Page8烏魯木齊市2024-2025學年高二數學下學期開學考試（考試范圍：選擇性必修一全冊）總分150分考試時間120分鐘一、單項選擇題（12小題每題5分共60分）1．已知直線與相互垂直，則（

）A． B． C．3 D．12．過點(2，4)的直線與拋物線y2＝8x只有一個公共點，這樣的直線有（

）A．1條 B．2條C．3條 D．4條3．拋物線的焦點坐標為是拋物線上一點，則點M到拋物線的準線的距離是（

）A．4 B．5 C．6 D．74．已知橢圓的長軸長為10，離心率為，則橢圓的短軸長為（

）A．3 B．4 C．6 D．85．曲線表示（

）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓6．設拋物線y2＝4x的焦點為F，過點F的直線l與拋物線相交于A，B，點A在第一象限，且|AF|﹣|BF|，則（

）A． B．2 C．3 D．47．已知，，，且，則（

）A． B． C． D．8．若直線與直線相互垂直，則a的值為（

）A． B．1C． D．29．在平行六面體中，，，，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．10．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，過作垂直于實軸的弦，若，則的離心率為（

）A． B． C． D．11．已知點在直線上，點在橢圓上，則的最小值是（

）A． B． C． D．12．圓與圓的位置關系是（

）A．相離 B．相交 C．內含 D．外切二、填空題（共4小題，每題5分共20分）13．在正方體中，給出以下向量表達式：①；

②；③；

④.其中能夠化簡為向量的是______________（填序號）.14．平面的斜線與它在這個平面上的射影的方向向量分別為，則斜線與平面所成角為__________.15．已知空間三點，，，向量分別與，都垂直，且，且的橫?縱?豎坐標均為正，則向量的坐標為___________.16．已知直線與圓相交于A，B兩點，則線段的長為___________.三、解答題（共70分，請依據答題卡題號及分值在各題目的答題區域內作答，超出答題區域的答案無效。）17．如圖，在四棱錐中，，底面，是邊長為2的菱形，，正所在平面與底面垂直．(1)求證：平面；(2)求二面角的正弦值．18．已知四棱錐的底面為直角梯形，平面，.(1)若點是棱上的動點請推斷下列條件：①直線AM與平面ABCD所成角的正切值為；②中哪一個條件可以推斷出平面（無需說明理由），并用你的選擇證明該結論；(2)若點為棱上的一點（不含端點），摸索究上是否存在一點N，使得平面ADN平面BDN？若存在，懇求出的值，若不存在，請說明理由.19．推斷下列不同的直線與是否平行.（1）的斜率為2，經過，兩點；（2）經過，兩點，平行于x軸，但不經過P，Q兩點；（3）經過，兩點，經過，兩點．20．雙曲線的實軸為，點是雙曲線上的一個動點，引，，與的交點為，求點的軌跡方程.21．求經過點，并且對稱軸都在坐標軸上的等軸雙曲線的標準方程．22．如圖，在三棱錐中，，O為中點.(1)證明：直線平面；(2)若點M在棱上，，且，求直線與平面所成角的余弦值.高二數學開學考試答案：123456789101112DBCDDBCBCCAD13．①②【解析】①中，；②中，；③中，；④中，.故答案為：①②.14．【解析】由線面角的含義知，即為線面所成角或其補角，又因為線面角，所以，所以，即斜線與平面所成角為60°.故答案為：.15．【解析】設向量的坐標為，因為，，，所以，，因為向量分別與，都垂直，且，所以，解得：，所以向量的坐標為，故答案為：.16．【解析】直線恒過點，圓的圓心，半徑為，直線恒過圓的圓心，所以直線交圓的弦長為直徑，所以線段的長為.故答案為：.17．(1)證明見解析(2)【分析】（1）設的中點為O，利用面面垂直的性質證明平面，從而證明，進而證明四邊形為平行四邊形，由此可證明平面；（2）建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，求出面和平面的法向量，利用向量的夾角公式結合同角的三角函數的平方關系即可求得答案.(1)設的中點為O，連接,因為是正三角形，所以，又因為平面平面，所以平面，又因為底面，所以，又因為，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，因此平面．(2)因為，，所以是正三角形，連接OB,則，如圖，以O為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，則，可取平面的法向量為，設平面的法向量，由，由，令，即，所以，所以所求二面角的正弦值為．18．(1)②，證明見解析(2)存在，【分析】（1）先連接、交于，確定是的幾等分點，再確定是的幾等分點．（2）建立空間直角坐標系，平面垂直，對應法向量垂直，數量積為，列出方程求解．（1）條件②可以推斷平面.如圖，連接，相交于點，連EM.在梯形中，有，，.又因為，所以，故，又平面，平面，所以平面.故當時，平面.（2）以A為原點，AD，AB，AP分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示坐標系，則A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，設，則對于平面ADN，設其法向量，滿意，即，故取對于平面BDN，設其法向量，滿意，即，故取，若平面ADN平面BDN，則，即，解得，此時N為PC的中點，.19．（1）平行；（2）平行；（3）平行.【分析】（1）利用兩直線的斜率是否相等進行推斷即可.（2）依據直線的斜率即可推斷.（3）求出兩直線的斜率即可求解.【解析】（1）經過，兩點，則，則，可得兩直線平行.（2）經過，兩點，可得平行于x軸，平行于x軸，但不經過P，Q兩點，所以；（3）經過，兩點，，經過，兩點，則，所以.20．【解析】設，，，，由已知條件可得，即，又點在雙曲線上，代入可得，即為點的軌跡方程.【解析】設，，，，由題意可知，，否則點（或點）和點（或點）重合，不符合題意；，，利用垂直斜率關系可得，兩式相乘得①又點在雙曲線上，，即將其代入①式得，化簡整理得：所以點的軌跡方程為：21．.【分析】依據等軸雙曲線可設為，點代入干脆求解即可.【解析】設所求的等軸雙曲線的方程為：，將代入得：，即，所以等軸雙曲線的標準方程：22．(1)證明見解析(2)【分析】（1）證得和，然后依據線面垂直的判定定理即可得出結論；（2）建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角坐標公式即可求出結果.【解析】（1）∵，且為中點，∴，∵，且為中點，∴，∵，且為中點，∴，∵，，，∴，∴，∵，平面，且，