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文檔簡介
2025屆高考數學復習壓軸小題專項(平面解析幾何綜合問題)好題練習
一、單選題
22
1.(2023?江蘇南京?南京市第一中學校考模擬預測)如圖,已知片,耳是雙曲線C三-與=1的左、右焦點,尸,。
ab1
為雙曲線C上兩點,滿足片尸〃與0,且|EQ|=|與尸]=3|耳尸則雙曲線C的離心率為()
22
2.(2023?江蘇南通?模擬預測)已知橢圓C:芯+}=1(。>6>0)的左、右焦點分別為耳、F2,以月為圓
心的圓與X軸交于耳,B兩點,與y軸正半軸交于點A,線段N4與C交于點若忸與c的焦距的比值
為叵,則C的離心率為()
3
A.更二1B.1A/3+1口不~1
224,2
3.(2023?江蘇鎮江?揚中市第二高級中學校考模擬預測)已知直線":x+wy-3加-1=0與自
〃7X-y-3m+l=O相交于點M,線段48是圓C:(x+1)2+(j/+l)2=4的一條動弦,且|48卜,^AMA-MB
的最小值為()
A.6-472B.3-V2C.5+VID.75-1
4.(2023?江蘇揚州?統考模擬預測)已知向量萬=(x+l,石+y),B=(x-l,6-y),滿足21彼的動點〃(x,y)的
軌跡為£,經過點N(2,0)的直線/與£有且只有一個公共點A,點P在圓/+(y-20)2=l上,則/P的最
小值為().
A.3-2&B.72-1
C.2拒-2D.1
22
5.(2023-江蘇蘇州?蘇州中學校考模擬預測)已知橢圓]+==1e>6>0))的焦點為耳,F2,P是橢圓
上一點,且2兩.陽=|聞川恒若△片的內切圓的半徑/滿足戶勾=3rsin4月尸,則日產(其
中e為橢圓C的離心率)的最小值為()
73V10「屈n2V2I
Dn.-------C.-----U.-------
1077
6.(2023春?江蘇南通?高三海安高級中學校考階段練習)雙曲線Lx?-/=4的左,右焦點分別為不工,
過用作垂直于x軸的直線交雙曲線于42兩點,口/耳用口叫耳口耳的內切圓圓心分別為日,。2,。3,則
口。02。3的面積是()
A.672-8B.6V2-4C.8-472D.6-472
22
7.(2023?江蘇南京?南京市第五高級中學校考二模)已知耳,月分別是雙曲線「十方=1(。>01>0)的
左、右焦點,過耳的直線分別交雙曲線左、右兩支于42兩點,點C在x軸上,CB=3F^,BF2平分NF&C,
則雙曲線「的離心率為()
A.V7B.V5C.V3D.V2
8.(2023?江蘇南通?二模)已知B,B分別是雙曲線C:6>0)的左、右焦點,點尸在雙曲
2222
線上,PF,1PF2,圓O:x+y=^a+b),直線尸B與圓。相交于,,8兩點,直線PB與圓。相交于
M,N兩點.若四邊形?W2N的面積為9/,則C的離心率為()
A.-B.-C.@D,
4525
22
9.(2023秋?江蘇南京?高三南京市第一中學校考階段練習)已知雙曲線-方=l(a>0,6>0)的左、右
焦點分別為耳,F],P是雙曲線E上一點,PFhB,/4隼的平分線與無軸交于點0,22=:,則
、4PF位J
雙曲線E的離心率為()
C.用
A.V2B.2D.V3
2
22
10.(2023?江蘇鹽城?鹽城中學校考三模)已知A、5是橢圓,方=1(。>6>0)與雙曲線
22
鼻-白=1(。>0,6>0)的公共頂點,P是雙曲線上一點,PA,交橢圓于M,N.若ACV過橢圓的焦點9,
且tanN4MB=-3,則雙曲線的離心率為()
D.當
A.2C.V2
11.(2023春?江蘇南通?高三海安高級中學校考階段練習)人教A版必修第一冊第92頁上“探究與發現”的學
習內容是“探究函數y=x+工的圖象與性質”,經探究它的圖象實際上是雙曲線.現將函數y=2x+^的圖象繞
XX
原點順時針旋轉得到焦點位于無軸上的雙曲線C,則該雙曲線C的離心率是()
A.—J八B.C.10-475D.710-475
22
二、多選題
12.(2023?江蘇揚州?統考模擬預測)圓柱高為1,下底面圓。的直徑N8長為2,8片是圓柱。旦的一
條母線,點R0分別在上、下底面內(包含邊界),下列說法正確的有().
A.若P4+PB=3,則尸點的軌跡為圓
B.若直線。尸與直線。4成45。,則尸的軌跡是拋物線的一部分
C.存在唯一的一組點尸,0,使得/尸,尸。
D./尸+「。+0月的取值范圍是[舊,26+班]
13.(2023?江蘇蘇州?蘇州中學校考模擬預測)若點尸是棱長為2的正方體-44G。表面上的動點,
點M是棱44的中點,則()
A.當點P在底面48CD內運動時,三棱錐P-GRM的體積為定值§
B.當/PLDM時,線段/P長度的最大值為4
C.當直線NP與平面/BCD所成的角為45。時,點P的軌跡長度為4亞+乃
D.直線。“被正方體"3CD-4與GA的外接球所截得的線段的長度為g
14.(2023秋?江蘇泰州?高三統考期末)過圓O:/+丁=8內一點網1,6)作兩條互相垂直的弦Ag,CD,
得到四邊形NO8C,則()
A.H目的最小值為4
B.當[48|=2班時,]。回=2療
C.四邊形/D8C面積的最大值為16
D.衣.麗為定值
15.(2023春?江蘇南通?高三校考開學考試)已知過拋物線C:/=4x焦點廠的直線/交C于48兩點,交C
的準線于點其中B點在線段上,O為坐標原點,設直線/的斜率為左,則()
A.當左=1時,以4=8B.當%=2后時,忸叫=|/卻
C.存在上使得N/O8=90°D.存在上使得乙108=120。
16.(2023春?江蘇南京?高三南京師大附中校考開學考試)已知經過點尸(2,4)的圓C的圓心坐標為(0,f)(?
為整數),且與直線/:屈-了=0相切,直線小:辦+了+2a=0與圓C相交于/、8兩點,下列說法正確
的是()
A.圓C的標準方程為/+(了一葉=9
B.若尸/1PB,則實數。的值為-2
C.若|/8|=2血,貝。直線〃?的方程為x7+2=0或7x7+14=0
D.弦48的中點M的軌跡方程為(x+1)2+(V-2『=5
17.(2023春?江蘇南京?高三南京市寧海中學校考階段練習)已知曲線G:?=e',拋物線。2:/=?,
P(x「,處)為曲線G上一動點,。(%,%)為拋物線C2上一動點,與兩條曲線都相切的直線叫做這兩條曲線的
公切線,則以下說法正確的有().
A.直線/:了=尤+1是曲線G和C2的公切線;
B.曲線G和的公切線有且僅有一條;
C.|尸。|+無2最小值為&-1;
D.當P0//X軸時,口。|最小值為W工.
18.(2023秋?江蘇南京?高三金陵中學校考階段練習)已知雙曲線1-4=1的左、右焦點分別是片,月,點尸
169
在雙曲線的右支上,則()
A.若直線2片的斜率為左,則閥e
B.使得△尸與名為等腰三角形的點P有且僅有四個
,144
C.點尸到兩條漸近線的距離乘積為石
D.已知點0(7知),則內尸|+|尸。|的最小值為5
19.(2023春?江蘇南通?高三校考開學考試)在平面直角坐標系》帆中,P是直線/:x+y+2=0上一點(除
去與無軸的交點),過P作拋物線c:¥=2》的兩條切線,切點分別為N,B,直線為,尸8與X軸分別交于
點、M,N,則()
A,直線過定點(一1,2)B.的最小值為石
C./MW為銳角D.次.礪最小值為一1
20.(2023?江蘇連云港?統考模擬預測)已知拋物線C:V=2px(p>0)的焦點為凡直線/與C交于/(國,必),
8(%,%)兩點,其中點/在第一象限,點M是的中點,作"N垂直于準線,垂足為N,則下列結論正
確的是()
A.若直線/經過焦點尸,且刀.無=-12,則。=2
B.若疝?=3而,則直線/的傾斜角為g
C.若以為直徑的圓“經過焦點尸,則篇的最小值為四
D.若以48為直徑作圓則圓M與準線相切
22
21.(2023?江蘇徐州?江蘇省沛縣中學校考模擬預測)己知。為坐標原點,橢圓C:?+匕=l(a>2行).過點
a8
”(亞,1)作斜率分別為弓和一日的兩條直線4,4,其中4與c交于尸,。兩點,4與C交于邑7兩點,且
OP^2OM>則()
A.C的離心率為正B.\ST\=6
2
1111..............................
C\^+\MQ\=\MS\+\MT\D-尸,O,S,7四點共圓
22.(2023秋?江蘇南通?高三統考階段練習)平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線,
它是1675年卡西尼在研究土星及其衛星的運行規律時發現的,已知在平面直角坐標系xOy中,"(-2,0),
N(2,0),動點尸滿足|PMHPN|=5,則下列結論正確的是()
A.點尸的橫坐標的取值范圍是卜石,石]
B.|。目的取值范圍是[1,3]
C.□PAW面積的最大值為:
2
D.|月囪+|尸川的取值范圍是[2有,5]
22
23.(2023?江蘇?高三專題練習)設橢圓C:5+方=1(。>6>0),磯08),/(%,")為橢圓C上一點,加40,
點民/關于無軸對稱,直線E4劭分別與x軸交于兩點,則()
A.H目的最大值為V7萬
B.直線E4EB的斜率乘積為定值
C.若V軸上存在點尸,使得NMPO=NPNO,則尸的坐標為(0,。)或(0,-。)
D.直線/N過定點
24.(2023春?江蘇南通?高三海安高級中學校考階段練習)設直線/與拋物線j?=4x相交于4,8兩點,與
圓(x-5)2+y2=,2&>0)相切于點物%,%),且加?為N8的中點.()
A.當為=1時,的斜率為2B,當%=2時,|/卻=8
C.當廠=5時,符合條件的直線/有兩條D.當廠=3時,符合條件的直線/有四條
25.(2023?江蘇鹽城?校考三模)畫法幾何的創始人一法國數學家加斯帕爾?蒙日發現:與橢圓相切的兩條
垂直切線的交點的軌跡是以橢圓中心為圓心的圓,我們通常把這個圓稱為該橢圓的蒙日圓.已知橢圓
C:5+V=1.4,月分別為橢圓的左、右焦點,直線/的方程為X+虛>-3=0,M為橢圓C的蒙日圓上一動
點,M4,MB分別與橢圓相切于48兩點,O為坐標原點,下列說法正確的是()
A.橢圓C的蒙日圓方程為無2+/=3
B.記點A到直線/的距離為d,則d-|盟|的最小值為竽
C.一矩形四條邊與橢圓C相切,則此矩形面積最大值為6
D.口/Q5的面積的最小值為|,最大值為正
32
26.(2023?江蘇南通?統考模擬預測)已知雙曲線C:x2-1=1的左,右焦點分別為耳,用,點尸是雙曲線
C的右支上一點,過點尸的直線/與雙曲線C的兩條漸近線交于M,N,則()
A.尸外-2卮2的最小值為8
B.若直線/經過月,且與雙曲線C交于另一點°,則戶。|的最小值為6
C.|尸7訃戶聞葉為定值
D.若直線/與雙曲線C相切,則點/,N的縱坐標之積為-3
27.(2023?江蘇?統考模擬預測)橢圓曲線/+即=x3+6x2+s+d是代數幾何中一類重要的研究對象.關于
橢圓曲線「:y2-2y=x3+mx-3,下列結論正確的是()
A.曲線r關于點(0,-3)對稱
B.曲線「關于直線y=l對稱
C.當加=-3時,曲線r上點的橫坐標的取值范圍為[2,+C0)
D.若曲線「上存在位于.v軸左側的點,則mW-3
28.(2023?江蘇鎮江?江蘇省鎮江中學校考三模)已知拋物線C:x?=2y的焦點為尸,準線為/,直線>=區+以
與C相交于48兩點,M為的中點,則()
A.若巾=2,則4402=90°
B.若3AuuFm=1UFULB,則直線的斜率為也包1
21
C.口08尸不可能是正三角形
D.當48=4時,點M至心的距離的最小值為2
29.(2023秋?江蘇南通?高三統考階段練習)在平面直角坐標系xOy中,已知點尸是拋物線C:的焦
點,點尸是C上異于原點。的動點,過點尸且與C相切的直線/與〉軸交于點。,設拋物線C的準線為機,
PHLm,“為垂足,貝|()
A.當點P的坐標為(2,1)時,直線/的方程為x-y-l=0
B.設拉(2,2),則必⑷+歸可的最小值為4
C.\PQf-4\OQ\-\HQ\
D.NFPH=2NFPQ
30.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測)在平面直角坐標系xOy中,已知動圓
C:(x-2m-1)2+(j-m-1)2=4/n2(加W0),則下列說法正確的是()
A.存在圓C經過原點
B.存在圓C,其所有點均在第一象限
C.存在定直線/,被圓C截得的弦長為定值
D.所有動圓。僅存在唯一一條公切線
三、填空題
22
31.(2023秋?江蘇?高三淮陰中學校聯考開學考試)設橢圓7:1r+芫=1(〃>2右)的右焦點為尸,過點尸(U)
的直線/與橢圓交于點4B,M為48的中點,使得|四|是|同、眼|的等比中項,則a的最小整數值為一
32.(2023?江蘇淮安?江蘇省鄭梁梅高級中學校考模擬預測)拋物線「/=2刀(p>0)的焦點為尸,過尸的
直線交「于48兩點,「在48兩點處的切線交于點州(1,-則弦的長為.
22
33.(2023秋?江蘇淮安?高三統考開學考試)橢圓0:三+二=15>6>0)的左、右焦點分別為大,耳,上頂
ab
點為4直線4片與橢圓C交于另一點瓦若乙4£8=120。,則橢圓C的離心率為.
34.(2023?江蘇徐州?江蘇省沛縣中學校考模擬預測)已知直線2x-y-2=0與雙曲線C:乂2-/=1交于點
/(xQi),2(%,%)/(x3,%)為C上一點,且看<三<三,“<%<%,則的面積最大值為.
35.(2023秋?江蘇南京?高三南京外國語學校校考階段練習)已知點/(1,2)在拋物線/=2px上,過點工作
圓(X-2)2+「=2的兩條切線分別交拋物線于3,C兩點,則直線BC的方程為.
36.(2023秋?江蘇南通?高三統考階段練習)在平面直角坐標系xOy中,已知圓C:x2+y2-8x=0,過點
的動直線/與圓C交于點M,N,若△〃(好的面積最大值為4百,則上的最大值為.
m
37.(2023?江蘇?統考二模)已知拋物線C:x?=4y的焦點為尸,過動點P的兩條直線4,4均與C相切,
設的斜率分別為左,Q若(耳-1)(心-1)=-2,則怛尸|的最小值為.
38.(2023?江蘇蘇州?校聯考三模)己知雙曲線C:「-匕=1(°>0),過其右焦點尸的直線/與雙曲線C交于
A、B兩點,已知|/8|=16,若這樣的直線/有4條,則實數。的取值范圍是.
22/T
39.(2023春?江蘇南通?高三校考開學考試)已知橢圓C:=+方=l(a>6>0)的離心率為券,F是左焦點,
過廠且傾斜角為45。的直線交C于點/,反設分別是/尸和AF的中點,。為坐標原點,若<W+0N=U,
則口OMN的面積為.
四、雙空題
40.(2023?江蘇南通?統考模擬預測)在平面直角坐標系xOy中,點P在圓Cf+(y-2)2=2上運動,點0
在函數/'(x)=lnx-"2的圖象上運動,寫出一條經過原點。且與圓C相切的直線方程為;若存在點P,
。滿足OP,。。,則實數。的取值范圍是.
參考答案
一、單選題
22
1.(2023?江蘇南京?南京市第一中學校考模擬預測)如圖,已知片,耳是雙曲線C三-與=1的左、右焦點,尸,。
ab2
為雙曲線。上兩點,滿足片尸〃瑪。,且優。二優尸|=3閨尸則雙曲線C的離心率為()
AVToRV5rVi5nVTo
A.---D.C.---D.---
5232
【答案】D
【詳細分析】根據雙曲線的定義和性質詳細分析可得,=。,進而可得/用尸'。=/片和=90。,結合勾股定
理運算求解.
【過程詳解】延長。片與雙曲線交于點P,
因為可尸〃5P,根據對稱性可知國尸|=\F2P'\,
設?尸[=|耳P]=f,則內尸卜內5=3/,
可得用刊-麻尸|=2/=24,即t=a,
所以|PQ|=4/=4a,則|0耳|=|。?|+2a=5a,閨尸|=|工尸|=3a,
即|尸'。『+|耳=口耳「,可知NFFQ=NF\PF[=90°,
在片鳥中,由勾股定理得囚尸f+|耳尸'「=陽引',
即/+(3。)2=4°2,解得e=£=巫.
v7a2
故選:D.
【名師點評】方法名師點評:1.雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍,關鍵是根據已知條件確定。,6,c的等量關系或不等關系,然后把6
用。,c代換,求e=£的值;
a
2.焦點三角形的作用
在焦點三角形中,可以將圓錐曲線的定義,三角形中邊角關系,如正余弦定理、勾股定理結合起來.
22
2.(2023?江蘇南通?模擬預測)已知橢圓C:]+方=1(。>6>0)的左、右焦點分別為耳、F2,以月為圓
心的圓與X軸交于耳,B兩點,與y軸正半軸交于點A,線段/片與C交于點若忸與C的焦距的比值
為叵,則c的離心率為()
3
C>+1V7-1
A.B.;D.
22.42
【答案】D
【詳細分析】先求出以瑪為圓心的圓的方程,求出/(0,gc),5(3c,0),求出直線片/的方程后結合距離公
式可求M的坐標,代入橢圓方程后可求離心率.
【過程詳解】
設橢圓的半焦距為c,因為以名為圓心的圓過耳,故該圓的半徑為2c,
故其方程為:=4小
令x=0,則y=±J3c,結合A在了軸正半軸上,故
令歹=0,貝=或x=3c,故5(3。,0).
故卜電=~~—=V3,故直線FXA:y=V3x+Gc.
因為A在V軸的正半軸上,片在入軸的負半軸上,故加<0,
nu\bM\=-----x2c=---------c,
1133
22c
故(3c-冽)2+(J5m+Qc)=-^―c,整理得到:4m=^~
故冽=—gc,故y=2^£,
整理得到:4e4-16e2+9=0,故e=^二^
2
故選:D.
【名師點評】思路名師點評:圓錐曲線中離心率的值或范圍的計算,關鍵在于構建關于基本量的方程或方
程組(不等式或不等式組),后者可通過點在橢圓上或判別式為零等合理構建.
3.(2023?江蘇鎮江?揚中市第二高級中學校考模擬預測)已知直線/"x+zwy-35-1=0與8
mx-y-3機+1=0相交于點線段N8是圓C:(x+l),+(了+1『=4的一條動弦,且k同=20,貝!|疝.荻
的最小值為()
A.6-4亞B.3-V2C.5+出D.75-1
【答案】A
【詳細分析】根據直線所過定點和/14知庇?赤=0,由此得M軌跡是以G(2,2)為圓心,夜為半徑的
圓(不含點(3,3)),由垂徑定理和圓上點到定點距離最小值的求法求得|。回,|“必皿,結合向量數量積的運
算律求得疝.標最小值.
【過程詳解】由圓的方程知:圓心C(T,T),半徑廠=2;
由/]:x+7町-3%-1=0得:(x-l)+〃?(y-3)=0,,恒過定點E(l,3);
由/2:s-y-3zn+l=0得:w(x-3)+(l-y)=0,飛恒過定點尸(3,1);
由直線4,4方程可知:4即施?痂=0,
設"(X/),貝g礪=(1一%3—>),/=(3—匹1一切,
二加礪=(1-x)(3-x)+(3-了)(1-了)=0,整理得:(X-2)2+(J;-2)2=2,
即點M的軌跡是以G(2,2)為圓心,0為半徑的圓,又直線4斜率存在,
;.N點軌跡不包含(3,3);
若點。為弦N8的中點,則疝+礪=2而5,位置關系如圖:
連接CD,由|/a=26知:叩=?_(由『=i,
貝I]\MD\mm=\MC\mm-|CD|=|CG|-V2-1=J(2+l『+(2+11-四-1=2&-1,
:.MA-MB={MD+DA^-^MD+DB^=MD+{j5A+J)ByMD+DA-"DB=MD-2,=6-^41
(當M在(1,1)處取等號),
的最小值為6-40.
故選:A.
4.(2023?江蘇揚州?統考模擬預測)已知向量1=(x+l,石+y)3=(x-l,右-y),滿足。B的動點加。,回的
軌跡為E,經過點N(2,0)的直線/與£有且只有一個公共點A,點尸在圓一+3-2后)2=1上,則4尸的最
小值為().
A.3-272B.V2-1
C.272-2D.1
【答案】A
【詳細分析】先求出軌跡E的方程,再利用直線/與E有且只有一個公共點A,求出點A的坐標,從而得解.
【過程詳解】ma1b,可得(x+l)(x-l)+(行+“(仆_y)=0,
化簡得為動點/(xj)的軌跡E的方程為:仁-二=1,
44
設經過點N(2,0)的直線/為:y=k(x-2),(可判斷斜率存在)
y=k^x-2)
聯立方程/%2,得(公■]卜2.4〃X+4Q2-1)=0①,
----------=1
144
由于直線/與£有且只有一個公共點A,
2
所以左2=1,或D=16/-16(『-1)=0,
得左=±1,或左=土正,
2
因為圓/+(夕-2后產=1,圓心(0,2后),
所以當點A在x軸上方時AP較小,以下只討論點A在x軸上方的情況,
當左=±1時,代入①式,得x=0,
再代入雙曲線方程可得40,土2),
當4(0,2)時,點A在圓/+(y-2夜了=1內,
可得AP的最小值為1-(2&-2)=3-2及;
當6=±正時,代入①式,得x=-2,
2
再代入雙曲線方程可得則/(-2,?2夜),
當N(-2,2&)時,點A在圓/+(>一=1夕卜,
可得/P的最小值為8+2>1=1;
貝UAP的最小值為3-2血.
故選:A
【名師點評】方法名師點評:求軌跡方程的常見方法有:
①直接法,設出動點的坐標(尤/),根據題意列出關于X/的等式即可;
②定義法,根據題意動點符合已知曲線的定義,直接求出方程;
③參數法,把x/分別用第三個變量表示,消去參數即可;
Xo=g(x)
④逆代法,將代入/伉,%)=0.
%=〃(x)
22
5.(2023?江蘇蘇州?蘇州中學校考模擬預測)已知橢圓]+==1(">6>0))的焦點為耳,F2,P是橢圓
上一點,且2兩.7^=1西]J而若△大尸工的內切圓的半徑r滿足戶£|=3rsin”£尸,則日產(其
中e為橢圓C的離心率)的最小值為()
AV10R3>/10「陰八2A/21
101077
【答案】B
14o
【詳細分析】由已知即向量數量積定義可得COS/片尸瑪=2,應用余弦定理求得|中||班|二§〃,根據等
C42
面積法可得一遙T再由正弦定理列方程求離心率,結合目標式、基本不等式求其最小值,注意等號
成立條件.
【過程詳解】由題設2所?成=彳句斗|,卜。54;尸名=|兩'配故cos/片/”=;,
7T
又4Pge[0,兀),則/月尸乙=§,
|因『+|9『一|下月『(|P瑪+|珊|)2-2|尸印IMH用工『
由余弦定理知:cosZFPF=
t22|「印此|2|坨||桃|
=4(4一°2)_]=4/_i=J_
=?
^2\PFl\\PF2\~2\PFl\\PF2\~2
A1Fy
22
所以I尸印I俱|=-b,而時%=-\PF.\\PF2\sinZFtPF2=^-b,
JNJ
因為△£時的內切圓的半徑/,故與與明=尸耳|+1尸層|+1耳乙I)=(a+c?,
所以(a+c)r=XL>2,貝”=9L,
33(a+c)
|^|_2c_\PFt\_3;-
由I尸耳|=3rsm/耳與尸,即sin4尸尸sin^sin4再P,
i
所以臣一華,整理得7e?+4e-3=(7e-3)(e+l)=0且0<e<l,
a+cJ3
所以e=]3,
999ri
/+21e_』+9_—二八口a_35,當且僅當a=3時等號成立,
7b-7〃2-2-一2后一2回~10
所以目標式最小值為亞.
10
故選:B
6.(2023春?江蘇南通?高三海安高級中學校考階段練習)雙曲線C:/-/=4的左,右焦點分別為耳,耳,
過用作垂直于x軸的直線交雙曲線于42兩點,口口的內切圓圓心分別為a,Q,Q,則
AFXF2BFXF2^FXAB
□。02。3的面積是()
A.672-8B.6拒-4C.8-472D.6-472
【答案】A
【詳細分析】由題意畫出圖,由己知求出。的值,找出42的坐標,由口/耳片口期用口4N3的內切圓圓心
分別為a,o2,q,進行詳細分析,由等面積法求出內切圓的半徑,從而求出口。。?。的底和高,利用三角形
的面積公式計算即可.
【過程詳解】由題意如圖所示:
由雙曲線C:X2-/=4,知/=/=4,
所以c?=a2+b~=8,
所以乙(2在0),|4月|=2c=4收
所以過外作垂直于x軸的直線為x=20,
代入C中,解出/(2上,2),8(2五-2),
由題知山納為,□胡匕的內切圓的半徑相等,
且M同=怛用,□,□兩可的內切圓圓心《,。2
AFXF2
的連線垂直于X軸于點尸,
設為廠,在八4月工中,由等面積法得:
g(H娼+3用+|片用).一;比用.以國
由雙曲線的定義可知:|/月|-|4閭=2。=4
由|/6|=2,所以|";|=6,
所以g(6+2+4后卜?=;x4亞x2,
解得:,=產=3…=2四-2,
因為片月為□片的44片8的角平分線,
所以。3一定在片外上,即X軸上,令圓。3半徑為尺,
在口/片8中,由等面積法得:
;(以耳|+忸叫+W即.R=;但0卜|/8|,
又回=|附=加4+|皿「="4⑹工?=6
所以gx(6+6+4>R=;x4行x4,
所以R=0,
所以|尸閶」=2&-2,
\O3P\=\O3F2\-\PF2\=R-r=42-(2y/2-^=2-42,
所以s^。2a=;|on||qp|=;x2rx|ap|
=rx|O,P|=(2V2-2)x(2-V2)=6V2-8,
故選:A.
22
7.(2023?江蘇南京?南京市第五高級中學校考二模)已知耳,片分別是雙曲線口號-%=l(a>0,,>0)的
左、右焦點,過耳的直線分別交雙曲線左、右兩支于48兩點,點C在x軸上,。=3項,BF]平令NRBC,
則雙曲線「的離心率為()
A.aB.加C.V3D.V2
【答案】A
【詳細分析]根據赤=3后可知C5〃工N,再根據角平分線定理得到忸凰,忸C|的關系,再根據雙曲線定義
分別把圖中所有線段用表示出來,根據邊的關系利用余弦定理即可解出離心率.
設劇=2c,則舊C|=4c,設=則忸刷=3乙>邳=2/.
因為因平分由角平分線定理可知,饕二鑿二壬二4,
BC因4c2
所以忸C|=2忸耳|=6f,所以|/閭=:忸。=2/,
由雙曲線定義知|/閭-|4片|=2a,即2"%=2a,t=2a,①
又由畫||叫=2a^\BF2\=3t-2a=2t,
所以|陷|=同=閶=2/,即AABF2是等邊三角形,
所以ZF2BC=ZABF2=60°.
在口片中,由余弦定理知cosZF,BF2=:忸一閭
一-M2.阿卜3忸可k
即14戶+9"戶一牝4「2,化簡得“2=船2,
22,2t,3t
把①代入上式得e=£=近,所以離心率為,.
a
故選:A.
8.(2023?江蘇南通?二模)已知入,入分別是雙曲線C:烏-馬=1(。>0,方>0)的左、右焦點,點尸在雙曲
ab
線上,PFJPB,圓。:/+/號(/+/),直線叨與圓。相交于1,8兩點,直線上與圓。相交于
M,N兩點.若四邊形的面積為9/,則。的離心率為()
A.-B.-C.@D.馬叵
4525
【答案】D
2222
【詳細分析】設|尸耳|=〃,|尸用=加,有〃-〃7=2°,n+m^4c,mn^2b,由弦長公式可得
1Q
四邊形的面積為1/臺””用,解得c?=gl>2,可
求雙曲線的離心率.
【過程詳解】根據對稱性不妨設點P在第一象限,如圖所示,
Q%
圓o:x2+/=^(?2+fe2),圓心為0(0,0),半徑為方,
222
設|尸耳|=〃,|尸閭=加,點P在雙曲線上,PFiLPF2,則有〃-加=2%n+m=4c,可得m幾=2b?,
1M
過。作MN的垂線,垂足為。,。為耳名的中點,則|0必=半產片1=5,|MN卜2
同理,
四邊形⑷四N的面積為g,斗|兒的=;x2
81c4(m2+w29c2m2n2
則有力“2則c
[IT什+-1r
.而、缶cV82A/TO
的罔心率e=_='=-------
aV55
故選:D
22
9.(2023秋?江蘇南京?高三南京市第一中學校考階段練習)已知雙曲線E:二-々=1(°>0,6>0)的左、右
ab
S5
焦點分別為耳,F2,P是雙曲線E上一點,尸匕,片工,/耳空的平分線與X軸交于點。,髭也=可,則
^/\PF2QJ
雙曲線£的離心率為()
A.V2B.2C.在D.V3
2
【答案】B
【詳細分析】根據題意詳細分析可得艘=J,利用正弦定理結合角平分線可得昌=騏=9,再根據
F
\1Q\3\F2Q\3
雙曲線的定義結合通徑詳細分析運算即可.
c-\PFA-\F.Q\5
【過程詳解】PFH則”也=彳---------“侍人。|3
3
2KI-M
PF,sin//勿|P£|sin/尸0K
分別在口尸。片,口尸因中,由正弦定理可得:—7
相sinNQPFi'優。「sinN0叫
-,?P0平分4尸鳥,可得NQPH=NQPB,
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