第一章勾股定理

1探索勾股定理

第1課時勾股定理（1）

更標

【知識與技能】

?.經歷測量和用數格子的辦法探索勾股定理的過程，進一步發展學生的合情

推理意識，主動探究的習慣，進一步體會數學與現實生活的緊密聯系.

2.探索并理解直角三角形的三邊之間的數量關系，進一步發展學生的說理和

簡單推理的意識及能力.

3.利用勾股定理，已知直角三角形的兩邊求第三邊長.

【過程與方法】

1.在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想.

2.經歷觀察與發現直角三角形三邊關系的過程，感受勾股定理的應用意識.

【情感態度】

1.通過對勾股定理歷史的了解，感受數學變化，激發學習熱情.

2.在探究活動中，體現解決問題方法的多樣性，培養學生的合作交流意識和

探索精神.

【教學重點】

探索勾股定理.

【教學難點】

用測量和數格子的方法探索勾股定理.

一、創設情境，導入新課

我們知道，任意三角形的三條邊必須滿足定理：三角形的兩邊之和大于第三

邊.對于等腰三角形和等邊三角形的邊，除滿足三邊關系定理外，它們還分別存

在著兩邊相等和三邊相等的特殊關系.那么對于直角三角形的邊，除滿足三邊關

系定理外，它們之間也存在著特殊的關系，這就是我們這一節要研究的問題：勾

股定理.出示投影1（章前的圖文P1）,介紹數學家曾用這個圖形作為與“外星人”

聯系的信號.

【教學說明】通過復習舊知識，引入新課.出示投影，介紹與勾股定理有關

的背景，激發學生的學習興趣.

二、思考探究，獲取新知

勾股定理

做一做：

1.在紙上畫若干個直角三角形，分別測量它們的三條邊，看看三邊長的平方

之間有怎樣的關系？與同伴交流.

【教學說明】學生根據教師的要求完成這個問題，自主交流發現直角三角形

的性質.

2.觀察教材圖1—2,正方形A中有個小方格，即A的面積為

個面積單位.正方形B中有個小方格.即B的面積為個面積單位.

正方形C中有個小方格，即C的面積為個面積單位.你是怎樣得

出上面結果的？在學生交流回答的基礎上教師接著發問.教材圖1—2中，A、B、

C之間的面積之間有什么關系？

【教學說明】通過觀察特殊圖形下方格數與正方形面積之間的轉化，進一步

體會探索勾股定理.

歸納得出結論：SA+SB=SC.

3.教材圖1-3中，A、B、C之間是否還滿足上面的關系？你是如何計算的？

【教學說明】通過觀察計算一般情況下方格數與正方形面積之間的轉化，進

一步加強對勾股定理的理解.

4.如果直角三角形兩直角邊分別是1.6個單位長度和2.4個單位長度，上面

所猜想的數量關系懷成立嗎？說明你的理由.

【教學說明】滲透從特殊到一般的數學思想，充分發揮學生的主體地位，讓

學生體會到觀察、猜想、歸納的思想，也讓學生的分析問題、解決問題的能力得

到了提高.

議一議：你能發現直角三角形三邊長度之間的關系嗎？

【教學說明】學生自主探究，發現直角三角形的性質，并整合成精確的語言

將之表達出來，有利于培養學生綜合概括能力和語言表達能力.

【歸納結論】直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.這就是著名

的“勾股定理”.也就是說：如果直角三角形的兩直角邊為a、b,斜邊為c,那

么a?+b2k2.我國古代稱直角三角形的較短的直角邊為勾，較長的直角邊為股，斜

邊為弦，這便是勾股定理的由來.

三、運用新知，深化理解

1.在直角三角形ABC中，ZC=90°,若a=5,b=12,則c=.

2.在直角三角形的ABC中，它的兩邊長的比是3：4,斜邊長是20,則兩直

角邊長分別是.

【教學說明】學生的完成，加深對勾股定理的理解和檢測對勾股定理的簡單

運用，對學生的疑惑或出現的錯誤及時指導，并進行強化.

【答案】1.13；2.12,16

四、師生互動，課堂小結

通過本節課的學習，你掌握了哪些新知識，還有什么困惑？

【教學說明】教師引導學生回顧新知識，加強對勾股定理的理解，進一步完

善了學生對知識的梳理.

版書設計

第1課時探索勾定理

探究發現正方形C的面積的兩種算法X

勾股定理［直角三角形兩直角邊的平方和等

于斜邊的平方.如果用”5和〃分別表示直角三

角形的兩直角邊和斜邊，那么/I{/一一.

i果后色皿

完成練習冊中本課時相應練習.

苧］教芝反思

本節內容重在探索與發現，要給充分的時間讓學生討論與交流.適當的練習

以鞏固所學也是必要的，當然，這些內容還需在后面的教學內容再加深加廣.

第2課時勾股定理（2）

飛爐追目標

【知識與技能】

1.經歷運用拼圖的方法說明勾股定理是正確的過程，在數學活動中發展學生

的探究意識和合作交流的習慣.

2.掌握勾股定理和它的簡單應用.

【過程與方法】

1.通過從實際問題中抽象出直角三角形這一模型，初步掌握轉化和數形結合

的思想方法.

2.經歷探究勾股定理在實際問題中的應用過程，感受勾股定理的應用方法.

【情感態度】

在數學活動中發展了學生的探究意識和合作交流的習性；體會勾股定理的應

用價值，通過本節課學習，讓學生體會到數學來源于生活，又應用到生活中，增

加學生應用數學知識解決實際問題的經驗和感受.

【教學重點】

能熟練應用拼圖法證明勾股定理.

【教學難點】

用面積證勾股定理.

敦與亙程

一、創設情境，導入新課

我們已經通過數格子的方法發現了直角三角形三邊的關系，究竟是幾個實

例，是否具有普遍的意義，還需要加以論證，下面就是今天所要研究的內容.

［教學說明】讓學生經歷從特殊到一般的數學方法，明白數學問題是需要通

過一定的論證才能說明它的正確性，為后面學習證明打下埋伏.

二、思考探究，獲取新知

勾股定理的驗證及簡單運用

做一做：

1.畫一個直角三角形，分別以這個直角三角的三邊為邊長向外作正方形，你

能利用這個圖證明勾股定理的正確性嗎？你是如何做的？與同伴進行交流.

【教學說明】讓學生進一步體會探索勾股定理的過程，體會數形結合的思想.

2.為了計算教材圖1—4中大正方形的面積，小明對這個大正方形適當割補

后，得到教材P51—5、1—6圖.

(1)將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關系式表示出來；

(2)教材圖1—5、1—6中正方形ABCD的面積分別是多少？你們有哪些

表示方式？與同伴進行交流.

(3)你能分別利用教材圖1-5、1-6驗證勾股定理嗎？

【教學說明】學生通過各種方法驗證勾股定理的正確性，加深對勾股定理

的理解，又讓學生體會到一題多解.

【歸納結論】勾股定理的證明方法達300多種，請同學們利用業余時間探

究、討論并閱讀教材P7-8的其它證明勾股定理的方法，以開闊事學們的視野.

三、運用新知，深化理解

1.一塊長3m,寬2.2m的薄木板能否從一個長2m,寬1m的門框內通過，

為什么？

2.飛機在空中水平飛行，某一時刻剛好飛到一個男孩頭頂正上方4000米處，

過了2()秒，飛機距離這個男孩頭頂5()0()米，飛機每小時飛行多少千米？

【教學說明】讓學生從實際生活的角度大膽的去考慮，用生活經驗和學過的

知識去解答.并學會把實際問題抽象為直角三角形的數學模型的過程，能夠熟練

地將勾股定理應用到現實生活中去.

【答案】1.能，讓薄木板的寬從門框的對角線斜著通過.

2.分析：根據題意，可以先畫出符合題意的圖形.如圖，圖中AABC的/

C=90°,AC=4000米，AB=5000米欲求飛機每時飛行多少千米，就要知道20

秒時間里飛行的路程，即圖中的CB的長，由于AABC的斜邊AB=5000米，

AC=4000米,這樣BC就可以通過勾股定理得出，這里一定要注意單位的換算.

解：由勾股定理得BC?二AB2-AC2=52-42=9(km2)

即BC=3千米

飛機20秒飛行3千米.那么它1小時飛行的距離為：3600/20X3=540(千米/

時)

答：飛機每小時飛行54()千米.

四、師生互動，課堂小結

通過這節課的學習，你學會了哪幾種證明勾股定理的方法？還有哪些疑問？

【教學說明】總結歸納幫助學生進一步掌握解決實際問題的關鍵是抽象出相

應的數學模型.

版書設計

第2課時監證勾股定理及其計算

匚、拼圖驗證勾股定理例一三、練習

Il.(a+6)z=-T-a//X4+vza2+b2=c2.

j2.c2="T"a6X44-(6一即a24~b2=c2.

‘孕_課后住業

完成練習冊中本課時相應練習.

苧【教生反思

了解多種證明勾股定理的方法，有助于加深對勾股定理內容的理解，但這需

要花一定的時間，可以讓學生課外了解.并運用所學知識解決實際問題，體驗數

學來源于生活，生活中也蘊含著許多數學道理.

2一定是直角三角形嗎

更標

【知識與技能】

掌握直角三角形的判別條件，并能進行簡單應用.

【過程與方法】

通過用三角形的三邊的數量關系來判斷三角形的形狀，體驗數形結合方法的

應用.

【情感態度】

敢于面對數學學習中的困難，并有獨立克服困難和運用知識解決問題的成功

經驗，進一步體會數學的應用價值，發展運用數學的信心和能力，初步形成積極

參與數學活動的意識.

【教學重點】

探索并掌握直角三角形的判別條件.

【教學難點】

運用直角三角形判別條件解題.

谷：教翅程

一、創設情境，導入新課

展示一根用13個等距的結把它分成等長的12段的繩子，請三個同學上臺，

按老師的要求操作.

甲：同時握住繩子的第一個結和第十三個結.

乙：握住第四個結.

丙：握住第八個結.

拉緊繩子，讓一個同學用量角器，測出這三角形其中的最大角.發現這人角

是多少度？古埃及人曾經用這種方法得到直角，這三邊滿足了什么條件？怎樣的

三角形才能成為直角三角形呢？這就是我們今天要研究的內容.

【教學說明】利用古埃及人得到直角的方法，學生親自動手實踐，體驗從實

際問題中發現數學，同時明確了本節課的研究問題.既進行了數學史的教育，又

鍛煉了學生的動手實踐、觀察探究的能力.

二、思考探究，獲取新知

直角三角形的判別

做一做：

下面的三組數分別是一個三角形的三邊a、b、c.

5、12、137、24、258、15、17

1.這三組數都滿足a2+b2=c2nq?

2.分別用每組數為三邊作三角形，用量角器量一量，它們都是直角三角形

嗎？

3.如果三角形的三邊長為a、b、c,并滿足a?+b2=c2.

那么這個三角形是直角三角形嗎？

【教學說明】鼓勵學生大膽發言，讓他們體驗通過實際的計算和探究得到結

論的樂趣，增強了他們勇于探索的精神.

【歸納結論】如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形

是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個正整數，稱為勾股數.大家可以想這樣的勾股

數是很多的.今后我們可以利用“三角形三邊a、b、c滿足a2+b?=c2時，三角形為

直角三角形”來判斷三角形的形狀，同時也可以用來判定兩條直線是否垂直的方

法.

三、運用新知，深化理解

1.下列幾組數能否作為直角三角形的三邊長？說說你的理由.

(1)9,12,15;

(2)15,36,39;

(3)12,35,36;

(4)12,18,22.

2.已知AABC中BC=41,AC=40,AB=9,則此三角形為三角形，是最大角.

3.四邊形ABCD中已知AB=3,BC=12,CD=13,DA=4,且/DAB=90°,

求這個四邊形的面積.

【教學說明】學生獨立完成，能夠加深判斷一個三角形是直角三如形的條件

的理解，幫助學生答疑解惑，及時指導，矯正強化.在完成上述題目后，引導學

生完成《創優作業》中本課時的“課堂自主演練”部分.

【答案】

1.(1)(2)兩組能作為直角三角形的三邊長.

V92+I22=152,152+362=392.

???這兩個三角形都是直角三角形.

2.直角，ZA

3.解：連結BD,在4ABD中，ZDBA=90°,BD2=AB2+AD2=32+42,BD=5.

在△DBC中，V52+122=132,B|JDB2+BC2=DC2,???△DBC為直角三角形,Z

DBC=90。，???SiBCDSDAB+SgBc=；x3x4+；x5xl2=36.

J1

四、師生互動，課堂小結

1.判斷一個三角形是直角三角形的條件.

2.今天的學習，你有哪些收獲？還有哪些困惑？與同學交流.

【教學說明】及時反饋教與學雙邊活動的結果，查漏補缺，讓學生養成系統

整理知識的好習慣.

版書設計

2一定是直角三角形嗎

直角三角形的判定:例

如果三角形的三邊長”.從『滿足/十廿=J?那

么這個三角形是直角三角形.

穹I課后住業

1.教材P10-11習題1.3第2、3、4題.

2.完成練習冊中本課時相應練習.

亨］教色反思

這是勾股定理的逆向應用.大部分同學只要能正確掌握勾股定理的話，都不

難理解.當然勾股定理的理解是關鍵.

3勾股定理的應用

【知識與技能】

1.能運用勾股定理及直角二角形的判別條件解決簡單的實際問題.

2.學生觀察圖形，勇于探索圖形間的關系，培養學生的空間觀念.

3.在將實際問題抽象成幾何圖形的過程中，提高分析問題、解決問題的能力

及滲透數學建模的思想.

【過程與方法】

在不同條件，不同環境中反復運用勾股定理及直角三角形的判定條件，使學

生達到熟練、靈活運用的程度.在解決問題的過程中，培養學生的空間觀念，提

高學生建立數學模型的能力.

【情感態度】

通過解決實際問題，提高了學生應用數學的意識和鍛煉了學生與他人交流合

作的意識，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的應用價值.

【教學重點】

探索發現給定事物中隱含的勾股定理及直角三角表判定條件，并用它們解決

生活中的實際問題.

【教學難點】

利用數學中的建模思想構造直角三角形，靈活運用勾股定理及直角三角形的

判定，解決實際問題.

洛）教與耳程

一、創設情境，導入新課

勾股定理的應用

前幾節課我們學習了勾股定理，你還記得它有什么作用嗎？

例如：欲登12米高的建筑物，為安全需要，需使梯子底端離建筑物5米，

至少需要多長的梯子？

日常生活當中，我們還會遇到下面的問題.

【教學說明】回憶勾股定理，鞏固舊知識，解決實際問題，完成知識的過渡,

為學生學習新知識又一次打下了堅實的基礎.

二、思考探究，獲取新知

螞蟻怎么走最近？

出示問題：有一個圓柱，它的高等于12厘米，底面半徑等于3厘米.在圓柱

的底面A點有一只螞蟻，它想吃到上底面上與A點相對的B點處的食物，需要

爬行的最短路程是多少？（門的取值3）.

(1)同學們可自己做一個圓柱，嘗試從A點到B點沿圓柱的側面畫出幾條

路線，你覺得哪條路線最短呢？

(2)如圖，將圓柱側面剪開展開成一個長方形，從A點到B點的最短路線

是什么？你畫對了嗎？

(3)螞蟻從A點出發，想吃到B點上的食物，它沿圓柱的側面爬行的最短

路程是多少？

【教學說明】讓學生經歷把曲面上兩點之間的距離轉化為平面上兩點之間線

段最短更為直觀，再次利用勾股定理解決生活中較為復雜的實際問題，使所學的

知識得到充分運用.

【歸納結論】我們知道，圓柱的側面展開圖是一長方形.好了，現在咱們就

(1)4-4'—6；(2)4一9一區；

(3)A—；(4).4->R

哪條路線是最短呢？你畫對了嗎？

第(4)條路線最短.因為“兩點之間的連線中線段最短”.

三、運用新知，深化理解

1.甲、乙兩位探險者，到沙漠進行探險.某日早晨8：0()甲先出發，他以6

千米/時的速度向東行走.1小時后乙出發，他以5千米/時的速度向北進行，上午

10：00,甲、乙兩人相距多遠？

2.如圖，有一個高1.5米，半徑是1米的圓柱形油桶，在靠近邊的地方有一

小孔，從孔中插入一鐵棒，已知鐵棒在油桶外的部分是0.5米，問這根鐵棒應有

多長？

【教學說明】學生獨立解決，把生活中的實際問題轉化為解直角三角形，對

學生所學的知識進行強化，以利于教師及時糾正.

【答案】1.分析：首先我們需要根據題意將實際問題轉化成數學模型.

解：（如圖）根據題意，可知A是甲、乙的出發點，10：00時甲到達B點，

fflAB=2X6=12（千米）；乙到達C點,MAC=1X5=5（千米）.

在RtZ\ABC中，BC12=AC2+AB2=52+122=169=132,所以BC=13千米.即甲、

乙兩人相距13千米.

2.分析：從題意可知，沒有告訴鐵棒是如何插入油桶中，因而鐵棒的長是一

個取值范圍而不是固定的長度，所以鐵棒最長時，是插入至底部的A點處，鐵

棒最短時是垂直于底面時.

解：設伸入油桶中的長度為x米，則應求最長時和最短時的值.

（1）X2=1.52+22,X2=6.25,X=2.5

所以最長是2.5+05=3（米）.

（2）x=1.5,最短是1.5+0.5=2（米）.

答：這根鐵棒的長應在2?3米之間（包含2米、3米）.

四、師生互動，課堂小結

通過本節課的學習，你掌握了哪些知識？還有哪些疑問？

【教學說明】學生梳理知識，加強教與學的互通，進一步提高課堂教學的效

果.

翻版書設計

3勾股定理的應用

創設情境，導入新課例學生展示3

合作探究?交S［展示變式調練

■

專'課后住業

1.教材P14-15第1、2、3、4題.

2.完成練習冊中本課時相應練習.

亶教學反思

這節課的內容綜合性比較強，可能有些同學掌握得不是太好，今后要繼續加

強這方面的訓練.

本章歸納總結

「教與目標

【知識與技能】

掌握勾股定理和如何判斷一個三角形是直角三角形，能靈活運用它們解決實

際問題.

【過程與方法】

通過梳理本章知識點，回顧解決實際問題中所涉及的數形合的思想和逆向思

維思考問題，以便能熟練靈活運用.

【情感態度】

讓學生養成把已有的知識建立聯系的思維習性，積極參與數學活動，在活動

中學會思考、討論、交流和合作，激發他們的求知欲望.

【教學重點】

用勾股定理和如何判斷一個二角形是百角二箱形解決簡單問題.

【教學難點】

能理解運用勾股定理解題的基本過程；掌握在復雜圖形中確定相應的直角三

角形，根據勾股定理建立方程.

敦翅造

一、知識框圖，整體把握

「勾股定理

「直接運用

勾解決簡單

勾股定理勾股定理及如何判斷

股實際問題

的應用一個三角形是直角三

定解決較綜

角形的綜合運用

理、合的問題

如何判斷一個三角形

是直角三角形及應用,

【教學說明】引導學生回顧本章知識點，構建知識結構框架，讓學生比較系

統地了解本章知識及它們之間的相互聯系.

二、釋疑解惑，加深理解

1.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法有多種，一般是采用剪拼的方法，它把“數與形”巧妙

地聯系起來，是幾何與代數溝通的橋梁，同時也為后面的四邊形、圓、圓形變換、

三角函數等知識的學習提供了方法和依據.

說明：利用面積相等是證明勾股定理的關鍵所在.

2.勾股定理中的分類討論

在勾股定理的實際運用中.如果不明給出直角二角形中有兩條邊的長.要求

第三條邊的長就需要分兩種情況討論，即第一種情況是告訴兩條直角邊長求斜

邊，第二種情況是告訴一條直角邊和斜邊長求另一條直角邊.

3.曲面兩點間的距離問題

在解決曲面中兩點間的距離時，往往是要將曲面問題轉化為同一平面內兩點

之間的距離，這是解決問題的關鍵.

三、典例精析，復習新知

例1一張直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm,BC=8cm,將aABC折疊,

使點B與點A重合，折痕是DE（如圖所示），求CD的長.

A(B)EB

【分析】設CD為x,「AD=BD,???AD=8-x..??在4ACD中,根據勾股定

理列出關于x的方程即可求解.

解：由折疊知，DA=DB.在RtZXACD中，由勾股定理得ACN+CD?=AD?,若

設CD=xcm,則AD二DB=（8-x）cm,代入上式得6?+x2=（8-x）2,解得

x=7/4=1.75（cm）,即CD的長為1.75cm.

例2有一個立方體禮盒如圖所示，在底部A處有一只壁虎，C'處有一只蚊

子，壁虎急于捕捉到蚊子充饑.

（1）試確定壁虎所走的最短路線；

（2）若立方體禮盒的棱長為20cm,則壁虎如果想在半分鐘內捕捉到蚊子，

每分鐘至少要爬行多少厘米？（保留整數）

【分析】求幾何表面的最短距離時，通常可以將幾何體表而展開，把立體圖

形轉化為平面圖形.

解：（1）若把禮盒上的底面A'B'C'D’豎起來，如圖所示，使它與立方

體的正面（ABB'A'）在同一平面內，然后連接AC根據“兩點間線段最

短”知線段AC'就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路線.

（2）由（1）得，△ABC'是直角三角形，且AB=20,BC'=40.根據勾股

定理，得AC'2=AB?+BC'2=202+4（）2,AC'^44.7（cm）,44.74-0.5^90（cm/min）.

所以壁虎要想在半分鐘內捕捉到蚊子，它每分鐘至少爬行90厘米（只入不

舍）.

【教學說明】師生共同回顧本章主要知識，對于例題中需要注意的事項教師

可以適當點評，便于學生熟練加以運用.

四、復習訓練，鞏固提高

1.已知在aABC中，ZB=90°,一直角邊為a,斜邊為b,則另一條直角邊

c滿足c2=.

2.在RtZ\ABC中，ZC=90°,若a=12,c-b=8,則b=,c=.

3.如圖所示，在aABC中，ZACB=90°,CD1AB,D為垂足，AC=2.I,

BC=2.8.

求：（1）AABC的面積;

（2）斜邊AB的長；

（3）斜邊AB上的高CD的長；

（4）斜邊被分成的兩部分AD和BD的長.

【答案】l.b2-a2；2.5,13；

3.解：(1)SAABC=-ACXBC=1X2.1X2.8=2.94.

22

(2)AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,/.AB=3.5.

(3)由三角形的面積公式得LACXBC=，ABXCD,所以1X2.1X2.8=L

2222

X3.5XCD,解得CD=1.68.

(4)在RtAACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2,

:.AD2=AC2-CD2=2.12-1.682

=（2.1+1.68）（2.1-1.68）

=3.78x0.42=2x1.89x2x0.21

=22x9x0.214x0.21.

???AD=2X3X0.21=1.26.

???BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.

五、師生互動，課堂小結

本節復習課你能靈活運用勾股定理和如何判斷一個三角形是直角三角形的

解決問題嗎？還有哪些不足？

【教學說明】教師引導學生歸納本章主要的知識點，對于遺漏或需要強調的

地方，教師應及時補充和點撥.

專）產后住業

1.復習題4.5第11、12題.

2.完成練習冊中本課時相應練習.

/教與反思

勾股定理是解決線段計算問題的主要依據，它單獨命題比較少見，更多時候

是與其他知識綜合應用，在綜合題中如何找到適當的直角三角形是解題的關鍵.

第二章實數

1認識無理數

更標

【知識與技能】

1.通過拼圖活動，讓學生感受無理數產生的必要性.

2.借助計算器探索無理數是無限不循環小數.

3.會判斷一個數是有理數還是無理數.

【過程與方法】

讓學生親自動手做拼圖活動，培養學生的動手能力和合作精神，通過辨別一

個數是有理數還是無理數，訓練大家的思維判斷能力.

【情感態度】

1.了解有關無理數發現的知識，鼓勵學生大膽質疑，培養他們為真理而奮斗

的獻身精神.

2.讓學生理解估算的意義，掌握估算的方法，發展學生的數感和估算能力.

【教學重點】

1.無理數的探索過程.

2.了解無理數與有理數的區別，并能正確判斷.

【教學難點】

把兩個邊長為1的正方形拼成一個大正方形的動手操作過程.

堯敦與亙程

一、創設情境，導入新課

同學們，我們上了好多年的學，學過不計其數的數，概括起來我們都學過哪

些數呢？

在小學我們學過自然數、小數、分數.

在初一我們還學過負數.

對，我們在小學學了非負數，在初一發現數不夠用了，引入了負數，即把從

小學學過的正數、零擴充到有理數范圍，有理數包括整數和分數，那么有理數范

圍是否能滿足我們實際生活的需要呢？下面我們就來共同研究這個問題.

【教學說明】隨著學習的深入，知識層次的提高，有理數的范圍不能適應現

代生活的需要，這就要對數進行擴充，為學生學習新知識作準備.

二、思考探究，獲取新知

無理數的概念

拼一拼：

請大家四個人為一組，拿出自己準備好的兩個邊長為1的正方形和剪刀，認

真討論之后，動手剪一剪，拼一拼，設法得到一個大的正方形，好嗎？

【教學說明】通過小組合作交流，動手操作得到一個大的正方形，學生非常

高興地投入到活動中，調動了學生的積極性.

同學們展示，拼圖的結果.

下面大家共同思考一個問題，假設拼成大正方形的邊長為a,則a應滿足什

么條件呢？

［教學說明】探索拼圖的過程，對于學生理解大正方形的邊長是a是不是有

理數很有幫助.

【歸納結論】因為22=4,32=9,……整數的平方越來越大，所以a應

在1和2之間，故a不可能是整數,又(1/2)2二1/4,

(1/3)2=19(2/3)2=4/9,…兩個相同因數的乘積都為分數，所以a不可能是

分數.

做一做:

大家判斷一下3個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？說說你的理由.

【教學說明】結合圖形，讓學生講一步理解面積為2的正方形邊長不是有理

數，而是一種新數.

同學們能不能確定一下面積為2的正方形的邊長為a的大致范圍呢？

請大家用計算器探索，用表格的形式整理如下.

邊長a面積S

1<a<21<S<4

1.4<a<1.51.96<S<2.25

1.41<a<1.421.9881<S<2.0164

1.414<a<1.4151.999396<S<2.002225

1.4142<a<1.41431.99996164<S<2.00024449

還可以進行下去嗎？a是有限小數嗎？

【教學說明】教師引導學生探索，讓學生對這種不是有理數的新數有了初步

的認識，為下面引出無理數的概念打下了基礎.

【歸納結論】像這種無限不循環小數就叫做無理數.

如:圓周率兀=3.14159265…也是一個無限不循環小數,0.5858858885…（相

鄰兩個5之間8的個數逐次加1）也是一個無限無循環小數，它們都是無理數.

而3,45,0.38,0.17，它們都能化成有限小數或循環小數，這些數都是有理數.

三、運用新知，深化理解

1.判斷題

(1)有理數與無理數的差都是有理數.

(2)無限小數都是無理數.

(3)無理數都是無限小數.

(4)兩個無理數的和不一定是無理數.

2.下列各數中，哪些是有理數？哪些是無理數？

0.351,-23,4.9?6?,3.14159,-5.2323332-,123456789101112-(由相繼

的正整數組成).

在下列每一個圈里，至少填入三個適當的數.

有理數集合無理數集合

【教學說明】學生自主完成，加深了對無理數的理解以及有理數與無理數的

區別所在，讓學生的疑難及時得到矯正與強化.

【答案】1.(1)；(2)；(3)V；(4)V；

2.0.351,-2/3,4.96,3.14159；-5.2323332…，123456789101112…(由

相繼的正整數組成).

四、師生互動，課堂小結

通過本節課的學習，你是如何判斷一個數是有理數還是無理數？還有哪些困

難？

【教學說明】引導學生尋找知識點間的區別和聯系，加深對易錯點的理解，

有助于學生正確解題.

篁版書設計

1認識無理效

探究展示=2

右理數：轉數和分數

想一想：亡,0一

(1)一個整數的平方◎區唯投

一定是整數嗎？影

做一做：y=5

(2》一個分數的平方K

一定是分數嗎？

；學生板演區!

,》［課后住業

1.習題2.2第1、2、3題.

2.完成練習冊中本課時相應練習.

營教學反思

這節課的內容是無理數的概念以及判斷一個數是有理數還是無理數.是數的

范圍的又一次擴充，是很重要的一節.培養了學生分類歸納的思想.但對概念的理

解掌握一些同學還不是很好，只能在以后的教學過程中不斷的完善.

2平方根

第1課時算術平方根

更標

【知識與技能】

1.了解數的算術平方根的概念，會用根號表示一個數的算術平方根.

2.根據求一個數的算術平方根與平方是互逆運算，會利用這個互逆運算關系

求某些非正負數的算術平方根.

【過程與方法】

經歷求一個數的算術平方根與平方的互逆關系，提高學生逆向思維方法.

【情感態度】

學生動腦、動口，積極參與教學活動，培養他們對數學的好奇心和求知欲.

【教學重點】

了解算術平方根的概念，性質，會用根號表示一個正數的算術平方根.

【教學難點】

理解算術平方根的概念、性質.

堯敦與亙程

一、創設情境，導入新課

上節課我們學習了無理數、了解到無理數產牛的實際背景和引入的必要性.

掌握了無理數的概念，知道有理數和無理數的區別是：有理數是有限小數或無限

循環小數，無理數是無限不循環小數.比如在a?=2中，2是有理數，而a是無理

數.在前面我們學過若x2=a,則a叫x的平方,反過來x叫a的什么呢?本節課

我們就來一起研究這個問題.

【教學說明】從平方入手，為學生下面學習算術平方根找到了突破口，讓他

們對算術平方根的求法與開平方這種互逆的關系形成了初步認識.

二、思考探究，獲取新知

算術平方根的概念和求法.

下面請大家根據勾股定理，結合圖形完成填空：

X2=，y2=，Z2=，W2=

請大家分析一下，X、y、z、W中哪些是有理數？哪些是無理數？

【教學說明】回憶勾股定理得到一個數的平方是一個正數，為下面給出算術

平方根的概念作了開端.

【歸納結論】因為沒有任何整數或分數的平方等于2,3,5,所以x、y、w

不是有理數，而是無理數，即,y=G,w二石.因為22=4.所以z=2,是

有理數.

若一個正數x的平方等于a,即x2=a,則這個正數x就叫做a的算術平方根.

記為“返”讀作“根號a”.這就是算術平方根的定義.特別地規定。的算術平

方根是o,即C=o.

下面我們根據算術平方根的定義求一些數的算術平方根.

例1求下列各數的算術平方根：

(1)900；(2)1；(3)49/64；(4)14.

通過上面的例題，大家思考一下，我們在求算術平方根時是借助于哪一種運

算來求的？

【教學說明】學生很容易看出一個正數的平方與求算術平方根是互為逆運

算，有利于對算術平方根概念的理解.

【答案】解：(1)因為3()2=900,所以900的算術平方根是30,即5^而=30；

(2)因為12=1,所以1的算術平方根是1,即1=1；(3)因為(7/8)2=49/64,

所以49/64的算術平方根是7/8,即J4964=7/8；(4)14的算術平方根是J.

【歸納結論】在求算術平方根時是借助于平方來求的.在例題中的步驟買取

語言敘述和符號表示相互補充的做法，目的是讓大家在計算中進一步體會一個正

數的平方與求算術平方根是互為逆運算，在以后的步驟中可以簡化.

三、運用新知，深化理解

1.填空題.

(1)若一個數的算術平方根是石，則這個數是.

(2)49的算術平方根是.

(3)正數的平方為144/25,匕的算術平方根為.

(4)(-1.44)2的算術平方根為.

(5)病的算術平方根為,7004=

2.求下列各數的算術平方根，并用符號表示已來：

(1)(7.4)2；(2)(-3.9)2；(3)2.25；(4)2；.

3.自由下落的物體的高度h(米)與下落時間t(秒)的關系為h=4.%2.有一

鐵球從19.6米高的建筑物上自由下落，到達地面需要多長時間？

【教學說明】學生獨立完成，加深對算術平方根概念的理解，強化了算術平

方根的求法和表示方法.

【答案】1.(1)5；(2)2/3；(3)12/5,4/3；(4)1.44；(5)3,0.2.

2.(1)>/(7.4)2=7.4；(2)_3.91=3.9；(3)7125=1.5；(4)舊=3/2.

3.解：將h=19.6代入公式h=4.%2得t?=4,所以t="=2(秒)

即鐵球到達地面需要2秒.

四、師生互動，課堂小結

本節課你學習了哪些新知識？還有什么困難？請與同學們交流.

【教學說明】教師引導學生回顧所學知識，加深印象.找出不足，共同提高.

版書設計

第1課時算術平方根

投

影1.概念例1例2y=

區2.性質解：解：

域zu=

學生活動區

,孕_課后作業

1.習題2.3第1、2、3題.

2.完成練習冊中本課時相應練習.

第教學反思

本節課從一個數的平方入手，用逆向思維求一個數的算術平方根，學生容易

接受，解決問題起來應該說是得心應手，但要注意算術平方根的符號表示方法.

第2課時平方根

【知識與技能】

1.了解平方根的概念、開平方的概念，進一步明確平方與開方互為逆運算.

2.會求一個數的平方根，明確算術平方根與立方根的區別與聯系.

【過程與方法】

經歷求一個數的平方根與平方互為逆運算的過程，培養學生求同和求異的思

維方法，能從相似的事件中找到它們的共同點和不同點.

【情感態度】

通過學生在學習中互相幫助、相互合作，并能對不同概念進行區分，培養大

家的團隊精神，以及認真仔細的學習態度，為學生將來走向社會而做準備，使他

們能在工作中保持嚴謹的態度，正確處理好人際關系，成為各方面的佼佼者.

【教學重點】

1.了解平方根、開平方的概念，會利用互逆運算關系求某些非負數的算術平

方根與平方根.

2.平方根與算術平方根的區別和聯系.

【教學難點】

1.平方根與算術平方根的區別和聯系.

2.負數沒有平方根，即負數不能進行開平方運算.

專［敦翅程

一、創設情境，導入新課

上節課我們學習了算術平方根的概念、性質.知道若一個正數x的平方等于a,

即x2=a.則x叫a的算術平方根，記作x=&i,而且a也是非負數，比如正數22=4,

則2叫4的算術平方根,4叫2的平方，但是(-2)2=4,則-2叫4的什么根呢？

下面我們就來討論這個問題.

【教學說明】通過回顧算術平方根是一個正數正的平方根，從而順其自然引

出還有一個負數的平方等于這個正數，為下面學習平方根做了心理準備.

二、思考探究，獲取新知

1.平方根、開平方的概念

請大家思考兩個問題.

(1)9的算術平方根是3,也就是說，3的上方是9,還有其他的數，它的

平方也是9嗎？

(2)平方等于4/25的數有幾個？平方等于0.64的數呢？

【教學說明】學生很容易看出有正負兩個數的平方為一個正數，讓他們對平

方根的概念有了初步認識.

【歸納結論】3的平方等于9,-3的平方也等于9,3是9的算術平方根，-3

是9的平方根.平方等于4/25的數有兩個,即2/5和-2/5,平方等于0.64的數也

有兩個，即0.8和?0.8?

一般地，如果一個數x的平方等于a,即x2=a,那么這個x就叫a的平方根

（squareroot）,也叫二次方根，3和-3的平方都等于9,由定義可知3和-3都是

9的平方根，即9的平方根有兩個3和-3,9的算術平方根只有一個是3.

由平方根和算術平方根的定義，大家能否找出它們有什么相同和不同之處

呢？

【教學說明】讓學生找出平方根和算術平方根的相同點與不同點，對于正確

理解兩個不同的概念和學生準確解題很有幫助.

【歸納結論】聯系：（1）具有包含關系：平方根包含算術平方根，算術平方

根是平方根的一種.

（2）存在條件相同：平方根和算術平方根都是只有非負數才有.

（3）0的平方根、算術平方根都是0.

區別：（1）定義不同：“如果一個數的平方等于a,這個數就叫做a的平方

根”；“非負數a的非負平方根叫a的算術平方根”.

（2）個數不同：一個正數有兩個平方根，而一個正數的算術平方根只有一

個.

（3）表示法不同：正數a的平方根表示為士右，正數a的算術平方根表示

為.

（4）取值范圍不同：正數的平方根一正一負，互為相反數；正數的算術平

方根只有一個.

什么叫開平方呢？我們共學了幾種運算？這幾種運算之間有怎樣的聯系？

【教學說明】使學生明白加與減、乘與除、平方與開平方都是互為逆運算.

2.平方根的性質

請大家思考下面的問題：

（1）一個正數有幾個平方根？

（2）0有幾個平方根？

（3）負數呢？

【教學說明】通過前面的學習，學生不難得出一個正數有兩個平方根，且它

們互為相反數；（）有一個平方根是0；負數沒有平方根，加深對平方根概念的理

解.

1.求下列各數的平方根.

49、

(l)64；(2)^；(3)0.0004；(4)(-25)2；

(5)11.

2.想一想：

(1)(灰尸等于多少？j等于多少？

I7121J

(2)(等于多少？

(3)對于正數明(一產等于多少?

【教學說明】由平方根的定義，學生不難得出結果，對于平方根的求法再次

加深，以達到熟練運用.

三、運用新知，深化理解

1.求下列各數的平方根.

1.44,0,8,100/49,441,196,10-4

2.填空

(1)25的平方根是；

(2)(-5)2=；

(3)(5)2=.

3.判斷下列各數是否有平方根？并說明理由.

(1)(-3)2；(2)0；(3)-0.01；(4)-52；(5)-a2；(6)a2-2a+2

【教學說明】學生自主完成，加深對平方根概念的理解和檢測學生對平方根

求法的掌握情況，及時點撥，得以強化.

【答案】1.±1.2,0,±2夜,±—，±21,±14,±—

7100

2.(1)±5,(2)5,(3)5

3.有平方根的是:(-3)2,0,a2-2a+2,因為它們都是非負數；-0.01,?5?沒

有平方根，因為它們都是負數；川2,只有當a=0時它才有平方根.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧平方根和開平方的概念以及只有非負數才有平方根.

2.本節課你有哪些收獲？還存在哪些不足？

【教學說明】引導學生回顧知識點，找出它們之間的聯系與區別以及學習過

程中存在的不足，便于進一步深化和查漏補缺.

’汽板書設計_

第2課時平方根

至習舊知引入新如例題而新知鞏固鞏固練習

新課練習，______________

合作探究，______________

思考提升，_______________

課后作業:|

專：課后住業

1.習題2.4第1、2、3、4題.

2.完成練習冊中本課時相應練習.

專）教至反思

這節主要是算術平方根與平方根的區別與聯系，其中表示方法，求式子的值

都是很容易混淆的.大部分的學生還是能勉強的掌握.但還是要在以后的教學過程

中再多讓學生分清他們.

3立方根

「教宇目標

【知識與技能】

1.了解立方根的概念，會用根號表示一個數的立方根.

2.能用立方運算求某些數的立方根，明白開立方與立方互為逆運算.

3.正確區分立方根與平方根的不同.

【過程弓方法】

在學習平方根的基礎上，用類比的方法學習立方根的有關知識.

【情感態度】

結合本節課的特點，訓練學生類比思想的養成，發展他們求同求異思維，使

他們能在復雜的環境中明辨是非.

【教學重點】

1.立方根的概念.

2.會求一個數的立方根.

【教學難點】

區分立方根與平方根的不同之處.

堯敦與亙程

一、創設情境，導入新課

上節課我們學習了平方根的定義，若x2=a,則x叫a的平方根，即x=±47i.

正方體的棱長為a,體積為8,根據正方體體積的公式得a3=8,那么a叫8的什

么呢？本節課請大家根據上節課的內容自己來類推出結論，若x?二a,則x叫a

的什么呢？

【教學說明】學生比較容易由平方根的定義類推得出立方根的定義，他們心

目中已經對立方根有了初步認識.

二、思考探究，獲取新知

1.立方根的概念及求法

下面大家能不能根據平方根的定義和記法來類推立方根的定義和記法呢？

【教學說明】由于學生在前面對于立方根的由來有了初步接觸，應該來說學

生接受比較快，容易掌握.

【歸納結論】若一個數x的立方等于a,B|Jx3=a,那么這個數x就叫做a的

立方根（cuberoot；也叫三次方根）.記為x=%,讀作x等于三次根號a,如2

是8的立方根，-2/3是-8/27的立方根，0是0的立方根.

大家能否由開平方的定義，再類推開立方的定義呢？

【教學說明】學生在己學的開平方的基礎上不難得出開立方的定義，有利于

加深立方根概念的理解.

【歸納結論】求一個數a的立方根的運算，叫做開立方，其中a叫做被開方

數.

2.立方根的性質

（1）2的立方等二多少？是否有其他的數，它的立方也是8?

（2）-3的立方等于多少？是否有其他的數，它的立方也是-27?

（3）0的立方等亍多少？。有幾個立方根？

【教學說明】從立方入手，讓學生對立方根的求法再次得到加深.

【歸納結論】正數有一個正的立方根、負數有一個負的立方根，0的立方根

有一個，是0.

3.平方根與立方根的區別與聯系

我們已經學習了平方根與立方根的定義，并會求某些數的平方根和立方根，

下面請大家說說它們的聯系與區別.

【教學說明】讓學生找出平方根與立方根的聯系與區別.對于正確理解兩個

不同而又容易混淆的概念和準確解題有很大幫助.

【歸納結論】聯系：（1）0的平方根、立方根都有一個是0.

（2）平方根、立方根都是開方的結果.

區別：（1）定義不同：“如果一個數的平方等于a,這個數就叫做a的平方

根”；“如果一個數的立方等于a,這個數就叫做a的立方根”.

（2）個數不同：一個正數有兩個平方根，一個正數有一個立方根；一個負

數沒有平方根，一個負數有一個立方根.

（3）表示法不同

正數a的平方根表示為土右，a的立方根表示為指.

（4）被開方數的取值范圍不同

土右中的被開方數a是非負數：族中的被開方數可以是任何數.

例1求下列各數的立方根：

（1）-27,（2）8/125；（3）0.216；（4）-5.

請大家思考下列問題：

我表示a的立方艱，則（汽）3等于什么？療等于什么？

例2求下列各式的值：

（1）口;（2）g畫;⑶一七；

\125

【教學說明】由立方根的定義，學生不難得出結果，對于立方根的求法再次

加深，以達到熟練運用.

三、運用新知，深化理解

1.求下列各數的立方根；

27125

°，1，一方6，-血，。?。。1

2.求下列各式的值：

E；一店

8Y

27.1

3.下列說法對不對？

①-4沒有立方根;②1的立方根是土1;③

上的立方根是《；④-5的立方根是-瓦⑤64

JOO

的算術平方根是±8.

【教學說明】學生獨立完成，加深對立方根概念的理解和檢測學生對于立方

根求法的掌握情況，及時指導、點撥，得以強化提高.

【答案】等河-亮,0.1；

11-2,-2,)

2.0.3,-1,-

54，

3.正確的有:④.錯誤的有:①②③⑤.

四、師生互動，課堂小結

1.師生共同回顧立方根和開立方的概念以及立方根的性質.

2.本節課你有哪些收獲？還有哪些疑問？

【教學說明】引導學生回顧所學知識，找出它們的相同點和不同點以及學習

過程中存在的疑惑，便于進一步深化提高.

'瓢版書設計

課后作業

1.習題2.5第1、2、3題.

2.完成練習冊中本課時相應練習.

教與反思

本節的內容最好在學生熟練掌握平方根的內容的前提下進行.這樣就能讓學

生用類推的方法得出立方根的相關結論.很容易理解與掌握.從學生上課的反映來

看，這節課應該是比較成功的.

4估算

【知識與技能】

?.能通過估算檢驗計算結果的合理性，能估計一個無理數的大致范圍，并能

通過估算比較兩個數的大小.

2.掌握估算的方法，形成估算的意識，發展學生的數感.

【過程與方法】

通過一系列實際問題的解決讓學生逐步掌握估算的基本方法.

【情感態度】

培養學生把數學應用于日常生活中的能力，對結果合理性的覺察能力，近似

估算能力.

【教學重點】

掌握估算的方法，能通過估算檢驗計算結果的合理性.

【教學難點】

掌握估算的方法，形成估算的意識.

谷：教翅程

一、創設情境，導入新課

在前面我們己經了解了估算一個根號表示的無理數一般是采用夾逼的方法.

例如要估算而的大小，首先要找出20鄰近的完全平方數.在日常生活中，往

往要遇到估算一個比較大的數的平方根或立方根,我們怎么辦呢？通過下面的學

習你就明白了.

【教學說明】由于第二章第一節內容已經初步接觸到估算，為他們后面學習

估算比較大的數作好了鋪墊.

二、思考探究，獲取新知

估算和數的大小比較

某地開辟了一塊長方形的荒地，新建一個以環保為主題的公園.已知這塊荒

地的長足寬的2倍，它的面積為400000米2

1.公園的寬大約是多少？它有1000米嗎？

2.如果要求誤差小于10米，它的寬大約是多少？與同伴交流.

3.該公園中心有一個圓形花圃，它的面積是80（）米2,你能估計它的半徑嗎？

（誤差小于1米）

【教學說明】從實際問題出發，關注學生能否主動從事估算等活動.對于較

復雜的計算可用計算器.

議一議：

（1）下列計算結果正確嗎？你是怎樣判斷的？與同伴進行交流.

^