湖南省岳陽市臨湘市2025屆高三最后一卷數學試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于，兩點，，為的準線上的一點，則的面積為（）A．1 B．2 C．4 D．82．如果，那么下列不等式成立的是（）A． B．C． D．3．若，則的值為（）A． B． C． D．4．偶函數關于點對稱，當時，，求（）A． B． C． D．5．某中學2019年的高考考生人數是2016年高考考生人數的1.2倍，為了更好地對比該校考生的升學情況，統計了該校2016年和2019年的高考情況，得到如圖柱狀圖：則下列結論正確的是（）.A．與2016年相比，2019年不上線的人數有所增加B．與2016年相比，2019年一本達線人數減少C．與2016年相比，2019年二本達線人數增加了0.3倍D．2016年與2019年藝體達線人數相同6．拋擲一枚質地均勻的硬幣，每次正反面出現的概率相同，連續拋擲5次，至少連續出現3次正面朝上的概率是（）A． B． C． D．7．已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A． B． C． D．8．若為虛數單位，網格紙上小正方形的邊長為1，圖中復平面內點表示復數，則表示復數的點是（）A．E B．F C．G D．H9．已知斜率為k的直線l與拋物線交于A，B兩點，線段AB的中點為，則斜率k的取值范圍是（）A． B． C． D．10．在的展開式中，的系數為()A．-120 B．120 C．-15 D．1511．已知向量，滿足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．12．已知正四棱錐的側棱長與底面邊長都相等，是的中點，則所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．為激發學生團結協作，敢于拼搏，不言放棄的精神，某校高三5個班進行班級間的拔河比賽．每兩班之間只比賽1場，目前（—）班已賽了4場，（二）班已賽了3場，（三）班已賽了2場，（四）班已賽了1場．則目前（五）班已經參加比賽的場次為__________．14．已知數列中，為其前項和，，，則_________，_________.15．函數的定義域為____.16．甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，乙獲勝的概率是，則乙不輸的概率是_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知中，內角所對邊分別是其中.（1）若角為銳角，且，求的值；（2）設，求的取值范圍.18．（12分）如圖，已知三棱柱中，與是全等的等邊三角形.（1）求證：；（2）若，求二面角的余弦值．19．（12分）某工廠生產某種電子產品，每件產品不合格的概率均為，現工廠為提高產品聲譽，要求在交付用戶前每件產品都通過合格檢驗，已知該工廠的檢驗儀器一次最多可檢驗件該產品，且每件產品檢驗合格與否相互獨立．若每件產品均檢驗一次，所需檢驗費用較多，該工廠提出以下檢驗方案：將產品每個一組進行分組檢驗，如果某一組產品檢驗合格，則說明該組內產品均合格，若檢驗不合格，則說明該組內有不合格產品，再對該組內每一件產品單獨進行檢驗，如此，每一組產品只需檢驗次或次．設該工廠生產件該產品，記每件產品的平均檢驗次數為．（1）求的分布列及其期望；（2）（i）試說明，當越小時，該方案越合理，即所需平均檢驗次數越少；（ii）當時，求使該方案最合理時的值及件該產品的平均檢驗次數．20．（12分）已知三棱柱中，，是的中點，，.（1）求證：；（2）若側面為正方形，求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）已知函數，．（1）當時，求不等式的解集；（2）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍．22．（10分）傳染病的流行必須具備的三個基本環節是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環節必須同時存在，方能構成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應該佩戴口罩.某地區已經出現了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區居民的防控意識和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關？（2）用樣本估計總體，若從該地區出行不戴口罩的居民中隨機抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設拋物線的解析式，得焦點為，對稱軸為軸，準線為，這樣可設點坐標為，代入拋物線方程可求得，而到直線的距離為，從而可求得三角形面積．【詳解】設拋物線的解析式，則焦點為，對稱軸為軸，準線為，∵直線經過拋物線的焦點，，是與的交點，又軸，∴可設點坐標為，代入，解得，又∵點在準線上，設過點的的垂線與交于點，，∴.故應選C.【點睛】本題考查拋物線的性質，解題時只要設出拋物線的標準方程，就能得出點坐標，從而求得參數的值．本題難度一般．2、D【解析】

利用函數的單調性、不等式的基本性質即可得出.【詳解】∵，∴，，，.故選：D.【點睛】本小題主要考查利用函數的單調性比較大小，考查不等式的性質，屬于基礎題.3、C【解析】

根據，再根據二項式的通項公式進行求解即可.【詳解】因為，所以二項式的展開式的通項公式為：，令，所以，因此有.故選：C【點睛】本題考查了二項式定理的應用，考查了二項式展開式通項公式的應用，考查了數學運算能力4、D【解析】

推導出函數是以為周期的周期函數，由此可得出，代值計算即可.【詳解】由于偶函數的圖象關于點對稱，則，，，則，所以，函數是以為周期的周期函數，由于當時，，則.故選：D.【點睛】本題考查利用函數的對稱性和奇偶性求函數值，推導出函數的周期性是解答的關鍵，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.5、A【解析】

設2016年高考總人數為x，則2019年高考人數為，通過簡單的計算逐一驗證選項A、B、C、D.【詳解】設2016年高考總人數為x，則2019年高考人數為，2016年高考不上線人數為，2019年不上線人數為，故A正確；2016年高考一本人數，2019年高考一本人數，故B錯誤；2019年二本達線人數，2016年二本達線人數，增加了倍，故C錯誤；2016年藝體達線人數，2019年藝體達線人數，故D錯誤.故選：A.【點睛】本題考查柱狀圖的應用，考查學生識圖的能力，是一道較為簡單的統計類的題目.6、A【解析】

首先求出樣本空間樣本點為個，再利用分類計數原理求出三個正面向上為連續的3個“1”的樣本點個數，再求出重復數量，可得事件的樣本點數，根據古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個，具體分析如下：記正面向上為1，反面向上為0，三個正面向上為連續的3個“1”，有以下3種位置1____，__1__，____1．剩下2個空位可是0或1，這三種排列的所有可能分別都是，但合并計算時會有重復，重復數量為，事件的樣本點數為：個．故不同的樣本點數為8個，.故選：A【點睛】本題考查了分類計數原理與分步計數原理，古典概型的概率計算公式，屬于基礎題7、C【解析】

根據在關于對稱的區間上概率相等的性質求解．【詳解】，，，．故選：C．【點睛】本題考查正態分布的應用．掌握正態曲線的性質是解題基礎．隨機變量服從正態分布，則．8、C【解析】

由于在復平面內點的坐標為，所以，然后將代入化簡后可找到其對應的點.【詳解】由，所以，對應點.故選：C【點睛】此題考查的是復數與復平面內點的對就關系，復數的運算，屬于基礎題.9、C【解析】

設，，，，設直線的方程為：，與拋物線方程聯立，由△得，利用韋達定理結合已知條件得，，代入上式即可求出的取值范圍．【詳解】設直線的方程為：，，，，，聯立方程，消去得：，△，，且，，，線段的中點為,，，，，，，，把代入，得，，，故選：【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，考查了韋達定理的應用，屬于中檔題．10、C【解析】

寫出展開式的通項公式，令，即，則可求系數．【詳解】的展開式的通項公式為，令，即時，系數為．故選C【點睛】本題考查二項式展開的通項公式，屬基礎題．11、B【解析】

根據在上投影為，以及，可得；再對所求模長進行平方運算，可將問題轉化為模長和夾角運算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項：【點睛】本題考查向量模長的運算，對于含加減法運算的向量模長的求解，通常先求解模長的平方，再開平方求得結果；解題關鍵是需要通過夾角取值范圍的分析，得到的最小值.12、C【解析】試題分析：設的交點為，連接，則為所成的角或其補角；設正四棱錐的棱長為，則，所以，故C為正確答案．考點：異面直線所成的角．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

根據比賽場次，分析，畫出圖象，計算結果.【詳解】畫圖所示，可知目前（五）班已經賽了2場．故答案為：2【點睛】本題考查推理，計數原理的圖形表示，意在考查數形結合分析問題的能力，屬于基礎題型.14、8（寫為也得分）【解析】

由，得，.當時，，所以，所以的奇數項是以1為首項，以2為公比的等比數列；其偶數項是以2為首項，以2為公比的等比數列.則，.15、【解析】由題意得，解得定義域為．16、【解析】乙不輸的概率為，填.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）由正弦定理直接可求，然后運用兩角和的正弦公式算出；（2）化簡，由余弦定理得，利用基本不等式求出，確定角范圍，進而求出的取值范圍.【詳解】（1）由正弦定理，得：，且為銳角（2）【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，基本不等式的應用，三角函數的值域等，考查了學生運算求解能力.18、（1）證明見解析；（2）．【解析】

（1）取BC的中點O，則，由是等邊三角形，得，從而得到平面，由此能證明（2）以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到結果.【詳解】（1）取BC的中點O，連接，，由于與是等邊三角形，所以有，，且，所以平面，平面，所以．（2）設，是全等的等邊三角形，所以，又，由余弦定理可得，在中，有，所以以，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，設平面的一個法向量為，則，令，則，又平面的一個法向量為，所以二面角的余弦值為,即二面角的余弦值為．【點睛】該題考查的是有關立體幾何的問題，涉及到的知識點有利用線面垂直證明線性垂直，利用向量法求二面角的余弦值，屬于中檔題目.19、（1）見解析，（2）（i）見解析（ii）時平均檢驗次數最少，約為594次．【解析】

（1）由題意可得，的可能取值為和，分別求出其概率即可求出分布列，進而可求出期望.（2）（i）由記，根據函數的單調性即可證出；記，當且取最小值時，該方案最合理，對進行賦值即可求解.【詳解】（1）由題，的可能取值為和，故的分布列為由記，因為，所以在上單調遞增，故越小，越小，即所需平均檢驗次數越少，該方案越合理記當且取最小值時，該方案最合理，因為，，所以時平均檢驗次數最少，約為次．【點睛】本題考查了離散型隨機變量的分布列、數學期望，考查了分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題.20、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）取的中點，連接，，證明平面得出，再得出；（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，計算，即可得出答案．【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，，，，，，故，又，，平面，平面，，，分別是，的中點，，．（2）解：四邊形是正方形，，又，，平面，平面，在平面內作直線的垂線，以為原點，以，，為所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，則，0，，，1，，，2，，，0，，，1，，，2，，，1，，設平面的法向量為，，，則，即，令可得：，，，，．直線與平面所成角的正弦值為，．【點睛】本題主要考查了線面垂直的判定與性質，考查空間向量與空間角的計算，屬于中檔題．21、(1)(2)【解析】

（1）當時，，當或時，，所以可轉化為，解得，所以不等式的解集為．（2）因為，所以，所以，即，即．當時，因為，所以，不符合題意．當時，解可得，因為當時，不等式恒成立，所以，所以，解得，所以實數的取值范圍