5.4三角函數的圖象與性質【八大必考點+十八秒殺招+十大題型+分層訓練】知識精講知識精講知識點01正弦函數的圖象1．正弦曲線正弦函數y＝sinx，x∈R的圖象叫做正弦曲線.2．正弦函數圖象的畫法(1)幾何法①利用單位圓畫出y＝sinx，x∈[0,2π]的圖象；②將圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度)．(2)“五點法”①畫出正弦曲線在[0,2π]上的圖象的五個關鍵點(0,0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，1))，(π，0)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，－1))，(2π，0)，用光滑的曲線連接；②將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度)．知識點02余弦函數的圖象(1)余弦曲線余弦函數y＝cosx，x∈R的圖象叫做余弦曲線.(2)余弦函數圖象的畫法①要得到y＝cosx的圖象，只需把y＝sinx的圖象向左平移eq\f(π,2)個單位長度即可，這是由于cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2))).②用“五點法”畫余弦曲線y＝cosx在[0,2π]上的圖象時，所取的五個關鍵點分別為(0,1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，0))，(π，－1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，0))，(2π，1)，再用光滑的曲線連接．將所得圖象不斷向左、向右平移(每次移動2π個單位長度)．知識點03正弦函數、余弦函數的性質函數名稱函數性質y＝sinxy＝cosx相同處定義域RR值域[－1,1][－1,1]周期性最小正周期2π最小正周期2π不同處圖象奇偶性奇函數偶函數單調性在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)上單調遞增；在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋\f(3π,2)))(k∈Z)上單調遞減在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上單調遞增；在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上單調遞減最值x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，ymax＝1；x＝2kπ－eq\f(π,2)(k∈Z)時，ymin＝－1x＝2kπ(k∈Z)時，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)時，ymin＝－1對稱性對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)對稱中心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，0))(k∈Z)；對稱軸：x＝kπ(k∈Z)知識點04解讀正弦、余弦函數的單調性(1)正弦、余弦函數在定義域R上均不是單調函數，但存在單調區間．(2)求解(或判斷)正弦函數、余弦函數的單調區間(或單調性)是求值域(或最值)的關鍵一步．(3)確定含有正弦函數或余弦函數的較復雜的函數單調性時，要注意使用復合函數的判斷方法來判斷．知識點05解讀正弦函數、余弦函數的最值與對稱性(1)明確正、余弦函數的有界性，即|sinx|≤1，|cosx|≤1.(2)對有些函數，其最值不一定是1或－1，要依賴函數的定義域來定．(3)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函數的最值通常利用“整體代換”，即令ωx＋φ＝z，將函數轉化為y＝Asinz的形式求最值．(4)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點或最低點，即此時的正弦值(余弦值)取最大值或最小值．(5)正弦曲線(余弦曲線)的對稱中心一定是正弦曲線(余弦曲線)與x軸的交點，即此時的正弦值(余弦值)為0.知識點06正切函數的圖象知識點07正切函數的性質1．定義域：，2．值域：R3．周期性：正切函數是周期函數，最小正周期是4．奇偶性：正切函數是奇函數，即．5．單調性：在開區間內，函數單調遞增知識點08正切函數型的性質1、定義域：將“”視為一個“整體”．令解得．2、值域：3、單調區間：（1）把“”視為一個“整體”；（2）時，函數單調性與的相同（反）；（3）解不等式，得出范圍．4、周期：解題大招解題大招大招01用“五點法”畫函數y＝Asinx＋b(A≠0)或y＝Acosx＋b(A≠0)在[0,2π]上簡圖的步驟(1)列表x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b)A＋b(或b)b(或－A＋b)－A＋b(或b)b(或A＋b)(2)描點：在平面直角坐標系中描出下列五個點：(0，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，y))，(π，y)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，y))，(2π，y)，這里的y是通過函數式計算得到的．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個點連接起來，不要用線段進行連接．大招02用圖象變換法作函數圖象對于某些函數的圖象，如y＝－sinx，y＝|sinx|，y＝sin|x|等可通過圖象變換，如平移變換、對稱變換等作圖．(1)把y＝sinx的圖象在x軸上方的保留，在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方，就可得y＝|sinx|的圖象．(2)把y＝sinx的圖象在y軸右側的保留，去掉y軸左側的圖象，再把y軸右側的圖象沿y軸翻折到y軸左側，就可得y＝sin|x|的圖象．大招03三角函數式化簡的常用方法(1)依據所給式子合理選用誘導公式將所給角的三角函數轉化為另一個角的三角函數．(2)切化弦：一般需將表達式中的切函數轉化為弦函數．(3)注意“1”的應用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用誘導公式進行化簡時，若遇到kπ±α的形式，需對k進行分類討論，然后再運用誘導公式進行化簡．大招04三角函數式的化簡注意:(1)利用誘導公式將任意角的三角函數轉化為銳角三角函數;(2)常用“切化弦”法，即通常將表達式中的切函數化為弦函數;(3)注意“1”的變形應用.大招05求正弦函數、余弦函數單調區間的技巧求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函數的單調區間時，若ω為負數，則要先把ω化為正數．當A>0時，把ωx＋φ整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調遞增區間內，求得的x的范圍即函數的單調遞增區間；整體放入y＝sinx或y＝cosx的單調遞減區間內，可求得函數的單調遞減區間．當A<0時，上述方法求出的區間是其單調性相反的區間．最后，需將最終結果寫成區間形式．大招06求y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的單調區間，可以把ωx＋φ看作一個整體(保證ω>0)放入y=sinx和y=cosx的單調區間內，解不等式求得.尤其注意保證x的系數為正，否則應按“同增異減”的復合函數單調性求解.大招07比較三角函數值大小的方法(1)比較兩個同名三角函數值的大小，先利用誘導公式把兩個角化為同一單調區間內的角，再利用函數的單調性比較．(2)比較兩個不同名的三角函數值的大小，一般應先化為同名的三角函數，然后利用函數的單調性比較．大招08三角函數最值問題的三種常見類型及求解方法(1)形如y＝asinx(或y＝acosx)型，可利用正弦函數(或余弦函數)的有界性，注意對a正負的討論．(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得最值．(3)形如y＝asin2x＋bsinx＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝sinx，轉化為二次函數y＝at2＋bt＋c求最值．t的范圍需要根據定義域來確定．大招09求三角函數的周期，一般有三種方法（1）定義法：直接利用周期函數的定義求周期．使得當取定義域內的每一個值時，都有.利用定義我們可采用取值進行驗證的思路，非常適合選擇題；（2）公式法，即將函數化為或的形式，再利用求得，對于形如y＝asinωx＋bcosωx的函數，一般先將其化為y＝eq\r(a2＋b2)·sin(ωx＋φ)的形式再求周期；（3）圖象法：利用三角函數圖象的特征求周期．如：正、余弦函數圖象在相鄰兩最高點(最低點)之間為一個周期，最高點與相鄰的最低點之間為半個周期．相鄰兩對稱軸間的距離為eq\f(T,2)，相鄰兩對稱中心間的距離也為eq\f(T,2),相鄰對稱軸和對稱中心間的距離也為，函數取最值的點與其相鄰的零點距離為.函數的對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點．大招10正弦函數、余弦函數的奇偶性（1）對于函數（A>0,ω>0）：時，函數為奇函數；時，函數為偶函數．（2）對于函數（A>0,ω>0）：時，函數為偶函數；時，函數為奇函數．大招11正弦函數、余弦函數的對稱性(1)定義法：正(余)弦函數的對稱軸是過函數的最高點或最低點且垂直于x軸的直線，對稱中心是圖象與x軸的交點，即函數的零點．(2)公式法：函數y＝Asin(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)＋eq\f(π,2ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)，0))；函數y＝Acos(ωx＋φ)的對稱軸為x＝eq\f(kπ,ω)－eq\f(φ,ω)，對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,ω)－\f(φ,ω)＋\f(π,2ω)，0))；大招12求正切函數定義域的方法①求與正切函數有關的函數的定義域時，除了求函數定義域的一般要求外，還要保證正切函數y＝tanx有意義，即x≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z.②求正切型函數y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定義域時，要將“ωx＋φ”視為一個“整體”．令ωx＋φ≠kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，解得x.大招13求正切函數值域的方法①對于y＝Atan(ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整體，結合圖象，利用單調性求值域．②對于與y＝tanx相關的二次函數，可以把tanx看成整體，利用配方法求值域大招14正切函數的圖象問題熟練掌握正切函數的圖象和性質是解決與正切函數有關的綜合問題的關鍵，需注意的是正切曲線是被相互平行的直線x＝eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z隔開的無窮多支形狀相同的曲線組成的．大招15運用正切函數單調性比較大小的方法①運用函數的周期性或誘導公式將角化到同一單調區間內．②運用單調性比較大小關系．大招16求函數y＝tan(ωx＋φ)的單調區間的方法y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的單調區間的求法是把ωx＋φ看成一個整體，解－eq\f(π,2)＋kπ<ωx＋φ<eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z即可．當ω<0時，先用誘導公式把ω化為正值再求單調區間．大招17與正切函數有關的函數的周期性、奇偶性問題的解決策略(1)一般地，函數y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期為T＝eq\f(π,|ω|)，常常利用此公式來求周期．(2)判斷函數的奇偶性要先求函數的定義域，判斷其是否關于原點對稱，若不對稱，則該函數無奇偶性；若對稱，再判斷f(－x)與f(x)的關系．大招18正切函數的對稱性正切曲線的對稱中心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)，解關于對稱中心的題目時需要把整個三角函數看成一個整體，從整體性入手求出具體范圍．題型分類題型分類題型01五點法畫正弦、余弦函數的圖象【例1】用“五點法”作y=12cosA．0，π2，π，3B．0，π4，π2，C．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π【解題思路】結合“五點法”作圖特征，直接求出結論即可.【解答過程】函數y=12cos用“五點法”作y=12cosx的圖象，即作函數所以五個關鍵點的橫坐標為0，π2，π，3故選：A.【變式1-1】當x∈0,2π時，曲線y=cosx與A．2 B．3 C．4 D．6【變式1-2】作出下列函數的大致圖像：(1)y=sin(2)y=3sin題型02正、余弦函數圖象的應用【例2】函數fx=ex?A．

B．

C．

D．

【解題思路】先根據判斷fx為偶函數，排除C，由f0=0，排除D，由x∈0,π【解答過程】因為f?x=e?x?因為f0=0，排除D，因為當x∈0,π時，故選：A.【變式2-1】當x∈0,2π時，曲線y=cosx與A．3 B．4 C．5 D．6【變式2-2】函數fx=1?A．

B．

C．

D．

題型03三角函數的定義域、值域與最值【例3】函數fx=?3tanA．xx≠π4C．xx≠2kπ+【解題思路】根據正切函數特征，得到不等式，求出定義域.【解答過程】由正切函數的定義域，令x2+π所以函數fx=?3tan故選：C.【變式3-1】函數fx=sinA．[0,3?1] B．[0,34] 【變式3-2】已知函數f(x)=sin3ωx+π6(ω>0)的最小正周期為2π3A．?32 B．?12 題型04由三角函數的值域（最值）求參數【例4】當x∈π6,m時，函數f(x)=cos3x+π3A．π9,7C．π9,5【解題思路】解法一：畫出函數的圖象，由x的范圍求出3x+π3的范圍，根據解法二：由x的范圍求出3x+π3的范圍，根據y=cos【解答過程】解法一：由題意，畫出函數的圖象，由x∈π6,m因為fπ6=要使fx的值域是?1,?32即m∈2解法二：由題x∈π6,m由y=cosx的圖象性質知，要使fx則π≤3m+π3故選：D.

【變式4-1】已知函數y=1+cos2ωx2(ω>0)在?π4A．1 B．23 C．43【變式4-2】函數fx=a?3tan2x在x∈A．5π12 B．π3 C．π題型05求三角函數的單調區間【例5】函數y=3cosx+πA．kπ,kπ+π2，C．2kπ?π2,2kπ+【解題思路】利用誘導公式可得y=3cos【解答過程】因為y=3cos且y=sinx的單調遞增區間為2kπ所以函數y=3cosx+π2的單調遞減區間為故選：C．【變式5-1】下列關于函數y=sinx，x∈[0,2π]的單調性的敘述，正確的是（A．在[0,π]上單調遞增，在[π,2π]上單調遞減B．在[0,π2]C．在[0,π2]及[D．在[π2,3π2【變式5-2】函數fx=cosA．2kπ+π6,2kπ+7C．2kπ+7π6,2kπ+題型06根據三角函數的單調性求參數【例6】已知函數y=sin3x+φ0<φ<π在區間?2A．0,π6 B．π6,π4【解題思路】由整體法可得3x+φ∈?【解答過程】當x∈?2π因為0<φ<π，所以?2π所以?π2≤?2π3+φ故選:B．【變式6-1】若函數fx=1?tanωx?π4ω≠0A．?π2,0C．0,π4 【變式6-2】若函數fx=cosnx?π4n∈A．4 B．3 C．2 D．1題型07三角函數的奇偶性與對稱性問題【例7】下列函數中，是偶函數且其圖象關于π4,0對稱的是（A．y=cos2x+πC．y=cosx+π【解題思路】利用誘導公式逐一化簡可判斷奇偶性，然后代入驗證判斷對稱性即可.【解答過程】對于A，y=cos對于B，y=sin因為cos2×π4=cos對于C，y=cos因為?cosπ4=?2對于D，y=sin故選：B.【變式7-1】已知函數f(x)=sin(3x+φ)，若fx+π12A．x=π4 B．x=π3 C．【變式7-2】已知函數fx=tanA．π2是函數fx的一個周期 B．函數fxC．函數fx的圖像關于點2024π,0對稱 題型08三角函數的周期性問題【例8】函數y=cos2x+πA．4π B．2π C．π 【解題思路】根據余弦型函數的最小正周期公式運算求解.【解答過程】由題意可得：函數y=cos2x+π故選：C.【變式8-1】下列函數中，既是偶函數又是周期為π的函數為（

）A．y=cosx B．y=sinx C．【變式8-2】設函數fx=3sinωx?φ(ω>0,φ<πA．ω=13,φ=?7C．ω=23,φ=?題型09三角函數的零點問題【例9】若函數fx=3cosωx+φω<0，?π2<φ<πA．π6,π2 B．?π2【解題思路】根據給定周期求得ω=?2，再結合余弦函數的單調區間、單調性及零點所在區間列出不等式組，然后結合已知求出范圍.【解答過程】由函數f(x)的最小正周期為π，得2π|ω|=π，而則f(x)=3cos(?2x+φ)=3cos得2kπ+φ≤2x≤2kπ+π因此2kπ+φ≤?π3，且由余弦函數的零點，得2x?φ=nπ+π而f(x)在(0,π6)于是?nπ?π2<φ<?n所以φ的取值范圍是(?π故選：B.【變式9-1】已知函數fx=sinωx+φω>0,φ<π2的最小正周期為T,fA．7π2,4π B．4π,【變式9-2】已知函數fx=sinωx?2A．fxB．fxC．ω的取值范圍是8D．fx在區間0,題型10三角函數的圖象與性質的綜合應用【例10】已知函數f(x)=1(1)求f(x)的最小正周期及單調區間；(2)求f(x)的圖象的對稱軸方程和對稱中心；(3)求f(x)的最小值及取得最小值時x的取值集合．【解題思路】（1）利用正弦函數的周期及單調性求解即可.（2）利用正弦函數的對稱性求出對稱軸方程及對稱中心坐標.（3）借助正弦函數最值情況求解即得.【解答過程】（1）函數f(x)=12sin由?π2+2k由π2+2kπ所以f(x)的單調遞增區間是[?π3+k（2）由2x+π6=所以f(x)的圖象的對稱軸方程為x=π由2x+π6=k所以f(x)的圖象的對稱中心為(?π（3）當2x+π6=?π2+2kπ所以f(x)的最小值為34，此時x的取值集合為{x|x=?【變式10-1】已知函數fx(1)求函數fx(2)求函數fx(3)當x∈0,π2時，求函數f【變式10-2】已知函數f(x)=2sin(1)求fx(2)求fx(3)當x∈0,π時，求f分層分層訓練【基礎過關】1．函數與的圖象的交點個數為（

）A．1 B．2 C．3 D．42．的定義域為（

）A．B．C．D．3．已知函數在內恰有兩個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．已知命題，，命題，，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題5．已知函數的最小正周期為，則在的最小值為（

）A． B． C．0 D．6．函數的大致圖象是（

）A．

B．

C． D．

7．設函數，已知，，且的最小值為，則（

）A． B． C． D．8．函數在區間上的所有零點之和為（

）A．π B． C． D．49．函數的圖象大致為（

）A． B．C． D．10．已知函數（，），，，且在區間上單調，則的最大值為(

).A． B． C． D．11．（多選）已知函數，則下列說法正確的是（）A．函數的定義域為B．函數的周期與函數的周期相同C．函數圖象的對稱中心為D．函數的單調遞增區間為12．（多選）已知函數（其中均為常數，）的部分圖象如圖所示，則（

）A．B．的最小正周期為C．圖象的一個對稱中心為D．的單調