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文檔簡介

河南省鄭州市河南實驗中學2025屆高考適應性考試數學試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,,則()A. B. C. D.2.已知集合,集合,若,則()A. B. C. D.3.已知函,,則的最小值為()A. B.1 C.0 D.4.已知某超市2018年12個月的收入與支出數據的折線圖如圖所示:根據該折線圖可知,下列說法錯誤的是()A.該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B.該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C.該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D.該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元5.已知復數z滿足(其中i為虛數單位),則復數z的虛部是()A. B.1 C. D.i6.五名志愿者到三個不同的單位去進行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.7.已知集合.為自然數集,則下列表示不正確的是()A. B. C. D.8.已知函數,若,,,則a,b,c的大小關系是()A. B. C. D.9.已知數列為等比數列,若,且,則()A. B.或 C. D.10.若,則的虛部是A.3 B. C. D.11.過拋物線的焦點的直線交該拋物線于,兩點,為坐標原點.若,則直線的斜率為()A. B. C. D.12.點在所在的平面內,,,,,且,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且,則________.14.直線是圓:與圓:的公切線,并且分別與軸正半軸,軸正半軸相交于,兩點,則的面積為_________15.函數的定義域為__________.16.若奇函數滿足,為R上的單調函數,對任意實數都有,當時,,則________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數,設的最小值為m.(1)求m的值;(2)是否存在實數a,b,使得,?并說明理由.18.(12分)在直角坐標系中,直線的參數方程為(為參數),直線的參數方程為,(為參數).以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(Ⅰ)求的極坐標方程和的直角坐標方程;(Ⅱ)設分別交于兩點(與原點不重合),求的最小值.19.(12分)在四棱錐的底面中,,,平面,是的中點,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求二面角的余弦值;(Ⅲ)線段上是否存在點,使得,若存在指出點的位置,若不存在請說明理由.20.(12分)某校共有學生2000人,其中男生900人,女生1100人,為了調查該校學生每周平均體育鍛煉時間,采用分層抽樣的方法收集該校100名學生每周平均體育鍛煉時間(單位:小時).(1)應抽查男生與女生各多少人?(2)根據收集100人的樣本數據,得到學生每周平均體育鍛煉時間的頻率分布表:時間(小時)[0,1](1,2](2,3](3,4](4,5](5,6]頻率0.050.200.300.250.150.05若在樣本數據中有38名男學生平均每周課外體育鍛煉時間超過2小時,請完成每周平均體育鍛煉時間與性別的列聯表,并判斷是否有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關”?男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時每周平均體育鍛煉時間超過2小時總計附:K2.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0052.7063.8416.6357.87921.(12分)已知函數.(1)當時,求不等式的解集;(2)若關于的不等式的解集包含,求實數的取值范圍.22.(10分)如圖,在四棱錐中,側面為等邊三角形,且垂直于底面,,分別是的中點.(1)證明:平面平面;(2)已知點在棱上且,求直線與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

集合是一次不等式的解集,分別求出再求交集即可【詳解】,,則故選【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算,屬于基礎題.2、A【解析】

根據或,驗證交集后求得的值.【詳解】因為,所以或.當時,,不符合題意,當時,.故選A.【點睛】本小題主要考查集合的交集概念及運算,屬于基礎題.3、B【解析】

,利用整體換元法求最小值.【詳解】由已知,又,,故當,即時,.故選:B.【點睛】本題考查整體換元法求正弦型函數的最值,涉及到二倍角公式的應用,是一道中檔題.4、D【解析】

用收入減去支出,求得每月收益,然后對選項逐一分析,由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出,求得每月收益(萬元),如下表所示:月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高,A選項說法正確;月收益最低,B選項說法正確;月總收益萬元,月總收益萬元,所以前個月收益低于后六個月收益,C選項說法正確,后個月收益比前個月收益增長萬元,所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析,考查收益的計算方法,屬于基礎題.5、A【解析】

由虛數單位i的運算性質可得,則答案可求.【詳解】解:∵,∴,,則化為,∴z的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查了虛數單位i的運算性質、復數的概念,屬于基礎題.6、D【解析】

三個單位的人數可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.7、D【解析】

集合.為自然數集,由此能求出結果.【詳解】解:集合.為自然數集,在A中,,正確;在B中,,正確;在C中,,正確;在D中,不是的子集,故D錯誤.故選:D.【點睛】本題考查命題真假的判斷、元素與集合的關系、集合與集合的關系等基礎知識,考查運算求解能力,是基礎題.8、D【解析】

根據題意,求出函數的導數,由函數的導數與函數單調性的關系分析可得在上為增函數,又由,分析可得答案.【詳解】解:根據題意,函數,其導數函數,則有在上恒成立,則在上為增函數;又由,則;故選:.【點睛】本題考查函數的導數與函數單調性的關系,涉及函數單調性的性質,屬于基礎題.9、A【解析】

根據等比數列的性質可得,通分化簡即可.【詳解】由題意,數列為等比數列,則,又,即,所以,,.故選:A.【點睛】本題考查了等比數列的性質,考查了推理能力與運算能力,屬于基礎題.10、B【解析】

因為,所以的虛部是.故選B.11、D【解析】

根據拋物線的定義,結合,求出的坐標,然后求出的斜率即可.【詳解】解:拋物線的焦點,準線方程為,設,則,故,此時,即.則直線的斜率.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義,直線斜率公式,屬于中檔題.12、D【解析】

確定點為外心,代入化簡得到,,再根據計算得到答案.【詳解】由可知,點為外心,則,,又,所以①因為,②聯立方程①②可得,,,因為,所以,即.故選:【點睛】本題考查了向量模長的計算,意在考查學生的計算能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用正弦定理實現邊角互化,屬基礎題.14、【解析】

根據題意畫出圖形,設,利用三角形相似求得的值,代入三角形的面積公式,即可求解.【詳解】如圖所示,設,由與相似,可得,解得,再由與相似,可得,解得,由三角形的面積公式,可得的面積為.故答案為:.【點睛】本題主要考查了直線與圓的位置關系的應用,以及三角形相似的應用,著重考查了數形結合思想,以及推理與運算能力,屬于基礎題.15、【解析】

根據函數成立的條件列不等式組,求解即可得定義域.【詳解】解:要使函數有意義,則,即.則定義域為:.故答案為:【點睛】本題主要考查定義域的求解,要熟練掌握張建函數成立的條件.16、【解析】

根據可得,函數是以為周期的函數,令,可求,從而可得,代入解析式即可求解.【詳解】令,則,由,則,所以,解得,所以,由時,,所以時,;由,所以,所以函數是以為周期的函數,,又函數為奇函數,所以.故答案為:【點睛】本題主要考查了換元法求函數解析式、函數的奇偶性、周期性的應用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)不存在;詳見解析【解析】

(1)將函數去絕對值化為分段函數的形式,從而可求得函數的最小值,進而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【詳解】(1);(2),若,同號,,不成立;或,異號,,不成立;故不存在實數,,使得,.【點睛】本題考查了分段函數的最值、基本不等式的應用,屬于基礎題.18、(Ⅰ)直線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為,的直角坐標方程為;(Ⅱ)2.【解析】

(Ⅰ)由定義可直接寫出直線的極坐標方程,對曲線同乘可得:,轉化成直角坐標為;(Ⅱ)分別聯立兩直線和曲線的方程,由得,由得,則,結合三角函數即可求解;【詳解】(Ⅰ)直線的極坐標方程為,直線的極坐標方程為由曲線的極坐標方程得,所以的直角坐標方程為.(Ⅱ)與的極坐標方程聯立得所以.與的極坐標方程聯立得所以.所以.所以當時,取最小值2.【點睛】本題考查參數方程與極坐標方程的互化,極坐標方程與直角坐標方程的互化,極坐標中的幾何意義,屬于中檔題19、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ);(Ⅲ)存在,點為線段的中點.【解析】

(Ⅰ)連結,,,則四邊形為平行四邊形,得到證明.(Ⅱ)建立如圖所示坐標系,平面法向量為,平面的法向量,計算夾角得到答案.(Ⅲ)設,計算,,根據垂直關系得到答案.【詳解】(Ⅰ)連結,,,則四邊形為平行四邊形.平面.(Ⅱ)平面,四邊形為正方形.所以,,兩兩垂直,建立如圖所示坐標系,則,,,,設平面法向量為,則,連結,可得,又所以,平面,平面的法向量,設二面角的平面角為,則.(Ⅲ)線段上存在點使得,設,,,,所以點為線段的中點.【點睛】本題考查了線面平行,二面角,根據垂直關系確定位置,意在考查學生的計算能力和空間想象能力.20、(1)男生人數為人,女生人數55人.(2)列聯表答案見解析,有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【解析】

(1)求出男女比例,按比例分配即可;(2)根據題意結合頻率分布表,先求出二聯表中數值,再結合公式計算,利用表格數據對比判斷即可【詳解】(1)因為男生人數:女生人數=900:1100=9:11,所以男生人數為,女生人數100﹣45=55人,(2)由頻率頻率直方圖可知學生每周平均體育鍛煉時間超過2小時的人數為:(1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05)×100=75人,每周平均體育鍛煉時間超過2小時的女生人數為37人,聯表如下:男生女生總計每周平均體育鍛煉時間不超過2小時71825每周平均體育鍛煉時間超過2小時383775總計4555100因為3.892>3.841,所以有95%的把握認為“該校學生的每周平均體育鍛煉時間與性別有關.【點睛】本題考查分層抽樣,獨立性檢驗,熟記公式,正確計算是關鍵,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】

(1)按進行分類,得到等價不等式組,分別解出解集,再取并集,得到答案;(2)將問題轉化為在時恒成立,按和分類討論,分別得到不等式恒成立時對應的的范圍,再取交集,得到答案.【詳解】解:(1)當時,等價于或或,解得或或,所以不等式的解集為:.(2)依題意即在時恒成立,當時,,即,所以對恒成立∴,得;當時,,即,所以對任意恒成立,∴,得∴,綜上,.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式,分類討論研究不等式恒成立問題,屬于中檔題.22、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)由平面

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