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文檔簡介
2024-2025學年云南大學附中高三(上)期中
數學試卷
一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求
的。
1.已知i為虛數單位,復數z滿足z(l+2i)=3-4。貝U|z|=()
A.3B.A/3C.5D8
2.已知p:|2x-3|<1,q:(x-l)(x-3)<0,則p是^的()條件.
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
3.已知向量2,辦滿足⑷=1,\a+2b\=2,S.(b+2a)1b,則日|=()
A.1B*egD.1
4.在一次射擊比賽中,甲、乙兩名選手的射擊環數如下表,則下列說法正確的是()
甲乙
87909691869086928795
A.甲選手射擊環數的極差小于乙選手射擊環數的極差
B.甲選手射擊環數的平均數等于乙選手射擊環數的平均數
C.甲選手射擊環數的方差小于乙選手射擊環數的方差
D.甲選手射擊環數的第75百分位數大于乙選手射擊環數的第75百分位數
5.已知函數/(久)的部分圖象如圖所示,則/(久)的解析式可能為()
ex_e-xex_p-xexIe-xX
=3^4WC.f(x)Dj(x)=g
第1頁,共11頁
6.PA,PB、PC是從P點出發的三條射線,每兩條射線的夾角均為60。,那么直c
7.在橢圓E:+普=1上任取一點P,過點P作x軸的垂線段P。,垂足為D,點M滿足麗=訶,當點P在
E上運動時,則點M的軌跡方程為()
A.x2+y2=25B,x2+y2=9C.費+萼=1D.+y=1
8.已知田,久2是函數f(x)=(%-2)?-2-1)-60-2+1)的兩個零點,則呼1+*2=()
A.1B.eC.e2D.e4
二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。
9.已知函數/(%)=cosx+cos2x,則下列說法正確的有()
A.函數fO)為偶函數B.函數/'(久)的最小值為-2
C.函數/(%)的最大值為2D.函數/(%)在(0,2兀)上有兩個極值點
10.己知F為拋物線C:y2=4x的焦點,C的準線為Z,直線x-y-l=0與C交于4B兩點(力在第一象限內),
與I交于點D,貝1()
A.\AB\=6
B.\BD\=V2|BF|
C.以4F為直徑的圓與y軸相切
D」上存在點E,使得△4EF為等邊三角形
11.已知函數f(久)=^x3-ax2-3ax+b,其中實數a,bER,且a>0,貝!|()
A.當a=1時,f(x)沒有極值點
B.當/。)有且僅有3個零點時,(-|,9)
C.當b=?a時,/(x+1)為奇函數
D.當me弓+8+8)時,過點4(0即)作曲線/(%)的切線有且只有1條
三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。
12.已知等差數列{的J的前幾項和為Sn,。1+。2+。3=1,。10++。12=7,則S12=?
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13.在△4BC中,角4B,C所對的邊分別為a,b,c,其中c=4,NC為銳角,△ABC的外接圓半徑為2
的,且滿足2sin(B+$=c-2避cosA,則角4等于.
14.哈三中2024—2025年度上學期高二年級十月月考中有這樣一道題目:已知力,B是兩個隨機事件,且
0<PQ4)<1,0<P(B)<1,給出5個命題如下:
①若尸(A)+P(B)=1,則事件4B對立;
②若事件4與8獨立,貝UP(4B)=PQ4)P(B)成立;
③若PQ48)=P(AB)=P(AB)=P(AB),則事件4B相互獨立,且PQ48)=);
由于印刷原因,其中命題④⑤漏印了.
若老師說某考生在5個命題中任選兩個命題,其中真命題的個數X的方差為言,則④⑤中真命題的個數為
四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
如圖所示,在四棱錐P-4BCD中,底面4BCD為正方形,E為側棱PC上靠近P的三等分點,P41底面
ABCD,且P2=4。=2.
(1)在側棱PD上是否存在點F,使得點4B,E,F四點共面?若存在,指出點尸的位置,并證明;若不存
在,請說明理由;
(2)求二面角PYB-E的余弦值.
16.(本小題15分)
已知函數/(x)=lnx—x,g(x)=ax2—2ax,a>0.
(1)設曲線y=f(x)在(1/(1))處的切線為若2與曲線y=g(x)相切,求a;
(2)設函數低嗎=/(x)+g(x),討論h(x)的單調性.
17.(本小題15分)
為了調研某地區學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況,在該地區隨機選取了10所學
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校進行研究,得到如下數據:
①從這10所學校中隨機選取1所,己知這所學校參與“自由式滑雪”人數超過40人,求該校參與“單板滑
雪”超過30人的概率;
(II)已知參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校評定為“基地學?!?現在從這10所學校中隨機選取2
所,設“基地學?!钡膫€數為X,求X的分布列和數學期望;
(III)現在有一個“單板滑雪”集訓營,對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技巧進行集訓.并專門對這3個動
作進行了多輪測試.規定:在一輪測試中,這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”,則該輪測試記為“優
秀”.在此集訓測試中,李華同學3個動作中每個動作達到“優秀”的概率均為看每個動作互不影響,每輪
測試也互不影響.如果李華同學在集訓測試中想獲得“優秀”的次數的均值達到5次,那么至少要進行多少
輪測試?(結論不要求證明)
18.(本小題17分)
通過兩角和的正、余弦公式和二倍角公式,可以推導出三倍角公式,例如:cos3a=cos
(2a+a)=cos?.acosa—sin2asina=(2cos2a—l)cosa—2.sin2acosa=4-cos3a—3cosa.
(1)根據上述過程,推導出s譏3a關于sizia的表達式;
(2)求s譏18。的值;
(3)求sin3126。+sin36。-sin366。的值.
19.(本小題17分)
己知雙曲線C:*,=l(a>0力>0)的左、右焦點分別為Fi,F2,且仍得=8,過尸2作其中一條漸近
線的垂線,垂足為M,延長F2M交另一條漸近線于點N,且|F2Ml=\MN\,
(1)求C的方程;
(2)如圖,過4(6,0)作直線/不與“軸重合)與曲線C的兩支交于P,Q兩點,直線%P,FiQ與C的另一個交點
分別為S,T,求證:直線ST經過定點.
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參考答案
l.D
2.2
3.C
4.B
5.4
6.C
7.4
8.D
9.AC
10.BC
ll.BCD
12.16
13《
14.0或1
15.解:(1)取PD上靠近P的三等分點凡連接EF,AF,
因為E為側棱PC上靠近P的三等分點,
所以需=舒4'所以政〃C。,
又底面4BCD為正方形,所以CD〃/1B,
所以E/7/48,所以A,B,E,F四點共面;
(2)因為底面4BCD為正方形,所以力B1AD,
因為PA1底面ABC。,AB,ADu底面ABC。,
所以PA1AB,PA1AD,
所以4B、AD,2P兩兩垂直,
故以力為原點,以AB、AD,4P所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示:
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3
PA=AD=2,
則4(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(|,翁,
費=(2,0,0),族=(|翁,
設平面45E的法向量為記=(x,y,z),
(m-AB=0口」/=94
人nl“方?族=o,即+|y+^z=。,
取y=-2,則%=0,z=1,則布=(0,—2,1),
易得平面的法向量為元=(0,1,0),
因為二面角P-AB-E是銳角,所以二面角P-4B-E的余弦值為庫具=告=攣.
16.解:(i)r(x)=~i,r(i)=o,且/(i)=—i,
所以曲線y=/(x)在(1/(1))處的切線為y=—1,
貝仁=ax2-2ax>^x2-2ax+1=0,
因為y=-1與g(%)=Q%2—2。%相切,
所以/=4a2—4a=0,得a=0(舍)或a=1;
(2)/i(x)=/(%)+gQ)=Inx—x+ax2—2ax=Inx+ax2—(2a+1)%的定義域為(0,+8),
則〃(無)=^+2ax-(2a+1)=2a工2-(2:+1)久+1=(2=一;)(久一1),
因為a>0,
令h(%)=0,得久=1或久=—,
當0<a時,擊>1,當尤G(0,1和點+8)時,h!(x)>0,函數<x)單調遞增,
當Xe(1嘮-1)時,八'(久)<0,函數h(久)單調遞減,
當。>拊,/<L
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所以當x6(0,為和(1,+8)時,h'(x)>0,函數九(x)單調遞增,當久6(J)時,h'(x)<0,函數九(無)單
乙CC乙CL
調遞減,
當a=3時,h'(x)>0,當久=1時取等號,函數h(x)在(0,+8)上單調遞增,
綜上所述,0<a<手寸,以久)的單調增區間為(0,1),(2,+8),單調減區間為(1,*);
a=,時,八(久)的單調增區間為(0,+8),沒有減區間;
a,時,以久)的單調增區間為(0卷),(1,+8),單調減區間為扇1).
17.解:①設參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校為事件4參與“單板滑雪”超過30人的學校為事
件B,則P(4)=2=|,P(B)=*|,P(AB)=.
3
所以P(B|4)=號符=?=|;
(n)由題知,“基地學校”有4個,貝吸的可能取值為o,1,2,
所以P(x=o)=警=蔡/
P(X=1)=警=評AP(X=2)=需眷看
所以X的分布列為
X012
182
P
31515
1Q24
所以E(X)=0x1+lx^+2x^=-;
(卬)因為李華同學一次測試達到優秀的概率p=髭x(|)2x(1-|)=諼,
則設李華同學測試獲得優秀的次數為丫,貝W?B(n,急,
因為E(y)=黑71>5,解得n>11||,
因為neN+,所以至少要進行12輪測試.
18.解:(l)sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina
=2sinacos2a+(1—2sin2a)sma
=2sincr(l—sin2cr)+(1—2sm2cr)sincr
=—4sin3a+3sina.
(2)因為36。+54°=90°,所以s譏36。=cos540,
第8頁,共11頁
即sin(2x18°)=cos(3x18°),可得2s譏18°cosl8°=4cos318°—3cosl8°,
因為cosl80H0,所以2s譏18。=4cos218。-3,nj^2sml8°=4(l-sin218°)-3,
整理得4s譏218。+2sml8°-l=0,
因為s譏18。>0,所以s譏18。二非—.
4
(3)由(1)得sin3a=-sina--sin3a,
所以sin3126。+sin36°—sin366°
3i313i
=7sml26°-4sin378°+^sin6o-^sinl8°-^sin660+:sinl98。
444444
=^3(sml26°+sm6°-sm66o)-^i(sin378°+sinl80-sml98°)
=1[sin(120°+6°)+sm6°-sin(60°+6°)]-i[sin(360°+18°)+sml8°-sin(180°+18°)]
=^(^-cos6°—^sin6°+sin6—^-cos6°~sin60>)-sinl8°
=-■18。=令
19.解:(1)易知雙曲線c的漸近線11:y=宗,漸近線。y=-%
易知△Fz。"三4N0M,
所以“2。用=LN0M,
由雙曲線對稱性可得4/2。用=N%0N,
第9頁,共11頁
所以4F20M=^N0M=(F]0N,
TT|-Xc|
止匕時4尸2。"=3,F2M=[Ry+]=4
在RtZ\F2?!爸?,sinNFzOM=?=3=多,
解得b=2平,
所以M=c2—b2=42—12=4,
22
則c的方程為a-3=1;
4IN
(2)證明:不妨設PQi,yi),。()2沙2),5(x3,y3),(。必),直線PQ的方程為y=k(x-6),
則直線PS:y=五%0+4),
'y=^T(x+4)
聯立Nyi_,消去y并整理得[3(
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