湖北省武漢市漢陽區2023-2024學年八年級上學期期末數學試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三總分評分一、選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分）下列各題中有且只有一個正確答案，請在答題卡上將正確答案的標號涂黑．1．下列運動標記中是軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．2．把3a?(2a?1)去括號，再合并同類項的結果正確的是（）A．5a?1 B．5a+1 C．a?1 D．a+13．下列變形正確的是（）A．xy=x+1C．?x+yx?y=?1 4．根據下列已知條件，能確定△ABC的形狀和大小的是（）A．∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°B．∠A=40°，∠B=50°，AB=5cmC．AB=5cm，AC=4cm，∠B=30°D．AB=6cm，BC=4cm，∠A=30°5．下列計算正確的是（）A．x2·xC．(?5b)3=?15b6．下列式子從左到右變形是因式分解的是（）A．(x?y)2=(x+y)C．x2?3x+2=(x?1)(x?2) 7．如圖，點E是△ABC內一點，BE平分∠ABC，過點E作ED⊥BC于D，連EA．若ED=5，AB=10，則△AEB的面積是（）A．20 B．30 C．25 D．158．已知分式2x+bx?ax的取值2m?2分式的值03無解A．b=?4； B．a=2； C．m=?10； D．a=?2.9．如圖為2024年某月日歷，現用一個正方形方框框住部分（陰影部分）9個位置上的數，若最小的數與最大的數的積記為n，中間位置上的數記為m．下列所給的數據中，n不可能是（）A．377 B．420 C．465 D．51210．如圖，△ABC的面積為6，AB=5，AD平分∠BAC．若E，F分別是AC，AD上的動點，則FE+FC的最小值（）A．245 B．125 C．5二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分）11．分解因式：4x2?912．若ab=1，且m=11+a+11+b13．如圖，在△PMN中，點P，M在坐標軸上，P(0，2)，N(2，?2)，PM=PN14．一個容器裝有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出12L水，第2次倒出的水量是12L的13，第3次倒出的水量是13L的115．已知如圖，△ABC中，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于點D，∠B=a，有以下結論：①若a=45°，則AB=AC+CD；②若a=40°，則AB=AD+CD；③若a=36°，則AB=AC+CD；④若a=30°、則AB=AC+2CD．其中正確的有．16．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=140°；點D在BC邊上，將△ABD沿AD所在直線翻折得△ADF、∠FAC角平分線交BC邊于點G，連接FG，∠BAD=θ．若△DFG為等腰三角形，則θ的值．三、解答題（共8小題，共72分）下列各題需要在答題卡指定的位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形．17．計算（1）a3?a4?a+(a2)418．（1）因式分解：8a（2）先化簡，再求值：(x?y+4xyx?y)(x+y?4xyx+y19．關于x的方程ax（1）若a=3，則解這個分式方程；（2）若這個關于x的方程無解，直接寫出a的值．20．如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數.21．如圖是由小正方形組成的7×6網格，每個小正方形的頂點叫做格點．僅用無刻度的直尺在給定網格中完成畫圖，若A，B，C三點是格點．（1）請在圖1中畫所有點D，使△ABC與△BCD全等；（2）請在圖2中的線段BC上畫點E，使∠CAE=∠ABC．（3）如圖3，點P為AB上不在格點與格線上的任一點，畫點Q，使P、Q點關于BC所在直線對稱．22．某商店決定購買甲、乙兩種型號的文具共10件．已知用90元購買甲型號的文具數與用75元購買乙型號的文具數相同．每件文具價格及每件利潤如下表所示．類型甲乙價格（元/件）mm?3利潤（元/件）23（1）求m的值；（2）受疫情影響，商店老板這個月準備用不超過168元購買甲、乙兩種文具，問有多少種購買方案？并求出這個月獲得利潤最小時甲、乙文具的數量．23．如圖（1）問題呈現：借助幾何圖形探究數量關系，是一種重要的解題策略，圖1，圖2是用邊長分別為a，b的兩個正方形和邊長為a，b的兩個長方形拼成的一個大正方形，利用圖形可以推導出的乘法公式分別是圖1圖2；（用字母a，b表示）（2）數學思考：利用圖形推導的數學公式解決問題①已知a+b=7，ab=12，求a2②已知(2024?x)(2022?x)=2023，求(2024?x)2（3）拓展運用：如圖3，點C是線段AB上一點，以AC，BC為邊向兩邊作正方形ACDE和正方形CBGF，面積分別是S1和S2．若AB=m，S=S24．如圖，點A(?4，0)，B(0，3)在平面直角坐標系中的坐標軸上，點P(?1，（1）求點P到AB的距離；（2）如圖1，射線BP交OA的垂直平分線于點C，試判斷△PAC的形狀，并說明理由；（3）如圖2，Q(m，0)為x軸正半軸上一點，將AQ沿PQ所在直線翻折，與y軸，線段AB分別交于點F，G，試探究△BFG的周長是否會發生變化，若變化，求變化范圍；若不變，求

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：選項A、C、D的圖形不能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

選項B的圖形能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；故答案為：B.【分析】根據如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形逐項分析即可求解.2．【答案】D【解析】【解答】解：3a-（2a-1）=3a-2a+1=a+1；故答案為：D.【分析】根據去括號法則：如果括號外的因數是正數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同；如果括號外的因數是負數，去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反、合并同類項的法則：把同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變進行計算即可求解.3．【答案】C【解析】【解答】解：A．xy≠x+1y+1，A選項變形不正確，A不符合題意；

B．x2+y2x+y故答案為：C.【分析】根據分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變逐項判斷即可得出答案.4．【答案】B【解析】【解答】解：A、∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°?，△ABC?的形狀和大小不能確定，故不符合題意；B、∠A＝40°，∠B＝50°，AB＝5cm?，則利用“ASA?”可判斷△ABC?是唯一的，故符合題意；C、AB＝5cm，AC＝4cm，∠B＝30°?，△ABC?的形狀和大小不能確定，故不符合題意；D、AB＝6cm，BC＝4cm，∠A＝30°?，△ABC?的形狀和大小不能確定，故不符合題意．故答案為：B．

【分析】利用全等三角形的判定方法逐項判斷即可。5．【答案】B【解析】【解答】解：A：x2·x5=x7≠x10，A不符合題意；

B：（a2）3=a2×3=a6，B符合題意；

C：（-5b）3=-125b3≠-15b3，C不符合題意；

D：a≠0時，a0=1，D不符合題意；故答案為：B.【分析】根據同底數冪相乘，底數不變，指數相加、冪的乘方法則：底數不變，指數相乘、積的乘方法則：把每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘、零指數冪：a0=1（a≠0）逐項計算即可得出答案.6．【答案】C【解析】【解答】解：選項A，B，D中等號的右邊都不是幾個整式積的形式，不是因式分解，不符合題意；

選項C中等號的右邊是幾個整式積的形式，是因式分解，符合題意；故答案為：C.【分析】根據把一個多項式化為幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式的因式分解逐項分析即可得出答案.7．【答案】C【解析】【解答】解：過E作EH⊥AB于H，如圖：∵BE平分∠ABC，ED⊥BC，EH⊥AB，

∴EH=ED=5，

∵AB=10，

∴△AEB的面積==12AB·EH=【分析】過E作EH⊥AB于H，根據角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得EH=ED=5，根據三角形的面積公式進行計算即可.8．【答案】B【解析】【解答】解：當x=2時，代入分式得：4+b2?a=0，

∴4+b=0，

解得：b=-4；A不符合題意；

當x=-2時，分式無解，即-4+b-2?a無解，

∴-2-a=0，

解得：a=-2；B符合題意；D不符合題意；

將a=-2、b=-4代入分式得：2x-4x+2=0，

故答案為：B.【分析】將表中的三組數據分別代入分式，分別求出a、b、m的值，即可得出答案.9．【答案】D【解析】【解答】解：最大和最小的兩個數是m+8和m-8，

∴n=（m-8）（m+8）=m2-64，

即m2=64+n；

A、當n=377時，64+377=441=212，結果是一個平方數，所以n可能是377，A不符合題意；

B、當n=420時，420+64=484=222，結果是一個平方數，所以n可能是420，B不符合題意；

C、當n=465時，465+64=529=232，結果是一個平方數，所以n可能是465，C不符合題意；

D、當n=512時，512+64=576=242，最小的數是24-8=16，最大的數是24+8=32，不符合實際，D符合題意；故答案為：D.【分析】先用含有m的式子表示出最大和最小的兩個數，結合題意可得m2=64+n，逐項將n的值代入，判斷是否是平方數，注意結合實際，即可判斷得出答案.10．【答案】B【解析】【解答】解：過C作CM⊥AB，交AB于點M，交AD于點F，作M關于AD的對稱點E，連接EF，

∵E是M關于AD的對稱點，

∴AM=AE，

∵AD平分∠BAC，

∴∠MAF=∠EAF，

∵AM=AE，∠MAF=∠EAF，AF=AF，

∴△AMF≌△AEF（SAS），

∴MF=EF，

即FE+FC=MF+FC，

MF+FC的最小值為△ABC中AB邊上的高CM，

∵△ABC的面積為6，AB=5，

∴6=12×5×CM，

∴CM=125，故答案為：B.【分析】過C作CM⊥AB，交AB于點M，交AD于點F，作M關于AD的對稱點E，連接EF，根據對稱的性質可得AM=AE，根據從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線可得∠MAF=∠EAF，根據兩邊及其夾角對應相等的三角形是全等三角形，全等三角形的對應邊相等可得MF=EF，推得FE+FC=MF+FC，故根據三角形的面積公式求MF+FC的最小值CM，即可.11．【答案】(2x+3)(2x-3)【解析】【解答】利用平方差公式得：4x2?9=12．【答案】m=n【解析】【解答】解：m=11+a+11+b=1+b1+a1+b+1+a1+a1+b=2+a+b1+a+b+ab，故答案為：m=n.【分析】根據分式的性質將m、n化簡，再將ab=1代入求出m、n的值，即可得出答案.13．【答案】（-4，0）【解析】【解答】解：過點N作ND⊥y軸于點D，

∵P（0，2），N（2，-2），

∴OP=2，OD=2，DN=2，

∴PD=4，

∵PM⊥PN，

∴∠MPN=90°，

∴∠MPO+∠DPN=90°，

又∵∠DPN+∠PND=90°，

∴∠MPO=∠PND，

又∵∠MOP=∠PDN=90°，

∴△MOP≌△PDN（AAS），

∴OM=PD=4，

∴M（-4，0），故答案為：（-4，0）.【分析】過點N作ND⊥y軸于點D，根據點的坐標可得PD=4，根據等角的余角相等可得∠MPO=∠PND，根據兩角及其一角的對邊對應相等的三角形全等，全等三角形的對應邊相等可得OM=PD=4，即可求解.14．【答案】n【解析】【解答】解：第1次倒出12升水，

第2次倒出水量是12升的13，

第3次倒出水量是13升的14，

第4次倒出水量是14升的15，

…，

第n次倒出水量是1n升的1n+1，

則第n次倒出水后，倒出的水量為：故答案為：nn+1【分析】根據題目信息可推得第n次倒出水量是1n升的115．【答案】①②④【解析】【解答】解：∵AC=BC，∠B=α，

∴∠CAB=∠B=α，

∠C=180°-∠CAB-∠B=180°-2α；

∵AD平分∠CAB，

∴∠CAD=∠EAD；

當α=45°時，在AB上取點E，使AE=AC，連接DE，如圖：

在△CAD和△EAD中，

AC=AE∠CAD=∠EADAD=AD，

∴△CAD≌△EAD（SAS），

∴AC=AE，∠DEA=∠C，

∵∠CAB=∠B=45°，

∴∠C=180°-90°=90°，

故∠DEA=90°，

∴∠BDE=∠DEA-∠B=90°-45°=45°，

則∠B=∠BDE，

∴DE=BE，

又∵AB=AE+EB，

∴AB=AC+CD；①正確；

當α=40°時，在AB上取點E，使AE=AD，連接DE，取點F，使AF=AC，連接DF，如圖：

在△CAD和△FAD中，

AC=AF∠CAD=∠FADAD=AD，

∴△CAD≌△EAD（SAS），

∴AC=AF，∠DFA=∠C，

∵∠CAB=∠B=40°，

∴∠C=180°-80°=100°，

故∠DFA=100°，

∴∠DFE=180°-100°=80°，

∵AD=AE，

∴∠AED=∠ADE，

∵∠EAD=12α=20°，

∴∠AED=∠ADE=12×180°-20°=80°，

∴∠AED=∠DFE，

∴DF=DE，

∵∠B=40°，

∴∠BDE=∠DEA-∠B=80°-40°=40°，

即∠BDE=∠B，

∴DE=BE，

∴BE=DE=DF=CD，

又∵AB=AE+EB，

∴AB=AD+CD；②正確；

當α=36°時，在AB上取點E，使AE=AC，連接DE，如圖：

在△CAD和△EAD中，

AC=AE∠CAD=∠EADAD=AD，

∴△CAD≌△EAD（SAS），

∴AC=AE，∠DEA=∠C，

∵∠CAB=∠B=36°，

∴∠C=180°-72°=108°，

故∠DEA=108°，

∴∠BDE=∠DEA-∠B=108°-36°=72°，

∠BED=180°-∠DEA=180°-108°=72°，

即∠BDE=∠BED，

∴BD=BE，

又∵AB=AE+EB，

∴AB=AC+BD；③錯誤；

當α=30°時，在AB上取點E，使AE=AC，連接DE，如圖：

在△CAD和△EAD中，

AC=AE∠CAD=∠EADAD=AD，

∴△CAD≌△EAD（SAS），

∴AC=AE，∠DEA=∠C，

∵∠CAB=∠B=30°，

∴∠C=180°-60°=120°，

故∠DEA=120°，

∴∠BDE=∠DEA-∠B=120°-30°=90°，

在Rt△BDE中，∠B=30°，

∴BE=2DE，

即BE=2CD，

∵AB=AE+BE，

∴AB=AC+2CD；④正確；

故答案為：16．【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=140°，

∴∠B=∠C=20°，

則∠ADG=∠B+∠BAD=20°+θ，

∵△ABD和△AFD關于直線AD對稱，

∴△ADB≌△ADF，

∴∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，

∴AF=AC，

∵AG平分∠FAC，

∴∠FAG=∠CAG，

∵AF＝AC，∠FAG＝∠CAG，AG＝AG，

∴△AGF≌△AGC（SAS），

∴∠AFG=∠C，

∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，∠B=∠AFD，∠AFG=∠C，

∴∠DFG=∠B+∠C=20°+20°=40°；

①當GD=GF時，則∠GDF=∠GFD=40°，

∵∠AFD+∠DAF+∠ADF=180°，∠ADF=∠ADG+∠FDG，

即20°+40°+20°+θ+θ=180°，

解得：θ=50°；

②當DF=GF時，則∠FDG=∠FGD，

∵∠DFG=40°，

∴∠FDG=∠FGD=70°，

∵∠AFD+∠DAF+∠ADF=180°，∠ADF=∠ADG+∠FDG，

∴20°+70°+20°+θ+θ=180°，

解得：θ=35°；

③當DF=DG時，則∠DFG=∠DGF=40°，

∴∠GDF=100°，

∵∠AFD+∠DAF+∠ADF=180°，∠ADF=∠ADG+∠FDG，

∴20°+100°+20°+2θ=180°，

解得：θ=20°；

綜上，當θ=20°，35°或50°時，△DFG為等腰三角形.【解析】【分析】根據等邊對等角和三角形內角和是180°可得∠B=∠C=20°，根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和可得∠ADG=20°+θ，根據折疊可得△ADB≌△ADF，根據全等三角形的對應邊相等，對應角相等可得∠B=∠AFD=20°，AB=AF，∠BAD=∠FAD=θ，推得AF=AC，根據從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線可得∠FAG=∠CAG，根據兩邊及其夾角對應相等的三角形是全等三角形，全等三角形的對應角相等可得∠AFG=∠C，推得∠DFG=40°，分三種情況討論：當GD=GF時，根據等邊對等角和三角形內角和是180°可得

∠FDG=∠FGD=70°，根據三角形內角和是180°列出方程式，求解即可；當DF=GF時，根據等邊對等角和三角形內角和是180°可得∠FDG=∠FGD=70°，根據三角形內角和是180°列出方程式，求解即可；

當DF=DG時，根據等邊對等角和三角形內角和是180°可得∠DFG=∠DGF=40°，∠GDF=100°，根據三角形內角和是180°列出方程式，求解即可.17．【答案】（1）解：原式==2a（2）解：原式=?4=?12x【解析】【分析】（1）根據整式的混合運算進行計算即可；

（2）根據整式的混合運算進行計算即可.18．【答案】（1）解：原式=4a=4ab（2）解：(x?y+4xyx?y==(x+y)(x?y)；∵x=5+1，y=5?1，

∴∴原式=25【解析】【分析】（1）根據提公因式法因式分解即可；

（2）先根據分式的混合運算化簡原式，求出x+y、x-y的值，代入計算即可.19．【答案】（1）解：當a=3時，原方程可化為：3xx?2方程兩邊乘以x-2得：3x?4=x?2，解得：x=1，檢驗：當x=1時，x?2≠0∴原分式方程的解為x=1.（2）解：方程兩邊乘以x-2得：ax-4=x-2，

整理得：（a-1）x=2，

解得：x=2a-1，

①當a-1=0時，分式方程無解，此時a=1，

②分式方程有增根時，方程無解，則x-2=0，此時x=2，

即2a-1=2，

【解析】【分析】（1）把a=3代入分式方程，求出分式方程的解，再進行檢驗即可；

（2）先將分式方程整理為整式方程，解得x=2a-1，分為兩種情況：①整式方程無解時，分式方程無解，可得a-1=0，求解即可，20．【答案】解：∵AB=AD，

∴∠ABD=∠ADB

∵∠BAD=26°

∴∠B=∠ADB=180°-26°2=77°°

同理，∠C=∠DAC=【解析】【解答】由題意，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°根據等腰三角形的性質可以求出底角，再根據三角形內角與外角的關系即可求出內角∠C．【分析】本題考查等腰三角形的性質及應用等腰三角形兩底角相等，還考查了三角形的內角和定理及內角與外角的關系．利用三角形的內角求角的度數是一種常用的方法，要熟練掌握．21．【答案】（1）解：取格點D1，D2，D3，D4，可使△ABC與△BCD全等；如圖：???????（2）解：取格點F，連接AF交BC于點E，則點E，使∠CAE=∠ABC；如圖：???????（3）解：取格點M，連接CM，BM，連接PM交BC于點N，連接AN并延長交BM于點Q，則圖中點Q，使P、Q點關于BC所在直線對稱；如圖：【解析】【分析】（1）根據三邊對應相等的三角形是全等三角形進行畫圖即可；

（2）根據三邊對應相等的三角形是全等三角形，全等三角形的對應角相等進行畫圖即可；

（3）取格點M，連接CM，BM，根據軸對稱的性質可得MB和AB關于BC對稱，垂直平分線上的點到兩邊的距離相等和等邊對等角可推得MQ=AP，即可得出P、Q點關于BC所在直線對稱，畫圖即可.22．【答案】（1）解：依題意有：90m方程兩邊乘以m(m?3)得：90(m?3)=75m，解得：m=18，檢驗：當m=18時，m(m?3)≠0，∴m=18是此分式方程的解．∴m的值是18.（2）解：設商店老板這個月準備購買甲文具x件，則乙商品（10-x）件，依題意有：18x+15(10?x)≤168，解得：x≤6，∵x≥0，∴0≤x≤6，且x為整數，x=0，x=1，x=2，x=3，x=4，x=5，x=6：共6種方案．方案1：甲文具0件，乙文具10件，利潤為10×3=30（元），方案2：甲文具1件，乙文具9件，利潤為1×2+9×3=29（元），方案3：甲文具2件，乙文具8件，利潤為2×2+8×3=28（元），方案4：甲文具3件，乙文具7件，利潤為3×2+7×3=27（元），方案5：甲文具4件，乙文具6件，利潤為4×2+6×3=26（元），方案6：甲文具5件，乙文具5件，利潤為5×2+5×3=25（元），方案7：甲文具6件，乙文具4件，利潤為6×2+4×3=24（元）．∵24<25<26<27<28<29<30∴這個月獲得利潤最小時，甲文具6件，乙文具4件．另解，設這個月獲得利潤為w元，購買中文具y件，依題意有：w=2y+3(10?y)，∴w=30?y，∵18y+15(10?y)≤168，∴y≤6∵y≥0，∴0≤y≤6，且y為整數，顯然，當y最大時，w最小．∴當y=6時，w有最小值為24，此時甲文具6件，乙文具4件【解析】【分析】（1）利用數量=總價÷單價，結合用90元購買甲型號的文具數與用75元購買乙型號的文具數相同，可列出關于m的分式方程，解之經檢驗后即可得出答案；

（2）設購買x個甲型號的文具，則購買（10-x）個乙型號的文具，利用總價=單價×數量，結合總價不超過168元，可列出關于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范圍，結合x為正整數，可得出該商店共有6種購買方案，分別求出每種方案下的利潤，即可求解.23．【答案】（1）(a+b)2=（2）解：①∵(a+b)2=a2+2ab+∵a+b=7，ab=12，

∴a2②設2024-x=m，2022-x=n，∴m?n=(2024?x)?(2022?x)=2，mn=2023；∴原式==(2024?x)2+(2022?x)2

=（3）解：14(m2?s)；

設AC=a，BC=b，

則AB=AC+BC=a+b=m，S=S1+S2=a2+b2，【解析】【解答】解：（1）利用圖形可以推導出的乘法公式分別是圖1：（a+b）2=a2+2ab+b2；

圖2：（a-b）2=a2-2ab+b2；

故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2；（a-b）2=a2-2ab+b2.

【分析】（1）根據正方形的面積列出等式即可；

（2）①根據完全平方公式可得a2+b2=（a+b）2-2ab，將a+b=7，ab=12代入計算即可求解；

②設2024-x=m，2022-x=n，則m-n=2，mn=2023，代入計算即可求解；

（3）設