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琿春二高中2024-2025學(xué)年度上學(xué)期第一次模擬考試高三數(shù)學(xué)試卷一?選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知全集,集合,則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由補(bǔ)集的運(yùn)算即可求解.【詳解】解:,,故選:B.2.關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)解的一個(gè)必要不充分條件的是()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得,根據(jù)充分、必要條件的定義,結(jié)合選項(xiàng)即可求解.【詳解】因?yàn)橐辉畏匠逃袑?shí)根,所以,解得.又是的真子集,所以“”是“”的必要不充分條件.故選:A3.函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致區(qū)間的A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù),則只需時(shí),函數(shù)在區(qū)間(a,b)上存在零點(diǎn).【詳解】函數(shù),在x>0上單調(diào)遞增,,函數(shù)f(x)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間是;故選B【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定義定理求解函數(shù)的零點(diǎn)的范圍,屬于基礎(chǔ)題;解題的關(guān)鍵是首先要判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)零點(diǎn)存在的條件:已知函數(shù)在(a,b)連續(xù),若確定零點(diǎn)所在的區(qū)間.4.已知,,,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù),指數(shù)函數(shù),三角函數(shù)的單調(diào)性比較與1和0的大小關(guān)系,即可得出答案.【詳解】,即,,即,,即,則.故選:A.5.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為,則()A. B. C. D.1【答案】D【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即得.【詳解】函數(shù),求導(dǎo)得,依題意,,所以.故選:D6.已知是上的增函數(shù),那么的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用分段函數(shù)單調(diào)性,結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性列式求解即得.【詳解】函數(shù)是上的增函數(shù),則3-a>0a所以的取值范圍是.故選:A7.已知函數(shù),求()A.0 B. C. D.120【答案】B【解析】【分析】令,則,求導(dǎo)后賦值即可.【詳解】令,則,兩邊求導(dǎo)得到,令,得到.故選:B.8.已知函數(shù),若關(guān)于的方程有且僅有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先利用導(dǎo)函數(shù)求的單調(diào)性,根據(jù)其單調(diào)性作出的大致圖像,然后結(jié)合已知條件將方程解的問(wèn)題轉(zhuǎn)換成交點(diǎn)問(wèn)題即可求解.【詳解】因?yàn)?,所以,?dāng),;當(dāng),,所以和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,且當(dāng)時(shí),,,故的大致圖象如圖所示:關(guān)于的方程等價(jià)于,即或,由圖知,方程有且僅有一解,則有兩解,所以,解得,故選:C.二?多選題:本題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知,則()A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用不等式性質(zhì)、結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即得.【詳解】對(duì)于A,由,得,A正確;對(duì)于B,,得,而,則,B錯(cuò)誤;對(duì)于C,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,則,C正確;對(duì)于D,,D正確.故選:ACD10.下列函數(shù)既是偶函數(shù),又在上是減函數(shù)的是()A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性逐一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)中:設(shè),其定義域?yàn)?,,故為偶函?shù),且冪函數(shù)在上是減函數(shù),故A正確;B選項(xiàng)中,設(shè),其定義域?yàn)?,,則為偶函數(shù),且,則其在上單調(diào)遞減,故B正確;C選項(xiàng)中,設(shè),其定義域?yàn)椋瑒t,故是偶函數(shù),且函數(shù)在上單調(diào)遞減,函數(shù)在定義域上為增函數(shù),所以在上單調(diào)遞減,故C正確;D選項(xiàng)中,設(shè),是,且其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故其為奇函數(shù),故D錯(cuò)誤.故選:ABC.11.定義在R上的偶函數(shù),滿足,則()A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】利用特殊值及偶函數(shù)性質(zhì)判斷A;根據(jù)已知條件得、判斷B、C;根據(jù)函數(shù)的性質(zhì),舉反例判斷D.【詳解】由,令,則,又為偶函數(shù),則,A對(duì);由上,得①,在①式,將代換,得②,B錯(cuò);在②式,將代換,得,C對(duì);由且,即周期為2且關(guān)于對(duì)稱,顯然是滿足題設(shè)的一個(gè)函數(shù),此時(shí),D錯(cuò).故選:AC三?填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.已知函數(shù)的定義域是,則的定義域是__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定條件,利用抽象函數(shù)定義域列式求解即得.【詳解】由函數(shù)的定義域是,得,則,由,解得,所以的定義域是.故答案為:13.已知,且,則的最小值為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分母特點(diǎn),將化為,將化為.然后用基本不等式即可.【詳解】由于,因此,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為:.14.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),當(dāng)時(shí),,且,則不等式的解集為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性并求導(dǎo)可得,因此可得,可構(gòu)造函數(shù)并求得其單調(diào)性即可得在上大于零,在上小于零,即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù),定義域?yàn)椋?,兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得,即且,又因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以.構(gòu)造函數(shù),則,所以當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,又因?yàn)?,所以在上大于零,在上小于零,又因,所以在上大于零,在上小于零,因?yàn)闉槠婧瘮?shù),所以在上小于零,在上大于零,綜上所述,的解集為.故答案為:四?解答題:本題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知集合、集合().(1)若,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)設(shè)命題:;命題:,若命題是命題的必要不充分條件,求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)分、討論,根據(jù)交集運(yùn)算和空集的定義結(jié)合不等式即可求解;(2)根據(jù)充分不必要條件分、討論,即可求解.【小問(wèn)1詳解】由題意可知,又,當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,或,解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為;【小問(wèn)2詳解】∵命題是命題的必要不充分條件,∴集合是集合的真子集,當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),(等號(hào)不能同時(shí)成立),解得,綜上所述,實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.數(shù)列滿足,.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若數(shù)列滿足,求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)利用累加法結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得解;(2)直接用裂項(xiàng)相消法即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?,所以,又因此是以為首?xiàng),1為公差的等差數(shù)列,設(shè)的前n項(xiàng)和為,則,又由,得,,當(dāng)時(shí),經(jīng)檢驗(yàn)也滿足,∴.【小問(wèn)2詳解】.因此.17.為了研究學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩的關(guān)聯(lián)性,隨機(jī)調(diào)查了某中學(xué)的100名學(xué)生,整理得到如下列聯(lián)表:男學(xué)生女學(xué)生合計(jì)喜歡跳繩353570不喜歡跳繩102030合計(jì)4555100(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為學(xué)生的性別和是否喜歡跳繩有關(guān)聯(lián)?(2)已知該校學(xué)生每分鐘的跳繩個(gè)數(shù),該校學(xué)生經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后,跳繩個(gè)數(shù)都有明顯進(jìn)步.假設(shè)經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后每人每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)都增加10,該校有1000名學(xué)生,預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)(結(jié)果精確到整數(shù)).附:,其中.0.10.050.012.7063.8416.635若,則,.【答案】(1)不能(2)人【解析】【分析】(1)首先假設(shè),再計(jì)算,并和參考數(shù)據(jù)比較,即可作出判斷;(2)轉(zhuǎn)化為訓(xùn)練前的人數(shù)估計(jì).由題意得的值,則即,利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性與區(qū)間的概率參考數(shù)據(jù)【小問(wèn)1詳解】:學(xué)生的性別和是否喜歡運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān).,所以根據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn),不能認(rèn)為學(xué)生的性別與是否喜歡跳繩有關(guān).【小問(wèn)2詳解】訓(xùn)練前該校學(xué)生每人每分鐘的跳繩個(gè)數(shù),則,,,即訓(xùn)練前學(xué)生每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在,,,,由(人)估計(jì)訓(xùn)練前該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.即預(yù)估經(jīng)過(guò)訓(xùn)練后該校每分鐘的跳繩個(gè)數(shù)在內(nèi)的人數(shù)為.18.已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性;(2)若,證明:的極小值不大于1.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】(1)討論、,利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性即可;(2)利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性,可得極值,構(gòu)造且,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其最值,即可證結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】由,當(dāng),則,即在定義域上遞增;當(dāng),令,則,當(dāng),,即遞增;當(dāng),,即遞減;此時(shí)在上遞減,在上遞增.【小問(wèn)2詳解】由題設(shè)且,則,若,則,故在上遞增,當(dāng)趨向于時(shí),趨向負(fù)無(wú)窮,當(dāng)趨向于正無(wú)窮時(shí),趨向正無(wú)窮,所以,使,即,所以,上,遞減;在上,遞增;故的極小值,令且,則,當(dāng)時(shí),遞增;當(dāng)時(shí),遞減;所以,故,得證.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛:第二問(wèn),利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,且使,得到極值,再構(gòu)造函數(shù)研究最值為關(guān)鍵.19.對(duì)于函數(shù),若存在實(shí)數(shù)m,使得為R上的奇函數(shù),則稱是位差值為m的“位差奇函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)和是否是位差奇函數(shù),并說(shuō)明理由;(2)若是位差值為的位差奇函數(shù),求的值;(3)若對(duì)于任意,都不是位差值為m的位差奇函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【答案】(1)對(duì)于任意有為位差奇函數(shù),不存在有為位差奇函數(shù).(2);(3)【解析】【分析】(1)根據(jù)題意計(jì)算與,判斷為奇函數(shù)的條件即可.(2)根據(jù)是位差值為的位差奇函數(shù)可得為R上的奇函數(shù)計(jì)算的值即可.(3)計(jì)算為奇函數(shù)時(shí)滿足的關(guān)系,再根據(jù)對(duì)于任意都不是位差值為m的位差奇函數(shù)求
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