第一章直角三角形的邊角關(guān)系6利用三角函數(shù)測高

1.

測量底部可以到達(dá)的物體的高度①如圖，在測點C處安置測傾器，測得B的仰

角

＝α；②量出測點C到物體底部A的水平距離

＝b；∠BDE

CA

③量出測傾器的高度

＝a，然后求出物體AB的

高度為AE＋BE＝

?.CD

a＋btan

α

2.

測量底部不可以到達(dá)的物體的高度①如圖，在測點M處安置測傾器，測得此時B的仰

角

＝α；②在測點M與物體之間的C處安置測傾器（M，C與A

在一條直線上，且M，C之間的距離可以直接測得），

測得此時B的仰角

＝β；∠BNE

∠BDE

③量出測傾器的高度MN＝CD＝a，以及測點M，C之

間的距離MC＝b，然后求出物體AB的高度為AE＋BE

＝a＋

?.題型一

測量底部可以到達(dá)的物體的高度問題

無人機(jī)在實際生活中應(yīng)用廣泛.如圖所示，小明利

用無人機(jī)測量大樓的高度，無人機(jī)在空中P處，測得樓

CD樓頂D處的俯角為45°，測得樓AB樓頂A處的俯角

為60°.已知樓AB和樓CD之間的距離BC為100

m，樓

AB的高度為10

m，從樓AB的A處測得樓CD的D處的

仰角為30°（點A，B，C，D，P在同一平面內(nèi)）.（1）填空：∠APD的度數(shù)為

，∠ADC的度數(shù)

為

?；75°

60°

（2）求樓CD的高度（結(jié)果保留根號）；

（答案圖）

（3）求此時無人機(jī)距離地面BC的高度.解：（3）如答案圖，過點P作PG⊥BC于

點G，交AE于點F，則∠PFA＝∠AED＝90°，F(xiàn)G＝AB＝10

m.∵M(jìn)N∥AE，∴∠PAF＝∠MPA＝60°.∵∠ADE＝60°，∴∠PAF＝∠ADE.

∵∠DAE＝30°，∴∠PAD＝30°.（答案圖）∵∠APD＝75°，∴∠ADP＝75°.∴∠ADP＝∠APD.

∴AP＝DA.

∴△APF≌△DAE.

∴PF＝AE＝100

m.∴PG＝PF＋FG＝100＋10＝110（m）.答：此時無人機(jī)距離地面BC的高度為110

m.（答案圖）跟蹤訓(xùn)練1.

如圖，在離鐵塔200

m的A處，用測傾儀測得塔頂B

的仰角為α，測傾儀高AD為1.5

m，則鐵塔的高BC為

（C

）A.

（1.5＋200sin

α）mB.

（1.5＋200cos

α）mC.

（1.5＋200tan

α）m（第1題）C

（第2題）解：如答案圖，作BF⊥DE于點F，BG⊥AE于點G.

（答案圖）易知四邊形BGEF為矩形，∴BG＝EF，BF＝GE.

在Rt△ADE中，∠DAE＝60°，

∴EF＝BG＝5米，BF＝AG＋AE

（答案圖）題型二

測量底部不可以到達(dá)的物體的高度問題

（2024·成都七中）天府新區(qū)秦皇湖，有天府新區(qū)小

“瀘沽湖”之稱，在湖畔對面是天府國際會議中心，該

中心以“天府之檐”為主題，沿秦皇湖東側(cè)展開以中國

古建筑“佛光寺大殿”抬梁式木結(jié)構(gòu)為原型，建構(gòu)了亞

洲最大單體木結(jié)構(gòu)建筑.天府新區(qū)某學(xué)校開展綜合實踐

活動，測量該建筑物頂端到地面的高度.如圖，AB為建筑物，在地面觀測點C處測得該建筑物

頂端A的仰角為45°，然后沿BC方向走6.5米到點D處，

即CD＝6.5米，在位于點D正上方的觀光臺點E處測得

建筑物頂端A的仰角為37°，已知DE＝3米，AB⊥BC，

DE⊥BC，根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，請求出該建筑物頂端到

地面的高度.（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：sin

37°≈0.60，cos

37°≈0.80，tan

37°≈0.75）解：如圖，過點E作EF⊥AB，垂足為F.

由題意，得ED＝BF＝3米，EF＝BD，設(shè)BC＝x米，則EF＝BD＝CD＋BC＝（x＋6.5）米.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC·tan

45°＝x米.在Rt△AFE中，∠AEF＝37°，∴AF＝EF·tan

37°≈0.75（x＋6.5）米，∴0.75（x＋6.5）＋3＝x，解得x＝31.5，∴AB＝31.5≈32（米），答：該建筑物頂端到地面的高度約為32米.跟蹤訓(xùn)練3.

如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測得河對岸