第10講：拓展三：通過求二階導函數解決導數問題

目錄

1、函數極值的第二判定定理：..............................1

類型一：利用二階導數求函數的極值.........................1

類型二：利用二階導數求函數的單調性.......................3

類型三：利用二階導數求參數的范圍.........................5

類型四：利用二階導數證明不等式............................7

1、函數極值的第二判定定理：

若“組在x=x0附近有連續的導函數/(X)，且/'(%)=o,f\x0)0

(1)若/"(/)<0,則/(x)在點與處取極大值；

⑵若/"(%)>0,則/(%)在點%處取極小值

2、二次求導使用背景

(1)求函數的導數r(x),無法判斷導函數正負；

(2)對函數4%)一次求導得到;''(X)之后，解不等式/'(x)>0和/''(%)<0難度較大甚至

根本解不出.

(3)一階導函數中往往含有e'或Inx

3、解題步驟：

設g(x)=/'(x)，再求g'(x),求出g'(x)>0和g'(x)<0的解,即得到-函數g(x)的單調性,

得到函數g(x)的最值，即可得到fr(x)的正,負情況，即可得到函數f(x)的單調性.

高頻考點

類型一：利用二階導數求函數的極值

典型例題

例題1.(2024?貴州貴陽?一模)英國數學家泰勒發現了如下公式:

ex=l+x+一+—+…+—+…其中加=1*2*3、4*—X”,6為自然對數的底數,

2!3!n\

e=2.71828…….以上公式稱為泰勒公式.設〃引=*1超(另=*二，根據以上信息,

并結合高中所學的數學知識，解決如下問題.

(1)證明:ex>l+x；

⑵設x?O,y),證明：率<8(耳；

⑶設尸(x)=g⑺-+若x=0是―無)的極小值點，求實數。的取值范圍.

例題2.(23-24高二下?云南玉溪?階段練習)已知函數〃力=依-Inx-LaeR.

⑴討論函數〃尤)的單調區間；

(2)當。=1時,設g(x)=e"(x)+e*+/m;(meR),若g(x)\O恒成立，求加的取值范圍.

練透核心考點

1.(2024?四川遂寧?二模)已知函數"x)=e，-or-2.

⑴若在區間(0,1)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若xe(0,+oo),/(x)>x-sinx-cosx,求。的取值范圍.

2.(2024?四川廣安?二模)已知函數，(x)=e*-依—1.

⑴若/(X)存在極值，求。的取值范圍；

(2)若XG(0,+OO),證明：f(x)>x-sinx.

類型二：利用二階導數求函數的單調性

典型例題

例題1.(2024?江西九江?二模)已知函數〃尤)=(2X-4)111(尤-1)+6(4力€11)在x=2處的切

線方程為3x-y-2=0

(1)求a,b的值；

⑵判斷外”的單調性.

例題2.(23-24高二下?廣東清遠?階段練習)已知函數/(x)=lnx-or+a,g(x)=xeA-2x.

(1)求函數y=〃x)的單調區間；

⑵已知q=l,當xe(O,y),試比較“力與g(x)的大小，并給予證明.

練透核心考點

1.(23-24高二下,重慶銅梁?階段練習)拐點，又稱反曲點，指改變曲線向上或向下的點(即

曲線的凹凸分界點).設廣(X)是函數y=/(x)的導函數，/(X)是函數r(x)的導函數，若

方程尸(x)=o有實數解X=并且在點(/"(%))左右兩側二階導數符號相反，貝I］稱

(X。J(x。))為函數y=/(x)的“拐點

⑴經研究發現所有的三次函數/。)=訃3+/2+5+八°片0)都有"拐點"，且該"拐點”也是函

數y=/(元)的圖象的對稱中心.已知函數/(元)=V+桁2-9x+a的圖象的對稱中心為,

討論函數Ax)的單調性并求極值.

1Q5

(2)已知函數g(x)=2/m?++—尤——F+1,其中加>0.求g(x)的拐點.

mm

2.(23-24高二下?寧夏?階段練習)已知函數〃x)=(x-l)e'-加.

(1)當a<0時，求證：/(x)>-2x2-l；

⑵當a=T時，函數g(x)=/(x)-xe"+x在(0,+8)上的最大值為加，求不超過俄的最大整

數.

類型三：利用二階導數求參數的范圍

典型例題

x

e_1

例題L（23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習）已知=17g（e為自然對數的底數）

（1）求曲線y=F（x）在點（0,/（0））處的切線方程；

（2）求證：當x＞0時，4了）＞/；恒成立；

x+2

（3）已知左＞0,如果當1＞0時，/（力〉3kx恒成立，求女的最大值.

e+1

例題2.（23-24高三下?江西階段練習）記函數y=〃x）（xe。）在。上的導函數為y=/'（x）,

若尸（x）＞0（其中=恒成立，則稱y=/（x）在。上具有性質

⑴判斷函數y=log〃x（。＞0且分1）在區間（0,+向上是否具有性質V?并說明理由；

⑵設。,6均為實常數，若奇函數8（無）=2/+依2+巳在％=［處取得極值，是否存在實數c,

X

使得y=g（x）在區間［c，+8）上具有性質M?若存在，求出C的取值范圍；若不存在，請說

明理由；

⑶設左eZ且上＞0,對于任意的xe（o,y）,不等式匕螞上D＞上成立，求上的最大值.

XX+1

練透核心考點

1.(23-24高三下?山東濰坊?階段練習)已知函數〃x)=ae=；尤2-尤.

(1)若〃龍)在R上單調遞增，求實數a的取值范圍；

⑵當。=1時，證明：Vxe(-2,+co),/(x)>sinx.

2.(2023?河南?三模)已知函數〃x)=lnx-x+2,e為自然對數的底數.

(1)若此函數的圖象與直線x=」交于點P,求該曲線在點P處的切線方程;

e

⑵判斷不等式“X)>0的整數解的個數；

⑶當?<e2時，(l+axe2r_a)〃x)Wxe2-，-l,求實數a的取值范圍.

類型四：利用二階導數證明不等式

典型例題

x

e_1

例題L(23-24高二下?江蘇蘇州?階段練習)已知=17g(e為自然對數的底數)

(1)求曲線y=F(x)在點(0,/(0))處的切線方程；

(2)求證：當x>0時，4了)>/；恒成立；

x+2

kx

(3)已知左>0,如果當1>0時，/(力〉3恒成立，求女的最大值.

e+1

例題2.(2024?黑龍江齊齊哈爾?二模)已知函數/(x)=Hnx+-----,awR.

x

⑴當。=2時，求曲線y=/(x)在點(1"(功處的切線方程；

(2)當xNO時，證明：exln(x+l)+e-x-cosx>0.