第5章動態電路的時域分析

5.1換路定律

5.2一階電路的零輸入響應5.3一階電路的零狀態響應5.4一階電路的全響應

5.5一階電路的階躍響應

5.6一階電路的沖激響應

5.7二階電路的分析

習題5【本章要點】

本章主要討論一階和二階電路的零輸入響應、零狀態響應、全響應、階躍響應和沖激響應等概念及經典求法。5.1換路定律動態電路的結構或元件的參數發生變化稱為換路。動態電路換路時，電路將從原來的穩定工作狀態轉變到另一種穩定工作狀態，這期間需經歷一個電磁過程，稱為過渡過程(瞬態過程)。這種變化一般是由電路條件的變化引起的，如電路的接通、斷開、接線的改變、激勵或參數的驟然改變等。為研究方便起見，把換路前的瞬間作為過渡過程的起始時刻，記為t=0－；換路后的最初時刻記為t=0＋，換路(t=0)即發生在0－到0＋之間。分析動態電路過渡過程的方法之一是根據KCL、KVL和元件的VCR建立描述電路方程，建立的方程是以時間為自變量的線性常微分方程，然后求解微分方程，從而得到電路所求變量(電壓或電流)。此方法稱為經典法，它是一種在時間域中進行的分析方法。用經典法求解常微分方程時，必須根據電路的初始條件確定未知的積分常數。設描述電路動態過程的微分方程為n階。所謂初始條件,就是指電路中所求變量(電壓或電流)及其n－1階導數在t=0＋時的值，也稱初始值。其中電容電壓uC和電感電流iL的初始值，即uC(0＋)和iL(0＋)稱為獨立的初始值，其余的稱為非獨立的初始值。對于線性電容，在任一時刻，它的電荷、電壓與電流的關系為式中，q、uC和iC分別為電容的電荷、電壓和電流。令t0=0－，t=0+，得由以上兩式可以看出，如果在換路前后，即0－到0＋的瞬間，電流iC(t)為有限值，則上面兩式中等號右邊的積分項為零，此時電容上的電荷和電壓不發生躍變，即

q(0+)=q(0－)

(5－1a)

uC(0+)=uC(0－)

(5－1b)對于一個在t=0－時儲存電荷為q(0－)、電壓為uC(0－)=U0的電容，在換路瞬間不發生躍變的情況下，有uC(0＋)=uC(0－)=U0，可見在換路的瞬間，電容可視為一個電壓值為U0的電壓源。同理，對于一個在t=0-時不帶電荷的電容，在換路瞬間不發生躍變的情況下，有uC(0＋)=uC(0－)=0，在換路瞬間電容相當于短路。對于線性電感，在任一時刻，它的磁鏈、電流與電壓的關系為令t0=0－，t=0＋，有如果從0－到0＋瞬間，電壓uL(t)為有限值，則上面兩式中等號右邊的積分項將為零，此時電感中的磁鏈和電流不發生躍變，即

ΨL(0+)=ΨL(0_)

(5－2a)

iL(0+)=iL(0－)

(5－2b)對于一個在t0=0－時電流為I0的電感，在換路瞬間不發生躍變的情況下，有iL(0+)=iL(0－)=I0，此電感在換路瞬間可視為一個電流為I0的電流源。同理，對于一個在t0=0－時電流為零的電感，在換路瞬間不發生躍變的情況下，有iL(0＋)=iL(0－)=0，此電感在換路瞬間相當于開路。式(5－1a)、(5－1b)和式(5－2a)、(5－2b)分別說明，在換路前后電容電流和電感電壓為有限值的條件下，換路前后瞬間電容電壓和電感電流不能躍變，這就是換路定律。即uC(0－)=uC(0+)iL(0－)=iL(0+)對于動態電路中除uC和iL以外的其他變量的初始值可以按以下步驟確定：

(1)先求換路前瞬間t0=0－時刻的uC(0－)或iL(0－)；

(2)根據換路定律確定uC(0+)或iL(0+)；

(3)以uC(0+)或iL(0+)為依據，應用歐姆定律、基爾霍夫定律和直流電路的分析方法確定電路中其他電壓、電流的初始值。例5－1如圖5－1(a)所示為直流電源激勵下的含有電感元件的動態電路，已知Us=20V，R1=10Ω，R2=30Ω，R3=20Ω，開關S打開時，電路處于穩態。t=0時S閉合，求S閉合瞬間各電壓、電流的初始值。圖5－1例5－1用圖解選定各電壓、電流參考方向，如圖5－1(a)所示。

S打開時，電路處于直流穩態，此時電感相當于短路，有t=0時S閉合，根據換路定律，有

S閉合時，電感相當于一個電流源，作t=0+時的等效電路,如圖5－1(b)所示。可求得由KVL得i1(0+)R1+uL(0+)+i2(0+)R2=Us

所以uL(0+)=Us－i2(0+)R2－i1(0+)R1=20－0.2×30－0.5×10=9V5.2一階電路的零輸入響應在實際應用電路中，我們常遇到含有一個或幾個可等效為一個儲能元件的線性非時變電路，這種電路常用一階線性常微分方程描述，稱為一階電路。根據一階電路所含儲能元件的不同可分為RC電路和RL電路。通常將一階電路分為零輸入響應、零狀態響應和全響應三種情況作分析。電路在外加輸入（激勵）為零時，由電路初始狀態uC(0+)或iL(0+)產生的響應稱為零輸入響應。5.2.1

RC電路的零輸入響應

RC零輸入響應電路如圖5－2(a)所示。圖5－2

RC零輸入響應電路開關原來與a點接通已處于穩態，電容上的電壓uC(0－)=U0，t=0時，開關由a點接向b點，電容儲存的能量將通過電阻以熱能的形式釋放出來(t≥0+)。這時電路如圖5－2(b)所示。根據KVL有RiC+uC=0將電容的VAR關系，代入上式得到RC電路零輸入響應的一階微分方程為 （5-3）式（5-3）的通解為 （5-4）式中，p為微分算子；A為積分常數。將式(5-4)代入式(5-3)，得對應齊次微分方程的特征方程為

其特征根為

因為

具有時間單位秒的量綱，故稱為時間常數，用τ表示，即由換路定律，得uC(0+)=uC(0－)=U0,將其代入式（5－4）中得A=uC(0+)=U0所以通解為（5－6）這就是電容放電過程中電壓uC(t)的表達式。式（5－6）是一個隨時間衰減的指數函數，uC隨時間變化的曲線如圖5－3所示。電容上的電流為 （5-7）圖5－3

RC電路放電時的uC曲線式（5－7）也是一個隨時間衰減的指數函數，實際方向與參考方向相反，放電曲線如圖5－4實線所示。圖5－4

RC電路放電時的iC曲線如設iC(t)和uC(t)為非關聯參考方向，則電阻上的電壓這種情況的放電電流變化曲線如圖5－4虛線所示。從以上表達式可以看出，電壓uC、uR和電流iC都是按照同樣的指數規律衰減的。它們衰減的快慢取決于指數中的大小。前面已提到RC稱為電路的時間常數，用τ表示。引入τ后，電容電壓uC和電流iC可以分別表示為的大小反映了一階電路過渡過程的進展速度，它是反映過渡過程特性的一個重要的量。當等于不同的值時，計算結果見表5-1。表5-1等于不同的值時計算結果嚴格地講，當t→∞時，電壓才會下降至零，但是實際上經過3τ~5τ的時間，可以認為過渡過程結束。從表5－1中可以看出，τ越大，過渡過程越長，反之則短，即τ決定了零輸入響應衰減的快慢。在實測時間常數τ時，可通過測量輸出衰減0.368U0

來決定時間常數；或在電路過渡過程響應曲線uC和iC上作切線得到，即τ為曲線上任意點的次切矩的長度，如圖5－5所示。圖5－5

uC、iC變化曲線

例5－2如圖5－6(a)所示的電路已處于穩態。t=0時，開關由1撥向2，求t≥0時的uC(t)和iC(t)。圖5－6例5－2用圖

解開關由1撥向2瞬間電容電壓不躍變，得

uC(0+)=uC(0－)=6V

當t≥0時,連接于電容兩端的等效電阻為等效電路如圖5－6(b)所示有τ=RC=10×103×10×10－6=0.1s由RC電路零輸入響應表達式，得5.2.2

RL電路的零輸入響應電路如圖5－7所示，

t<0時處于直流穩態，所以iL(0－)=I0。t=0瞬間，因為電流不會發生躍變，所以iL(0+)=iL(0－)=I0。當t>0時，隨著電阻不斷消耗能量，電感電流不斷下降，直至過渡過程結束。圖5－7

RL電路零輸入響應當t=0換路后，由KCL得iR=－iL

由KVL得uL－uR=0

由元件的VCR得將以上關系代入KVL方程得上式的通解為i=Aept，對應的特征方程為Lp+R=0其特征根為故電流為（5－8）

根據換路定律iL(0+)=iL(0－)=I0，代入式（5－8）確定系數A,得i(0+)=A=I0

所以電流的通解為電阻和電感上的電壓分別為iL、uL和uR隨時間變化的曲線如圖5－8所示。圖5－8

RL電路零輸入響應iL、uR和uL的波形與RC電路相類似，具有時間的量綱，稱為RL電路的時間常數。τ的大小反應了RL電路響應的快慢程度。L越大，在同樣大的初始電流下，電感儲存的磁場能量越多，通過電阻釋放的能量需要的時間越長，暫態過程就越長；而當電阻越小，在同樣大的初始電流下，電阻消耗的功率越小，暫態過程也就越長。式(5－9)可以寫成的形式。

例5－3電路如圖5－9所示，Us=35V，R1=5Ω，電壓表的內阻R2=5kΩ，L=0.4H。t<0時電路處于直流穩態，t=0時開關斷開。求t>0時的電流iL(t)及電壓表兩端的電壓u2(t)。圖5－9例5－3用圖解t<0時電路處于直流穩態，L相當于短路，所以

時間常數由式（5－9）得

由電路的VAR得5.3一階電路的零狀態響應電路的狀態初始儲能為零即零狀態，僅由外施激勵引起的響應稱為零狀態響應。5.3.1

RC電路的零狀態響應如圖5－10所示，開關S閉合前電路處于零初始狀態，即uC(0－)=0，t=0時刻，開關S閉合，電路接入直流電壓源Us，根據KVL有圖5－10

RC電路的零狀態響應uR+uC=Us

把uR=Ri，代入上式，得電路的微分方程為此方程為一階線性非齊次方程。方程的解由兩個分量組成，即非齊次方程的特解和對應的齊次方程的通解，亦即不難求得特解為而齊次方程的通解為其中τ=RC。因此代入初值，可求得A=－Us

將上式代入中，得RC電路零狀態響應表達式為

（5－10）

所以（5－11）當換路后電路達到新穩態時,uC(∞)=Us，于是式(5－10)可以改寫為

uC和i的波形如圖5－11所示。

RC電路的零狀態響應過程即電源通過電阻對電容充電的過程。圖5－11

uC和i的波形5.3.2

RL電路的零狀態響應電路如圖5－12所示，t<0時，電路處于穩態，即電感的初始狀態iL(0－)=0。當t=0時，開關S打開，根據換路定律，iL(0+)=iL(0－)=0。當t≥0時，由KCL得圖5－12

RL零狀態響應電路iR+iL=Is把，代入上式，得一階線性非齊次微分方程為

iL(0+)＝0與RC電路零狀態響應求解過程類似，特解為齊次方程的通解為故方程的完全解為將初始條件t=0+代入上式，得解得于是得電感電流的零狀態響應為即RL電路的零狀態響應表達式為（5－12）其中:，為電路的時間常數;iL(∞)為電路終值。只要確定電路終值iL(∞)和時間常數τ，就可以直接寫出電感電流的零狀態響應表達式。電感兩端的電壓為

iL(t)、uL(t)波形如圖5－13(a)、(b)所示。（5－13）圖5－13

RL零狀態響應電路的iL(t)和uL(t)的波形

例5－4如圖5－14所示電路中，已知Us=12V，R1=3kΩ，R2=6kΩ，R3=2kΩ，C=5μF，開關S閉合前電容未充過電，t=0時，開關閉合。求時間常數τ以及當t≥0時的uC(t)和iC(t)。圖5－14例5－4用圖

解當t≥0時,連接電容的等效電阻為

τ=RC=4×103×5×10－6=2×10－2

s當t≥0時，達到新穩態，電容兩端電壓為

所以

例5-5電路如圖5-15所示，已知電感電流iL(0－)＝0，t＝0時閉合開關，求當t≥0時的電感電流和電感電壓。圖5-15例5-5用圖解開關閉合前，電感電流iL(0－)＝0，內部無儲能，開關閉合后，電感與電源相連，電感儲存能量，直至最終儲能完畢，電路進入新的直流穩態，電感相當于短路，此時電感電流

電路的時間常數根據RL電路零狀態響應表達式可得(t≥0)(t≥0)5.4一階電路的全響應一階電路在輸入和初始狀態共同作用時所產生的響應稱為全響應，電路如圖5-16所示。圖5-16一階電路的全響應在圖5-16中，已知uC(0－)=U0，t=0時開關閉合，求t≥0時的uC(t)和iC(t)。方程的完全解為換路后達到穩定狀態電容電壓的特解為通解為所以完全解為根據初始條件uC(0－)=uC(0＋)=U0得A=U0－Us

根據初始條件uC(0－)=uC(0＋)=U0得

A=U0－Us

把A=U0－Us代入得（5-14）這就是電容電壓在t≥0時的全響應。將式（5-14）整理后得（5-15）從式（5-15）可以看出，若把電壓源Us置零，電路恰好是零輸入響應。根據uC(0－)=uC(0＋)=U0，以及當U0=0時，電路的響應恰好是零狀態響應,說明一階電路中全響應=（零輸入響應）+（零狀態響應）在式（5-14）中，

Us是電壓源，t=0時，響應仍然存在，稱為穩態分量；是按指數規律隨時間的增長而逐漸衰減為零的，所以稱為瞬態分量。全響應又可以表示為全響應=（穩態分量）+（暫態分量）在直流激勵下，若設響應初始值為f(0+)，特解為穩態解f(∞)，時間常數為τ，則全響應f(t)可寫為在直流激勵下的一階電路中，只要知道f(∞)、f(0+)和τ這三個要素，就可以直接寫出一階電路的全響應，這種方法就稱為三要素法。如果用三要素法求得某個電壓或電流響應后，可以應用替代定理得到一個電阻電路，由此電阻電路可求得其他電壓和電流的響應。

例5-6電路如圖5-17所示，電路處于穩定狀態，t=0時開關閉合，求t≥0時的uC(t)和i(t)。圖5-17例5-6用圖解（1）計算初始值uC(0＋)。當t<0時，如圖5-17所示電路已經穩定，電容相當于開路，電容電壓與電阻電壓相同，即uC(0－)=8×2=16V故uC(0＋)=uC(0－)=16V

(2)計算穩態值uC(∞)。當t≥0時，電路重新達到穩定狀態，電容相當于開路，運用疊加定理求得

(3)計算時間常數τ。與電容相連接的輸出總電阻為所以時間常數τ為τ=R0C=2×0.1=0.2s(4)將各變量代入全響應表達式，得5.5一階電路的階躍響應在動態電路中，為了方便描述電路的激勵和響應，常應用階躍函數來表示換路與階躍響應。單位階躍函數輸入的零狀態響應稱為單位階躍響應，記做s(t)。單位階躍函數表達式為其波形如圖5-18（a）所示。常用這個函數來描述零狀態響應電路的開關動作，它表示在t=0時把電路接到單位直流電壓。定義任一時刻t0起始的階躍函數為其波形如圖5-18（b）所示。ε(t－t0)可以看做是把ε(t)在時間軸上移動t0后的結果，所以又叫延遲單位階躍函數。單位階躍函數還可以用來“起始”一個f(t)(如圖5-18(c)所示)，設f(t)是對所有t都有定義的一個任意函數，則其波形如圖5-18(c)所示。圖5-18單位階躍函數、延遲階躍函數及階躍函數的起始性如圖5-19（a）所示，一個幅度為1的矩形脈沖，可以把它看做由兩個階躍函數組成，如圖5-19（b）所示，即f(t)=ε(t)－ε(t－t0)當電路的激勵為單位階躍ε(t)V或ε(t)A時，相當于將電路在t=0時接通電壓值為1V的直流電壓源或電流值為1A的直流電流源。階躍響應的求法與恒定直流作用下的零狀態響應的求法在本質上是相同的。已知電路的s(t)，如果該電路的恒定激勵為us(t)=U0ε(t)或is(t)=I0ε(t)，則電路零狀態響應為U0s(t)或I0s(t)。圖5-19矩形脈沖的組成

例5-7如圖5-20（a）所示電路中，開關S合在1時，電路已達到穩態。當t=0時，開關由1合向2；當t=RC時，開關又由2合向1。求當t≥0時的uC(t)。圖5-20例5-7用圖解電源的激勵可表示為us(t)=Usε(t)－Usε(t－τ)，波形如圖5－20(b)所示。

RC電路的單位階躍響應為所以5.6一階電路的沖激響應一階電路在單位沖激函數激勵下的零狀態響應稱為一階沖激響應。其中，單位沖激函數用δ(t)表示，沖激響應用h(t)表示。單位沖激函數定義為延時單位沖激函數定義為單位沖激函數的波形和延時單位沖激函數的波形如圖5－21所示。箭頭旁邊注明“1”，稱為沖激強度，沖激強度為K的沖激函數，箭頭旁邊應注明K。圖5－21單位沖激函數和延時單位沖激函數(a)單位沖激函數；(b)延時單位沖激函數沖激函數具有如下性質：

(1)單位沖激函數δ(t)對時間的換元移動積分等于單位階躍函數ε(t)，即

階躍函數ε(t)對時間的一階導數等于沖激函數δ(t)，即

(2)單位沖激函數的篩選性質。由于t≠0時，δ(t)=0，因此，對任意在t=0時連續的函數f(t)，有f(t)δ(t)=f(0)δ(t)同理，對任意一個在t=τ時連續的函數f(t)，有

也就是說，沖激函數具有把一個函數在某一時刻的值篩選出來的本領，所以稱為篩選性質。一階電路沖激響應的求解過程如下：

(1)列出t≥0+時電路的微分方程，設x(t)為uC(t)或iL(t)，則方程的形式為(5-16)

(2)求x(0+)。其方法是對式(5-16)取積分，即其中x(t)是不含δ(t)的函數，否則式(5-16)不成立。因此，，則得(5-17)

(3)當t≥0+時，式（5－16）變成

(4)求解以上兩微分方程。例5－8求如圖5－22所示電路的i(t)，已知i(0-)=0。圖5－22例5－8用圖解電路方程及初始值為對第一式兩邊積分得上式中的i(t)為有限值，不能為δ(t)函數，否則不能成立，所以有5.7二階電路的分析在前面所講的一階電路分析中，三要素法是一個有效的方法，但在二階電路的分析中，三要素法已經不適用。本節對于二階電路的分析仍然采用經典法，即首先建立二階微分方程，然后根據兩個儲能元件的初始條件，求解電路的響應。如圖5-23所示為一個RLC串聯電路。電容C原已充電，其端電壓為U0，電感L中的電流為零。t=0時，將開關S閉合，分析電路的零輸入響應。圖5-23

RLC串聯電路的零選定電壓、電流參考方向(如圖5-23所示)，S閉合后，根據KVL得uR+uL-uC=0回路電流電阻電壓電感電壓將以上兩式代入KVL方程得(5-18)式（5-18）是以uC為變量的二階線性齊次微分方程。其特征根為LCp2+RCp+1=0解出特征根為當電路元件參數R、L、C的量值不同時，特征根可能出現以下三種情況：(1)時，p1、p2為兩個不相等的實根。(2)時，p1、p2為兩個相等的實根。(3)時，p1、p2為共軛復數根。特征根的三種不同情況決定著RLC串聯電路零輸入響應的三種不同情況。下面分別討論。

1.

,非振蕩放電過程

這種情況下，p1、p2為兩個不相等的負實根，微分方程的解為(5-19)而(5-20)考慮到初始條件uC(0+)=uC(0-)=U0，iC(0+)=iC(0-)=0，將t=0分別代入式(5-19)和式(5-20)，得解此方程組，可得積分常數，將A1、A2代入式(5-19)和式(5-20)，得(5-21)(5-22)

由于，所以(5-23)(5-24)圖5-24畫出了uC、uL和i隨時間變化的曲線，從圖中可以看出，uC、i始終不改變方向，而且有uC>0，

i>0，這表明電容在整個過渡過程中一直在釋放存儲的能量，因此稱為非振蕩放電，又稱為過阻尼放電。圖5-24非振蕩放電過程中的uC、uL和i隨時間變化的曲線例5-9在如圖5-25所示電路中，已知Us=10V，C=1μF，R=4

kΩ，L=1H，開關S原來在1處，t=0時，開關S由1接至2處。求uC、i和uL。圖5-25例5-9用圖解已知R=4kΩ，而,所以是非震蕩的，且。特征根根據式（5-20）、（5-22）和（5-23），得2.震蕩放電過程

這種情況下，特征根p1、p2是一對共軛復數，令則于是有如圖5-26中，令則有α=ω0cosβ，ω=ω0sinβ，根據ejβ=cosβ+jsinβ，e-jβ=cosβ－jsinβ，可求得p1=－ω0e－jβ,p2=－ω0ejβ

將其代入式（5-21）得（5-25）根據，或利用式（5-22）可求得圖5-26表示ω0、ω和α相互關系的三角形振蕩放電過程中，uC、uL和i的波形如圖5-27所示。它們的振幅是隨時間作指數衰減的，故稱為衰減振蕩，也稱為欠阻尼情況。圖5-27振蕩放電過程中的uC、uL和i的波形3.臨界阻尼情況當時，特征方程有重根。此時，微分方程的通解為uC=(A1－A2)e－α·t

因此得將初始條件uC(0+)=U0，

i(0+)=0代入以上兩式，可得方程組解得

A1=U0,A2=αU0所以得由以上表達式可以看出uC、uL和i將不再作振蕩變比，即具有非振蕩的性質。它們的波形與圖5-24所示波形相似。此時，電路的狀態處于振蕩與非振蕩的分界線上。習題5

5-1電路如圖所示，在t=0時開關由a投向b，在此以前電容電壓為U。試求t≥0時的電容電壓及電流。習題5-1圖

5-2電路如圖所示，在t=0時開關打開，在打開前一瞬間，電容電壓為6V。試求t≥0和t<0時的3Ω電阻中的電流。習題5-2圖

5-3電路如圖所示，在t=0時開關由a投向b，已知在換路前一瞬間，電感電流為1A。試求t≥0時各電流的值。習題5-3圖

5-4電路如圖所示，開關在t=0時打開，已知uC(0)=0，求uC(t)、i(t)和iC(t)。習題5-4圖

5-5電路如圖所示，開關在t=0時閉合。在閉合前處于打開狀態為時已久。試求t≥0時的uL(t)、iL(t)以及其他各電流。習題5-5圖

5-6電路如圖所示，開關在t=0時閉合。在閉合前無儲能。試求t≥0時，電容電壓uC(t)以及各電流。習題5-6圖

5-7電路如圖所示，已知Us8V，t≥0；R=500Ω,L=10mH；

i(0)=－10mA。求t≥0時的i(t)。習題5-7圖

5-8電流i的波形分別如圖(a)、(b)所示，試寫出函數表示式i(