專題11對數與對數函數（新高考專用）

目錄

【知識梳理】................................................................2

【真題自測】................................................................3

【考點突破】................................................................4

【考點1】對數的運算........................................................4

【考點2］對數函數的圖象及應用..............................................6

【考點3］對數函數的性質及應用7

【分層檢測】................................................................8

【基礎篇】..................................................................9

【能力篇】.................................................................10

【培優篇】.................................................................11

考試要求：

1.理解對數的概念及運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉化成自然對數或常用對數.

2.通過實例，了解對數函數的概念，能用描點法或借助計算工具畫具體對數函數的圖象，理解

對數函數的單調性與特殊點.

3.了解指數函數與對數函數丁=108胡伍>0,且aWl)互為反函數.

■知識梳理

L對數的概念

如果〃=川3>0,且aWl),那么數x叫做以a為底N的對數，記作x=logW,其中a叫做對

數的底數，N叫做真數.

2.對數的性質、運算性質與換底公式

⑴對數的性質：①“窕a="；②logM=6(a>0,且。W1).

⑵對數的運算性質

如果a>0且aWl,M>0,N>0,那么

①lOga(JW)=logo"+lOgaN；

②logo討=log。"-logaN；

③lOgaM"="lOgaM"GR).

(3)換底公式：logab=￡”(a>0,且a#l,b>Q,c>Q,且cWl).

lOgc〃

3.對數函數及其性質

⑴概念：函數y=log?x(a>0,且aWl)叫做對數函數，其中x是自變量，定義域是(0,+°°).

(2)對數函數的圖象與性質

a>\0<a<l

y

［：=1)=log/%=1

”,0),

圖象

0a。)~o

'y=log/

定義域：(0,+8)

值域：R

當x=l時，y=0,即過定點(1,0)

性質

當x>l時,y>0；當x>\時,y<0；

當0<%<1時，y<0當0<x<l時，y>Q

在(0,+8)上是增函數在(0,+8)上是減函數

4.反函數

2

指數函數y=tf（a>0,且。關1）與對數函數y=logax（a>0,且aWl）互為反函數，它們的圖象關

于直線y=x對稱.它們的定義域和值域正好互換.

|常用結論

1.換底公式的兩個重要結論

（l）loga"=J—（。>0,且aWl；b>0,且8Wl）.

10g。。

m/!

（2）logoZ?=~logaZ?（<7>0,且aWl；b>0；m,nGR,且加#0）.

2.對數函數的圖象與底數大小的比較

如圖，作直線y=l,則該直線與四個函數圖象交點的橫坐標為相應的底數.'j

故0<c<d<l<a<b.

由此我們可得到以下規律：在第一象限內從左到右底數逐漸增大.

*真題自測

一、單選題

1.（2023?北京?高考真題）下列函數中，在區間（0,內）上單調遞增的是（）

A.7■（尤）=-lnxB.f（x）=g

C./（%）=--D./（x）=3k-11

2.(2022?全國?高考真題)已知9m=10,a=l(T-ll,b=8"-9,貝|()

A.a>Q>bB.a>b>GC.b>a>0D.b>Q>a

設Q=0.1e°」,Z7=",c=-ln0.9,則

3.（2022?全國?高考真題）()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

已知。=log52,b=log3,c=；,

4.（2022全國?高考真題）8則下列判斷正確的是（）

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

5.（2021?全國?高考真題）設a=21nl.01,b=lnl.O2,C=A/L04-1.則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

6.（2021?全國?高考真題）青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量.通常用五分記

錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據工和小數記錄表的數據V滿足乙=5+lgV.已知某同學

視力的五分記錄法的數據為4.9,則其視力的小數記錄法的數據為（）（啊”1.259）

A.1.5B.1.2C.0.8D.0.6

3

若2a=5〃=10,則工+：=()

7.（2021?天津?|Wj考真題）

ab

A.-1B.1g7C.1D.log710

設“（了=。°貝！匕，。的大小關系為（）

8.（2021?天津?|Wj考真題）=1.0.3]=1^0.4°.4

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

二、多選題

9.（2023?全國?高考真題）噪聲污染問題越來越受到重視.用聲壓級來度量聲音的強弱，定義聲壓級

c.P3=100p0D.P1WIOOP2

三、填空題

10.（2023?全國?高考真題）設ae（O,l）,若函數7'（%）="+（l+a），在（0,+“）上單調遞增，則a的取值范圍

是

11.（2023?北樂?高考真題）已知函數/(x)=4'+log2X,則/

1

12.（2022?全國?高考真題）若〃x)=lnCLH--+---6---是-奇函數，貝,b=

1-X

攣考點突破

【考點1】對數的運算

一、單選題

b=logi3

1.(2023?寧夏銀川?三模)設a=ln7i,。=3一2,則（）

e

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>b>a

2.（2024?黑龍江哈爾濱?一模）酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全，根據國家有關規

4

定：100mL血液中酒精含量達到20?79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認定為醉酒駕車.假設某

駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含

量會以每小時30%的速度減少，那么他至少經過幾個小時才能駕駛？（）（結果取整數，參考數據：

lg3?0.48,lg7?0.85）

、多選題

3.（2024?全國?模擬預測）已知實數a,6滿足+log〃3=logsb+log。4,則下列關系式中可能正確的是

A.3a,Zje(0,+oo),使|。一切>1B.Ba,bG(0,+c6),使必=1

C.Va,Z?e(l,+co),有b<a<及D.Va,Z?e(0,l),有b<”加

4.（2024?貴州貴陽?一模）已知2，=3'=6,則實數乂丫滿足（

A.(x-l)(y-l)=lB.x+y>4

c.-+->iD.Ay>4

%y

5.（2024?全國?模擬預測）已知是定義在R上的奇函數，當x>0時，/（%）=2'\則

/（0）+/（-log43）=.

6.（2024?廣東廣州?模擬預測）"阿托秒”是一種時間的國際單位，"阿托秒”等于10-8秒，原子核內部作用過

程的持續時間可用"阿托秒”表示.《莊子?天下》中提到，“一尺之趣，日取其半，萬世不竭"，如果把"一尺之

棱”的長度看成1米，按照此法，至少需要經過天才能使剩下"棱”的長度小于光在2"阿托秒”內走過的

距離.（參考數據：光速為舞IO?米/秒，坨2。0.3,lg3ao.48）

反思提升：

1.在對數運算中，先利用幕的運算把底數或真數進行變形，化成分數指數幕的形式，使幕的底

數最簡，然后用對數運算法則化簡合并.

2.先將對數式化為同底數對數的和、差、倍數運算，然后逆用對數的運算法則，轉化為同底對

數真數的積、商、幕再運算.

3.ab=N<^>b=logJV（a>0,且aWl）是解決有關指數、對數問題的有效方法，在運算中應注意互

化.

【考點2】對數函數的圖象及應用

一、單選題

1.（2024?全國?模擬預測）函數〃尤）=xlnF的大致圖象為（）

3+x

5

2.（2024?貴州黔東南?二模）若函數〃x）=log0（f-6+4）（a>0）的值域為R.則”a）的取值范圍是（）

A.（-e,4]B,C.[4,+co）D.

二、多選題

3.（21-22高一上?河北張家口,期末）在同一直角坐標系中，函數y=。'與y=log“（尤-2）的圖象可能是（）

4.（2022?湖南岳陽?一模）已知函數g（x）=log“（x+左）（a>0且"南的圖象如下所示.函數

的圖象上有兩個不同的點則（）

6

A.a>l,k>2B.f（x）在火上是奇函數

C.在火上是單調遞增函數D.當尤20時，2/（x）＜f（2x）

三、填空題

5.（2024?陜西西安?模擬預測）若直線27nx+“＞一4=0（加＞0,〃＞0）過函數y=log0（x-l）+2（a＞0,且q/l）

ri4

的定點T,則上+2的最小值為.

mn

rx2+4x+1x＜0

6.（2024?全國?模擬預測）已知函數/（尤）=；''一二則函數＞=/（/（尤））+1有_______個零點.

[log?x,x＞0,

反思提升：

1.在識別函數圖象時，要善于利用已知函數的性質、函數圖象上的特殊點（與坐標軸的交點、最

高點、最低點等）排除不符合要求的選項.

2.一些對數型方程、不等式問題常轉化為相應的函數圖象問題，利用數形結合法求解.

【考點3】對數函數的性質及應用

一、單選題

1.（2024?江蘇揚州?模擬預測）設方程2，+x+3=0和方程1鳴》+》+3=0的根分別為。，4,設函數

/(x)=(x+p)(x+q),則()

A-/（2）=f（0）＜/（3）B./（0）=/（3）＞/（2）

C./（3）＜/（2）=/（0）D./（0）＜/（3）＜/（2）

2.（2021.寧夏銀川.二模）中國的5G技術領先世界，5G技術極大地提高了數據傳輸速率，最大數據傳輸速

率C取決于信道帶寬卬，經科學研究表明：C與W滿足C=Wlog2（l+1），其中S是信道內信號的平均功

率，N是信道內部的高斯噪聲功率，?為信噪比.當信噪比比較大時，上式中真數中的1可以忽略不計.若不

N

改變帶寬M而將信噪比U從I。。。提升至4000,則。大約增加了（）（附：坨2。0.3010）

N

A.10%B.20%C.30%D.40%

二、多選題

3.（20-21高三上?遼寧大連?期中）對于實數。，b,加下列真命題的為（）

什，八八r.,a+ma

A.若a＞b,則由B.右b>a>0,m>0,貝U------->—

b+mb

C.若a>b,則網D.若a>6>0,且|ln4=M4，貝!J〃+2〃的最小值為2&

2+x

4.（23-24高一上?黑龍江齊齊哈爾?期末）已知函數/（x）=logi—,則下列說法正確的是（)

A.函數/（X）值域為R

7

B.函數/■（%）是增函數

C.不等式〃3x—1）+/（3”<0的解集為

口。小盤M］全》…+{1］+”"1）+〃0）+〃1）+/出+~+7'。>0

三、填空題

5.（2023?甘肅平涼?模擬預測）已知事函數外幼=""的圖象過點（四,2后），設。=〃Wl=/（n）,c="ln2）,

則。、仄c的大小用小于號連接為

6.（22-23高三上,湖北武漢,期末）對任意正實數。，記函數〃x）=|lgx|在［。,內）上的最小值為機“，函數

g（x）=sin—在［0,a］上的最大值為%,,若貝IJ。的所有可能值____.

反思提升：

利用對數函數的性質，求與對數函數有關的函數值域和復合函數的單調性問題，必須弄清三方

面的問題：一是定義域，所有問題都必須在定義域內討論；二是底數與1的大小關系；三是復

合函數的構成，即它是由哪些基本初等函數復合而成的.另外，解題時栗注意數形結合、分類

討論、轉化與化歸思想的應用.

分層檢測

【基礎篇】

一、單選題

1.（2024?河南三門峽?模擬預測）研究表明，地震時釋放的能量E（單位：焦耳）與地震里氏震級M之間的

關系為lgE=4.8+1.5M.2024年1月30日在新疆克孜勒蘇州阿合奇縣發生了里氏5.7級地震，所釋放的能量

記為昂2024年1月13日在湯加群島發生了里氏5.2級地震，所釋放的能量記為石2,則比值目的整數部分

E2

為（）

A.4B.5C.6D.7

2.（2024?湖南?一模）已知a,beR,且a>0*>0,則必>1是lrwlnb>0的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.（2024?甘肅武威?模擬預測）設a=0.8?",6=logo,50.8,c=logo,40.9,則凡6,c的大小關系是（）

A.b>c>aB.a>c>bC.b>a>cD.a>b>c

f—］0x

4.（2024?四川成都?一模）函數y=lg尤的圖象經過變換。：,'c后得到函數y'=〃x'）的圖象，則〃x）=

［y=y+2

（）

A.-1+lgxB.1+lgxC.-3+lgxD.3+lgx

8

二、多選題

5.（2022?海南?模擬預測）下列函數最小值為2的是（）

221

A.y=x-2x+3B.y=x+—

x

C.>=/+（D.y=|lnx|+l

6.（2023?福建廈門?一模）已知實數。，b,。滿足3=2嗔/，則下列關系式中可能成立的是（）

A.c>b>aB.a>c>bC.c>a>bD.a>b>c

7.（2024?河南?模擬預測）已知正數1>九則下列選項正確的是（）

2

A.log2（x+l）>log2（/+l）B.cosx>cosy

33+1+1

C.（x+1）>（j+l）D.e^>e^

三、填空題

8.（2022?上海,模擬預測）若函數〃尤）=。“（-尤2一6-1）（a>0且"1）有最大值，則。的取值范圍

是.

9.（2023?江蘇鎮江?模擬預測）已知函數/（x）=e'+x-2的零點為。，函數g（x）=lnx+x-2的零點為6,則

e"+lnZ?=.

10.（2021?全國,模擬預測）已知函數〃尤）=/：一1°8式：+1）""0是奇函數，則g（_2）=________.

[g（x）,尤<0

四、解答題

11.（21-22高一上?四川資陽?期末）已知/（x）=log“（ar—2）（其中a>0且"1）.

（1）若a=2,/（x）<2,求實數x的取值范圍；

（2）若xe[4,6],的最大值大于1,求。的取值范圍.

12.（2023?四川成都?二模）已知函數/（尤）=log2（|x-l|+l尤一5|-。）

⑴當4=5時，求函數/（X）的定義域；

（2）當函數/（元）的值域為R時，求實數。的取值范圍.

【能力篇】

一、單選題

1.（2024?陜西西安?模擬預測）設a,b,c都是正數，且4"=6〃=9。=，那么（）.

111111112112

A.—+—=—B.—+—=—C.—+—=—D.—+—

abcbcaabcacb

二、多選題

2.（2024?山西晉中?模擬預測）下列說法正確的是（）