2025屆上海市七寶高中高三六校第一次聯考數學試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列的前項和為，且，，，則的通項公式（）A． B． C． D．2．給甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三項工作，每項工作至少一人，每人做且僅做一項工作，甲不能安排木工工作，則不同的安排方法共有（）A．12種 B．18種 C．24種 D．64種3．若函數的圖象經過點，則函數圖象的一條對稱軸的方程可以為()A． B． C． D．4．函數在上為增函數，則的值可以是()A．0 B． C． D．5．已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為，直線與其相交于，兩點，若中點的橫坐標為，則此雙曲線的方程是A． B．C． D．6．函數在的圖象大致為A． B．C． D．7．設，為非零向量，則“存在正數，使得”是“”的（）A．既不充分也不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．充分不必要條件8．已知，則的值等于（）A． B． C． D．9．在直角坐標平面上，點的坐標滿足方程，點的坐標滿足方程則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．設集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}，則A∩B＝（）A．（﹣1，3] B．[﹣1，3] C．{0，1，2，3} D．{﹣1，0，1，2，3}11．設全集U=R，集合，則（）A． B． C． D．12．某工廠一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示，下列說法中錯誤的是（）．A．收入最高值與收入最低值的比是B．結余最高的月份是月份C．與月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同D．前個月的平均收入為萬元二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數在區間上的值域是，則的取值范圍是__________.14．的角所對的邊分別為，且，，若，則的值為__________.15．已知，若，則a的取值范圍是______．16．銳角中，角，，所對的邊分別為，，，若，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）近年來，隨著“霧霾”天出現的越來越頻繁，很多人為了自己的健康，外出時選擇戴口罩，在一項對人們霧霾天外出時是否戴口罩的調查中，共調查了人，其中女性人，男性人，并根據統計數據畫出等高條形圖如圖所示：（1）利用圖形判斷性別與霧霾天外出戴口罩是否有關系并說明理由；（2）根據統計數據建立一個列聯表；（3）能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩的關系.附：18．（12分）若不等式在時恒成立，則的取值范圍是__________.19．（12分）如圖，已知四棱錐的底面是等腰梯形，，，，，為等邊三角形，且點P在底面上的射影為的中點G，點E在線段上，且.（1）求證：平面.（2）求二面角的余弦值.20．（12分）已知關于的不等式有解.（1）求實數的最大值；（2）若，，均為正實數，且滿足.證明：.21．（12分）已知，其中．（1）當時，設函數，求函數的極值．（2）若函數在區間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．22．（10分）已知函數，其中，．（1）當時，求的值；（2）當的最小正周期為時，求在上的值域．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

利用證得數列為常數列，并由此求得的通項公式.【詳解】由，得，可得（）.相減得，則（），又由，，得，所以，所以為常數列，所以，故.故選：C【點睛】本小題考查數列的通項與前項和的關系等基礎知識；考查運算求解能力，邏輯推理能力，應用意識.2、C【解析】

根據題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】解：根據題意，分2步進行分析：①，將4人分成3組，有種分法；②，甲不能安排木工工作，甲所在的一組只能安排給泥工或油漆，有2種情況，將剩下的2組全排列，安排其他的2項工作，有種情況，此時有種情況，則有種不同的安排方法；故選：C．【點睛】本題考查排列、組合的應用，涉及分步計數原理的應用，屬于基礎題．3、B【解析】

由點求得的值，化簡解析式，根據三角函數對稱軸的求法，求得的對稱軸，由此確定正確選項.【詳解】由題可知.所以令，得令，得故選：B【點睛】本小題主要考查根據三角函數圖象上點的坐標求參數，考查三角恒等變換，考查三角函數對稱軸的求法，屬于中檔題.4、D【解析】

依次將選項中的代入，結合正弦、余弦函數的圖象即可得到答案.【詳解】當時，在上不單調，故A不正確；當時，在上單調遞減，故B不正確；當時，在上不單調，故C不正確；當時，在上單調遞增，故D正確.故選：D【點睛】本題考查正弦、余弦函數的單調性，涉及到誘導公式的應用，是一道容易題.5、D【解析】

根據點差法得，再根據焦點坐標得，解方程組得，，即得結果.【詳解】設雙曲線的方程為，由題意可得，設，，則的中點為，由且，得，，即，聯立，解得，，故所求雙曲線的方程為．故選D．【點睛】本題主要考查利用點差法求雙曲線標準方程，考查基本求解能力，屬于中檔題.6、A【解析】

因為，所以排除C、D．當從負方向趨近于0時，，可得.故選A．7、D【解析】

充分性中，由向量數乘的幾何意義得，再由數量積運算即可說明成立；必要性中，由數量積運算可得，不一定有正數，使得，所以不成立，即可得答案.【詳解】充分性：若存在正數，使得，則，，得證；必要性：若，則，不一定有正數，使得，故不成立；所以是充分不必要條件故選：D【點睛】本題考查平面向量數量積的運算，向量數乘的幾何意義，還考查了充分必要條件的判定，屬于簡單題.8、A【解析】

由余弦公式的二倍角可得，，再由誘導公式有，所以【詳解】∵∴由余弦公式的二倍角展開式有又∵∴故選：A【點睛】本題考查了學生對二倍角公式的應用，要求學生熟練掌握三角函數中的誘導公式，屬于簡單題9、B【解析】

由點的坐標滿足方程，可得在圓上，由坐標滿足方程，可得在圓上，則求出兩圓內公切線的斜率，利用數形結合可得結果.【詳解】點的坐標滿足方程，在圓上，在坐標滿足方程，在圓上，則作出兩圓的圖象如圖，設兩圓內公切線為與，由圖可知，設兩圓內公切線方程為，則，圓心在內公切線兩側，，可得，，化為，，即，，的取值范圍，故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關系以及數形結合思想的應用，屬于綜合題.數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，尤其在解決選擇題、填空題時發揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關鍵是運用這種方法的關鍵是正確作出曲線圖象，充分利用數形結合的思想方法能夠使問題化難為簡，并迎刃而解.10、C【解析】

先求集合A，再用列舉法表示出集合B，再根據交集的定義求解即可．【詳解】解：∵集合A＝{y|y＝2x﹣1，x∈R}＝{y|y＞﹣1}，B＝{x|﹣2≤x≤3，x∈Z}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}，故選：C．【點睛】本題主要考查集合的交集運算，屬于基礎題．11、A【解析】

求出集合M和集合N,，利用集合交集補集的定義進行計算即可．【詳解】，，則，故選：A．【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算，考查指數不等式和二次不等式的解法，屬于基礎題．12、D【解析】由圖可知，收入最高值為萬元，收入最低值為萬元，其比是，故項正確；結余最高為月份，為，故項正確；至月份的收入的變化率為至月份的收入的變化率相同，故項正確；前個月的平均收入為萬元，故項錯誤．綜上，故選．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】

配方求出頂點，作出圖像，求出對應的自變量，結合函數圖像，即可求解.【詳解】，頂點為因為函數的值域是，令，可得或.又因為函數圖象的對稱軸為，且，所以的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查函數值域，考查數形結合思想，屬于基礎題.14、【解析】

先利用余弦定理求出，再用正弦定理求出并把轉化為與邊有關的等式，結合可求的值.【詳解】因為，故，因為，所以.由正弦定理可得三角形外接圓的半徑滿足，所以即.因為，解得或（舍）.故答案為：.【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的應用，注意結合求解目標對所得的方程組變形整合后整體求解，本題屬于中檔題.15、【解析】

函數等價為，由二次函數的單調性可得在R上遞增，即為，可得a的不等式，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】，等價為，且時，遞增，時，遞增，且，在處函數連續，可得在R上遞增，即為，可得，解得，即a的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查分段函數的單調性的判斷和運用：解不等式，考查轉化思想和運算能力，屬于中檔題．16、【解析】

由余弦定理，正弦定理得出，從而得出，推出的范圍，由余弦函數的性質得出的范圍，再利用二倍角公式化簡，即可得出答案.【詳解】由題意得由正弦定理得化簡得又為銳角三角形，則，，.故答案為【點睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）圖形見解析，理由見解析；（2）見解析；（3）犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關系【解析】

（1）利用等高條形圖中兩個深顏色條的高比較得出性別與霧霾天外出戴口罩有關系；（2）填寫列聯表即可；（3）由表中數據，計算觀測值，對照臨界值得出結論．【詳解】解：（1）在等高條形圖中，兩個深色條的高分別表示女性和男性中霧霾天外出戴口罩的頻率，比較圖中兩個深色條的高可以發現，女性中霧霾天外出帶口罩的頻率明顯高于男性中霧霾天外出帶口罩的頻率，因此可以認為性別與霧霾天外出帶口罩有關系.（2）列聯表如下：戴口罩不戴口罩合計女性男性合計（3）由（2）中數據可得：.所以，在犯錯誤的概率不超過的前提下認為性別與霧霾天外出戴口罩有關系.【點睛】本題考查了列聯表與獨立性檢驗的應用問題，也考查了登高條形圖的應用問題，屬于基礎題．18、【解析】

原不等式等價于在恒成立，令，，求出在上的最小值后可得的取值范圍.【詳解】因為在時恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，，則為上的增函數，故.故.故答案為：.【點睛】本題考查含參數的不等式的恒成立，對于此類問題，優先考慮參變分離，把恒成立問題轉化為不含參數的新函數的最值問題，本題屬于基礎題.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由等腰梯形的性質可證得,由射影可得平面,進而求證；（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,分別求得平面與平面的法向量,再利用數量積求解即可.【詳解】（1）在等腰梯形中,點E在線段上,且,點E為上靠近C點的四等分點,,,,,點P在底面上的射影為的中點G,連接,平面,平面,.又,平面,平面,平面.（2）取的中點F,連接,以G為原點,所在直線為x軸,所在直線為y軸,所在直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,由（1）易知,,,又,,,為等邊三角形,,則,,,,,,,,,設平面的法向量為,則，即,令,則,,,設平面的法向量為,則,即,令,則,,,設平面與平面的夾角為θ,則二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的證明,考查空間向量法求二面角,考查運算能力與空間想象能力.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）由題意，只需找到的最大值即可；（2），構造并利用基本不等式可得，即.【詳解】（1），∴的最大值為4.關于的不等式有解等價于，（ⅰ）當時，上述不等式轉化為，解得，（ⅱ）當時，上述不等式轉化為，解得，綜上所述，實數的取值范圍為，則實數的最大值為3，即.（2）證明：根據（1）求解知，所以，又∵，，，，，當且僅當時，等號成立，即，∴，所以，.【點睛】本題考查絕對值不等式中的能成立問題以及綜合法證明不等式問題，是一道中檔題.21、（1）極大值，無極小值；（2）．（3）見解析【解析】

（1）先求導，根據導數和函數極值的關系即可求出；（2）先求導，再函數在區間上遞增，分離參數，構造函數，求出函數的最值，問題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據對數的運算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當時，設函數，則令，解得當時，，當時，所以在上單調遞增，在上單調遞減所以當時，函數取得極大值，即極大值為，無極小值；（2）因為，所以，因為在區間上遞增，所以在上恒成立，所以在區間上恒成立．當時，在區間上恒成立，當時，，設，則在區間上恒成立．所以在單調遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2