第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學年廣東省廣信中學、四會中學等五校高二（上）第二次段考數學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.過A(2,t)，B(5,?5)兩點的直線的傾斜角是135°，則t=(

)A.2 B.?2 C.4 D.?42.已知直線l1：x+ay?20=0與l2：2x+(a+1)y?10=0.若l1//lA.?1 B.1 C.13 D.3.一個平面截一球得到直徑為6的圓面，球心到這個圓面的距離為4，則這個球的體積為(

)A.100π3 B.208π3 C.500π34.關于直線l，m及平面α，β，下列命題中正確的是(

)A.若l//α，α∩β=m，則l//m B.若l//α，m//α，則l//m

C.若l⊥α，m//α，則l⊥m D.若l//α，m⊥l，則m⊥α5.已知一個圓錐的體積為3π3，其側面積是底面積的2倍，則其表面積為A.2π B.3π C.?3π6.圓臺的高為2，體積為14π，兩底面圓的半徑比為1：2，則母線和軸的夾角的正切值為(

)A.33 B.32 C.7.如圖，已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長均為2，E為棱PA的中點，則異面直線BE與PC所成角的余弦值為(

)A.63

B.?63

8.《九章算術》中關于“芻童”(上、下底面均為矩形的棱臺)體積計算的注釋：將上底面的長乘以二與下底面的長相加，再與上底面的寬相乘，將下底面的長乘以二與上底面的長相加，再與下底面的寬相乘，把這兩個數值相加，與高相乘，再取其六分之一.現有“芻童”ABCD?EFGH，其上、下底面均為正方形，若EF=2AB=8，且每條側棱與底面所成角的正切值均為32，則該“芻童”的體積為(

)A.224 B.448 C.2243 D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.下列說法正確的是(

)A.直線x?3y+3=0的傾斜角為60°

B.直線3x?2y?4=0在y軸上的截距為?2

C.直線(m+3)x?y?m+2=0過定點(1,5)

D.三條直線y=?x+1，2x+3y?5=010.下列說法正確的是(

)A.已知空間向量m=(3,1,3),n=(?1,λ,?1)，且m//n，則實數λ=?13

B.直線x+2y?4=0與直線2x+4y+1=0之間的距離是52．

C.已知直線l過點(2,1)，且與x，y軸正半軸交于點A、B兩點，則△AOB面積的最小值為4

D.若直線l沿x軸向左平移11.如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長均為A.BD⊥平面ACC1

B.向量B1C與AA1的夾角是60°

C.AC1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線l1：(2a?1)x+y+3=0，l2：x+ay+3=0，若l1⊥l213.已知A(2,1)點到直線x?ay+1=0的距離為1，則a=______．14.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E為棱BC上的動點且不與B重合，F為線段A1E的中點.給出下列四個命題：

①三棱錐A?A1BE的體積為12；

②AB1⊥四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知△ABC的三個頂點分別為A(2,?1)，B(2,4)，C(4,1)．

(1)求邊AC的中線和高所在直線的方程；

(2)若過頂點A的直線l的斜率存在，且原點到直線l的距離為2，求直線l的方程．16.(本小題15分)

如圖，PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=∠BAD=90°，F為PA的中點，PD=2，AB=AD=12CD=1，四邊形PDCE為矩形．

(1)求證：AC/?/平面DEF；

(2)求點F到直線PC的距離；

(3)求平面ABCD17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD為正方形，M，N分別為AD，PD的中點．

(1)求點B到平面MNC的距離；

(2)求直線MB與平面BNC所成角的余弦值．18.(本小題17分)

已知圓心為C的圓經過O(0,0)，A(0,23)兩點，且圓心C在直線l：y=3x上.

(1)求圓C的標準方程；

(2)點P19.(本小題17分)

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點，滿足DE/?/BC且DE經過△ABC的重心，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，M是A1D的中點，如圖所示．

(1)求證：A1C⊥平面BCDE；

(2)在線段A1C上是否存在點N，使平面CBM參考答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.B

6.B

7.C

8.B

9.BCD

10.ACD

11.ACD

12.1313.4314.②③④

15.解：(1)①邊AC的中點為D(3,0)，又B(2,4)，∴直線BD的斜率為4?02?3=?4，

∴邊AC上的中線所在直線的方程為y?0=?4(x?3)，即4x+y?12=0．

②直線AC的斜率為1?(?1)4?2=1，∴邊AC上的高所在直線的斜率為?1，

∴邊AC上的高所在直線的方程為y?4=?(x?2)，即x+y?6=0．

(2)①當直線l的斜率存在時，直線l的方程可設為y+1=k(x?2)，即kx?y?2k?1=0，

由題意，原點到直線l的距離為2，即|2k+1|k2+1=2，解得k=34，

∴所求直線l的方程為3x?4y?10=0．

②當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為16.解：(1)證明：設CP∩DE=G，連接FG，

由四邊形PDCE為矩形，得G為PC中點，

又F為PA中點，則AC/?/FG，

又FG?平面DEF，AC?平面DEF，

所以AC/?/平面DEF．

(2)由PD垂直于梯形ABCD所在平面，∠ADC=90°，得直線DA、DC、DP兩兩垂直，

以D為坐標原點，直線DA、DC、DP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，

則B(1,1,0)、C(0,2,0)、P(0,0,2)、F(12,0,22)，

PF=(12,0,?22)，CP=(0,?2,2)，

所以點F到直線PC的距離為d=|PF|2?(PF?CP|CP|)2=34?(?16)2=2117.解：(1)∵PD=2，AD=1，PD⊥DA，PD⊥DC，底面ABCD為正方形，

以D為原點，如圖建立空間直角坐標系D?xyz，

則D(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，

∵M，N分別為DA，DP中點，∴M(12,0,0)，N(0,0,1)，

則MN=(?12,0,1)，MC=(?12,1,0)，MB=(12,1,0)，

設平面MNC的法向量為n=(x,y,z)，

則n?MN=?12x+z=0n?MC=?12x+y=0，

令x=2，則y=1，z=1，所以n=(2,1,1)，

則MB?n=2×12+1×1+1×0=2，|n|=22+12+12=6，

∴點B到平面MNC的距離d=|MB?n||n|=218.解：(1)因為圓心C在直線l：y=3x上，

所以設圓心C的坐標為(a,3a)，

所以圓C的方程為(x?a)2+(x?3a)2=r2(r>0)，

因為圓經過O(0,0)，A(0,23)兩點，

所以(0?a)2+(0?3a)2=r2(0?a)2+(23?3a)2=r19.(1)證明：因為在Rt△ABC中，∠C=90°，DE/?/BC，且BC⊥CD，

所以DE⊥CD，DE⊥AD，則折疊后，DE⊥A1D，

又A1D∩CD=D，A1D，CD?平面A1CD，

所以DE⊥平面A1CD，A1C?平面A1CD，

所以DE⊥A1C，

又已知A1C⊥CD，CD∩DE=D，且都在面BCDE內，

所以A1C⊥平面BCDE；

(2)解：由(1)，分別以CD，CB，CA1所在直線為x軸，y軸，z軸，

建立空間直角坐標系C?xyz，

因為AD=2CD，故DE=23BC=2，

由幾何關系可知，CD=2，A1D=4，A1C=23，

故C(0,0,0)，D(2,0,0)，E(2,2,0)，B(0,3,0)，A1(0,0,23)，M(1,