第87講二項式定理

知識梳理

知識點1、二項式展開式的特定項、特定項的系數問題

(1)二項式定理

一般地，對于任意正整數”，都有：

nnrr

(°+b)"=C°a+C'^b+.?.+Cnab+…+C：b"("eN*),

這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做(a+6)"的二項展開式.

式中的做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第廠+1項：

其中的系數C：(r=0,1,2,n)叫做二項式系數，

(2)二項式(。+力”的展開式的特點：

①項數：共有〃+1項，比二項式的次數大1；

②二項式系數：第r+1項的二項式系數為C：,最大二項式系數項居中；

③次數：各項的次數都等于二項式的幕指數字母。降幕排列，次數由“到0；字母

b升用排列,次

數從0到"，每一項中，a,6次數和均為"；

④項的系數：二項式系數依次是C；,C：，C3…，G；，…，a，項的系數是。與6的系數

(包括二項式系

數).

(3)兩個常用的二項展開式：

①(。-b)n=C°a"-C'a'"'b+…+(-1)'?+???+(-：!)"?￡?"(〃eN*)

②(1+x)n=1+C；x+C>2+.??+C,>r+---+x"

(4)二項展開式的通項公式

二項展開式的通項：Tz=C；a"-b，(r=0,1,2,3,

公式特點：①它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數是

②字母6的次數和組合數的上標相同；

③。與人的次數之和為

注意：①二項式（a+b）"的二項展開式的第r+l項和3+0”的二項展開式的第

什1項優是有區別的，應用二項式定理時，其中的。和6是不能隨便交換位置的.

②通項是針對在（。+6）"這個標準形式下而言的，如（a-6）"的二項展開式的通項是

=（-l）'C/i〃（只需把-6看成6代入二項式定理）.

2、二項式展開式中的最值問題

（1）二項式系數的性質

①每一行兩端都是1,即c：=c:;其余每個數都等于它“肩上”兩個數的和，即

1n

_c“-1_|_c

②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等，即C：=C廠.

③二項式系數和令0=6=1,則二項式系數的和為

C+C：+C"..+C：+...+C：=2",變形式C；+C；+…+C；+…+C,；=2=1.

④奇數項的二項式系數和等于偶數項的二項式系數和在二項式定理中，令

a=lrb=—lf

貝Uc，-c：+c：-c：+…+（-i）y=（i-i），=o,

從而得到：C°+C；+C：…+C丁+…=C：+C；+…+C；向+…=g.2"=2"-'.

⑤最大值：

如果二項式的幕指數”是偶數，則中間一項7；的二項式系數存最大；

-4-1

2

n—1n+1

如果二項式的嘉指數”是奇數，則中間兩項Tn+1的二項式系數G/,c3相等

————+1

22

且最大.

（2）系數的最大項

求（a+云）"展開式中最大的項，一般采用待定系數法.設展開式中各項系數分別為

IA>A

A，4,…，A用，設第r+l項系數最大，應有用一；，從而解出r來.

[A+i-4+2

知識點3、二項式展開式中系數和有關問題

常用賦值舉例：

n22rr

(1)設(.+4"=C^a"+C^a'-'b+C^a-b+…+Cna"-b+…+C：b",

二項式定理是一個恒等式，即對。，。的一切值都成立，我們可以根據具體問題的需

要靈活選取。，6的值.

①令a=b=l,可得：2"=C：+C；+…+C：

②令。=1,人=1,可得：o=《—C+C；—C：…+(—1)C",即：

c；+c；+…+c;=c；+c：+…+C；T(假設〃為偶數)，再結合①可得:

Q+第+…+C；=C；+C：+…+C『=2"-1.

(2)若/(九)=%/+%_M〃T+。〃_2工〃—之+—+。1犬+%,則

①常數項：令％=0,得4=/(0).

②各項系數和：令光=1,得/(1)=/+q+a2-\-----Fctn_x+an.

③奇數項的系數和與偶數項的系數和

(/)當〃為偶數時，奇數項的系數和為4+%+%+…=/⑴[”-D；

偶數項的系數和為卬+%+%+…=/⑴丁T).

(可簡記為：〃為偶數，奇數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配)

/⑴1)

(?)當〃為奇數時，奇數項的系數和為4+4+。4+…

2

/⑴+八-1)

偶數項的系數和為4+生+%+…

2

(可簡記為：〃為奇數，偶數項的系數和用“中點公式”，奇偶交錯搭配)

nX

若/(%)=/+H----F^n_^~+J同理可得.

注意：常見的賦值為令無=0,%=1或%=-1,然后通過加減運算即可得到相應的結

果.

必考題型全歸納

題型一：求二項展開式中的參數

例1.（2024?河南鄭州?統考模擬預測）（彳-、的展開式中的常數項與（尤一：+展開

式中的常數項相等，則。的值為（）

A.-3B.-2C.2D.3

【答案】D

【解析】［Qj的展開式中的常數項為cW（*=24,

x-5+a）展開式中的常數項CW+c"2=〃一3,

所以/一3=24,即。=3,

故選：D.

例2.（2024?四川成都?成都實外校考模擬預測）已知的展開式中存在常數

項，則〃的可能取值為（）

D.8

令—=0,即”=3r,由于reN,故〃必為3的倍數，即"的可能取值為6.

故選：C

例3.（2024?全國?高三專題練習）（辦-2］展開式中的常數項為一160,則。=（）

A.-1B.1C.±1D.2

【答案】B

【解析】［ax-^\的展開式通項為

6r

加=C；(ox)-f-|j=(-2)76Tq<r<6,rEN),

...令6-2r=0,解得r=3,

???［以―的展開式的常數項為4=(-2)3^6-3。＞6-6=_160/=_160,

???a3=1

??a=1

故選：B.

變式1.(2024?全國?高三專題練習)已知［x+fj的展開式中的常數項為-160,則實數

a~()

A.2B.-2C.8D.-8

【答案】B

6r62rr

【解析】1+:］展開式的通項為：Tr+I=Q-X~-^J=Q-x--a,

取r=3得到常數項為Cl-a3=20a3=-160,解得a=-2.

故選：B

變式2.(2024?全國?高三專題練習)已知］?一;1的展開式中第3項是常數項，則〃=

()

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

【解析】-的展開式的通項如=(_2yC%早，

n—6

當左=2時，小心產㈠丫C”

則T=0,解得71=6.

故選：A

【解題方法總結】

在形如(a"+&f)N的展開式中求X,的系數，關鍵是利用通項求r,貝|廠=竺匕.

m—n

題型二：求二項展開式中的常數項

例4.（2024?重慶南岸?高三重慶第二外國語學校校考階段練習）已知。＞0,二項式

，+玄，的展開式中所有項的系數和為64,則展開式中的常數項為（）

A.36B.30C.15D.10

【答案】C

【解析】令x=l,則可得所有項的系數和為（1+。『=64且。＞0,解得a=l,

：卜+3）的展開式中的通項4+1=13）=C：f-3?,左=0,1，…,6,

當％=2時，展開式中的常數項為猿=15.

故選：C

例5.（2024?山西朔州?高三懷仁市第一中學校校考階段練習）二項式，石-十］的展

開式中的常數項為（）

A.1792B.-1792C.1120D.-1120

【答案】C

【解析】因為％=C；（26廠［-七］=（T）'x2~C產，

令4一r=0,得r=4,

所以二項式展開式中的常數項為工=（-1）4x24C：=1120.

故選：C.

例6.（2024?北京房山?高三統考開學考試）（1-46的展開式中的常數項是（）

X

A.240B.-240C.15D.-15

【答案】A

【解析】由題目可知M=屋（無2廣［_胃=（_2）//5,笈=0,1,…,6,

令12—3左=0,解得k=4,

所以當％=4時為常數項，此時4=（-2?C：=240,

故選：A

變式3.(2024?貴州貴陽?高三貴陽一中校考開學考試)f-l+zYx2-^的展開式中的

常數項為()

A.-20B.20C.-10D.10

【答案】D

【解析】因為，+2)r一曰=*T+23T，

d—1的展開式的通項公式為Tr+l

令12-3r=3,得r=3,

令12—3廠=0,得r=4,

所以］-的展開式中的常數項為：

-^x(-l)3C^xx3+(-l)4C^xx°x2=-20+30=10.

故選：D

(]2y

變式4.(2024?全國?高三專題練習)若工+?(〃eN*)的展開式中存在常數項，則

I*)

n=()

A.2M左eN*)B.3M丘N*)C.5^(^eN*)D.7M丘N*)

【答案】C

【解析】卜/(weN*)的二項展開通式為心(〃￡N*),

令"|r_〃=0=〃=(r，貝一定是5的倍數,

故選：C.

變式5.(2024?全國-高三對口高考)若)展開式中含有常數項，則n

的最小值是()

A.2B.3C.12D.10

【答案】A

【解析】小=C：（瓜）T-（-/=C：?（百尸產”，

x

令"一2左=0,得幾=2k,貝!]%=1時，”取最小值2.

故選：A

【解題方法總結】

寫出通項，令指數為零，確定r,代入.

題型三：求二項展開式中的有理項

例7.（2024?全國?高三專題練習）在『的展開式中，有理項的系數為（）

A.-10B.-5C.5D.10

【答案】A

【解析】（4-網s的通項為4+1=磋（?門_4y=（_i），cD，

r=0,1,2,3,4,5.當心為有理項時，r既是奇數又能被3整除，所以廠=3,

故展開式中有理項的系數為（-1）七；=-10；

故選：A.

例8.（2024?全國?高考真題）二項式（戊+四）5°的展開式中系數為有理數的項共有

（）

A.6項B.7項C.8項D.9項

【答案】D

【解析】二項式的通項加=.（應嚴既a=2”可％尤，,

若要系數為有理數，則25-]eZ,0<r<50,且reZ,

即臺Z,|eZ,易知滿足條件的re{0,6,12,18,24,30,36,42,48},

故系數為有理數的項共有9項.

故選：D

例9.（2024?江西南昌?高三統考階段練習）卜-的展開式中所有有理項的系數和

為（）

A.85B.29C.-27D.-84

【答案】C

【解析】展開式的通項為：

sr73

Tr+1=C'&x~'(―-^=)=(—I)CJx,其中r=0,1,2,345,6,7,8,

當r=0,3,6時為有理項，故有理項系數和為

(-1)°C°+(-l)3Cg+(-1)6C?=1+(-56)+28=-27,

故選：C.

24

變式6.（2024?四川瀘州?高三四川省瀘縣第四中學校考階段練習）二項

展開式中，有理項共有（）項.

A.3B.4C.5D.7

【答案】D

【解析】二項式［五展開式中，

24-rr24-3r,3

通項為卻|=c力丁”==CG不，其中，=°，1，2…24,

3

，?的取值只需滿足6reZ,則r=0,4,8,12,16,20,24,

4

即有理項共有7項，

故選：D.

變式7.（2024?安徽宣城?高三統考期末）在二項式的展開式中，有理項共

有（）

A.3項B.4項C.5項D.6項

【答案】A

【解析】寫出通項公式，然后代入廠的值：0~12,分別計算判斷是否為有理項.

「65r

的通項公式為=C%（2?『一12r

=2-C;2x6

可知當廠=0,6,12時，6-號=6或1或T,可得有理項共有3項.

6

故選：A.

變式8.（2024?全國?高三專題練習）若（3?殲-2?）"的展開式中有且僅有三個有理

項，則正整數〃的取值為（）

A.4B.6或8C.7或8D.8

【答案】B

5n-2r5n—9r

【解析】首先寫出二項展開式的通項公式由條件可知f

為整數，然后觀察選項，通過列舉的方法，求得正整數”的值.（3?狂-2?）"的通項公式

是*=C；.（3"廠,2對

5n-2r

=d-2）&k

—2r—

設其有理項為第r+l項，則X的乘方指數為王產，依題意f■為整數，

66

注意到OWrW",對照選擇項知"=4、6、8,

逐一檢驗：“=4時，r=1,4,不滿足條件；

〃=6時，r=0>3、6,成立；

〃=8時，r=2>5、8,成立

故選：B.

【解題方法總結】

先寫出通項，再根據數的整除性確定有理項.

題型四：求二項展開式中的特定項系數

例10.（2024?四川成都?校聯考模擬預測）已知（x-2y）"的展開式中第4項與第5項的

二項式系數相等，則展開式中的x5y2項的系數為（）

A.—4B.84C.—280D.560

【答案】B

【解析】因為（尤-2y）”的展開式中第4項與第5項的二項式系數相等，所以C：=C：.貝U

〃=7

lr

又因為（x-2?的展開式的通項公式為=C；x（-2yy,

令r=2,所以展開式中的項的系數為瑪（-2）2=84.

故選：B.

例11.(2024?海南海口?海南華僑中學校考模擬預測)(1+止)2-x)6展開式中的系

數為()

A.270B.240C.210D.180

【答案】A

【解析】(2-x)6展開式的通項公式為CM=(-1)'26~rC^xr,

則原展開式中/的系數為(-1)2x24C^+|x(-l)4x22C：=270.

故選：A

例12.(2024?廣東揭陽?高三校考階段練習)(x-l)2(l+x『的展開式中一的系數是

()

A.20B.-20C.10D.-10

【答案】D

【解析】因為(X-1)2(1+X)6=X2(]+X)6-2X(1+X)6+(1+X)6,

展開式中一的項是/或必xF-2XC*3xl3+CXxl2,

則展開式中犬的系數是C；-2C：+C：=15-2x20+15=-10.

故選:D.

變式9.(2024?河北邢臺?高三邢臺市第二中學校考階段練習)已知口2-：](〃eN*)的

展開式中各項的二項式系數之和為64,則其展開式中/的系數為()

A.-240B.240C.-160D.160

【答案】C

【解析】由展開式中各項的二項式系數之和為64,得2"=64,得〃=6.

2r

：卜-|J的展開式的通項公式為Tr+I=q(xf(-i)^|J=q?，(-)‘針-3,，

令12-3r=3,貝Ur=3,所以其展開式中V的系數為C：x2?*(_1丫=一160.

故選：C.

變式10.(2024?全國?高三專題練習)在二項式「石-2T的展開式中，含x的項的二項

式系數為（）

A.28B.56C.70D.112

【答案】A

【解析】：二項式［五-￡［的展開式中，通項公式為

令4-學=1,求得廠=2,可得含x的項的二項式系數為C；=28,

故選：A.

變式11.（2024?北京?高三專題練習）在二項式的展開式中，含/項的二項式系

數為（）

A.5B.-5C.10D.-10

【答案】A

【解析】由題設，（包=G產，（_2），=（_2），弓/2，，

.?.當「=1時，7；=（-2）1C^3=-10X3.

.??含/項的二項式系數C；=5.

故選：A.

【解題方法總結】

寫出通項，確定r,代入.

題型五：求三項展開式中的指定項

例13.（2024?全國?高三專題練習）在11+尤-,］的展開式中，f的系數為.

【答案】66

【解析】由題意，（1+x-+）表示12個因式"+X-的乘積，

故當2個因式取無，其余10個因式取1時，可得展開式中含V的項，

故f的系數為C；xC：；=66.

故答案為：66.

例14.（2024?山東?高三沂源縣第一中學校聯考開學考試）（x-2y+l）5展開式中含移3項

的系數為.

【答案】-160

【解析】(x-2y+l)5變形為[(尤-2同+4，

故通項公式得加=G(x-2y廣,

其中的通項公式為CL/,*(-2y)”,

(0<k<5—r

故通項公式為C￡、x5-T(_2y『，其中八二二.，太reN,

令k=3,5—r—k=\,解得左=3/=1,

故C；C%(—2y)3=-160孫3.

故答案為：-160

例15.(2024?遼寧?大連二十四中校聯考模擬預測)(x+2y-3z)6的展開式中孫2z3的系

數為(用數字作答).

【答案】-6480

【解析】因為(x+2y-3z)6=[(X+2y)-3z『，

設其展開式的通項公式為：加=晨(x+2y廠,(-3z)r=晨(x+2y)?x(-3)r-z\0<r<6,reN,

令r=3,

得(x+2y了的通項公式為C^x3-m?(2yf=Cfx2加/加.丈,。(根<3,根￡N,

令m=2,

所以(x+2y+3Z)6的展開式中，xy3z2的系數為C：*(-3)3xx22=-6480,

故答案為：-6480

變式12.(2024?福建三明?高三統考期末)工+2)展開式中常數項是.(答案

用數字作答)

【答案】-68

【解析】(x-:+21=2+卜-的展開式的通項為

5krkrrr5kk2r

=2-C^Ckx-(-l)=(-l)2-C^C'kx-,0<r<k<5,k,reN,

令Z-2r=0,貝!|，=。，左=0或r=l,k=2,或r=2,Z=4,

所以常數項為(-1)°25cg+(-l)i23CfC*+(-1)2=32-160+60=-68,

故答案為：-68

變式13.(2024?江蘇?金陵中學校聯考三模)p+展開式中的常數項為.

【答案】—Z6.5625

16

【解析】P+/+—可看作7個尤4+V+J一相乘，要求出常數項，

(-2xy)2孫

只需提供一項尤，提供4項上，提供2項y"相乘即可求出常數項，

2xy

4

即BC［；［(力2=限

(2孫J16

故答案為：

16

變式14.(2024?湖南岳陽?統考模擬預測)(Y+x+yp的展開式中，丁產的系數

為.

【答案】30

【解析】(x2+x+y)5表示5個因式—+x+y的乘積，在這5個因式中，有2個因式選

》,其余的3個因式中有一個選x,剩下的兩個因式選V,即可得到含丁產的項，即可

算出答案.

(x2+x+y)5表示5個因式Y+x+y的乘積，

在這5個因式中，有2個因式選y,其余的3個因式中有一個選無，剩下的兩個因式選

X2,即可得到含X、y2的項，故含了5丁的項系數是c；.c；.C；=30.

故答案為：30

變式15.(2024?廣東汕頭?統考三模)+2+1］展開式中尤5的系數是.

【答案】560

【解析】因為卜+彳+1；是7個—+：+1)相乘，

卜：2+。+1)的展開式中x5項可以由4個f項、3個1項和0個常數項，或3個V項、1個

2

一項和3個常數項相乘，

x

所以12+彳+1]展開式中『的系數是C)C"+C〉C>2=560.

故答案為：560.

【解題方法總結】

三項式(〃+b+c)"(〃￡N)的展開式：

(a+b+c)n=[(a+b)+c]n=?.?+禺(〃+勾〃一'd+…

一..+C：(???+*〃〃+%4+???)/+???

=...+CC""c「+...

若令n—r_q=p,便得到三項式(〃+8+。)"(〃￡")展開式通項公式：

pqr

C[C^_rabc{p,q,reN,p+q+r=n),

其中0nqi-=----------5一:叫三項式系數.

r\(n—r)\q\(n—r—q)\p\q\r\

題型六：求幾個二(多)項式的和(積)的展開式中條件項系數

例16.(2024?廣西百色?高三貴港市高級中學校聯考階段練習)(1-2x)(1+3x)5的展開式

中%3的系數為.

【答案】90

【解析】(1+34的通項心=3匕-，，

令r=3,則心=33C；/3=270/；

令r=2,則4=32C，/=90尤2,

故(1-2x)(1+3x)5的展開式中苫3的系數為270+(-2)x90=90.

故答案為：90.

例17.（2024?河北保定?高三校聯考開學考試）的展開式中含尤項的

系數是.

【答案】-90

【解析】二項式［4-彳］展開式的通項公式為cjx1?（-2/）'=（-2>

令之（=-2,解得r=3；令三2=1,解得廠=1.

所以（丁+1）［4-2）的展開式中含x的項為（_2丫.c；.一+1.（一2y.e2V=-90尤，

所以展開式中含x項的系數是-90.

故答案為：-90

例18.（2024?江西南昌?高三統考開學考試）（1-尤+f）（l+x）6展開式中"的系數

是.

【答案】5

【解析】由題意知-x,N項和（1+4展開式中的爐,/相乘出現/項,

(1+以的通項公式為心=C1,r=0,1,2,…,6,

分別令r=5,6可得W項的系數為C：=6,C：=1,

故答案為：5

變式16.（2024?江蘇蘇州?高三統考開學考試）（x+J+l}x+l）6的展開式常數項

是.（用數字作答）

【答案】7

【解析】（x+以展開式第廠+1項&|=C"61

所以（x+J+l］（x+l）6展開式中常數項是:』xC*+1、*=6+1=7,

X

所以（x+J+"（x+l）6的展開式常數項是7.

故答案為：7

變式17.（2024?浙江杭州?高三浙江省杭州第二中學校考階段練習）已知多項式

（X+2）3（X_1）4—a[（％+]）7+?（X+1）6+...+%（彳+1）+/，則％=.

【答案】16

【解析】令f=x+l,則（r+l）"f—2）4=印7+aj6H--Fa7t+as,

3r

因為。+1）3的展開式的通項為Tr+1=C'3t-,r=0,1,2,3,

所以令r=2可得0+1）3的展開式中一次項為C）=3f,令r=3可得（f+Ip的展開式的常數

項為1,

又因為（—2）4的展開式的通項為7M=C%”“_2y,左=0,1,2,3,4,

所以令發=3可得（"2）4的展開式中一次項為C；（-2*=-32/,令％=4可得（7-2）4的展開式

的常數項為C：（-2）4=16,

所以%=16x3+（-32）x1=16.

故答案為：16.

變式18.（2024?陜西商洛?鎮安中學校考模擬預測）（x+y）（x-2y）6的展開式中含xV

項的系數為.（用數字作答）

【答案】-100

【解析】???（x-2y）6展開式通項為：加=&尸（_2?=（-2）'《產了，

3

，令r=3可得-2y『展開式中含項的系數為：（_2）^=-160；

令廠=2可得y（x-2y）6展開式中含x"項的系數為：（_2）2篌=60；

（尤+y）（尤—2y）展開式中含x4y3項的系數為—160+60=—100.

故答案為：-100.

變式19.（2024?河北唐山?高三開灤第二中學校考階段練習）設（1-煙）展開式

中的常數項為80,則實數機的值為.

【答案】-1

5

【解析】的展開式通項為

,5-—k

4=c；eW)：2(左=01,2,…,5),

5

mx

%N,不合乎題意;

3

r&=0,1,2,???,5)，

(—2)4=-80〃?=80,解得加=-L.

故答案為：-1.

變式20.（2024?安徽亳州?安徽省亳州市第一中學校考模擬預測）（尤+l）6（/+2x+l）展

開式中Y的系數為.

【答案】56

【解析】（x+l）6（x2+2x+l）展開式中含/的項為：眨“/+C：*2-（22+盤丁-1=56/.

故答案為：56.

【解題方法總結】

分配系數法

題型七：求二項式系數最值

例19.（2024?山東青島?統考三模）若1f+五J展開式的所有項的二項式系數和為

256,則展開式中系數最大的項的二項式系數為.（用數字作答）

【答案】28

【解析】因為展開式的所有項的二項式系數和為2"=256,解得〃=8,

貝！1（4+展開式為=壑4》2，廠=。』,2,…,8,

r

可得第r+1項的系數為。』=昔c"=0,12…,8,

f-^r「r+1

J〉5

令六:%,即3~37；,解得廠=6,

[ar+l>ar

o8-r-o9-r

所以展開式中第7項系數最大，其二項式系數為C；=28.

故答案為：28.

例20.（2024?全國?高三專題練習）二項式，+彳］的展開式中，只有第6項的二項式系

數最大，則含尤$的項是

【答案】180/

【解析】因為二項式仆+2］的展開式中只有第6項的二項式系數最大,

X

所以展開式中共有11項，：.w=10,

10

故（x+2|展開式的通項為&LCkrrrl02r

Xi°一「?2-x~=2-Cf0-x~

X

令10-2r=6,解得r=2,故展開式中含F的項是天?亡（/=180x6.

故答案為：180f.

例21.（2024?人大附中校考三模）已知二項式（2x-a）”的展開式中只有第4項的二項式系

數最大，且展開式中V項的系數為20,則實數。的值為.

【答案】-:/-0$

【解析】因為二項式的展開式中只有第4項的二項式系數最大，所以”=6,二項式的通項

為小=黑（2》廣'（_*，令6-r=3,解得r=3,所以展開式中/項為

C式2x）3（-a）3=-160/尤3,-160^3=20,解得。=-1.

故答案為：

變式21.（2024?浙江紹興?統考模擬預測）二項式的展開式中當且僅當第4

項的二項式系數最大，貝壯=,展開式中含V的項的系數為.

【答案】6-160

【解析】第4項的二項式系數為C；且最大，根據組合數的性質得"=6,

*1=晨（2》）6-[一9]=（一1）'26-（"6寸，令6_：r=2nr=3,所以

7；=（-1）3C12V=-160X2,則展開式中含/的項的系數為-160.

故答案為：6；-160.

變式22.（2024?陜西西安?西安中學校考模擬預測）已知（1+x）"的展開式中第4項與第

8項的二項式系數相等，則展開式中二項式系數最大的項為.

【答案】252X5

【解析】由題意得C：=C：,得〃=10,

所以展開式中二項式系數最大的項為第6項，

所以￡=C；ox5=252/,

故答案為：252/.

變式23.（2024?湖北?校聯考模擬預測）在（近的二項展開式中，只有第5項的二

項式系數最大，則該二項展開式中的常數項等于

【答案】252

【解析】（孤-的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數最大，，〃=8,

8—4r8_4rQ_Ay

通項公式為（+1=q.（-3）'=（-3）y.x-,令三一一°，求得r=2,

可得二項展開式常數項等于9xC；=252,

故答案為：252.

【解題方法總結】

利用二項式系數性質中的最大值求解即可.

題型八：求項的系數最值

例22.（2024?海南海口?海南華僑中學校考一模）在（x+l『（y+z）6的展開式中，系數最

大的項為.

【答案】120/VZ3

【解析】因為(x+l)4的通項為C)j,(y+z)6的通項為C.y6-，z"

???(x+球展開式系數最大的項為C%2=6一,

(y+z)6展開式系數最大的項為C：y3z3=20/z3,

.?.在(x+l)4(y+z『的展開式中，系數最大的項為120/e3.

故答案為：120x2y3z3.

例23.(2024?江西吉安?江西省萬安中學校考一模)已知(l+3x)"的展開式中，末三項的

二項式系數的和等于121,則展開式中系數最大的項為.(不用計算，寫出表達式即

可)

【答案】C：；3"W和d3叮2

【解析】由題意可得，C：+C丁+C/=121,所以“+l+g”(l)=⑵，解得”15,

(1+3%)15的展開式的通項為4包=3七；5，

京小3解得皿”

由于reN*,所以r=ll或12,

1212

r=11時，％=3"C：*u；廠=12時，7]3=3O,

所以展開式中系數最大的項為C：；3"婢和C；燈2/.

故答案為:C：；3"產和C；，92

例24.(2024?廣西南寧?南寧三中校考模擬預測)(x+琰的二項式展開中，系數最大的

項為.

【答案】70小

【解析】由題意知：(x+球的二項式展開中，各項的系數和二項式系數相等，

因為展開式的通項為所以廠=4時，系數最大，該項為C"8-4=70x4,

故答案為：70x4.

變式24.(2024?全國?高三專題練習)已知(1-3x)"的展開式中各項系數之和為64,則該

展開式中系數最大的項為.

【答案】1215/

【解析】令x=l,則(1-3尤)"的展開式各項系數之和為(-2)"=64=26,則〃=6；

由(l-3x)"的展開式通項公式知二項展開式的系數最大項在奇數項,

設二項展開式中第廠+1項的系數最大,

[6(-3)“+2(_3產(r+2)(r+1)>(6-r)(5-r)x9

化簡可得:

AJlQ(-3y>Q-2(-3)r-2(8-r)(7-r)x9>r(r-l)

經驗證可得廠=4,

則該展開式中系數最大的項為公=*(-3)。4=1215/.

故答案為：1215尤、

變式25.(2024?全國?高三專題練習)若(?+,)〃展開式中前三項的系數和為163,

則展開式中系數最大的項為.

【答案】5376

【解析】展開式的通項公式為0*丁，由題意可得，2°《+2C：+22d=163,解

得憶=9,

18—3k_,,I,fz^'Co>2MCo+1

lx展開式中,+J=2*C；x4項的系數取大，則[2憶/>21o1

解得,qwg,

又：keN,k=6,

故展開式中系數最大的項為心=26cM=5376.

故答案為：5376.

變式26.(2024?全國?高三專題練習)[?+)](〃eN*)展開式中只有第6項系數最

大，則其常數項為.

【答案】210

2〃

【解析】由已知neN）展開式中只有第6項系數為C：,最大，所以展開式有

11項,

所以2〃=10,即〃=5,又展開式的通項為加二《4石嚴仁上寧）=，/「二，

45-jr=0,解得廠=6,所以展開式的常數項為=210.

6

故答案為：210.

變式27.（2024?安徽蚌埠?高三統考開學考試）若二項式（x+g］展開式中第4項的系數

最大，貝U”的所有可能取值的個數為.

【答案】4

【解析】因為二項式上+；］展開式的通項公式為j=c;、［尤"一

什226

由題意可得34,即八「故8W”Wll,又因為〃為正整數，所以

〃=8或9或10或11,故〃的所有可能取值的個數為4個，

故答案為：4.

【解題方法總結】

有兩種類型問題，一是找是否與二項式系數有關，如有關系，則轉化為二項式系數最值

問題；如無關系，則轉化為解不等式組：［I"?八，注意：系數比較大小.

In

題型九：求二項展開式中的二項式系數和、各項系數和

例25.（多選題）（2024?全國?高三專題練習）己知

202322023

（1-2x）=a0+a1x+a2xH■…+^2023x,則下列結論正確的是（）

A.展開式中所有項的二項式系數的和為22期

§20231

B.展開式中所有奇次項的系數的和為」±1

2

120231

C.展開式中所有偶次項的系數的和為—■—

D.&+W+M+...+第=-1

2223203

【答案】ACD

【解析】對于A,（1-2%）2°23的展開式中所有項的二項式系數的和為22。23,故A正確;

對于B,令/（X）=（1-2%）2023,則4+q+出+/+L+/023==,

4—6+/―%+L—%023=f（_1）=32期，

所以展開式中所有奇次項的系數的和為了（）一/（T）=一二±1,

22

展開式中所有偶次項的系數的和為了（）+/（一0=整二，故B錯誤，C正確；

22

對于D,g=/（o）=l,A||'+||+L+||器■==-1,故D正確.

故選：ACD.

例26.（多選題）（2024?重慶南岸?高三重慶市第十一中學校校考階段練習）已知

617

（x-l）（x+2）=a0+axx+a2x-----1-a^x,則（）

A.%=-64B.%=63

C.a。+q+,,,+%=0D.q+/+%+%=1

【答案】ACD

【解析】對于A,令x=0,得至I]%=-1x2,=-64,