=27.故答案為：27.16.如圖，四邊形為平行四邊形，，現將沿直線翻折，得到三棱錐，若，則三棱錐的內切球與外接球表面積的比值為_____．【答案】【解析】【分析】過A作于E，交CD于F，連，利用余弦定理、面積定理求出點到平面的距離，再借助錐體體積求出內切球半徑，結合該錐體的結構特征求出外接球半徑作答.【詳解】過A作于E，交CD于F，連，如圖，在中，由余弦定理得：，，，，，，，因，則三棱錐的4個表面三角形全等，在中，，，在中，，，因，，平面，則平面，而平面，于是得平面平面，在平面內過作于，又平面平面，因此，平面，，設三棱錐的內切球半徑為，則，解得，因是銳角三角形，則三棱錐的外接球截平面所得截面圓圓心在內，半徑，則，解得，令三棱錐的外接球球心為O，明顯，球O截三棱錐的4個表面三角形所得截面圓圓心均在相應三角形內，因球心O與各個三角形的外心連線均垂直于相應的三角形所在平面，且這些三角形的外接圓半徑均為，因此，球心O到各個三角形所在平面距離都相等，且球心O在三棱錐內，必為三棱錐內切球球心，令三棱錐的外接球半徑為，則，所以三棱錐的內切球與外接球表面積的比值為.故答案為：【點睛】結論點睛：一個多面體的表面積為S，假如這個多面體有半徑為r的內切球，則此多面體的體積V滿意：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.依據要求完成下列問題：（1）關于的方程有實根，求實數的取值范圍；（2）若復數（）的共軛復數對應的點在第一象限，求實數的集合．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設方程的根為，并代入方程中，依據復數相等得到方程組，解得答案；（2）寫出的共軛復數，依據對應的點在第一象限，列出不等式組，解得答案.【小問1詳解】設是其實根，代入原方程變形為，由復數相等的定義，得，解得；【小問2詳解】由題意得，∴，即，解得，故實數的集合為.18.第24屆冬奧會于2024年2月在北京實行，志愿者的服務工作是冬奧會勝利舉辦的重要保障．某高校承辦了北京志愿者選拔的面試工作．現隨機抽取了100名候選者的面試成果，并分成五組：第一組，其次組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖2所示的頻率分布直方圖．已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同．（1）求a，b的值；（2）估計這100名候選者面試成果的平均數和第分位數（分位數精確到0.1）；（3）在第四、第五兩組志愿者中，現采納分層抽樣的方法，從中抽取5人，然后再從這5人中選出2人，以確定組長人選，求選出的兩人來自不同組的概率．【答案】（1）；（2）估計平均數為69.5，第分位數為71.7；（3）.【解析】【分析】（1）依據頻率之和為1，及第三、四、五組的頻率之和為0.7列出方程組，求出a，b的值；（2）中間值作代表估計出平均數，利用百分位數求解方法進行求解；（3）先分層抽樣求出列舉法求出抽取的第四、第五兩組志愿者人數，再利用列舉法求出古典概型求概率公式.【小問1詳解】，解得：，所以；【小問2詳解】，故估計這100名候選者面試成果的平均數為69.5；前兩組志愿者的頻率為，前三組志愿者的頻率為，所以第分位數落在第三組志愿者中，設第分位數為，則，解得：，故第分位數為71.7【小問3詳解】第四、第五兩組志愿者的頻率比為，故依據分層抽樣抽得的第四組志愿者人數為4，分別設為，第五組志愿者人數為1，設為，這5人中選出2人，全部狀況有，共有10種狀況，其中選出的兩人來自不同組的有共4種狀況，故選出的兩人來自不同組的概率為19.甲、乙兩個人獨立地破譯一個密碼，他們能譯出密碼的概率分別為和，求：（1）兩個人都譯出密碼的概率；（2）恰有1個人譯出密碼的概率；（3）若要達到譯出密碼的概率為99%，至少須要像乙這樣的人多少個？【答案】（1）（2）（3）17名【解析】【分析】記“甲獨立地譯出密碼”為事務A，“乙獨立地譯出密碼”為事務B，A，B為相互獨立事務，且，．依據獨立事務的概率公式即可求解.【小問1詳解】記“甲獨立地譯出密碼”為事務A，“乙獨立地譯出密碼”為事務B，A，B為相互獨立事務，且，．兩個人都譯出密碼的概率為．【小問2詳解】恰有1個人譯出密碼可以分為兩類：甲譯出乙未譯出或甲未譯出乙譯出，且兩個事務為互斥事務，所以恰有1個人譯出密碼的概率為．【小問3詳解】假設有n個像乙這樣的人分別獨立地破譯密碼，要譯出密碼相當于至少有1個人譯出密碼，其對立事務為全部人都未譯出密碼，故能譯出密碼的概率為，即，故，所以，即至少有17名像乙這樣的人，才能使譯出密碼的概率達到99%．20.如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點為線段中點（1）求證：面；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立直角坐標系，求出平面的法向量，若與平面的法向量的數量積為0，則可證明；（2）求異面直線所成的角的大小可以依據數量積的計算公式，即可求解.【小問1詳解】證明：由面建立如圖所示的直角坐標系，以A點為坐標原點，分別以，垂直于AD以及為方向建立軸，如圖所示:由底面是等腰梯形以及可知：，，，又由點為線段中點，可知，，設為平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一個法向量為：依據線面平行向量法推斷法則可知面【小問2詳解】解：由題意得：由（1）分析可知，可知向量相互垂直，故異面直線與所成角的大小為21.如圖所示，在平面五邊形中，已知，，，，.（1）當時，求；（2）當五邊形的面積時，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）連接，依據已知可得為等腰梯形，進而得到為等腰三角形，應用余弦定理求得，即可求結果.（2）由題設可得，設得到關于x的表達式，進而求x的范圍即可.【小問1