2025屆高三10月大聯考（新課標卷）

數學試卷

本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1已知集J=5=｛爪V-1

或%>1},貝i］AU3=（）

A.+co)B.R

C.(-co,l)o(l,+co)D.0

2.數據25,30,32,35,37,39,40,42,43,44上四分位數為（）

A.30B.32C.40D.42

3.已知石為非零向量，￡/=1，B=(3,4),則￡在石上的投影向量為（）

ni-17

A.—bB.r—bC.hD.-----b

525125

4.已知等差數列｛為｝前〃項和為S“，若的=2

,S7=3a4+4,則Si。=（）

55

A.-5B.5C.一一D.-

22

.(371)(71)

sin------xcos—+x

5.函數/(x)=______I2J12J_圖象的對稱中心為（）

(sinx+cosx)-l-sin2x+cos2%

A.［與，°］，ksZB.］今，°［，kwZ

C.(配0),k0LrD.(2仇0),ksZ

6.(2x+l)[x—工]的展開式中f項的系數為()

A.10B.20C.-10D.-20

7.樟卯結構是中國古代建筑文化的瑰寶，通過將連接部分緊密拼接，使整個結構能夠承受較大的重量，并

具有優異的抗震能力.其中，木楔子的運用極大地增加了柳卯連接的牢固性.木楔子是一種簡單的機械工具，

用于填充器物的空隙，使其更加穩固.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是正方形，EF//AB,

且VADE，V3”均為正三角形，EF=2AB=8,則ED與族所成角的大小為()

8.已知函數滿足/(x)-2/(—x)=sinx+tanx,若函數y=/(x)在[一3兀,5兀|上的零點為百,

了2，…，匕，則Z%=()

i=l

A.8兀B.9兀C.16兀D.17兀

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設z-Z2為復數，則下列說法中正確的有()

A.右Z]=a+Z?i,z?=c+di,其中a,b,c,deR，且a>c,b>d,則z】>z2

B.若n?-3m+2+(m?-l)i(eR)為純虛數，則〃？=2

C.若關于x方程必+°%+4=0,p,qeR的一個虛根為公―1,則p+4=-5

D.若z=-l+2i,z2=3+4i,則復數4-Z2在復平面內對應的點位于第三象限

10.已知拋物線C：/=4%的焦點為E，直線/與C交于A3兩點，設4(%,月)，S(x2,y2),A3的中點

為〃(％,%),則下列說法中正確的有()

A.若直線/過焦點則|45|=2/+4

B.若直線/過焦點廠,則斗忸同的最小值為4

C.若直線AB的斜率存在，則其斜率與與無關，與%有關

D.若。為坐標原點，直線/的方程為y=k(x—4),則。4LOB

11.已知函數/(%)的定義域為+keZ>,其導函數為尸(%),/［曰］=0，/^=1?且

f(x+y)-f(x)f(y)f(x+y)=f(x)+f(y),貝|()

A./(0)=0B./(￡)為奇函數

2024(?\

c.?(〃eN*)是函數/⑺的周期D.-+-=2024

2i=o1X

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若定義在R上的函數/(%)滿足/(2)=1,且lim""一"2)=1,則曲線y=/(￡)在點(2,/(2))

處的切線方程為.

13.已知橢圓占+衛=1的長軸長為4,離心率為走.若A,B分別是橢圓的上、下頂點,

a2b12

—?—?1

耳,尸2分別為橢圓的上、下焦點，P為橢圓上任意一點，且PA?尸3=—則△尸耳入的面積為.

14.已知不等式e'+2(l-―三以恒成立，則實數。的取值范圍為.

x

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為“，b,c,且。=1,bcosA+acosB=2ccos.

(1)求3；

(2)若。是邊AC上一點，且DC=2AD,BD=—,求人

3

16.為提高學生的身體素質，某校決定開展一次學生自愿報名參加的體能訓練活動.已知該校學生人數為加，

參加體能訓練活動的男生人數為［加，不參加體能訓練活動的男生人數為工相，參加體能訓練活動的女生

34

人數為,〃2.

4

(1)若該校有1200名學生，根據題意完成如圖所示的2x2列聯表，并依據小概率值a=0」的/2獨立

性檢驗，分析學生參加體能訓練活動的意愿與性別是否有關聯;

參加不參加合計

男生

女生

(2)按是否參加體能訓練活動，采用按比例分配的分層隨機抽樣方法從該校男生中抽取14人，再從這14

人中隨機抽取2人，設這2人中參加體能訓練活動的人數為X,求X的分布列和數學期望.

n(ad—be)’

參考公式：/=其中〃=a+Z?+c+d.

(o+b)(c+d)(o+c)(b+d)

a010.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

17.如圖，在正三棱錐P—A3C中，PA=PB=PC=a,AB=AC=BC=b,5c的中點為。，過點

P作底面ABC的垂線，垂足為〃，。是線段PH上的一個動點.

(1)證明：OALBC-,

(2)若。是正三棱錐P-ABC外接球球心，且a=6,求平面Q4B與平面08。夾角的余弦值.

18.在平面直角坐標系x0y中，4(—2,0),3(2,0),C是平面內的動點，且VA5C內切圓的圓心在直線

尤=1上.

(1)求動點C的軌跡W的方程；

(2)過點3作三條不同的直線』2，4，且軸，乙與W交于M，N兩點，4與W交于尸，Q

11

兩點，M,P都在第一象限，直線"P,NQ與乙分別交于點G,H,證明：百為一而言為定值.

19.一般地，〃元有序實數組(4,稱為及維向量(如用一個實數可表示一維向量，用二元有序實

數對可表示二維向量，…).類似我們熟悉的二維向量和三維向量，對于〃維向量，也可以定義兩個向量的

加法運算、減法運算、數乘運算、兩個向量的數量積、向量的長度(模)等，如;=(。］，4,…,4)，則

1一1FT：---------------UUUUU1

忖=5；+用+…+禽.若存在不全為零的r個實數匕，Q…,kr,使得《q+&%+…+(%=。，

則稱向量組后，%,…，區是線性相關的，否則，稱向量組%,…，心是線性無關的.

(1)判斷向量組Z=(U,1),B=(一1,2,2),"=(4,2,—1)是否線性相關.

(2)已知函數/(1)=1,g(x)=ax+l,且/(X)-g(x)?O恒成立.

①求。的值；

②設a=，其中/=(、,若4=/(")，g=g(〃)，數列色,%｝的前〃項和為S“；證明：

-g\n)

當時，S-|?|>n-2n+1------>—.

11n+12

2025屆高三10月大聯考（新課標卷）

數學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘.

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.

1.已知集合"卜I'-I8={x|xWT或"1},則AU§=（）

A.+co）B.R

C.（-co,l）o（l,+co）D.0

【答案】C

【解析】

【分析】根據題意先求集合A,進而根據并集運算求解.

【詳解】由題意可知：A={x|y=，1={x|xwl},

且3={x|xW—1或尤＞1},所以AU3=（—8,l）D（l,+8）.

故選：C.

2.數據25,30,32,35,37,39,40,42,43,44的上四分位數為（）

A.30B.32C.40D.42

【答案】D

【解析】

【分析】從小到大排序后，位于75%位置的數值.計算步驟為先確定位置，再根據位置情況確定上四分位數

的值.

【詳解】n=10,計算75%位置的序號，=10x0.75=7.5.

由于，=7.5不是整數，向上取整為8,所以上四分位數是第8個數，即42.

故選：D.

3.已知B為非零向量，￡名=1，3=（3,4）,則￡在B上的投影向量為（）

1r1-_1_

A.—bB.—bC.hD.---b

525125

【答案】B

【解析】

【分析】由模長的坐標表示可得可，再結合投影向量的定義分析求解.

【詳解】由題意可得：W="+不=5,

|-b\r1r

所以〃在B上的投影向a量為=石灰

故選：B.

4.已知等差數列｛%｝的前〃項和為S",若%=2,57=3a4+4f則=（）

,「55

A.—5B.5C.D.—

22

【答案】D

【解析】

【分析】根據等差數列性質可得的=1，結合等差數列通項公式列式求q,d,代入等差數列求和公式即可.

【詳解】設等差數列｛aj的公差為d,

因§7=7%=3%+4,可得“4=1，

a.=a.+3d=1

且%=2,貝l卜4”,解得《

〃2=4+a=2

所以Ho=i°xg+12

故選：D.

./3兀)(n)

sin----xcos—+%

5.函數了(同二(2J(2J圖象的對稱中心為()

(sinx+cosx)-l-sin2x+cos2x

?,oj,kwZ

A.B.y,0j,kwZ

C.(配0),keZD.(2hr,0),ksZ

【答案】A

【解析】

【分析】由三角恒等變換化簡再結合正切函數的對稱中心可得答案;

3TT

sin--xcos^+工

-cosxx(-sinx)-sin2x

【詳解】2」tan2x，

(sinx+cosJ;)--1-sin2x+cos2x1+sin2x-1-sin2x+cos2xcos2x2

令2x=生/eZ,則x=?，左eZ,

24,

所以對稱中心為華,0,keZ,

故選：A.

6.(2x+l)的展開式中f項的系數為（)

A.10B.20C.-10D.-20

【答案】B

【解析】

【分析】結合二項展開式的通項公式運算求解.

【詳解】

且X—J的展開式為(+I=C>*5-=(—1)'G2,r=0,l,2,3,4,5,

令5—2廠=1,解得r=2,可得4=(—l)2c}x=10x；

3

令5—2r=2,解得廠=—?Z,不合題意；

2

所以/項的系數為2x10=20.

故選：B.

7.樟卯結構是中國古代建筑文化的瑰寶，通過將連接部分緊密拼接，使整個結構能夠承受較大的重量，并

具有優異的抗震能力.其中，木楔子的運用極大地增加了樟卯連接的牢固性.木楔子是一種簡單的機械工具，

用于填充器物的空隙，使其更加穩固.如圖為一個木楔子的直觀圖，其中四邊形ABCD是正方形，EF//AB,

且VADE，V3”均為正三角形，EF=2AB=S,則ED與3P所成角的大小為()

【答案】A

【解析】

【分析】作出圖形，取所的中點G,連接AG,CG,AC,可求出NAGC為異面直線ED與加'所成的角,

再由勾股定理計算即可；

如圖，取所的中點G,連接AG,CG,AC,

因為EFHAB,EF=2AB=8,所以四邊形ABbG為平行四邊形，

所以3尸//AG,

同理可得ED//CG,所以ZAGC為異面直線ED與所所成的角或其補角，

AC=472-AG=CG=4,即3=AG?+CG?，

TTTT

所以NAGC=2，即ED與取所成角的大小為士，

22

故選：A

8.已知函數/(%)滿足/(X)-2〃—x)=sin%+tanx,若函數y=/(x)在［一3兀,5兀|上的零點為占,

X2,Xn,貝區/=()

Z=1

A.8兀B.9TIC.16nD.17兀

【答案】B

【解析】

【分析】先利用方程組法求出/(%)的解析式，結合/(%)的奇偶性將［-3兀,5可上的零點和轉化為(3兀,5可

上的零點和問題，令/(x)=0,轉化為sinx=-tanx,結合正弦和正切函數的圖象性質得到結果.

【詳解】由/(x)-2/(-x)=sinx+tanx,可得

f(-x)-2/(x)=sin(-x)+tan(-x)=-sinx-tanx,

解得了(x)=；(sinx+tanx)，易知/(%)為奇函數，故/(X)的圖象關于原點對稱，

則函數y=/⑺在［-3兀,3可上的圖象關于原點對稱，

故函數y=/(乃在［-3兀,3可上的零點也關于原點對稱，和為0,

在(3TI,5兀］上的零點和即為［-371,5兀］上的零點和，

令/(%)=。,得sinx+tanx=0,

sinx=—tanx,1仁(3兀,5兀］,作出y=sinx和y=—tan尤在同一坐標系中的圖象，

可知y=/(%)在(3兀,5兀］內的零點有4兀和5兀兩個，

故Z%=471+571=971.

/=1

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.設zrZ2為復數，則下列說法中正確的有()

A.若4=。+歷，Z2=c+di,其中a,b,c,deR,且a>c,b>d,則zfz?

B.若加一3m+2+(W-l)i(eR)為純虛數，則〃z=2

C.若關于x的方程/+px+q=0,p,qeR的一個虛根為2i—1,則P+"=-5

D.若Z］=-l+2i,z2=3+4i,則復數4-Z2在復平面內對應的點位于第三象限

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A：根據復數不能比較大小即可判斷；對于B：根據純虛數的概念列式求解；對于C：可知另

一個虛根為-2i-1，利用韋達定理運算求解；對于D：可得馬-4=-4-2i,結合復數的幾何意義分析判

斷.

【詳解】對于選項A：因為可知Z],Z2不可能均為實數，故不能比較大小，故A錯誤；

對于選項B：若%2—3m+2+(n?—l)i(meR)為純虛數，

[m2一3加+2=0

則<0,解得m=2,故B正確；

對于選項C：若關于%的方程/++q=o,p,9￡R的一個虛根為2i-l,

則另一個虛根為—2i—1,

所以p+q=7故C錯誤;

可得2m年廠

對于選項D：若Z[=—l+2i,z2=3+4i,則z1-z2=—4—2i,

復數4-22在復平面內對應的點為(-4,-2),位于第三象限，故D正確；

故選：BD.

10.已知拋物線C：/=4%的焦點為77,直線/與C交于兩點，設4(%,%)，5(x2,y2),A3的中點

為河(％,%),則下列說法中正確的有()

A.若直線/過焦點F，則|AB|=2%+4

B.若直線/過焦點/，則|”卜|跳1的最小值為4

C.若直線A3的斜率存在，則其斜率與與無關，與為有關

D.若。為坐標原點，直線/的方程為y=k(x—4),則

【答案】BCD

【解析】

【分析】對于A：由條件，結合拋物線的定義判斷A；

對于B：設直線l:x=my+l,根據拋物線的定義結合韋達定理可得%+%，%%，故|忸4=4〉+4,

求其最值可得結論;

對于C：利用點差法分析判斷；

對于D：利用韋達定理可得石馬=16,結合方程可得=-16,再根據向量垂直分析判斷

【詳解】由題意可知：F（1,O）,且《一°，直線/的斜率可以不存在，但不為0.

%=2%

對于A,因為=|AF|+忸同=（玉+1）+（%+1）=（玉+々）+2=2%0+2,故A錯誤；

對于選項B：若直線/過焦點廠，設直線/:%=陽+1,

聯立方程「1,消去了可得V—4如—4=0,

則A=16m2+16>0，可得%+%=4m,%%=~4，

所以|AF|忸月=（3+1）（/+1）=（叼1+2）（my2+2）=n^yxy1+2m（y}+y2）+4

=-47n2+8/n2+4=4m2+4>4>

當且僅當機=0時，等號成立，

所以|A司忸的最小值為4,故B正確；

對于選項C：因為A。:1,月）,8（久2，丫2）在拋物線<^上，

則兩式作差可得力—第=（X+%）（%—%）=4（%-9），

〔為=乜

若直線AB的斜率存在，則kAB=1’-=----=—,

%一%2%+>2%

所以直線A3的斜率與%無關，與為有關，故C正確；

對于選項D：聯立方程<；U；一",消去丁可得上2J—（8左2+4卜+16左2=0,

可得八=（8左2+4/一64/=64左2+16>0,且=16,

由選項C可知：代￡=16%逮2=256,且%%<0，可得%為=-16,

貝！］西?麗=為々+M%=0，所以Q4_LOB,故D正確；

故選：BCD.

11.已知函數/（X）的定義域為<X+左Cz>,其導函數為尸（x）,=0,=且

/(x+y)-/(x)/(y)/(x+y)=/(x)+/(y),則()

A./(O)=OB.尸(x)為奇函數

C.y(neN*)是函數/(%)的周期D.=2024

i=0

【答案】AC

【解析】

【分析】對于A：利用賦值法令x=y=0,代入運算即可；對于B：令丁=一％,可得/(%)=—/(—%),

進而可得/'(x)=/'(—x),即可判斷；對于c：令y=]，可得/、+曰=/(耳，結合周期性分析判斷;

對于D：根據周期性運算求解即可.

【詳解】因為/(x+y)—/(x)/(y)/(x+y)=/(x)+/(y),=/^=1-

對于選項A：令尤=y=0,可得/⑼―/3(O)=2/(O),即/⑼⑼+1]=0,

顯然尸(0)+1。0,所以/(0)=0,故A正確；

JTKTT

對于選項B：因為數/(%)的定義域為歡eZb關于原點對稱，

Qf可得/⑼―〃x)〃f)〃0)=〃x)+〃f)，

即/(X)=可得/'(%)=/'(一%),且"X)不為常函數，(⑺不恒為0,

所以尸(%)為偶函數，故B錯誤；

對于選項C：令y=5,可得++=+

即/\+|J=/(x)，可知宙為/(%)的一個周期，

所以三"eN*)是函數/(%)的周期，故C正確；

對于D：因為三(〃eN*)是函數/(%)的周期，

則/[：+/=/用=1”z，所以￡(：+2]=2025,故D錯誤；

故選：AC.

【點睛】關鍵點點睛：對于抽象函數的研究，常常利用賦值法，結合題設條件合理賦值是解題的關鍵，對

7T

于本題關鍵賦值有：令x=y=O,，=一x和丁=萬.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.若定義在R上的函數〃%)滿足"2)=1,且嗯〃“A；⑵=i,則曲線y=在點(2,/(2))

處的切線方程為.

【答案】J=x-1

【解析】

【分析】根據導數的定義，得到切線斜率，運用點斜式計算即可.

【詳解】lim/Cr)-/(2)=l,所以7>'(2)=1=匕且/(2)=1,曲線y=/(x)在點(%,為)處的切線方程

Xf2x-2

為'一為=k(x—Xo).

己知4=2,%=/(2)=1.

將這些值代入切線方程公式，得到y-1=1x(%-2).

化簡這個方程，得到y=x-L

故答案為:y=x-L

13.已知橢圓與+￡=1的長軸長為4,離心率為走.若A,3分別是橢圓的上、下頂點,

a2b22

----1

K，F2分別為橢圓的上、下焦點，尸為橢圓上任意一點，且尸4P3=-5,則的面積為.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】先根據長軸及離心率列式求出a,瓦c得出橢圓方程，再設點應用數量積得出點尸的坐標，最后計

算面積即可.

3=4

【詳解】因為,

a2

〃2=+

所以。=2,b=l,c=A/3,

2

所以橢圓方程為匕+爐=1,

4

設？小,%），橢圓的上、下頂點A（0,2）,3（0,—2）,

___2

所以西=（一如2_%）,而=（—%-2-%）,且幸+片=1,

所以PA-PB=%;+yj-4=x；+4-—4=——,

1

所以焉9=二,

6

」x2cx逅=百、逅=也

即得內可x闖

2662

故答案為：注

2

14.已知不等式e，+2（1—x-a]<-—T二恒成立，則實數。的取值范圍為

X

【答案】（0,+。）

【解析】

【分析】根據題意整理可得ei.+2（x+lnx）<+2（/+依），構建/（"=/+22>0,結合單

InXIrix

調性可得x+Inx<V+依，參變分離可得1—%+—<?,再構建g（x）=l—x+—,利用導數求最值

XX

即可.

e?+ttT-21nx

【詳解】因為e'+2（l-x—a）<，且%>0,

x

則xe-v+2x-2x2—2奴<e'+跋—2Inx，整理可得e>1nx+2（x+lnx）<e'+"+2（x2+ax）,

則e%+1nx+2（x+inx）<e，+〃

因為y=e*,y=2x在（0,+8）內均為增函數，則/（%）在（0,+8）內為增函數,

InY

可得x+lnx<x?+依恒成立，BP1—%H------<a恒成立,

x

令g（x）=l-x+^^,貝I|g[x）=_l+1-lnxx2+Inx-1

X2X2

令h(x)=d+ln.r-l,x>0,

因為y=/,丁=lnx-l在(0,+8)內均為增函數，

則h(x)在(0,+8)內為增函數，且八⑴=0,

當0<x<l時，則h(久)<0,即g'(x)>0；當x>l時，則h(x)>0,即g'(x)<0；

可知g(x)在(0,1)內單調遞增，在(1,+8)內單調遞減，

則g(x)Wg(l)=0,可得a>0,

所以實數。的取值范圍為(0,+8).

故答案為：(0,+8).

【點睛】關鍵點點睛：對原式同構可得小皿+2(%+111%)</+口+2(X2+汨，構建函數結合單調性分

InV

析可得1-x+—〈。恒成立.

X

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.在VABC中，內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且。=1,6cosA+acos3=2ccos[g-3,

(1)求B；

(2)若。是邊AC上一點，且DC=2AD,BD=—,求).

3

jr

【答案】(1)B=-

3

(2)出

【解析】

[分析](1)先由正弦定理化簡得出sinBcosA+sinAcosB=2sinCeos[g再結合兩角和正弦公式

(2n、1

化簡得出cosy-B=-計算得角即可；

—.1—.?--

(2)先根據邊長關系得出向量關系8。=-BC+—A4,再應用向量數量積運算解得c=2,最后余弦定理

33

計算得。.

【小問1詳解】

因為Z?cosA+〃cosB=2ccos]g—B）,

由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB=2sinCeosf段-Bj,

2sinCcosfj,sinC>0,

sinC=sm（B+A）=

3843c（0,勸，所以笄-B=g

所以cos

3）乙JJ

兀

可得3=—

3

【小問2詳解】

—、1—>2—?

因為DC=2AO,所以。C=2A￡>，所以5。=]5。+耳區4,即得3麗=方心+2麗,

左右兩側平方得9而2=前2+4BA+4BC-BA>

又因為3=m，a=l,所以21=1+4麗2+,麗,]，

所以2c2+c-io=O，(c-2)(2c+5)=0,解得c=2,

由余弦定理得廿=4+1-2xlx2x；=3,所以b=

16.為提高學生的身體素質，某校決定開展一次學生自愿報名參加的體能訓練活動.已知該校學生人數為加，

參加體能訓練活動的男生人數為,加，不參加體能訓練活動的男生人數為工相，參加體能訓練活動的女生

34

人數為1根.

4

(1)若該校有1200名學生，根據題意完成如圖所示的2x2列聯表，并依據小概率值a=0.1的/2獨立

性檢驗，分析學生參加體能訓練活動的意愿與性別是否有關聯；

參加不參加合計

男生

女生

（2）按是否參加體能訓練活動，采用按比例分配的分層隨機抽樣方法從該校男生中抽取14人，再從這14

人中隨機抽取2人，設這2人中參加體能訓練活動的人數為X，求X的分布列和數學期望.

n(ad

參考公式：力2=其中〃=a+5+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

a0.10.050.010.001

%2.7063.8416.63510.828

【答案】（1）答案見解析；

Q

（2）分布列見解析；數學期望E（X）=—

【解析】

【分析】（1）根據已知數據補全列聯表，再由卡方公式計算，由獨立性檢驗得到結論;

（2）先由分層抽樣確定人數，再計算概率，列出分布列，由期望公式計算即可;

【小問1詳解】

參加體能訓練活動的男生人數為1加，即1200/=400人,

33

不參加體能訓練活動的男生人數為工〃z，即1200x^=300人,

44

參加體能訓練活動的女生人數為-m,即1200x1=300人，

44

所以

參不參合

加加計

男

400300700

生

女

300200500

生

1200(400X200-300X300)2

z2~0.980<2.706=

700x500x700x500

所以根據小概率a=0.1的獨立性檢驗，沒有證據說明學生參加體能訓練活動的意愿與性別有關聯,

【小問2詳解】

按是否參加體能訓練活動，采用按比例分配的分層隨機抽樣方法從該校男生中抽取14人，

則抽取參加體能訓練人數為8人，不參加的為6人，

由題意可得X的可能取值為0,1,2

P(X=0)=3=7P(X=1)=曾<，P(X=2)=34

13

所以X的分布列為:

X012

15484

P

919113

期望為E（X）=0x*l義48c48

—+2又一=一

91137

17.如圖，在正三棱錐尸一A5C中，PA=PB=PC=a,AB^AC=BC=b,5c的中點為。，過點

P作底面ABC的垂線，垂足為。是線段PH上的一個動點.

(1)證明：OALBC-,

(2)若。是正三棱錐P-ABC外接球的球心，且a=。，求平面。鉆與平面08。夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見詳解

⑵；

【解析】

【分析】（1）連接A。,。。，可得PHLBC,AD1BC,可證平面B4。，結合線面的性質即可

得結果;

(2)根據外接球的性質可得。5=。4==/。，求相關長度，做輔助線，可得二面角D-OB-E的平面

4

角/DME，結合余弦定理運算求解.

【小問1詳解】

連接

因為P-ABC為正三棱錐，則〃為等邊三角形ABC的中心，且物，平面ABC,

由3Cu平面ABC,則PHLBC

又因為。為3C的中點，則HeAD.ADLBC,

且PHcAD=H,P",ADu平面？AO，可得平面BID，

因為。Au平面？AD,所以。4，BC.

【小問2詳解】

由題意可知：AD=-a,AH=—a,HD=—a>則PH=不二而7=逅a，

2363

設正三棱錐P-ABC外接球的半徑為R,

則k2=［立a［+1逅。_氏］,解得氏=如。，即05=04=^0，

I3JI3J44

則O//=AH—R=逅a，可得0D=dOH?+HD?=受。,

124

因為BC,平面？AD,ODu平面？AD，則BCLOD,

取A3的中點E，連接OE,EH,DE,則OEL/R,且EB=BD，ED=-a,

2

可知RtAOBE=RtAOBD,

過。作垂足為M,連接石則

可知二面角D—OB—E的平面角ZDME，

由AOBD的面積可得工'4'交0=!。”義在。，解得DM=1a，

224246

可知DM=EM=2a，

6

121212

DM、EM2DE212a+石。一丁1

在ADME中，由余弦定理可得cosZDME=

2DM-EM2aa2,

66

所以平面OAB與平面08□夾角的余弦值為.

2

18.在平面直角坐標系光中，A（-2,0）,B（2,0）,C是平面內的動點，且VA5C內切圓的圓心在直線

x=l上.

（1）求動點C的軌跡W的方程;

（2）過點3作三條不同直線4，,2，4,且軸，72與w交于N兩點，4與w交于尸，Q

11

兩點，M,尸都在第一象限，直線MP,N。與分別交于點G,H,證明：畫一畫為定值.

2

【答案】（1）/一2LX>1)

3

（2）證明見詳解

【解析】

【分析】（1）根據內切圓的性質分析可得|C4|-|CB|=2,結合雙曲線的定義分析求解;

11（14）1(14

（2）設直線方程和交點坐標，利用韋達定理整理可得一=——+—班，—------F—，再求G，

1為3“2-

%一（X3J%-

H坐標，代入化簡整理即可得結果.

【小問1詳解】

設VA3C內切圓的圓心為R,且與三邊切于點。，耳戶,

則|cq=|CF|,|AD|=|AE|,|BE|=|BF|,

可得|C4|—|CB|=（|CD|+|AZ）|）—（|CF|+忸刊）=|">|―忸-=|AE]—忸國,

且2（—2,0）,5（2,0）,E（l,0）,即=3,|明=1，

可得|C4|—|Cfi|=|—忸國=2,

可知動點C的軌跡W是以AB為焦點的雙曲線的右半支（頂點E除外），

所以動點C的軌跡W的方程為V—g=l（x〉1）.

【小問2詳解】

2—

由題意可知：4：%=2,雙曲線――1_=1漸近線為>=±后，

（百百、

設，2：%=町y+2,4：%=根2y+2,叫，根2￡------,0u0,——

I3）\3,

〃（%，%），"（々，%），「（七，%），。（％4，”），且叫片嗎，

%=m1y+2

聯立方程2

19V消去尤可得(3"-1)/+12叫y+9=0,

x2-2-=l

I3

12m.9

貝…%=-斯丁力

3m；-1

可得—3(%+y,)=，整理可