2025高考數學一輪復習-10.7-正態分布-專項訓練模擬練習【A級基礎鞏固】一、單選題1．已知隨機變量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，則P(X>2)＝()A．0.2 B．0.4C．0.6 D．0.82．已知隨機變量ξ服從正態分布N(0,4)，若P(ξ≥2)＝0.3，則P(ξ≥－2)＝()A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.83．隨機變量X服從正態分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(2<X<6)＝0.6，則μ＝()A．6 B．5C．4 D．34．已知隨機變量ξ服從正態分布N(3，σ2)，且P(ξ<5)＝0.7，則P(1<ξ<3)＝()A．0.6 B．0.5C．0.3 D．0.25．已知某地區成年女性身高X(單位：cm)近似服從正態分布N(160，σ2)，且P(158<X≤160)＝0.2，則隨機抽取該地區1000名成年女性，其中身高不超過162cm的人數大約為()A．200 B．400C．600 D．7006．某地生產紅茶已有多年，選用本地兩個不同品種的茶青生產紅茶．根據其種植經驗，在正常環境下，甲、乙兩個品種的茶青每500克的紅茶產量(單位：克)分別為X，Y，且X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其密度曲線如圖所示，則以下結論錯誤的是()A．Y的數據較X更集中B．P(X≤c)<P(Y≤c)C．甲種茶青每500克的紅茶產量超過μ2的概率大于eq\f(1,2)D．P(X>c)＋P(Y≤c)＝17．已知隨機變量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝eq\f(1,2)，E(X)＝E(Y)，則p＝()A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)二、多選題8．已知某校高三年級有1000人參加一次數學模擬考試，現把這次考試的分數轉換為標準分，標準分的分數轉換區間為[60,300]，若使標準分X服從正態分布N(180,900)．(參考數據：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)則下列結論正確的個數為()A．這次考試標準分超過180分的約有450人B．這次考試標準分在(90,270]內的人數約為997C．甲、乙、丙三人恰有2人的標準分超過180分的概率為eq\f(3,8)D．P(240<X≤270)＝0.04289．已知某種袋裝食品每袋質量(單位：g)X～N(500,16)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973，則下面結論正確的是()A．σ＝4B．P(496<X≤504)＝0.9545C．隨機抽取10000袋這種食品，袋裝質量在區間(492,504]的約8186袋D．隨機抽取10000袋這種食品，袋裝質量小于488g的不多于14袋10．“世界雜交水稻之父”袁隆平發明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創建了超級雜交稻技術體系．某水稻種植研究所調查某地雜交水稻的株高，得出株高(單位：cm)服從正態分布，其分布密度函數φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，則()A．該地雜交水稻的平均株高為100cmB．該地雜交水稻株高的方差為10C．該地雜交水稻株高在120cm以上的數量和株高在80cm以下的數量一樣多D．隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)的概率一樣大三、填空題11．某地有6000名學生參加考試，考試后數學成績X近似服從正態分布N(110，σ2)，若P(90≤X≤110)＝0.45，則估計該地學生數學成績在130分以上的人數為.12．長風工廠產品質量指標X服從正態分布N(100，σ2)．質量指標介于98至102之間的產品為良品．為使這種產品的良品率達到95.45%，則需要調整生產工藝，使得σ至多為.(若X～N(μ，σ2)，則P(|X－μ|<2σ)＝0.9545)13．已知隨機變量ξ服從正態分布N(4，σ2)，且P(ξ<6)＝5P(ξ<2)，則P(2<ξ<6)＝.14．某次數學考試中，學生成績X服從正態分布(105，σ2)．若P(90≤X≤120)＝eq\f(1,2)，則從參加這次考試的學生中任意選取3名學生，恰有2名學生的成績高于120的概率是.四、解答題15.為深入學習黨的二十大精神，激勵青年學生積極奮發向上．某學校團委組織學生參加了“青春心向黨，奮進新時代”為主題的知識競賽活動，并從中抽取了200份試卷進行調查，這200份試卷的成績(卷面共100分)頻率分布直方圖如圖所示．(1)用樣本估計總體，試估計此次知識競賽成績的50%分位數；(2)將此次競賽成績ξ近似看作服從正態分布N(μ，σ2)(用樣本平均數和標準差s分別作為μ，σ的近似值)，已知樣本的平均數約為80.5，標準差s≈7.5.現從該校參與知識競賽的所有學生中任取100人，記這100人中知識競賽成績超過88分的學生人數為隨機變量X，求X的數學期望；參考數據：若ξ～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.95，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.99.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．已知隨機變量X～B(2，p)，隨機變量Y～N(2，σ2)，若P(X≤1)＝0.36，P(Y<4)＝p，則P(0<Y<2)＝()A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.42．(多選題)若隨機變量X～N(μ，σ2)，X的密度函數為f(x)＝，則正確的是()A．X的密度曲線與y軸只有一個交點B．X的密度曲線關于x＝σ對稱C．2P(X>μ＋3σ)＝P(|X－μ|>3σ)D．若Y＝eq\f(X－μ,σ)，則E(Y)＝0，D(Y)＝13．暑假期間，某學校建議學生保持晨讀的習慣，開學后，該校對高二、高三隨機抽取200名學生(該學校學生總數較多)，調查日均晨讀時間，數據如表：日均晨讀時間/分鐘[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人數51025505060將學生日均晨讀時間在[30,60]上的學生評價為“晨讀合格”．(1)請根據上述表格中的統計數據填寫下面2×2列聯表，依據α＝0.05的獨立性檢驗，能否認為“晨讀合格”與年級有關聯？項目晨讀不合格晨讀合格合計高二高三15100合計(2)將上述調查所得到的頻率視為概率來估計全校的情況，現在從該校所有學生中，隨機抽取2名學生，記所抽取的2人中晨讀合格的人數為隨機變量ξ，求ξ的分布列和數學期望．參考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.參考數據：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.8284．書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間(單位：分鐘)進行統計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．(1)根據頻率分布直方圖，估計這100位年輕人每天閱讀時間的平均數eq\x\to(x)(單位：分鐘)；(同一組數據用該組數據區間的中點值表示)(2)若年輕人每天閱讀時間X近似地服從正態分布N(μ，100)，其中μ近似為樣本平均數eq\x\to(x)，求P(64<X≤94)；(3)為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組[50,60)，[60,70)，[80,90)的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調查，求抽到每天閱讀時間位于[80,90)的人數ξ的分布列和數學期望．附參考數據：若，則①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.5．在一個系統中，每一個設備能正常工作的概率稱為設備的可靠度，而系統能正常工作的概率稱為系統的可靠度，為了增加系統的可靠度，人們經常使用“備用冗余設備”(即正在使用的設備出故障時才啟動的設備)．已知某計算機網絡服務器系統采用的是“一用兩備”(即一臺正常設備，兩臺備用設備)的配置，這三臺設備中，只要有一臺能正常工作，計算機網絡就不會斷掉．設三臺設備的可靠度均為p(0<p<1)，它們之間相互不影響．(1)當p＝0.9時，求能正常工作的設備數X的分布列和數學期望；(2)已知深圳某高科技產業園當前的計算機網絡中每臺設備的可靠度是0.7，根據以往經驗可知，計算機網絡斷掉可能給該產業園帶來約50萬的經濟損失．為減少對該產業園帶來的經濟損失，有以下兩種方案：方案1：更換部分設備的硬件，使得每臺設備的可靠度維持在0.9，更新設備硬件總費用為8萬元；方案2：對系統的設備進行維護，使得設備可靠度維持在0.8，設備維護總費用為5萬元．請從期望損失最小的角度判斷決策部門該如何決策？ 參考答案 【A級基礎鞏固】一、單選題1．(A)[解析]由X～N(1，σ2)，知：隨機變量X的分布函數圖象關于X＝1對稱，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2.故選A.2．(C)[解析]由題意知μ＝0，∴P(ξ≤－2)＝P(ξ≥2)＝0.3.∴P(ξ≥－2)＝1－P(ξ≤－2)＝0.7.故選C.3．(C)[解析]由題意可知P(X≥6)＝1－P(X<2)－P(2<X<6)＝0.2，∴P(X≥6)＝P(X<2)，∴μ＝eq\f(6＋2,2)＝4.選C.4．(D)[解析]P(1<ξ<3)＝eq\f(1－2Pξ>5,2)＝eq\f(1－2[1－Pξ<5],2)＝0.2.故選D.5．(D)[解析]因為P(158<X≤160)＝0.2，所以P(X≤162)＝0.2＋0.5＝0.7，則隨機抽取該地區1000名成年女性，其中身高不超過162cm的人數服從Y～B(1000,0.7)，所以E(Y)＝np＝700，故選D.6．(D)[解析]Y的密度曲線更尖銳，即數據更集中，A正確；因為c與μ2之間的與密度曲線圍成的面積S1＞c，μ1與密度曲線圍成的面積S2，P(Y≤c)＝eq\f(1,2)＋S1，P(X≤c)＝eq\f(1,2)＋S2，∴P(X≤c)＜P(Y≤c)，B正確；∵μ2＜μ1，∴甲種茶青每500克超過μ2的概率P＝P(X＞μ2)＞eq\f(1,2)，C正確；由B知：P(X>c)＝eq\f(1,2)－S2，P(Y<c)＝eq\f(1,2)＋S1，∴P(X>c)＋P(Y<c)＝1＋S1－S2>1，D錯誤．故選D.7．(B)[解析]因為隨機變量X～B(6，p)，所以E(X)＝6p，因為Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝eq\f(1,2)，所以μ＝2，即E(Y)＝2，又E(X)＝E(Y)所以6p＝2，即p＝eq\f(1,3).故選B.二、多選題8．(BC)[解析]這次考試標準分超過180分的約有500人，A錯；∵P(90<X≤270)＝P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973，∴標準分在(90,270]內的人數約為0.9973×1000≈997，∴B正確；甲、乙、丙恰有2人超過180分的概率為Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，∴C正確；∵P(240<X≤270)＝eq\f(P90<X≤270－P120<X≤240,2)＝eq\f(Pμ－3σ≤X≤μ＋3σ－Pμ－2σ≤X≤μ＋2σ,2)＝eq\f(0.9973－0.9545,2)＝0.0214，∴D錯誤．故選BC.9．(ACD)[解析]對于A，X～N(500,16)，則σ2＝16，解得σ＝4，故A正確；對于B，P(496<X≤504)＝0.6827，故B錯誤；對于C，P(492<X≤504)＝P(492<X≤500)＋P(500<X≤504)＝eq\f(0.9545,2)＋eq\f(0.6827,2)＝0.8186，故隨機抽取10000袋這種食品，袋裝質量在區間(492,504]的約10000×0.8186＝8186袋，故C正確；對于D，P(X<488)＝eq\f(1－P488<X≤512,2)＝0.00135，則隨機抽取10000袋這種食品，袋裝質量小于488g有0.00135×10000＝13.5，故D正確．故選ACD.10．(AC)[解析]因為正態分布密度函數為φ(x)＝，所以μ＝100，σ＝10，即均值為100，標準差為10，方差為100，故A正確，B錯誤；根據正態曲線的特征可知函數φ(x)關于x＝100軸對稱，所以該地雜交水稻株高在120cm以上的數量和株高在80cm以下的數量一樣多，故C正確，隨機測量該地的一株雜交水稻，其株高在(80,90)和在(110,120)的概率不一樣大．故D錯誤．故選AC.三、填空題11．[解析]由正態分布曲線的對稱軸為μ＝110，以及P(90≤X≤110)＝0.45，可得P(110≤X≤130)＝0.45，因此P(X>130)＝eq\f(1,2)－P(110≤X≤130)＝0.05，故130分以上的人數為6000×0.05＝300.12．[解析]由P(98<X<102)≥95.45%＝0.9545，又P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545，而μ＝100，所以P(98<X<102)＝P(100－2<X<100＋2)≥P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，故2σ≤2，即σ≤1，則σ至多為1.13．[解析]設P(ξ<2)＝x，所以P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝x，又P(ξ<6)＝5P(ξ<2)，∴P(2<ξ<6)＝4x，根據題意x＋4x＋x＝1，∴x＝eq\f(1,6)，∴P(2<ξ<6)＝4x＝eq\f(2,3).14．[解析]由題意知P(x≥120)＝eq\f(1－P90≤x≤120,2)＝eq\f(1,4).故所求概率為Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(9,64).四、解答題15.[解析](1)由頻率分布直方圖可知：0.01×10＋0.04×10＝0.5，故此次知識競賽成績的50%分位數為80分．(2)由題意可知ξ～N(80.5,7.52)，因為P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.68，即：P(73<ξ≤88)≈0.68，故P(ξ>88)＝eq\f(1－0.68,2)＝0.16，由題意知：抽取的100人中知識競賽成績超過88分的學生人數X服從二項分布，即X～B(100,0.16)，故X的數學期望E(X)＝100×0.16＝16.INCLUDEPICTURE"B組.TIF"INCLUDEPICTURE"E:\\大樣\\人教數學\\B組.TIF"INET【B級能力提升】1．(C)[解析]因為X～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.36，所以P(X≤1)＝(1－p)2＋2p(1－p)＝0.36，解得p＝0.8或p＝－0.8(舍)，由P(Y<4)＝p＝0.8，則P(Y≥4)＝1－0.8＝0.2，所以P(0<Y<2)＝eq\f(1,2)(1－0.2×2)＝0.3.故選C.2．(ACD)[解析]若X～N(μ，σ2)，則其密度函數f(x)＝，因此X的密度曲線與y軸只有一個交點，故A正確；X的密度曲線關于直線x＝μ對稱，故B錯誤；P(|X－μ|>3σ)＝P(X<μ－3σ)＋P(X>μ＋3σ)＝2P(X>μ＋3σ)，故C正確；E(Y)＝eq\f(EX－μ,σ)＝0，D(Y)＝eq\f(1,σ2)D(X)＝1，故D正確．3．[解析](1)列聯表如下：項目晨讀不合格晨讀合格合計高二2575100高三1585100合計40160200χ2＝eq\f(200×25×85－15×752,100×100×40×160)＝3.125<3.841＝x0.05，所以依據α＝0.05的獨立性檢驗，不能認為“晨讀合格”與年級有關聯．(2)由題設，學生晨讀合格的概率為eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，易知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5)))，所以P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(1,25)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,25)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))0＝eq\f(16,25)，ξ的分布列為ξ012Peq\f(1,25)eq\f(8,25)eq\f(16,25)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,25)＋1×eq\f(8,25)＋2×eq\f(16,25)＝eq\f(8,5).4．[解析](1)根據頻率分布直方圖得：eq\x\to(x)＝(55×0.01＋65×0.02＋75×0.045＋85×0.02＋95×0.005)×10＝74.(2)由題意知X～N(74,100)，即μ＝74，σ＝10，所以P(64<X≤94)＝P(μ－σ<X≤μ＋2σ)＝eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186.(3)由題意可知[50,60)，[60,70)和[80,90)的頻率之比為：1∶2∶2，故抽取的10人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分別為：2人，4人，4人，隨機變量ξ的取值可以為0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3