一元一次方程

1、概念理解錯誤導致出錯.

定義用等號“=”來表示相等關系的式子,叫做等式.

學習誤區

2、性質運用錯誤導致出錯.

(1)等式的兩邊都加上(或減去)同一個數或同一

(1)定義不同.個整式，所得結果仍是等式.

a=b。?！纁=b±c

1.區別

(2)代數式僅用運算符號連接，不含等號.性質

代數式、等等式

式與方程的

方程是特殊的等式，但等式不一定是方程.區別與聯系知能提升

(3)(2)等式兩邊都乘(或除以)同一個不為0的數,

總結知識所得結果仍是等式.

升華梳理■*>?^a=Z>,c#0Qac=bc^i+c=b+c一

(1)等式和方程的左、右兩邊都由代數式構成.2.聯系

含有未知數的等式叫做方程.

(2)方程是含有未知數的等

如，x+3=5^+y=l^2+2x-3=0,-

定義

只要是用“="連接的式子，而

不管它是否成立.方程使方程左右兩邊的值相等的未知數

方程的解的值叫做方程的解，只有一個未知

數的方程的解，也叫做方程的根.

1、等式的概念

.一、?學等式.學法

兩個條件，缺一不可指導

常求方程的解的過程叫做解方程.

含有未知數.2、方程的概念解方程

見

概念問題的

幾

它(或它們)是方程中未知數的值.種若兩個方程的解相同，則這兩個

3、方程的解方方程叫做同解方程.一

將它(們)分別代入方程的左邊和右程

邊，左邊等于右邊.

一元一次方程形如“x+/?=O（a戶0）

基本性質1形如上x+b『,=0

二元一次方程組

若a=b,貝ija±c=b±c.性質形叫田+%E=0

若a=b,Mac=bc.￡=微（。*0）.基本性質2

無理一兀二次方程形如ai2+/>x+c=0(“K0)

方程

b.b

形如>/x+a+b=O,形如-

若。=6,則b=a;若a=b.b=c則a=c.基本性質:

即根號內含有未知數的方程.分式方程即分母含有未知數的方程.

1、移項忘記變符號.

2、違反去括號法則.只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是1,系數

不等于0的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式

3、去分母時，漏給不含分母的項乘公分母.^￡?:+/>=0（a,6為常數，"0）.___________________

】忽視分數線的“括號”作用.

學習誤區

5、忽視“0”的特性：任何數與0相乘都得0.

6、小數化為整數時，把小數以外的數也跟著擴大.,、去分母-邊扁府壺存分刑的.小公他瞰

定義

7、小數化為整數時，同一分數中的分子，分母擴大的倍數不同.

知能提升二去括號—老去小括號.再去中括號，最后去大括號.

總結

用一元一次方程解決實際問題的基本思路知識把含有未知數的項移到方程的左邊，

3、移項

卜升華梳理其他項移到方程的右邊，移項要變號.

數學問題--------------?已知■,未知■,等■關系解方

不程步驟4、合并同類項化為最簡方程以=伙。工0）的形式.

合

理s

5、系數化為1x*

解的合理性，空方程的解J巴方I程

若有分母先去掉，化為整式很重要;

去分母1.弄清題意和題目中的已知數、未知數，

各項都乘公分母，分子項多加括號.用字母表示題目中的一個未知數____

正括號來不變號，負括號來全變號;

去括號

各項都要乘系數，系數分配要公道」

指導

未知在左常數右，移項切記要變號.移項

解方程

同類合并要謹慎，一邊一項處理好.合并同類項注意問題

系數化一有講究，分數乘倒整數除.系數化為一

應整藉題

找出已知與未知，相等關系列方程.

應用解字

類型母系

解出負數要斟酌，未知范圍莫忽略.數的

一元

可化為?=/>的形式

一次

和差倍分問題、等積變形問題、數字問題、行程方程

問題（相遇、追及、航行）、勞力調配問題、工

(2)a=0,6W0.r無解.J

程問題、儲蓄問題、商品利潤問題……

⑶a=0力知為任意

02）知名梳理

知識點01：解一元一次方程

【高頻考點精講】

1.解一元一次方程的一般步驟

（1）一般步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1。

（2）所有步驟目的：使方程逐漸向x=a形式轉化。

2.解一元一次方程時，應該先觀察方程的形式和特點，如果有分母一般先去分母；如果既有分母又有括號，

且括號外的項乘以括號內各項后能消去分母，就先去括號。

3.求解“a/bx=c”類型方程時，將方程左邊按照合并同類項的方法并為一項，即（界6）x=c,使方程

逐漸轉化為"=6的最簡形式，體現化歸思想。將ax=6系數化為1時，首先弄清楚求x時，方程兩邊除

以的是a還是6,尤其a為分數時；其次要準確判斷符號，a、6同號x為正，a、6異號x為負。

知識點02：由實際問題抽象出一元一次方程

【高頻考點精講】

1.“總量=各部分量的和”是列方程解應用題中一個基本的關系式，在此類問題中，首先表示出各部分的

量和總量，然后利用它們之間的等量關系列方程；

2.“表示同一個量的不同式子相等”是列方程解應用題中另一個基本關系式，也是列方程的一種基本方法。

通過對同一個量從不同角度用不同的式子表示，進而列出方程。

知識點03：一元一次方程的應用

【高頻考點精講】

1.銷售問題：利潤=售價-進價，利潤率=理膽X100%；

迸價

2.工程問題：

（1）工作量=人均效率X人數X時間；

（2）如果一件工作分幾個階段完成，那么各階段工作量的和=工作總量；

3.行程問題：路程=速度X時間；

4.水流航行問題：

（1）順水速度=靜水速度+水流速度；

（2）逆水速度=靜水速度-水流速度。

?新題速遞

檢測時間：90分鐘試題滿分：100分難度系數：0.66

一.選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

1.（2分）（2023?永州）關于x的一元一次方程2X+H=5的解為x=l,則/的值為（）

A.3B.-3C.7D.-7

ft?：是關于X的一元一次方程2X+R=5的解，

A2X1+%=5,

m=3,

故選：4

2.（2分）（2023?光澤縣模擬）我國古代數學著作《孫子算經》中有“多人共車”問題：今有三人共車,

二車空；二人共車，九人步.問人與車各幾何？其大意是：每車坐3人，兩車空出來；每車坐2人，多

出9人無車坐.問人數和車數各多少？設車x輛，根據題意，可列出的方程是（）

A.3x-2=2x+9B.3（x-2）=2x+9

C.三+2，_gD.3（x-2）=2（x+9）

32

解：設車x輛，

根據題意得：3（x-2）=2戶9.

故選：B.

3.（2分）（2023?連云港）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，

弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行240里，慢馬

每天行150里，慢馬先行12天，快馬幾天可追上慢馬？若設快馬x天可追上慢馬，由題意得（）

A.上=@2B.」一=q_12

240150240150

C.240（x-12）=150xD.240x=150（矛+12）

解：；慢馬先行12天，快馬x天可追上慢馬，

...快馬追上慢馬時，慢馬行了（x+12）天.

根據題意得：240^=150（x+12）.

故選：D.

4.（2分）（2023?貴州）《孫子算經》中有這樣一道題，大意為：今有100頭鹿，每戶分一頭鹿后，還有

剩余，將剩下的鹿按每3戶共分一頭，恰好分完，問：有多少戶人家？若設有x戶人家，則下列方程正

確的是（）

A

-x-4-=100B.3x+l=100C,X-4-X=10QD.等=100

OOo

解：根據題意得：x+』x=100.

3

故選：C.

5.（2分）（2023?日照）《九章算術》是中國古代重要的數學著作，其中“盈不足術”記載：今有共買雞，

人出九，盈十一；人出六，不足十六.問人數雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多

出H錢；每人出6錢，又差16錢.問人數、買雞的錢數各是多少？設人數為x,可列方程為（）

A.9x+ll=6x+16B.9x-ll=6x-16

C.9x+ll=6x-16D.9x-11=6^+16

解：根據題意得：9x-11=6^+16.

故選：D.

6.（2分）（2023?臺灣）有一東西向的直線吊橋橫跨溪谷，小維、阿良分別從西橋頭、東橋頭同時開始往

吊橋的另一頭筆直地走過去，如圖所示，已知小維從西橋頭走了84步，阿良從東橋頭走了60步時，兩

人在吊橋上的某點交會，且交會之后阿良再走70步恰好走到西橋頭，若小維每步的距離相等，阿良每步

的距離相等，則交會之后小維再走多少步會恰好走到東橋頭（）

A.46B.50C.60D.72

解：設交會之后小維再走x步會恰好走到東橋頭，由題意得,

X84

而爭

：.x=72,

故選：D.

7.（2分）（2023?新昌縣模擬）《九章算術》中記載了這樣一個數學問題：今有甲發長安，五日至齊；乙

發齊，七日至長安.今乙發已先二日，甲仍發長安.問幾何日相逢？譯文：甲從長安出發，5日到齊國；

乙從齊國出發，7日到長安.現乙先出發2日，甲才從長安出發.問多久后甲乙相逢？設乙出發x日,

甲乙相逢，則可列方程（）

解：設乙出發x日，甲乙相逢，則甲出發（x-2）日，故可列方程為:

三+三2=1.

75

故選：D.

8.（2分）（2023?南充）《孫子算經》記載：“今有木，不知長短.引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，

不足一尺.木長幾何？"（尺、寸是長度單位，1尺=10寸）.意思是，現有一根長木，不知道其長短.用

一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺.問長木長多少？

設長木長為x尺，則可列方程為（）

A.—(x+4.5)—x-1B.A(x+4.5)=x+l

22

C.A(x-4.5)=x+lD.A(x-4.5)=x-1

22

解：設長木長為X尺，

:用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺,

???繩子長為（-4.5）尺,

???繩子對折再量木條，木條剩余1尺，

得方程為：—（x+4.5）=x-1.

2

故選：A.

9.（2分）（2023?宿遷）古代名著《孫子算經》中有一題：今有三人共車，二車空；二人共車，九人步.問

人與車各幾何？設有車x輛，則根據題意，可列出方程是（）

A.3（x+2）=2x-9B.3（x+2）=2矛+9

C.3（x-2）=2x-9D.3（x-2）=2x+9

解：設有x輛車，則可列方程：3（x-2）=2戶9.

故選：D.

10.（2分）（2023?棗莊）《算學啟蒙》是我國較早的數學著作之一，書中記載一道問題：“良馬日行二

百四十里，弩馬日行一百五十里，弩馬先行一十二日，問良馬幾何追及之？”題意是：快馬每天走240

里，慢馬每天走150里，慢馬先走12天，試問快馬幾天可以追上慢馬？若設快馬x天可以追上慢馬，則

下列方程正確的是（）

A.240^+150^=150X12B.240x-150x=240義12

C.240x+150x=240X12D.240^-150^=150X12

解：依題意得：240^-150^=150X12.

故選：D.

二.填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）

11.（2分）（2023?鼓樓區校級模擬）定義運算法則：a十6=a2+a6,例如3十2=3,3X2=15.若2（Bx=

10,則x的值為3.

解：十x=10,

22+2JT=10,即4+2X=10,解得X=3.

故答案為：3.

12.（2分）（2023?德陽）在初中數學文化節游園活動中，被稱為“數學小王子”的王小明參加了“智取

九宮格”游戲比賽，活動規則是：在九宮格中，除了已經填寫的三個數之外的每一個方格中，填入一個

數，使每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和分別相等，且均為加王小明抽取到的題目

如圖所示，他運用初中所學的數學知識，很快就完成了這個游戲，則卬=39.

解：設九宮格中最中間的數為X，

??,第1列中間數與第2行的最左側的數重合,

??-16+4=7+x,

x=13,

根據九宮格每一橫行、每一豎列以及兩條對角線上的3個數之和等于最中間數的三倍，

勿=3x=39,

故答案為：39.

13.(2分)(2023?伊通縣四模)“用繩子測水井深度，如果將繩子折成三等份，井外余繩4尺：如果將

繩子折成四等份，井外余繩1尺.問繩長、井深各是多少尺？”設井深為x尺，可列一元一次方程為3

(x+4)=4(x+1).

解：井深為x尺，

由將繩三折測之，繩多4尺，可得繩長為3(x+4),

由將繩四折測之，繩多1尺，可得繩長為4(廣1).

由繩長相等，可得3(x+4)=4(x+1).

故答案為：3(x+4)=4(x+1).

14.(2分)(2023?余江區二模)我國古代《算法統宗》里有這樣一首詩：“我問開店李三公，眾客都來

到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”詩中后面兩句的意思是：如果每一間客房住7人，那么

有7人無房可?。蝗绻恳婚g客房住9人，那么就空出一間客房.設有x間客房，可列方程為：7x+7

=9(x-1).

解：根據題意得：7x+7=9(x-1),

故答案為：7e7=9(x-1).

15.(2分)(2023?慈溪市一模)方程術是中國傳統數學著作《九章算術》中最高的代數成就.《九章算

術》中記載了這樣一個問題：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善

行者追之，問幾何步及之？”譯文：“相同時間內，走路快的人走100步，走路慢的人只走60步，若走

路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？(注：步為長度單位)”，根據題意可求得走

路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

解：設走路快的人要走X步才能追上，則走路慢的人走上義60（步），

100

根據題意得：二一X60+100=x,

100

解得：x=250,

則走路快的人要走250步才能追上走路慢的人.

故答案為：250.

16.（2分）（2023?柯橋區一模）甲、乙兩個足球隊連續進打對抗賽，規定勝一場得3分，平一場得1分，

負一場得0分，共賽10場，甲隊保持不敗，得22分，甲隊勝6場.

解：設甲勝了x場，

由題意：3x+（10-x）=22,

解得x=6,

甲隊勝了6場，

故答案為：6.

17.（2分）（2023?吉林）《九章算術》中記載了一道數學問題，其譯文為：有人合伙買羊，每人出5錢，

還缺45錢；每人出7錢，還缺3錢，問合伙人數是多少？為解決此問題，設合伙人數為x人，可列方程

為5x+45=7x+3.

解：設合伙人數為x人，

依題意，得：5x+45=7x+3.

故答案為：5戶45=7x+3.

18.（2分）（2023?未央區校級三模）請閱讀下面的詩句：“棲樹一群鴉，鴉樹不知數，四只棲一樹，五

只沒處去，五只棲一樹，閑了一棵樹，請你仔細數，鴉樹各幾何？”詩中談到的鴉為45只,樹為10

棵.

解：設樹有x棵

依題意列方程：4A+5=5（x-1）

解得：x=10

所以樹有10棵，鴉的個數為：10X4+5=45

故答案為：45,10

19.（2分）（2023?大連）我國古代著作《九章算術》中記載了這樣一個問題：“今有共買雞，人出九，

盈十一；人出六，不足十六.問人數、雞價各幾何.”其大意是：今有人合伙買雞，每人出9錢，會多

出11錢；每人出6錢，又差16錢.問人數、雞價各是多少.”設共有x人合伙買雞，根據題意，可列

方程為9x-ll=6x+16.

解：由題意得：9x-11=6A+16,

故答案為：9x-H=6A+16.

20.（2分）（2023?麗水）古代中國的數學專著《九章算術》中有一題：“今有生絲三十斤，干之，耗三

斤十二兩.今有干絲一十二斤，問生絲幾何？”意思是：“今有生絲30斤，干燥后耗損3斤12兩（古

代中國1斤等于16兩）.今有干絲12斤，問原有生絲多少？”則原有生絲為團斤.

~7~

解：設原有生絲為X斤，

X：12=30：（30-3理），

16

解得了=因.

7

故原有生絲為因斤.

7

故答案為：的.

7

三.解答題（共8小題，滿分60分）

21.（6分）（2023?浙江模擬）以下是欣欣解方程：空2_^±=］的解答過程：

32

解：去分母，得2（x+2）-3（2x-1）=1；................①

去括號：2x+2-6x+3=l；..........................②

移項，合并同類項得：-4x=-4；.........................③

解得：x=l...............................................④

（1）欣欣的解答過程在第幾步開始出錯？（請寫序號即可）

（2）請你完成正確的解答過程.

解：（1）步驟①；

（2）去分母，得2（x+2）-3（2x-l）=6；

去括號：2廣4-6矛+3=6；

移項，合并同類項得：-4x=-1；

解得：x^--

4

22.（6分）（2023?衢州）小紅在解方程紅=^L+1時，第一步出現了錯誤:

36

解：2X7x=(4x-1)+1,

(1)請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處.

(2)寫出你的解答過程.

解：(1)如圖：

解：2*7x=(4x-l)+1,

(2)去分母：2X7x=(4x-l)+6,

去括號：14x=4x-1+6,

移項：14x-4x=-l+6,

合并同類項：10x=5,

系數化1：x=」.