專題44兩條直線的位置關系（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1］兩直線的平行與垂直................................................4

【考點2］兩直線的交點與距離問題............................................5

【考點3】對稱問題..........................................................6

【考點4】直線系方程的應用..................................................8

【分層檢測】................................................................9

【基礎篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................10

【培優篇】.................................................................11

考試要求：

1.能根據斜率判定兩條直線平行或垂直.

2.能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標.

3.探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離.

M知識梳理

1.兩條直線平行與垂直的判定

(1)兩條直線平行

對于兩條不重合的直線A,h,其斜率分別為上，ki,則有/i〃/2=&三七.特別地，當直線3

/2的斜率都不存在時，與/2平行.

⑵兩條直線垂直

如果兩條直線/1,/2斜率都存在，設為匕，左2,則llLbOkl?k2=—l,當一條直線斜率為零，

另一條直線斜率不存在時，兩條直線垂直.

2.直線的交點與直線的方程組成的方程組的解的關系

(1)兩直線的交點

點P的坐標既滿足直線h的方程AIX+BIJ+CI=O＞也滿足直線h的方程A2x+&y+C2=0,

Aix+&y+Ci=O,

即點P的坐標是方程組，c的解，解這個方程組就可以得到這兩條直線的交點

〔42%+3+。2=0------

坐標.

⑵兩直線的位置關系

fAix+Biy+Ci=O,

方程組L的解一組無數組無解

[A2X~rB2y+Q=0

直線/1與/2的公共點的個數一個無數個零個

直線Z1與h的位置關系相交重合平行

3.距離公式

⑴兩點間的距離公式

平面上任意兩點P1(X1,yi),P2(X2,丫2)間的距離公式為|P1P2|=、/(X2—~X1)2+(Y2—

特別地，原點。(0,0)與任一點P(x,y)的距離I。尸l=、/G+y2.

⑵點到直線的距離公式

|Aro+5yo+C]

平面上任意一點Po(xo,yo)到直線/：Ax+Bv+C=0的距離d=

A/A2+B2

⑶兩條平行線間的距離公式

Ig-Ql

一■般地，兩條平行直線/i：Ar+By+Ci=0,Z2：Ax+By+C2=0間的距曷d='在十房

4.對稱問題

2

(1)點P(xo,yo)關于點A(a,0)的對稱點為P(2a—xo,2Z?-yo).

⑵設點P（xo,yo）關于直線y=kx+b的對稱點為P（x',yr）,則有<可求出

y+yo7x'+尤。j

~l~=k「一+b,

x',y'.

I常用結論

1.“直線A\x+Biy+Ci=0,Avc+B2y+C2=0平行”的充要條件是aAiBi=A2B1且

A1C2WA2C1”,“兩直線垂直”的充要條件是aB\Biv=0.

2.討論兩直線的位置關系時應考慮直線的斜率是否存在.

.L真題自測

一、單選題

1.（2024?全國高考真題）已知6是。,。的等差中項，直線依+勿+。=0與圓必+）；2+43；_1=0交于4,2兩點，

則|4用的最小值為（）

A.1B.2C.4D.26

2.（2024?北京?高考真題）圓f+/一2x+6y=0的圓心到直線》->+2=0的距離為（）

A.&B.2C.3D.3A/2

3.（2024?全國?高考真題）已知直線內+勿-4+26=。與圓C：/+丁+4y-1=0交于兩點，貝的最

小值為（）

A.2B.3C.4D.6

、填空題

x+2,x<-a,

4.（2023?北京?高考真題）設。>0,函數2（幻=<^a2-x2,-a<x<a,,給出下列四個結論:

—y[x-?1,尤>a.

①/M在區間5-1,+⑹上單調遞減；

②當時，/（x）存在最大值；

③設AfQ14abN。,/（電））（巧>a）,則I初W>1；

④設可七,〃王》（工3<-a］,Q（x4,f（x4）\x4>-a）.若|尸。|存在最小值，則。的取值范圍是［。］

其中所有正確結論的序號是.

【考點1]兩直線的平行與垂直

一、單選題

1.（23-24高三上?陜西西安?階段練習）已知直線的+2y+〃?+2=。與直線4x+（機+2）y+2機+4=0平行,

則機的值為（）

A.4B.-4C.2或TD.-2或4

2.（23-24高二上?山東?階段練習）瑞士數學家歐拉在《三角形的幾何學》一書中提出：任意三角形的外心、

重心、垂心在同一條直線上，這條直線被稱為歐拉線.己知VASC的頂點A（-L0）,B（L0）,C（l,l）,若直線

/:依+（a-3）y+l=0與VABC的歐拉線垂直，則直線/與VABC的歐拉線的交點坐標為（）

A-B.（TI）C,Q,-|]D.—]

二、多選題

3.（2022?廣東■一模）下列說法正確的是（）

A.已知直線小（左一3）x+（4—左）y+l=0與&：2（左一3）x—2y+3=0平行，則上的值是3

B.直線質-y-氏=。與圓/+產=2的位置關系為相交

C.圓Y+/+2x+4y-3=0上至IJ直線無+>+1=0的距離為&的點共有3個

D.已知AC、8。為圓。:/+/=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1,0）,則四邊形的面積的

最大值為10

4.（23-24高三下?河南濮陽,開學考試）費馬原理是幾何光學中的一條重要定理，由此定理可以推導出圓錐

曲線的一些性質，例如，若點A是雙曲線C（居,B為C的兩個焦點）上的一點，則C在點A處的切線平分

22

/耳第.已知雙曲線=l的左、右焦點分別為K,工，直線/為C在其上一點A（4石,2石）處的切線，

則下列結論中正確的是（）

A.C的一條漸近線與直線J5x-y+3=0相互垂直

B.若點3在直線/上，且月則。卻=2近（。為坐標原點）

C,直線/的方程為后-顯-4=0

D.延長4工交C于點P,則月的內切圓圓心在直線苫=速上

3

三、填空題

5.（23-24高三下?河南?階段練習）已知P,。是拋物線C:>2=版上的兩個動點，4（2,4）,直線AP的斜率

與直線A0的斜率之和為4,若直線尸。與直線/：彳->+1=。平行，則直線P。與/之間的距離等于.

6.（2023?海南?模擬預測）已知直線4：x-3y+l=O,直線4過點。,。）且與直線乙相互垂直，圓

4

C:x2+/-4x-2y-3=0,若直線4與圓C交于M,N兩點，則卜.

反思提升：

1.當含參數的直線方程為一般式時，若要表示出直線的斜率，不僅要考慮到斜率存在的一般情

況，也要考慮到斜率不存在的特殊情況，同時還栗注意x,y的系數不能同時為零這一隱含條

件.

2.在判斷兩直線的平行、垂直時，也可直接利用直線方程的系數間的關系得出結論.

【考點2］兩直線的交點與距離問題

一、單選題

1.（2023?北京東城?二模）已知三條直線乙：x-2y+2=0,Z2:x-2=0,4：%+母=。將平面分為六個部分,

則滿足條件的上的值共有（）

A.1個B.2個C.3個D.無數個

2.（24-25高三上?河南焦作?開學考試）已知點A（2p+l,3p+；|在拋物線C:x2=2py（p>0）上，則C的焦

點與點（1,2）之間的距離為（）

A.4B.75C.2D.72

二、多選題

3.（2023?河北?模擬預測）己知函數/。）=J",若直線/：>=丘+貼>1）與函數/。）在［一1,1］

上有1個公共點，在。,3］上有2個公共點，則無2+"的值不可能為（）

,654

A.1B.—C.—D.一

543

4.（2024?甘肅定西?一模）下列命題為真命題的是（）

A.4^^^^7^7工+|尤-1|的最小值是2

B.yJx2—4x—8>/—x+4+卜_”的最小值是如

C-yjx2—4x—8y/—x+4+^x2—2x—4A/—x+2的最小值是>/2

D.&—4X—8Q+4+&—2x-4Q+2的最小值是V3

三、填空題

5.（2024?山東?二模）過直線x+y+l=。和3x-y-3=0的交點，傾斜角為45。的直線方程為.

6.（2022?江蘇?模擬預測）過拋物線y2=M（〃?<0）的焦點F作圓C:（x+3）2+模+3）2=16的切線,切點為P.

若|CF|=后，貝l||P歹1=,m=.

反思提升：

（1）求過兩直線交點的直線方程的方法：先求出兩直線的交點坐標，再結合其他條件寫出直線

5

方程.

（2）利用距離公式應注意：①點P（xo,加）到直線x=a的距離d=|xo—a|,到直線y=Z?的距離d

=\yo-b\;②兩平行線間的距離公式栗把兩直線方程中x,y的系數化為相等.

【考點3】對稱問題

一、單選題

1.（2024?天津和平?二模）過直線>=彳上的點P作圓C：（x+3y+（y-5）2=4的兩條切線4,12,當直線4，

4關于直線丫=彳對稱時，點尸的坐標為（）

A.(1,1)

2.（2024?重慶沙坪壩?模擬預測）設直線l-.x+y-l=0,一束光線從原點。出發沿射線y=卮（x20）向

直線/射出，經/反射后與x軸交于點M,再次經尤軸反射后與>軸交于點N.若

\MN\=^-,則k的值為（）

116

32

A.—B.一

23

11

C.—D.—

23

二、多選題

3.（23-24高三上?重慶?階段練習）已知圓G:（x+iy+（y-2）2=3,直線/:蛆一a=0（且私〃不同

時為0）,下列說法正確的是（）

A.當直線/經過（-M）時，直線/與圓G相交所得弦長為瓦

B.當m=0時，直線/'與/關于點G對稱，則/'的方程為：y=4

C.當“=0時，圓G上存在4個點到直線/的距離為加

D.過點G與/平行的直線方程為："zx-"y-"z-2”=。

4.（23-24高二上?廣東東莞?期中）已知直線/：x-2y+8=。和三點4（2,0）,5（-2,-4）,C（2,5）,過點C的直線

4與x軸、y軸的正半軸交于M,N兩點.下列結論正確的是（）

A.P在直線/上，則|%|+|陽的最小值為40

B.直線/上一點尸（12,10）使||PB|-|PA||最大

UUUUUUU

C.當|。11|.9兇最小時/1的方程是％+丫-7=。

LILILIUJIHH1

D.當||?|ON|最小時I的方程是5x+y-15=0

三、填空題

5.（2023?福建廈門?模擬預測）己知直線53x-4y-4=0關于直線4的對稱直線為y軸，貝北的方程

6

為.

6.（23-24高二上?福建三明?階段練習）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱

情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，

藝術性最強的一部分.唐代詩人李頑的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說："白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交

河”.詩中隱含著一個有趣的數學問題一"將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發，先到河邊

飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發點是4（2,4）,軍營所在位

置為3（6,2）,河岸線所在直線的方程為尤+y-3=0,若將軍從出發點到河邊飲馬，再回到軍營（"將軍飲馬"）

的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地點的坐標為.

反思提升：

（1）光的反射問題實質是點關于直線的對稱問題，要注意轉化.

（2）直線關于點的對稱：直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱問題來解決，也可考慮利

用兩條對稱直線是相互平行的，并利用對稱中心到兩條直線的距離相等求解.

（3）求直線Zi關于直線/對稱的直線也有兩種處理方法：

①在直線/i上取兩點（一般取特殊點），利用求點關于直線的對稱點的方法求出這兩點關于直線

/的對稱點，再用兩點式寫出直線/2的方程.

②設點P（x,y）是直線/2上任意一點，其關于直線/的對稱點為Pi（xi,”）（P1在直線上），根

據點關于直線對稱建立方程組，用x,y表示出制，刀，再代入直線/i的方程，即得直線6的

方程.

【考點4】直線系方程的應用

一、單選題

1.（23-24高二下?上海?階段練習）已知直線/的方程是（3a-l）x-（a-2）y-l=0,則對任意的實數。，直線/

一定經過（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（23-24高三上?山東臨沂?期末）過圓C：/+y=2外一點尸（4-1”）作圓C的切線，切點分別為A,B,

則直線A3過定點（）

A.（-2,2）B.（2,-2）

C.（2,2）D.（-2,-2）

二、多選題

3.（23-24高二上?江西?階段練習）已知圓C:/+y2=21,直線/:依+（l—2a）y+3a—2=0（awR）,下列說

法正確的是（）

7

A.無論。取何值，直線/與圓C相交

B.直線/被圓C截得的最短弦長為4

C.若。=1,則圓C關于直線/對稱的圓的方程為(x+l)2+(y-l)2=21

D.直線/的方程能表示過點(1,2)的所有直線的方程

4.(2024?福建泉州?模擬預測)已知直線/：履+>+2左-1=0與圓C:V+丁-6y-7=0相交于42兩點，下

列說法正確的是()

A.若圓C關于直線/對稱，則上=1

B.的最小值為4A歷

C.當％=3時，對任意XeR,曲線恒過直線/與圓c的交點

D.若AB、C、O(。為坐標原點)四點共圓，則左=*

3

三、填空題

5.(23-24高三上?重慶九龍坡?階段練習)已知直線(l+Qx+y-笈-2=0恒過定點尸，則點尸關于直線

x-y-2=0的對稱點的坐標是.

6.(23-24高二上?全國?課后作業)經過點尸(1,0)和兩直線4：x+2y-2=0；4：3x-2y+2=0交點的直線方

程為.

反思提升：

幾種常見的直線系方程

(1)與直線Ax+By+C=0平行的直線系方程是Ax^By+m=0(機?R且加W0.

(2)與直線Ax+By+C=Q垂直的直線系方程是Bx~Ay+n=O(n^R).

(3)過直線h:Aix+Biy+Ci=Q與/2:Avc+Biy+C2=Q的交點的直線系方程為Aix+Biy+Ci

+2(Aax+Biy+C2)=0(A￡R),但不包括力.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.(24-25高二上?全國?課后作業)已知直線4：融+4丫-2=0與直線6：2x-5y+6=。互相垂直，交點坐標為

(l,c),貝!|a+b+c的值為()

A.20B.-4C.0D.24

2.(24-25高二上?全國?課后作業)平面上一動點P滿足：|PM『+|PN|2=6且M(-LO),N(1,O),則動點尸的

8

軌跡方程為（）

A.（x+l）2+y2=3B.（x-l）2+y2=3

C.x2+y2=2D.x1+y2=3

3.（24-25高三上?河北保定?開學考試）函數y=lnx圖象上的點到直線y=x距離的最小值為（）

A.—B.1C.J2D.2

2

4.（24-25高二上?全國?課后作業）已知直線3x+2y-3=0和6x+my+l=0互相平行，則它們之間的距離是

（）

A4R5713R5A/13D7m

132626

二、多選題

5.（22-23高二上,安徽馬鞍山,期末）若三條直線4：2x-y+1=0,4：x+y-1=0,4：2x+ay+。-2=。可以圍成

一個三角形，則實數。的值可以為（）

A.-1B.0C.1D.3

6.（2024?云南昆明?模擬預測）唐代詩人李頑的詩《古從軍行》開頭兩句："白日登山望烽火，黃昏飲馬傍

交河"隱藏著一個有趣的數學問題一一"將軍飲馬"，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發，先去河

邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標系中有兩條河流m,n,其方程分別為2x-y=0,

y=0,將軍的出發點是點A（3,l）,軍營所在位置為3（6,3）,則下列說法錯誤的是（）

A.若將軍先去河流山飲馬，再返回軍營，則將軍在河邊飲馬的地點的坐標為（1,2）

B.將軍先去河流〃飲馬，再返回軍營的最短路程是百

C.將軍先去河流機飲馬，再去河流”飲馬，最后返回軍營的最短路程是庖

D.將軍先去河流w飲馬，再去河流加飲馬，最后返回軍營的最短路程是2小

7.（23-24高二下?內蒙古赤峰?期末）已知直線/：y=a尤-4+1,下列說法正確的是（）

A.直線/過定點（-M）

B.當4=1時，/關于無軸的對稱直線為尤+y=。

C.直線/一定經過第四象限

D.點P（3,-l）到直線/的最大距離為2夜

三、填空題

8.（24-25高二?上海?隨堂練習）若"+緲-2=0與尤-y+a=0平行，則兩直線之間的距離為.

9.（23-24高二上?江蘇南京?期末）求過兩條直線彳-2>+4=。和》+>-2=。的交點，且與3x+4y-2=0垂

直的直線方程.

9

10.（23-24高二下?山西?期中）己知圓C：（x+2）2+（'-4）2=1,則圓心C到直線/：履+>-4=。的最大距

離為.

四、解答題

11.（22-23高二上?湖北武漢?階段練習）已知兩條平行直線4：*-2丫+加=0（"2>0）與/2：2%+妝-6=0之間的

距離是26.

⑴求直線4關于直線4對稱的直線方程；

⑵求直線4關于直線4：3x-y-4=。對稱的直線方程.

12.（23-24高二下?河北張家口?開學考試）已知直線乙：無+妝+1=0和。2x+y-l=0.

⑴若4與4互相垂直，求實數機的值；

（2）若4與4互相平行，求4與4間的距離.

【能力篇】

一、單選題

1.（24-25高二上?上海?課堂例題）過原點的直線/的傾斜角為仇則直線/關于直線>=了對稱的直線廠的傾

斜角不可能為（）

A.0B.0C.Tt—0D.----0

22

二、多選題

2.（23-24高二上?福建莆田?期中）以下四個命題敘述正確的是（）

A.直線2x-y+l=0在x軸上的截距是1

B.直線x+h=。和2x+3y+8=0的交點為「，且尸在直線無一y-l=0上，則上的值是一工

2