Page18湖南省長沙市2024屆高三數學上學期月考(四)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.，若，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先確定全集中的元素，由得到集合.【詳解】，由，∴.故選：A2.函數零點所在的區間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據函數的單調性以及零點存在性定理可得答案.【詳解】因為函數在上單調遞減，所以函數最多只有一個零點，因為，，，，所以函數零點所在的區間是.故選：C3.已知函數，則（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先對求導，再代入即可求得.【詳解】因為，所以，故，即，所以.故選：B.4.在雙曲線中，虛軸長為6，且雙曲線與橢圓有公共焦點，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】將橢圓方程化成標準方程求出其焦點坐標，再依據雙曲線虛軸長度為6，即可求得雙曲線的標準方程.【詳解】橢圓的標準方程為；易得橢圓焦點坐標為，又因為雙曲線與橢圓有公共焦點，所以雙曲線的焦點在軸上，且，由雙曲線虛軸長為6可知，所以；所以，雙曲線的標準方程為.故選：B.5.已知向量，且，則（）A.68 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意利用兩個向量的模相等，求得的值，再用兩個向量的數量積的坐標公式即可求解.【詳解】已知向量，,，即，又，，故，.故選：D.6.為了解某種產品與原材料之間的關系，隨機調查了該產品5個不同時段的產品與原材料的價格，得到如下統計數據表：原材料價格（萬元/噸）產品價格（萬元/件但是統計員不當心丟失了一個數據（用代替），在數據丟失之前得到回來直線方程為，則的值等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得樣本中心，再將樣本中心代入回來直線方程即可求得的值.【詳解】依題意，得，，因為必過，所以，解得，所以.故選：A.7.的綻開式中，的系數為（）A.60 B. C.120 D.【答案】A【解析】【分析】設的通項為，設的通項為,即得解.【詳解】解：設的通項為，設的通項為，令所以的系數為.故選：A8.三棱錐中，，則三棱錐的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先取中點，連接，.通過勾股定理求解，的長度，并利用余弦定理求解的值.然后分別過三角形與的外心作平面的垂線，垂線交于球心，最終求解的長度，進而利用勾股定理求解外接球半徑.【詳解】如圖，取中點，連接，.且為中點，，，同理可得.又，，，即，過的外心作平面的垂線為，垂足為，同理過的外心作平面的垂線為，并設，易知為球心.連接，，.為的外心，，又在中，，得，即外接球半徑，故外接球表面積.故選：B二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知復數，則下列結論中正確的是（）A. B.的虛部為1C. D.【答案】AC【解析】【分析】先化簡復數，然后求出的共軛復數即可驗證選項AB，求出復數的模驗證選項C，化簡選項D即可【詳解】因為，所以，故A正確；的虛部為，故選項B錯誤；由，故選項C正確，由，所以，故選項D錯誤，故選：AC.10.對拋物線，下列描述不正確的是（）A.開口向上，焦點為 B.開口向上，焦點為C.準線方程為 D.準線方程為【答案】BC【解析】【分析】依據拋物線定義即可推斷其開口方向，寫出焦點坐標和準線方程.【詳解】依據拋物線定義可知，拋物線對應的標準方程為，其中，所以，拋物線開口向上，焦點坐標為，即；所以準線方程為；因此選項AD正確.故選：BC.11.已知直線，則（）A.若，則B.若，則C.若與坐標軸圍成的三角形面積為1，則D.當時，不經過第一象限【答案】BCD【解析】【分析】對于AB，依據線線位置關系推斷即可；對于C，由題得即可解決；對于D，數形結合即可.【詳解】由題知，直線對于A，當時，，解得或，故A錯誤；對于B，當時，，解得，故B正確；對于C，在直線中，當時，，當時，，所以與坐標軸圍成的三角形面積為，解得，故C正確；對于D，由題知當時，圖象為故D正確；故選：BCD12.某校3200名中學生實行了一次法律常識考試，其成果大致聽從正態分布，設表示其分數，且，則下列結論正確的是（）（附：若隨機變量聽從正態布，則）A.B.C.分數在的學生數大約為2185D.分數大于94的學生數大約為4【答案】BCD【解析】【分析】依據正態分布的學問確定A選項正確性，由正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義及對稱性確定BCD選項的正確性.【詳解】，∴，A選項錯誤；，B選項正確；，，C選項正確；，，D選項正確.故選：BCD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.將半徑為4的半圓卷成一個圓錐，則圓錐底面半徑為________，圓錐的體積為________．【答案】①.2，②.【解析】【分析】依據側面綻開圖列方程計算圓錐的底面半徑，依據勾股定理計算圓錐的高，代入體積公式計算即可.【詳解】明顯圓錐母線長為設圓錐的底面半徑為，則即,所以圓錐的高圓錐的體積故答案為：2，.14.寫出一個最小正周期為12的奇函數__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意聯系三角函數，即可得答案.【詳解】解：因為所求函數的最小正周期為12，又因為所求函數為奇函數，所以.故答案為：（答案不唯一）15.已知函數，若，則__________．【答案】或或【解析】【分析】分兩種狀況，化簡，可得答案.【詳解】若或，得或；若.綜上，或或.故答案為：或或16.某校電子閱覽系統的登錄碼由學生的屆別+班級+學號+特殊碼構成．這個特殊碼與如圖數表有關，數表構成規律是：第一行數由正整數從小到大排列得到，下一行數由前一行每兩個相鄰數的和寫在這兩個數正中間下方得到．以此類推，特殊碼是學生屆別數對應表中相應行的自左向右第一個數的個位數字，如：1997屆3班21號學生的登陸碼為1997321*．（*為表中第1997行第一個數的個位數字）．若某學生的登錄碼為202*2138（），則可以推斷該學生是__________屆2班13號學生．【答案】或##或【解析】【分析】依據圖數表歸納出第行第個數為，依據通項公式進而得到的個位數呈周期性改變，且周期為4，然后依據題意將代入分別檢驗即可求解.【詳解】依據圖數表發覺：第行的前兩個數之差為，設第的第一個數為，則，等式兩邊同時除以可得：，且，所以數列是首項為，公差為的等差數列，，所以，因為的個位數為：的規律，所以的個位數呈周期性改變，且周期為4，因為，所以，若，則，因為，所以的個位數是，故的個位數為；若，則，因為，所以的個位數是，故的個位數為；若，則，因為，所以的個位數是，故的個位數為；若，則，因為，所以的個位數是，故的個位數為；因為202*2138（）的個位數為8，所以或，故答案為：或.四?解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明?證明過程或演算步聚．17.已知等差數列滿意，前4項和．（1）求的通項公式；（2）設等比數列滿意，求的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題干條件分別求出公差d和首項，再代入公式即可；（2）由（1）求得的數列的通項公式計算和，進而得到數列的首項和公比，最終代入等比數列前n項和公式即可.【小問1詳解】設等差數列的通項公式為，由題可知，，所以.又，所以.故的通項公式為.【小問2詳解】由（1）知，，于是等比數列的公比為，則等比數列的通項公式為，的前項和為.18.在中，內角的對邊分別是．已知．（1）求角的大小；（2）若，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）依據正弦定理角化邊得，再依據余弦定理可求出結果；（2）由正弦定理求出，再求出，再依據兩角和的正弦公式求出，最終依據三角形的面積公式可求出結果.小問1詳解】因為，所以，所以，因為，所以.【小問2詳解】由得，所以，所以，所以的面積為.19.2024年卡塔爾世界杯（英語：FIFAWorldCupQatar2024）是其次十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內實行?也是繼2002年韓日世界杯之后時隔二十年其次次在亞洲實行的界杯足球賽，體育生更是酷愛觀看世界杯，某體育學院統計了該校足球系10個班級的學生喜愛觀看世界杯的人數，統計人數如下表所示：班級12345喜愛觀看世界杯的人數3935383836班級678910喜愛觀看世界杯的人數3940374038（1）該校安排從這10個班級中隨機抽取3個班級的學生，就世界杯各國水平發揮進行交談，求這3個班級喜愛觀看世界杯的人數不全相同的概率；（2）從10個班級中隨機選取一個班級，記這個班級喜愛觀看世界杯的人數為X，用上表中的頻率估計概率，求隨機變量X的分布列與數學期望．【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】(1)“不全相同”是指可以部分相同，三個班完全相同只有一種狀況，就是抽取的三個班恰好是3,4,10班；(2)依據表格計算出人數為35,36,37,38,39,40人的頻率，再依據數學期望計算公式計算.【小問1詳解】從10個班任取3個班有種選法，人數完全相同只有1種選法，就是恰好抽取3,4,10班，3個班級喜愛看世界杯的人數不全相同的概率；【小問2詳解】依據表格知：任取1個班人數為35,36,37,38,39,40的概率為0.1，0.1，0.1，0.3，0.2，0.2，分布列如下表：人數353637383940概率0.10.1010.30.20.2數學期望(人)；綜上，（1）3個班級喜愛看世界杯的人數不全相同的概率；（2）數學期望為38.20.如圖，在四棱錐中，底面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標運算證明；（2）利用空間向量的坐標運算求解.【小問1詳解】因為，所以，且底面，底面，所以,所以以方向分別為軸建系如圖，則設平面的一個法向量為，所以，令，則，所以，設平面的一個法向量為，所以，令，則，所以，所以，所以平面平面.【小問2詳解】因為底面,底面,所以，且，平面，所以平面，所以為平面的一個法向量，設平面與平面所成角為，所以，所以面與平面所成角的余弦值為.21.已知雙曲線的焦點到漸近線的距離為2，漸近線的斜率為2．（1）求雙曲線方程；（2）設過點的直線與曲線交于兩點，問在軸上是否存在定點，使得為常數？若存在，求出點的坐標及此常數的值；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）依據已知可求出，，即可求出雙曲線的方程；（2）設，，.設出直線方程，與雙曲線方程聯立得到，依據韋達定理求出，用點的坐標表示出，整理得到，因為該式為常數，所以有，求出，代入即可求出常數.【小問1詳解】由已知可得，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線焦點，.則到漸近線，即的距離為，所以，又漸近線的斜率為2，即，所以，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】由已知可得，直線的斜率存在，設斜率為，則.聯立直線的方程與雙曲線的方程可得，，設，，.當，即時，此時直線與雙曲線的漸近線平行，不滿意題意，所以，.，解得，且.由韋達定理可得，，且，.又，，則，因為，，所以，要使為常數，則應與無關，即應有，解得，此時是個常數，這樣的點存在.所以，在軸上存在定點的坐標為，使得為常數.22.已知函數．（1）求函數在上的最值；（2）若，當時，推斷函數的零點個數．【答案】（1）最小值為，最大值為（2）時，函數在R上只有1個零點.，理由見解析【解析】【分析】（1）求導，得到函數單調性，從而得到極值和最值狀況；（2）先求定義域，再求導，，令，分，與三種狀況，進行探討，得到的單調性及極值，最值狀況，得到答案.【小問1詳解】，，，令得：，令得：，故在上單調遞增，在上單調遞減，故在處取得微小值，也是最小值，，又，，其中，故；【小問2詳解】，定義域為R，，令，當時，則，，故在R上單調遞增，又，故當時，，恒成立，當時，，當時，，恒成立，綜上：在R上單調遞增，因為，，由零點存在性定理可知：在R上只有1個零點，當時，在R上單調遞增，其中，，令，，則在上恒成立，所以在上單調遞增，故，所以，所以存在唯一，使得，即，當時，，故，當時，，故，當時，，故，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，因為，，所以當時，在R上只有1個零點，當時，在R上單調遞增，因為，，所以存在唯一，使得，即，當時，，故，當時，，故，當時，，故，所以在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，因