8.3描述函數法

描述函數法是達尼爾于1940年提出的非線性系統分析方法。該方法主要用來分析在沒有輸入信號作用下，非線性系統的穩定性和自激振蕩問題。描述函數法不受系統階次的限制，但具有一定的近似性，并且只能用來研究系統的頻率響應特性，不能給出時間響應的確切信息。8.3.1描述函數的概念設非線性環節的輸入輸出特性為當輸入量為正弦信號

時，輸出量

一般都是非正弦周期信號，將其展開成傅里葉級數為式中，A0為直流分量，An和

Bn為傅里葉系數，

為第

n次諧波分量，且有該式表明，非線性環節的正弦響應可近似為一次諧波分量，具有與線性環節類似的頻率響應形式。若

且

當時，

均很小，則仿照線性系統頻率特性的概念，非線性環節的描述函數定義為非線性環節的穩態正弦響應中一次諧波分量與輸入正弦信號的復數比，用

表示，其數學表達式為顯然，描述函數是輸入正弦信號幅值

X的函數。由于在描述函數的定義中，只考慮了非線性環節輸出中的一次諧波分量，而忽略了高次諧波的影響，因此這種方法也被稱為諧波線性化方法。解：例8-8設某非線性元件的特性為,求該非線性元件的描述函數。由于非線性特性是單值奇對稱的，因而

是奇函數,故

，

，

。而因此非線性元件的描述函數為8.3.2典型非線性特性的描述函數1.死區特性的描述函數

式中，

是死區寬度，K為死區外直線的斜率。死區特性及其在正弦信號

作用下的輸出波形如圖8-3-1所示。輸出的數學表達式為由于死區特性是單值奇對稱的，所以

，

，

。由圖8-3-1可知

，故

，于是可求出

B1為死區特性的描述函數為由式可知，死區特性的描述函數是一個與輸入幅值有關的實函數。當輸入幅值

X很大或死區寬度

很小時，

，

，可認為描述函數等于線性段的斜率，死區的影響可以忽略不計。2.飽和特性的描述函數式中，a為線性區寬度；K為線性區的斜率。飽和特性及其在正弦信號

作用下的輸出波形如圖8-3-2所示。輸出的數學表達式為由于飽和特性是單值奇對稱的，所以

，

，

。由圖8-3-2可知

，故

，于是可求出

B1為飽和特性的描述函數為由式可知，飽和特性的描述函數是一個與輸入幅值有關的實函數。3.間隙特性的描述函數間隙特性及其在正弦信號

作用下的輸出波形如圖8-3-3所示。輸出的數學表達式為式中，

由于間隙特性是多值函數，在正弦信號作用下的輸出

y(t)既非奇函數也非偶函數。故須分別求

A1和

B1為間隙特性的描述函數為由式可知，間隙特性的描述函數是一個與輸入幅值有關的復函數。很明顯，對于一次諧波，間隙非線性特性會引起相角滯后。4.繼電特性的描述函數式中，M為繼電元件的輸出值。具有滯環和死區的繼電特性及其在正弦信號

作用下的輸出波形如圖8-3-4所示。輸出的數學表達式為由圖可知，且

，因此可求出分別為由于具有滯環和死區的繼電特性是多值函數，在正弦信號作用下的輸出

y(t)既非奇函數也非偶函數。故須分別求

A1和

B1為因此繼電特性的描述函數為式中，當參數

h

和

m

取不同值時，得到幾種特殊形式的繼電特性描述函數。(1)若

h=0，則可得兩位置理想繼電特性的描述函數為(2)若

m=1，則可得三位置死區繼電特性的描述函數為(3)若

m=-1，則可得具有滯環的兩位置繼電特性的描述函數為8.3.3非線性系統的描述函數法如前所述，非線性元件的描述函數是線性系統頻率特性概念的一種延伸和推廣。利用描述函數的概念，在一定條件下可以將非線性系統近似等效為一個線性系統，并可借用線性系統的頻域法對非線性系統的穩定性和自激振蕩進行分析。1.

描述函數法分析非線性系統的應用條件應用描述函數法分析非線性系統時，要求系統滿足以下假設條件。(1)對系統結構的要求。非線性系統的結構可以簡化為一個非線性環節

和一個線性部分

閉環連接的典型結構形式，如圖8-3-5所示。(2)非線性環節的輸入輸出特性是奇對稱的，這樣能夠保證非線性特性在正弦信號作用下輸出的直流分量

，而且

中一次諧波分量幅值占優。(3)線性部分具有較好的低通濾波性能。當非線性環節輸入正弦信號時，實際輸出必定含有高次諧波分量，經線性部分的低通濾波特性，高次諧波分量被大大削弱，閉環通道內近似只有一次諧波分量流通。線性部分的階次越高，低通濾波性能越好，使用描述函數法所得結果越準確。欲具有低通濾波性能，線性部分G(s)的極點應位于

s平面的左半平面，即G(s)為最小相位環節。

若非線性系統滿足以上三個假設條件，則非線性環節的描述函數可以等效為一個具有復變增益的比例環節，非線性系統經過諧波線性化處理后變成一個等效的線性系統，就可以應用線性系統理論中的頻率穩定判據分析非線性系統的穩定性。2.非線性系統的穩定性分析對于圖8-3-5所示的典型非線性系統，如果非線性特性的描述函數是

，線性部分的頻率特性是

，可以寫出閉環系統的特征方程式為即式中，

稱為非線性特性的負倒描述函數。在復平面上可以繪制出

隨

X變化而變化的曲線，即負倒描述函數曲線。

曲線上箭頭表示隨

X增大，

的變化方向。與線性系統的奈奎斯特穩定判據相比，

曲線相當于線性系統中臨界穩定點

。只是在非線性系統中，表示臨界情況的不是一個點，而是一條

曲線。這樣可根據線性系統中的奈奎斯特穩定判據來判別非線性系統的穩定性，其內容如下：若

曲線不包圍

曲線，則非線性系統穩定；若

曲線包圍

曲線，則非線性系統不穩定；若

曲線與

曲線有交點，對應非線性系統做等幅周期運動，如果該周期運動能夠穩定持續下去，即在外界小擾動作用下使系統偏離該周期運動，而當該擾動消失后，系統的運動仍能恢復原周期運動，則稱為穩定的周期運動。穩定的周期運動對應系統的自激振蕩。以理想繼電特性為例，其描述函數為負倒描述函數為若非線性系統的線性部分G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，這時

曲線將

曲線完全包圍，非線性系統不穩定；若

G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，此時

曲線沒有包圍

曲線，非線性系統穩定；若G(s)的幅相特性曲線如圖8-3-6中

所示，此時

曲線與

曲線有交點，對應系統存在周期運動，若周期運動能穩定的持續下去，便是系統的自激振蕩。3.非線性系統的自激振蕩或若

曲線與

曲線有交點，則在交點處必然滿足根據上兩式可解得交點處對應的頻率

和幅值

X。非線性系統周期運動的穩定性可以利用如下判別方法加以判別。在復平面上，將G(jω)曲線包圍曲線-1/N(X)的區域視為不穩定區，而不被G(jω)曲線包圍的區域視為穩定區，如圖8-3-8所示。若交點處的-1/N(X)曲線沿著振幅增加的方向由不穩定區進入穩定區，該交點對應的周期運動是穩定的，該點即為自激振蕩點。反之，如果在交點處的-1/N(X)曲線沿著振幅增加的方向由穩定區進入不穩定區，該交點對應的周期運動是不穩定的，該點不是自激振蕩點。在這種情況下，該點的幅值X確定一個邊界，當系統起始振幅小于這個邊界值時，系統運動過程收斂，反之，系統運動過程將趨于發散或趨于一個幅值更大的自激振蕩運動。例8-9某非線性系統結構圖如圖8-3-9所示，其中M=1，K=10。試分析系統是否存在自激振蕩，如果存在，試確定自激振蕩參數。解:理想繼電特性描述函數為負倒描述函數為根據自激振蕩條件可得即比較實部和虛部有解得因此，自激振蕩頻率為

，振幅為

。例8-10某非線性系統結構圖如圖8-3-11所示，試采用描述函數法分析非線性系統的穩定性。如果系統出現自激振蕩，如何消除？解:由表8-3-1查得死區繼電特性的描述函數為負倒描述函數為線性部分G(jω)曲線的穿越頻率為繪出死區繼電特性的負倒描述函數曲線如圖8-3-12所示。G(jω)曲線與負實軸的交點坐標為由此可畫出幅相特性曲線如圖8-3-12所示。由圖8-3-12可知，當

，即

時，G1(jω)曲線沒有包圍-1/N(X)曲線，非線性系統穩定；當

，即

時，G2(jω)曲線與-1/N(X)曲線相交于兩點

c和

d，通過分析可知，c點對應不穩定的周期運動，d點對應穩定的周期運動，即自激振蕩。通過上述分析表明，若想消除自激振蕩，可通過減小線性部分

G(s)的增益K或改變死區繼電特性的參數

h或

M

的辦法消除。在實際應用中也可加入串聯超前校正網絡消除自激振蕩。8.3.4MATLAB實現例8-11非線性系統結構圖如圖8-3-13所示，其中

。試判斷系統是否存在自激振蕩。若存在自激振蕩，求出自激振蕩的振幅和頻率。解:MATLAB程序如下。clc;clearx=1:0.1:20;disN=40/pi./x.*sqrt(1-x.^(-2))-j*40/pi./x.^2;disN2=-1./disN;w=1:0.01:200;num=12;den=conv([11],[1613]);[rem,img,w]=nyquist(num,den,w);plot(real(disN2),imag(disN2),rem,img)grid;xlabel('Re');ylabel('Im');運行結果如圖8-3-14所示。由圖可知，

曲線與

曲線相交，且曲線沿

X增大方向，由不穩定區域進入穩定區域，說明系統存在自激振蕩。通過對曲線交點的局部放大，如圖8