第05講數列求和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：通項分析法 2題型二：公式法 2題型三：錯位相減法 3題型四：分組求和法 4題型五：裂項相消法 5題型六：倒序相加法 6題型七：分段數列求和 7題型八：并項求和法 8題型九：先放縮后裂項求和 802重難創新練 903真題實戰練 13題型一：通項分析法1．數列的前n項和為.2．數列的前n項和.3．年意大利數學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數列”，又稱斐波那契數列，即該數列中的數字被人們稱為神奇數，在現代物理，化學等領域都有著廣泛的應用若此數列各項被除后的余數構成一新數列，則數列的前項的和為.4．（2024·湖南株洲·一模）數列的首項為1，其余各項為1或2，且在第個1和第個1之間有個2，即數列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數列的前項和為，則．（用數字作答）題型二：公式法5．（2024·高三·河南鄭州·期中）數列，，，，，，，，，，，，前項的和是.6．已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入2個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)插入的數構成一個新數列，求該數列前項的和．7．（2024·海南海口·模擬預測）已知函數是高斯函數，其中表示不超過的最大整數，如，.若數列滿足，且，記.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.題型三：錯位相減法8．（2024·吉林·模擬預測）已知數列的前項和為，且.(1)求實數的值和數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.9．（2024·江西宜春·模擬預測）數列滿足．(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和．10．（2024·浙江紹興·三模）已知數列的前n項和為，且，，設．(1)求證：數列為等比數列；(2)求數列的前項和．題型四：分組求和法11．（2024·廣東·二模）在等差數列中，.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.12．已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．13．已知等差數列的前項和為，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．14．已知數列為等差數列，是公比為2的等比數列，且滿足(1)求數列和的通項公式；(2)令求數列的前n項和；15．已知等差數列的前項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．題型五：裂項相消法16．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項數列中，，且.(1)求數列的通項公式；(2)，證明：.17．（2024·廣東茂名·一模）已知等差數列的前項和為，且，，.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.18．（2024·四川·模擬預測）已知各項均為正數的數列為等差數列，各項均為正數的數列為等比數列，成等比數列.成等差數列.(1)求的通項公式；(2)若的前項和為，求證：.19．（2024·全國·模擬預測）已知數列的各項均不小于1，前項和為是公差為1的等差數列．(1)求數列的通項公式．(2)求數列的前項和．20．（2024·四川成都·模擬預測）記數列的前n項和為，已知．(1)若，證明：是等比數列；(2)若是和的等差中項，設，求數列的前n項和為．21．（2024·陜西安康·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前10項和.題型六：倒序相加法22．對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數，請你根據上面的探究結果，解答以下問題：①函數的對稱中心坐標為；②計算.23．（2024·上海寶山·一模）已知函數，正項等比數列滿足，則24．已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試用推導等差數列前n項和的方法探求：若，則.25．（2024·湖北·模擬預測）“數學王子”高斯是近代數學奠基者之一，他的數學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數學理論，比如高斯函數?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數方程必有個復數解等.若函數，設，則.題型七：分段數列求和26．已知數列的前項和為，，等比數列的公比為，．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前10項和．27．（2024·四川成都·模擬預測）已知數列滿足當時，(1)求和，并證明當為偶數時是等比數列；(2)求28．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知正項等比數列中，為的前n項和，.(1)求數列的通項公式；(2)令，設數列的前n項和，求.29．（2024·浙江金華·模擬預測）已知數列，則數列的前項和.題型八：并項求和法30．已知數列滿足，則前48項之和為.31．（2024·高三·廣東深圳·期末）已知等差數列的前項和為，，且，，成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若，，是數列的前項和.求32．數列的通項，則前10項的和33．若數列的通項為，前n項和為，則.34．數列{}的前項和為，若，則{}的前2019項和.題型九：先放縮后裂項求和35．已知數列是等差數列，且，數列滿足，，且.(1)求數列的通項公式；(2)將數列的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數列，求數列的通項公式；(3)設數列的前項和為，證明：.36．已知數列滿足，，．(1)求的通項公式；(2)證明：．37．已知數列是公差不為零的等差數列，且，，成等差數列，，，（）成等比數列，．(1)求的值及的通項公式；(2)令，，求證：．1．（2024·福建泉州·一模）記數列的前n項和分別為，若是等差數列，且，則（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知數列各項為正數，滿足，，若，，則（）A． B． C． D．3．（2024·江西吉安·模擬預測）已知正項數列的前項和滿足，若，記表示不超過的最大整數，則（

）A．37 B．38 C．39 D．404．（2024·天津北辰·模擬預測）設數列滿足，則數列的前5項和為（

）A． B． C． D．5．（2024·河南·三模）已知等差數列的公差大于0且，若，則（

）A． B． C． D．6．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知數列的各項均為正數，，若表示不超過的最大整數，則（

）A．615 B．620 C．625 D．6307．（2024·江西·模擬預測）在學習完“錯位相減法”后，善于觀察的同學發現對于“等差等比數列”此類數列求和，也可以使用“裂項相消法”求解．例如，故數列的前n項和．記數列的前n項和為，利用上述方法求（

）A． B． C． D．8．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知數列的前n項的積為，，則使得成立的n的最大值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20249．（多選題）（2024·江西·三模）已知數列滿足，則（

）A．數列是等比數列 B．數列是等差數列C．數列的前項和為 D．能被3整除10．（多選題）（2024·貴州畢節·三模）已知等差數列的前n項和為，且，則（

）A． B．C．數列的前n項和為 D．數列的前n項和為11．（多選題）（2024·安徽淮北·二模）已知數列的前項和分別為，若，則（

）A． B．C．的前10項和為 D．的前10項和為12．（2024·山西陽泉·三模）已知數列的前項和為，且，則數列的前100項和．13．（2024·四川·三模）在數列中，已知，，則數列的前2024項和．14．（2024·江蘇南通·模擬預測）定義：表示不大于的最大整數，表示不小于的最小整數，如，.設函數在定義域上的值域為，記中元素的個數為，則，15．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，且也是等差數列．(1)求數列的公差；(2)若，求數列的前n項和．16．（2024·安徽安慶·模擬預測）已知.(1)求；(2)證明：是等差數列，并求出；(3)設，求的前項和.17．（2024·山西·模擬預測）已知數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.18．（2024·全國·模擬預測）已知單調遞增的等比數列的前項和為，滿足，數列也為等比數列．(1)求數列的通項公式．(2)記，求數列的前項和．19．（2024·四川涼山·三模）如圖，點均在軸的正半軸上，，，…，分別是以為邊長的等邊三角形，且頂點均在函數的圖象上．(1)求第個等邊三角形的邊長；(2)求數列的前項和．1．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．2．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．3．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．7．（2021年全國高考乙卷數學（文）試題）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．8．（2018年全國普通高等學校招生統一考試理科數學（天津卷））設是等比數列，公比大于0，其前n項和為，是等差數列.已知，，，.（I）求和的通項公式；（II）設數列的前n項和為，（i）求；（ii）證明.9．（2020年天津市高考數學試卷）已知為等差數列，為等比數列，．（Ⅰ）求和的通項公式；（Ⅱ）記的前項和為，求證：；（Ⅲ）對任意的正整數，設求數列的前項和．10．（2020年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅲ））設數列{an}滿足a1=3，．（1）計算a2，a3，猜想{an}的通項公式并加以證明；（2）求數列{2nan}的前n項和Sn．11．（2020年全國統一高考數學試卷（理科）（新課標Ⅰ））設是公比不為1的等比數列，為，的等差中項．（1）求的公比；（2）若，求數列的前項和．第05講數列求和目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01模擬基礎練 2題型一：通項分析法 2題型二：公式法 3題型三：錯位相減法 5題型四：分組求和法 7題型五：裂項相消法 9題型六：倒序相加法 13題型七：分段數列求和 15題型八：并項求和法 18題型九：先放縮后裂項求和 2002重難創新練 2203真題實戰練 34題型一：通項分析法1．數列的前n項和為.【答案】【解析】觀察數列得到，所以前n項和.故答案為：.2．數列的前n項和.【答案】【解析】由題意，，所以故答案為：3．年意大利數學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引人“兔子數列”，又稱斐波那契數列，即該數列中的數字被人們稱為神奇數，在現代物理，化學等領域都有著廣泛的應用若此數列各項被除后的余數構成一新數列，則數列的前項的和為.【答案】【解析】由數列，，，，，，，，，，各項除以的余數，可得數列為，，，，，，，，，，，，，，1，，所以數列是周期為的數列，一個周期中八項和為，又因為，所以數列的前項的和.故答案為：.4．（2024·湖南株洲·一模）數列的首項為1，其余各項為1或2，且在第個1和第個1之間有個2，即數列為：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，記數列的前項和為，則．（用數字作答）【答案】3993【解析】第個1為數列第項，當時；當時；所以前2019項有45個1和個2，因此題型二：公式法5．（2024·高三·河南鄭州·期中）數列，，，，，，，，，，，，前項的和是.【答案】【解析】由題意可知，該數列中，有項，且這項的和為，令，，則的最大值為，所以，該數列第項為，且的項數為，因此，該數列的前項的和是.故答案為.6．已知等差數列的首項，公差，在中每相鄰兩項之間都插入2個數，使它們和原數列的數一起構成一個新的等差數列．(1)求數列的通項公式；(2)插入的數構成一個新數列，求該數列前項的和．【解析】（1）設數列的公差為，由題意知：，，所以，所以的通項公式是.（2）數列的通項公式為，記數列與前項的和分別為，則.7．（2024·海南海口·模擬預測）已知函數是高斯函數，其中表示不超過的最大整數，如，.若數列滿足，且，記.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.【解析】（1）因為，，所以，因為，所以，將兩式相減，得：，所以數列的奇數項，偶數項分別單獨構成等差數列.當為奇數時，，，……，且，則，當為偶數時，則，所以.（2）設的前項和為，當時，，當時，，當時，，當時，，所以.題型三：錯位相減法8．（2024·吉林·模擬預測）已知數列的前項和為，且.(1)求實數的值和數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和.【解析】（1）當時，，，，當時，，整理得，數列是以1為首項，3為公比的等比數列，；（2）法一：，①，②，①②得；法二：，設，且，解得，，即，其中，，.9．（2024·江西宜春·模擬預測）數列滿足．(1)求的通項公式；(2)若，求的前項和．【解析】（1）數列滿足，當時，，兩式相減可得，，所以，當時，也滿足上式，所以；（2）由（1）得，所以，則，兩式相減的，，所以．10．（2024·浙江紹興·三模）已知數列的前n項和為，且，，設．(1)求證：數列為等比數列；(2)求數列的前項和．【解析】（1），即，即，則，即，即，又，故數列是以為首項、以為公比的等比數列.（2）由（1）易得，即，則，則，有，則，故.題型四：分組求和法11．（2024·廣東·二模）在等差數列中，.(1)求的通項公式；(2)求數列的前項和.【解析】（1）設的公差為，則解得所以.（2）（方法一）.（方法二）當為偶數時，當為奇數時，.綜上，12．已知數列的前項和為，且．(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前項和．【解析】（1），兩式相減得，又當時，，滿足上式，所以；（2）由（1）得，.13．已知等差數列的前項和為，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【解析】（1）設公差為，由得，，解得，∴；（2）由得，∴.14．已知數列為等差數列，是公比為2的等比數列，且滿足(1)求數列和的通項公式；(2)令求數列的前n項和；【解析】（1）設的公差為,由已知,有解得，所以的通項公式為,的通項公式為.（2），分組求和，分別根據等比數列求和公式與等差數列求和公式得到：.15．已知等差數列的前項和為，且，．(1)求數列的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【解析】（1）設等差數列公差為d，首項為a1，由題意，有，解得，所以；（2），所以．題型五：裂項相消法16．（2024·江蘇鹽城·一模）已知正項數列中，，且.(1)求數列的通項公式；(2)，證明：.【解析】（1）由，，得，又，則是以為首項，為公比的等比數列，所以，.（2）證明：因為，所以.17．（2024·廣東茂名·一模）已知等差數列的前項和為，且，，.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.【解析】（1）數列是等差數列，記其公差為，由題意知所以.（2），.，.18．（2024·四川·模擬預測）已知各項均為正數的數列為等差數列，各項均為正數的數列為等比數列，成等比數列.成等差數列.(1)求的通項公式；(2)若的前項和為，求證：.【解析】（1）由題意知，為等差數列，設的公差為為等比數列，設的公比為，由成等比數列，所以，化簡得，解得（舍），所以.又因為成等差數列，所以，即，解得（舍），所以.（2）由于，所以19．（2024·全國·模擬預測）已知數列的各項均不小于1，前項和為是公差為1的等差數列．(1)求數列的通項公式．(2)求數列的前項和．【解析】（1）由，得．因為是公差為1的等差數列，所以．當時，．兩式相減，得，所以，又，所以，則，所以是首項為1，公差為1的等差數列，所以．（2）由（1）可知，，則，所以數列的前項和．20．（2024·四川成都·模擬預測）記數列的前n項和為，已知．(1)若，證明：是等比數列；(2)若是和的等差中項，設，求數列的前n項和為．【解析】（1）對①，當時，有②，：，即，

經整理，可得，

，故是以為首項、為公比的等比數列．（2）由（1）知，有，，題設知，即，則，故．

而，

故.21．（2024·陜西安康·模擬預測）已知等差數列的前項和為，且.(1)求數列的通項公式；(2)若，求數列的前10項和.【解析】（1）由題意，設等差數列的公差為，則，化簡整理，得，解得，.（2）由（1）可得，，則，數列的前10項和為：.題型六：倒序相加法22．對于三次函數，給出定義：設是函數的導數，是函數的導數，若方程有實數解，則稱點為函數的“拐點”.某同學經過探究發現：任何一個三次函數都有“拐點”；任何一個三次函數都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.給定函數，請你根據上面的探究結果，解答以下問題：①函數的對稱中心坐標為；②計算.【答案】2023【解析】①因為，所以，所以，由得，此時，由題意可得，即為函數的對稱中心；②由①知，函數關于中心對稱，所以，即，因此；記，則，所以.故答案為：；.23．（2024·上海寶山·一模）已知函數，正項等比數列滿足，則【答案】【解析】函數，可看成向左平移1個單位，向上平移1個單位得到,因為的對稱中心為，所以的對稱中心為，所以，因為正項等比數列滿足，所以，所以，所以，①，②，則①②相加得：即，所以.故答案為：.24．已知正數數列是公比不等于1的等比數列，且，試用推導等差數列前n項和的方法探求：若，則.【答案】4038【解析】正數數列是公比不等于1的等比數列，，則，由，當時，，于是，令，則因此，所以.故答案為：403825．（2024·湖北·模擬預測）“數學王子”高斯是近代數學奠基者之一，他的數學研究幾乎遍及所有領域，并且高斯研究出很多數學理論，比如高斯函數?倒序相加法?最小二乘法?每一個階代數方程必有個復數解等.若函數，設，則.【答案】46【解析】因為函數的定義域為，設是函數圖象上的兩點，其中，且，則有，從而當時，有：，當時，，，相加得所以，又，所以對一切正整數，有；故有.故答案為：46.題型七：分段數列求和26．已知數列的前項和為，，等比數列的公比為，．(1)求數列的通項公式；(2)令，求數列的前10項和．【解析】（1）當時，，，，等比數列的公比為，則有，由，可得．當時，．經檢驗，當時，滿足上式，所以．（2），設的前10項和為，．27．（2024·四川成都·模擬預測）已知數列滿足當時，(1)求和，并證明當為偶數時是等比數列；(2)求【解析】（1）因為當時，，所以，.，，又，當為偶數時，是以為首項，以為公比的等比數列；（2）由（1）知，，設，則

為偶數時，當為奇數時，；設，為奇數時，，.28．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）已知正項等比數列中，為的前n項和，.(1)求數列的通項公式；(2)令，設數列的前n項和，求.【解析】（1）設的公比為，由且可得：當時，，當時，，解得或（舍去），故，故（2），由于，則數列的前項和29．（2024·浙江金華·模擬預測）已知數列，則數列的前項和.【答案】【解析】設數列的前項和為，當，，解得：，當時，，當，當時，，當時，，所以.故答案為：題型八：并項求和法30．已知數列滿足，則前48項之和為.【答案】1176【解析】由，則，，，，，，，…可知相鄰奇數項的和為2，偶數項中，每隔一項構成公差為8的等差數列，由等差數列的求和公式計算即可得到所求值.因，，而，，所以數列前48項之和為.故答案為：1176.31．（2024·高三·廣東深圳·期末）已知等差數列的前項和為，，且，，成等比數列.(1)求數列的通項公式；(2)若，，是數列的前項和.求【解析】（1）為等差數列，設公差為，，，，，成等比數列，，即，整理得，解得或，當時，，，當時，，，數列的通項公式為或；（2），由（1）知，，，，.故.32．數列的通項，則前10項的和【答案】5【解析】的周期，當時的值為1,0，-1,0,則前10項的和，故答案為：533．若數列的通項為，前n項和為，則.【答案】400【解析】當為偶數時，；當為奇數時，且；當為奇數時，且；不妨以四項為一個整體，則：故故答案為：40034．數列{}的前項和為，若，則{}的前2019項和.【答案】1009【解析】根據題意，的值以為循環周期，=1009故答案為1009.題型九：先放縮后裂項求和35．已知數列是等差數列，且，數列滿足，，且.(1)求數列的通項公式；(2)將數列的所有公共項按從小到大的順序組成一個新的數列，求數列的通項公式；(3)設數列的前項和為，證明：.【解析】（1）由題意可知，即，故，由，可得，所以數列的公差，所以，由，疊加可得，整理可得，當時，滿足上式，所以；（2）不妨設，即，可得，當時，，不合題意，當時，，所以在數列中均存在公共項，又因為，所以.（3）當時，，結論成立，當時，，所以，綜上所述，.36．已知數列滿足，，．(1)求的通項公式；(2)證明：．【解析】（1）由，得，當時，，當時，滿足條件，故的通項公式為．（2）由（1）得，故．37．已知數列是公差不為零的等差數列，且，，成等差數列，，，（）成等比數列，．(1)求的值及的通項公式；(2)令，，求證：．【解析】（1）設的公差為，∵，，成等差數列，∴，即，考慮到，化簡得，即∴，∵，，（）成等比數列，∴，即，即，解得．∵，∴，解得．∴，∵，解得，．∴．（2）由（1）可知，當時，所以．1．（2024·福建泉州·一模）記數列的前n項和分別為，若是等差數列，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是等差數列，可設公差為，由，可得，解得：，所以，再由得：，則數列的前n項和分別為，即，所以，故選：A.2．（2024·安徽合肥·模擬預測）已知數列各項為正數，滿足，，若，，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，，所以，因為，所以，，即，所以數列是等差數列，又，，所以，所以數列的公差為，首項為，所以，所以，所以，則，所以.故選：C.3．（2024·江西吉安·模擬預測）已知正項數列的前項和滿足，若，記表示不超過的最大整數，則（

）A．37 B．38 C．39 D．40【答案】B【解析】因為，當時，，，.當時，由及，即，所以，所以數列是以為首項?1為公差的等差數列，因此，則，，又當時，，，對于，，即，.故選：B.4．（2024·天津北辰·模擬預測）設數列滿足，則數列的前5項和為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】當時，，當時，，，兩式相減可得：，所以，又時，，所以不滿足，所以，設，數列的前項和，所以，設數列的前5項和為：.故選：D.5．（2024·河南·三模）已知等差數列的公差大于0且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設等差數列的公差為，,解得.故選：B．6．（2024·四川綿陽·模擬預測）已知數列的各項均為正數，，若表示不超過的最大整數，則（

）A．615 B．620 C．625 D．630【答案】C【解析】因為，所以，可得是以1為首項，1為公差的等差數列，所以，因為數列的各項均為正數，所以，因為，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，當時，，，則.故選：C.7．（2024·江西·模擬預測）在學習完“錯位相減法”后，善于觀察的同學發現對于“等差等比數列”此類數列求和，也可以使用“裂項相消法”求解．例如，故數列的前n項和．記數列的前n項和為，利用上述方法求（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設，則解得，所以，則數列的前n項和為．故．故選：B8．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知數列的前n項的積為，，則使得成立的n的最大值為（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【解析】令，則得，當時，因為，所以，所以，即，所以數列是以為首項，1為公差的等差數列，所以，故，所以，當時，，所以，所以，結合選項，將n的值代入檢驗，則使得成立的n的最大值為2022.故選：B9．（多選題）（2024·江西·三模）已知數列滿足，則（

）A．數列是等比數列 B．數列是等差數列C．數列的前項和為 D．能被3整除【答案】BCD【解析】由可得：，所以數列是等比數列，即，則顯然有，所以不成等比數列，故選項A是錯誤的；由數列是等比數列可得：，即，故選項B是正確的；由可得：前項和，故選項C是正確的；由，故選項D是正確的；方法二：由，1024除以3余數是1，所以除以3的余數還是1，從而可得能補3整除，故選項D是正確的；故選：BCD．10．（多選題）（2024·貴州畢節·三模）已知等差數列的前n項和為，且，則（

）A． B．C．數列的前n項和為 D．數列的前n項和為【答案】ABD【解析】對于A，設等差數列的首項和公差為，所以，化簡可得：，又因為，則，所以，所以，所以，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，所以數列的前n項和為，故C錯誤；對于D，令，所以數列的前n項和為：，故D正確.故選：ABD.11．（多選題）（2024·安徽淮北·二模）已知數列的前項和分別為，若，則（

）A． B．C．的前10項和為 D．的前10項和為【答案】ABD【解析】，所以是首項，公差的等差數列，，故選項A正確.令，則，，又，，，故選項C錯誤.又，，又，，，是首項為，公比的等比數列，，故選項B正確.又，是首項為，公比為的等比數列，，故選項D正確.故選：ABD.12．（2024·山西陽泉·三模）已知數列的前項和為，且，則數列的前100項和．【答案】【解析】因為，所以，故時，兩式相減得，即，因為，即，所以數列是以2為首項，以2為公比的等比數列，所以，

故答案為:.13．（2024·四川·三模）在數列中，已知，，則數列的前2024項和．【答案】【解析】因為，所以，所以，因此，故答案為：.14．（2024·江蘇南通·模擬預測）定義：表示不大于的最大整數，表示不小于的最小整數，如，.設函數在定義域上的值域為，記中元素的個數為，則，【答案】3【解析】由函數在定義域上的值域為，記中元素的個數為，當時，，可得，，，即，當時，，可得或，或，或1或2，即，當時，，可得或1或2，或或，或1或2或4或5或6，即，當時，函數在定義域上的值域為，記中元素的個數為，當時，函數在定義域上的值域為，記中元素的個數為，設，則，，所以，則可得遞推關系：，所以,當時，成立，則，則，所以，故答案為：3；15．（2024·湖南衡陽·模擬預測）已知等差數列的前n項和為，且也是等差數列．(1)求數列的公差；(2)若，求數列的前n項和．【解析】（1）設數列的公差為d，則．因為是等差數列，所以為常數．，所以，解得（2）因為，所以．，故．16．（2024·安徽安慶·模擬預測）已知.(1)求；(2)證明：是等差數列，并求出；(3)設，求的前項和.【解析】（1）.（2），故是以1為首項1為公差的等差數列.故.（3）因為，所以17．（2024·山西·模擬預測）已知數列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若，求數列的前項和.【解析】（1）因為，當時有，兩式相減得，所以，當時，，所以，此時仍然成立，所以，當時，，又也滿足，所以.（2）由（1）知，所以.18．（2024·全國·模擬預測）已知單調遞增的等比數列的前項和為，滿足，數列也為等比數列．(1)求數列的通項公式．(2)記，求數列的前項和．【解析】（1）設等比數列的公比為，結合，得數列的前三項分別為，由題意，得，所以，解得或，因為數列是單調遞增的，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，故

，故數列的前項和.19．（2024·四川涼山·三模）如圖，點均在軸的正半軸上，，，…，分別是以為邊長的等邊三角形，且頂點均在函數的圖象上．(1)求第個等邊三角形的邊長；(2)求數列的前項和．【解析】（1）記數列前項和為，則頂點坐標為，，因為點在函數上，所以，，則，，兩式相減得，，因為，所以，，第一個等邊三角形頂點代入得，代入得，所以，故是以為首項為公差的等差數列，所以．（2）由（1）得，，所以．1．（2024年高考全國甲卷數學（理）真題）記為數列的前項和，已知．(1)求的通項公式；(2)設，求數列的前項和．【解析】（1）當時，，解得．當時，，所以即，而，故，故，∴數列是以4為首項，為公比的等比數列，所以.（2）,所以故所以，.2．（2023年高考全國甲卷數學（理）真題）設為數列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數列的前n項和．【解析】（1）因為，當時，，即；當時，，即，當時，，所以，化簡得：，當時，，即，當時都滿足上式，所以．（2）因為，所以，，兩式相減得，，，即，．3．（2023年新課標全國Ⅱ卷數學真題）已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．(1)求的通項公式；(2)證明：當時，．【解析】（1）設等差數列的公差為，而，則，于是，解得，，所以數列的通項公式是.（2）方法1：由（1）知，，，當為偶數時，，，當時，，因此，當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.方法2：由（1）知，，，當為偶數時，，當時，，因此，當為奇數時，若，則，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，當時，，因此，所以當時，.4．（2022年新高考天津數學高考真題）設是等差數列，是等比數列，且．(1)求與的通項公式；(2)設的前n項和為，求證：；(3)求．【解析】（1）設公差為d，公比為，則，由可得（舍去），所以；（2）證明：因為所以要證，即證，即證，即證，而顯然成立，所以；（3）因為，所以，設所以，則，作差得，所以，所以.5．（2022年新高考全國I卷數學真題）記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．(1)求的通項公式；(2)證明：．【解析】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，∴,∴,∴當時，，∴,整理得：,即,∴，顯然對于也成立，∴的通項公式；（2）∴6．（2021年天津高考數學試題）已知是公差為2的等差數列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數列，．（I）求和的通項公式；（II）記，（i）證明是等比數列；（ii）證明【解析】（I）因為是公差為2的等差數列，其前8項和為64．所以，所以，所以；設等比數列的公比為，所以，解得（負值舍去），所以；