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文檔簡介
2025屆西藏林芝二高高考沖刺模擬數學試題注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積為()A. B. C. D.2.已知函數.設,若對任意不相等的正數,,恒有,則實數a的取值范圍是()A. B.C. D.3.若(1+2ai)i=1-bi,其中a,b∈R,則|a+bi|=().A. B. C. D.54.已知集合,,則()A. B.C. D.5.公比為2的等比數列中存在兩項,,滿足,則的最小值為()A. B. C. D.6.平行四邊形中,已知,,點、分別滿足,,且,則向量在上的投影為()A.2 B. C. D.7.已知直線:與圓:交于,兩點,與平行的直線與圓交于,兩點,且與的面積相等,給出下列直線:①,②,③,④.其中滿足條件的所有直線的編號有()A.①② B.①④ C.②③ D.①②④8.已知函數的最大值為,若存在實數,使得對任意實數總有成立,則的最小值為()A. B. C. D.9.如圖,在等腰梯形中,,,,為的中點,將與分別沿、向上折起,使、重合為點,則三棱錐的外接球的體積是()A. B.C. D.10.設i是虛數單位,若復數是純虛數,則a的值為()A. B.3 C.1 D.11.根據黨中央關于“精準”脫貧的要求,我市某農業經濟部門派四位專家對三個縣區進行調研,每個縣區至少派一位專家,則甲,乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為()A. B. C. D.12.隨著人民生活水平的提高,對城市空氣質量的關注度也逐步增大,下圖是某城市月至月的空氣質量檢測情況,圖中一、二、三、四級是空氣質量等級,一級空氣質量最好,一級和二級都是質量合格天氣,下面敘述不正確的是()A.1月至8月空氣合格天數超過天的月份有個B.第二季度與第一季度相比,空氣達標天數的比重下降了C.8月是空氣質量最好的一個月D.6月份的空氣質量最差.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知向量,且,則___________.14.已知函數,則曲線在點處的切線方程為___________.15.已知過點的直線與函數的圖象交于、兩點,點在線段上,過作軸的平行線交函數的圖象于點,當∥軸,點的橫坐標是16.設為等比數列的前項和,若,且,,成等差數列,則.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數.(1)若,,求函數的單調區間;(2)時,若對一切恒成立,求a的取值范圍.18.(12分)2019年是五四運動100周年.五四運動以來的100年,是中國青年一代又一代接續奮斗、凱歌前行的100年,是中口青年用青春之我創造青春之中國、青春之民族的100年.為繼承和發揚五四精神在青年節到來之際,學校組織“五四運動100周年”知識競賽,競賽的一個環節由10道題目組成,其中6道A類題、4道B類題,參賽者需從10道題目中隨機抽取3道作答,現有甲同學參加該環節的比賽.(1)求甲同學至少抽到2道B類題的概率;(2)若甲同學答對每道A類題的概率都是,答對每道B類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立.現已知甲同學恰好抽中2道A類題和1道B類題,用X表示甲同學答對題目的個數,求隨機變量X的分布列和數學期望.19.(12分)如圖,三棱錐中,(1)證明:面面;(2)求二面角的余弦值.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,曲線C的參數方程為(為參數).以原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,且兩個坐標系取相等的長度單位,建立極坐標系.(1)設直線l的極坐標方程為,若直線l與曲線C交于兩點A.B,求AB的長;(2)設M、N是曲線C上的兩點,若,求面積的最大值.21.(12分)武漢有“九省通衢”之稱,也稱為“江城”,是國家歷史文化名城.其中著名的景點有黃鶴樓、戶部巷、東湖風景區等等.(1)為了解“五·一”勞動節當日江城某旅游景點游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:現從年齡在內的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再從抽取的10人中隨機抽取4人,記4人中年齡在內的人數為,求;(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗,該旅游景點游船中心計劃在2020年勞動節當日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數據資料顯示每年勞動節當日客流量(單位:萬人)都大于1.將每年勞動節當日客流量數據分成3個區間整理得表:勞動節當日客流量頻數(年)244以這10年的數據資料記錄的3個區間客流量的頻率作為每年客流量在該區間段發生的概率,且每年勞動節當日客流量相互獨立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動節當日型游船最多使用量(單位:艘)要受當日客流量(單位:萬人)的影響,其關聯關系如下表:勞動節當日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動節當日被投入且被使用,則游船中心當日可獲得利潤3萬元;若某艘型游船勞動節當日被投入卻不被使用,則游船中心當日虧損0.5萬元.記(單位:萬元)表示該游船中心在勞動節當日獲得的總利潤,的數學期望越大游船中心在勞動節當日獲得的總利潤越大,問該游船中心在2020年勞動節當日應投入多少艘型游船才能使其當日獲得的總利潤最大?22.(10分)已知函數.(1)討論的單調性;(2)若恒成立,求實數的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】
由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側棱長為,利用正弦定理求出底面三角形外接圓的半徑,根據三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心,求出球的半徑,即可求解球的表面積.【詳解】由三視圖可知,幾何體是一個三棱柱,三棱柱的底面是底邊為,高為的等腰三角形,側棱長為,如圖:由底面邊長可知,底面三角形的頂角為,由正弦定理可得,解得,三棱柱的兩底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心,所以,該幾何體外接球的表面積為:.故選:C【點睛】本題考查了多面體的內切球與外接球問題,由三視圖求幾何體的表面積,考查了學生的空間想象能力,屬于基礎題.2、D【解析】
求解的導函數,研究其單調性,對任意不相等的正數,構造新函數,討論其單調性即可求解.【詳解】的定義域為,,當時,,故在單調遞減;不妨設,而,知在單調遞減,從而對任意、,恒有,即,,,令,則,原不等式等價于在單調遞減,即,從而,因為,所以實數a的取值范圍是故選:D.【點睛】此題考查含參函數研究單調性問題,根據參數范圍化簡后構造新函數轉換為含參恒成立問題,屬于一般性題目.3、C【解析】試題分析:由已知,-2a+i=1-bi,根據復數相等的充要條件,有a=-,b=-1所以|a+bi|=,選C考點:復數的代數運算,復數相等的充要條件,復數的模4、C【解析】
求出集合,計算出和,即可得出結論.【詳解】,,,.故選:C.【點睛】本題考查交集和并集的計算,考查計算能力,屬于基礎題.5、D【解析】
根據已知條件和等比數列的通項公式,求出關系,即可求解.【詳解】,當時,,當時,,當時,,當時,,當時,,當時,,最小值為.故選:D.【點睛】本題考查等比數列通項公式,注意為正整數,如用基本不等式要注意能否取到等號,屬于基礎題.6、C【解析】
將用向量和表示,代入可求出,再利用投影公式可得答案.【詳解】解:,得,則向量在上的投影為.故選:C.【點睛】本題考查向量的幾何意義,考查向量的線性運算,將用向量和表示是關鍵,是基礎題.7、D【解析】
求出圓心到直線的距離為:,得出,根據條件得出到直線的距離或時滿足條件,即可得出答案.【詳解】解:由已知可得:圓:的圓心為(0,0),半徑為2,則圓心到直線的距離為:,∴,而,與的面積相等,∴或,即到直線的距離或時滿足條件,根據點到直線距離可知,①②④滿足條件.故選:D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用,涉及點到直線的距離公式.8、B【解析】
根據三角函數的兩角和差公式得到,進而可以得到函數的最值,區間(m,n)長度要大于等于半個周期,最終得到結果.【詳解】函數則函數的最大值為2,存在實數,使得對任意實數總有成立,則區間(m,n)長度要大于等于半個周期,即故答案為:B.【點睛】這個題目考查了三角函數的兩角和差的正余弦公式的應用,以及三角函數的圖像的性質的應用,題目比較綜合.9、A【解析】
由題意等腰梯形中的三個三角形都是等邊三角形,折疊成的三棱錐是正四面體,易求得其外接球半徑,得球體積.【詳解】由題意等腰梯形中,又,∴,是靠邊三角形,從而可得,∴折疊后三棱錐是棱長為1的正四面體,設是的中心,則平面,,,外接球球心必在高上,設外接球半徑為,即,∴,解得,球體積為.故選:A.【點睛】本題考查求球的體積,解題關鍵是由已知條件確定折疊成的三棱錐是正四面體.10、D【解析】
整理復數為的形式,由復數為純虛數可知實部為0,虛部不為0,即可求解.【詳解】由題,,因為純虛數,所以,則,故選:D【點睛】本題考查已知復數的類型求參數范圍,考查復數的除法運算.11、A【解析】
每個縣區至少派一位專家,基本事件總數,甲,乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數,由此能求出甲,乙兩位專家派遣至同一縣區的概率.【詳解】派四位專家對三個縣區進行調研,每個縣區至少派一位專家基本事件總數:甲,乙兩位專家派遣至同一縣區包含的基本事件個數:甲,乙兩位專家派遣至同一縣區的概率為:本題正確選項:【點睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.12、D【解析】由圖表可知月空氣質量合格天氣只有天,月份的空氣質量最差.故本題答案選.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由向量平行的坐標表示得出,求解即可得出答案.【詳解】因為,所以,解得.故答案為:【點睛】本題主要考查了由向量共線或平行求參數,屬于基礎題.14、【解析】
根據導數的幾何意義求出切線的斜率,利用點斜式求切線方程.【詳解】因為,所以,又故切線方程為,整理為,故答案為:【點睛】本題主要考查了導數的幾何意義,切線方程,屬于容易題.15、【解析】
通過設出A點坐標,可得C點坐標,通過∥軸,可得B點坐標,于是再利用可得答案.【詳解】根據題意,可設點,則,由于∥軸,故,代入,可得,即,由于在線段上,故,即,解得.16、.【解析】試題分析:∵,,成等差數列,∴,又∵等比數列,∴.考點:等差數列與等比數列的性質.【名師點睛】本題主要考查等差與等比數列的性質,屬于容易題,在解題過程中,需要建立關于等比數列基本量的方程即可求解,考查學生等價轉化的思想與方程思想.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)單調遞減區間為,單調遞增區間為;(2)【解析】
(1)求導,根據導數與函數單調性關系即可求出.(2)解法一:分類討論:當時,觀察式子可得恒成立;當時,利用導數判斷函數為單調遞增,可知;當時,令,由,,根據零點存在性定理可得,進而可得在上,單調遞減,即不滿足題意;解法二:通過分離參數可知條件等價于恒成立,進而記,問題轉化為求在上的最小值問題,通過二次求導,結合洛比達法則計算可得結論.【詳解】(1)當,,,,令,解得,當時,,當時,,在上單調遞減,在上單調遞增.(2)解法一:當時,函數,若時,此時對任意都有,所以恒成立;若時,對任意都有,,所以,所以在上為增函數,所以,即時滿足題意;若時,令,則,所以在上單調遞增,,,可知,一定存在使得,且當時,,所以在上,單調遞減,從而有時,,不滿足題意;綜上可知,實數a的取值范圍為.解法二:當時,函數,又當時,,對一切恒成立等價于恒成立,記,其中,則,令,則,在上單調遞增,,恒成立,從而在上單調遞增,,由洛比達法則可知,,,解得.實數a的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性與不等式恒成立問題,考查了分類與整合的解題思想,涉及分離參數法等技巧、涉及到洛比達法則等知識,注意解題方法的積累,屬于難題.18、(1);(2)分布列見解析,期望為.【解析】
(1)甲同學至少抽到2道B類題包含兩個事件:一個抽到2道B類題,一個是抽到3個B類題,計算出抽法數后可求得概率;(2)的所有可能值分別為,依次計算概率得分布列,再由期望公式計算期望.【詳解】(1)令“甲同學至少抽到2道B類題”為事件,則抽到2道類題有種取法,抽到3道類題有種取法,∴;(2)的所有可能值分別為,,,,,∴的分布列為:0123【點睛】本題考查古典概型,考查隨機變量的概率分布列和數學期望.解題關鍵是掌握相互獨立事件同時發生的概率計算公式.19、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)取中點,連結,證明平面得到答案.(2)如圖所示,建立空間直角坐標系,為平面的一個法向量,平面的一個法向量為,計算夾角得到答案.【詳解】(1)取中點,連結,,,,,為直角,,平面,平面,∴面面.(2)如圖所示,建立空間直角坐標系,則,可取為平面的一個法向量.設平面的一個法向量為.則,其中,,不妨取,則..為銳二面角,∴二面角的余弦值為.【點睛】本題考查了面面垂直,二面角,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20、(1);(2)1.【解析】
(1)利用參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化公式即可;(2),,由(1)通過計算得到,即最大值為1.【詳解】(1)將曲線C的參數方程化為普通方程為,即;再將,,代入上式,得,故曲線C的極坐標方程為,顯然直線l與曲線C相交的兩點中,必有一個為原點O,不妨設O與A重合,即.(2)不妨設,,則面積為當,即取時,.【點睛】本題考查參數方程、普通方程、極坐標方程間的互化,三角形面積的最值問題,是一道容易題.21、(1);(2)投入3艘型游船使其當日獲得的總利潤最大【解析】
(1)首先計算出在,內抽取的人數,然后利用超幾何分布概率計算公式,計算出.(2)分別計算出投入艘游艇時,總利潤的期望
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