2024-2025學年云南大學附中高三(上)期中

數學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知i為虛數單位，復數z滿足z(l+2i)=3-4。貝U|z|=()

A.3B.A/3C.5D8

2.已知p：|2x-3|<1,q：(x-l)(x-3)<0,則p是^的()條件.

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.已知向量2,辦滿足⑷=1,\a+2b\=2,S.(b+2a)1b,則日|=()

A.1B*egD.1

4.在一次射擊比賽中，甲、乙兩名選手的射擊環數如下表，則下列說法正確的是()

甲乙

87909691869086928795

A.甲選手射擊環數的極差小于乙選手射擊環數的極差

B.甲選手射擊環數的平均數等于乙選手射擊環數的平均數

C.甲選手射擊環數的方差小于乙選手射擊環數的方差

D.甲選手射擊環數的第75百分位數大于乙選手射擊環數的第75百分位數

5.已知函數/(久)的部分圖象如圖所示，則/(久)的解析式可能為()

ex_e-xex_p-xexIe-xX

=3^4WC.f(x)Dj(x)=g

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6.PA,PB、PC是從P點出發的三條射線，每兩條射線的夾角均為60。，那么直c

7.在橢圓E：+普=1上任取一點P,過點P作x軸的垂線段P。，垂足為D,點M滿足麗=訶，當點P在

E上運動時，則點M的軌跡方程為()

A.x2+y2=25B,x2+y2=9C.費+萼=1D.+y=1

8.已知田,久2是函數f(x)=(%-2)?-2-1)-60-2+1)的兩個零點,則呼1+*2=()

A.1B.eC.e2D.e4

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知函數/(%)=cosx+cos2x,則下列說法正確的有()

A.函數fO)為偶函數B.函數/'(久)的最小值為-2

C.函數/(%)的最大值為2D.函數/(%)在(0,2兀)上有兩個極值點

10.己知F為拋物線C：y2=4x的焦點，C的準線為Z,直線x-y-l=0與C交于4B兩點(力在第一象限內)，

與I交于點D,貝1()

A.\AB\=6

B.\BD\=V2|BF|

C.以4F為直徑的圓與y軸相切

D」上存在點E,使得△4EF為等邊三角形

11.已知函數f(久)=^x3-ax2-3ax+b,其中實數a,bER,且a>0,貝!|()

A.當a=1時，f(x)沒有極值點

B.當/。)有且僅有3個零點時，(-|,9)

C.當b=?a時，/(x+1)為奇函數

D.當me弓+8+8)時，過點4(0即)作曲線/(%)的切線有且只有1條

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知等差數列｛的J的前幾項和為Sn,。1+。2+。3=1，。10++。12=7,則S12=?

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13.在△4BC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,其中c=4,NC為銳角，△ABC的外接圓半徑為2

的，且滿足2sin(B+$=c-2避cosA,則角4等于.

14.哈三中2024—2025年度上學期高二年級十月月考中有這樣一道題目：已知力，B是兩個隨機事件，且

0<PQ4)<1,0<P(B)<1,給出5個命題如下：

①若尸(A)+P(B)=1,則事件4B對立；

②若事件4與8獨立，貝UP(4B)=PQ4)P(B)成立；

③若PQ48)=P(AB)=P(AB)=P(AB),則事件4B相互獨立，且PQ48)=)；

由于印刷原因，其中命題④⑤漏印了.

若老師說某考生在5個命題中任選兩個命題，其中真命題的個數X的方差為言，則④⑤中真命題的個數為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

如圖所示，在四棱錐P-4BCD中，底面4BCD為正方形，E為側棱PC上靠近P的三等分點，P41底面

ABCD,且P2=4。=2.

(1)在側棱PD上是否存在點F,使得點4B,E,F四點共面？若存在，指出點尸的位置，并證明；若不存

在，請說明理由；

(2)求二面角PYB-E的余弦值.

16.(本小題15分)

已知函數/(x)=lnx—x,g(x)=ax2—2ax,a>0.

(1)設曲線y=f(x)在(1/(1))處的切線為若2與曲線y=g(x)相切，求a；

(2)設函數低嗎=/(x)+g(x),討論h(x)的單調性.

17.(本小題15分)

為了調研某地區學生在“自由式滑雪”和“單板滑雪”兩項活動的參與情況，在該地區隨機選取了10所學

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校進行研究，得到如下數據：

①從這10所學校中隨機選取1所，己知這所學校參與“自由式滑雪”人數超過40人，求該校參與“單板滑

雪”超過30人的概率；

(II)已知參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校評定為“基地學?！?現在從這10所學校中隨機選取2

所，設“基地學?！钡膫€數為X,求X的分布列和數學期望；

(III)現在有一個“單板滑雪”集訓營，對“滑行、轉彎、停止”這3個動作技巧進行集訓.并專門對這3個動

作進行了多輪測試.規定：在一輪測試中，這3個動作中至少有2個動作達到“優秀”，則該輪測試記為“優

秀”.在此集訓測試中，李華同學3個動作中每個動作達到“優秀”的概率均為看每個動作互不影響，每輪

測試也互不影響.如果李華同學在集訓測試中想獲得“優秀”的次數的均值達到5次，那么至少要進行多少

輪測試？(結論不要求證明)

18.(本小題17分)

通過兩角和的正、余弦公式和二倍角公式，可以推導出三倍角公式,例如：cos3a=cos

(2a+a)=cos?.acosa—sin2asina=(2cos2a—l)cosa—2.sin2acosa=4-cos3a—3cosa.

(1)根據上述過程，推導出s譏3a關于sizia的表達式；

(2)求s譏18。的值；

(3)求sin3126。+sin36。-sin366。的值.

19.(本小題17分)

己知雙曲線C：*，=l(a>0力>0)的左、右焦點分別為Fi，F2,且仍得=8,過尸2作其中一條漸近

線的垂線，垂足為M,延長F2M交另一條漸近線于點N,且|F2Ml=\MN\,

(1)求C的方程；

(2)如圖，過4(6,0)作直線/不與“軸重合)與曲線C的兩支交于P,Q兩點，直線％P,FiQ與C的另一個交點

分別為S,T,求證：直線ST經過定點.

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參考答案

l.D

2.2

3.C

4.B

5.4

6.C

7.4

8.D

9.AC

10.BC

ll.BCD

12.16

13《

14.0或1

15.解：(1)取PD上靠近P的三等分點凡連接EF,AF,

因為E為側棱PC上靠近P的三等分點，

所以需=舒4'所以政〃C。，

又底面4BCD為正方形，所以CD〃/1B,

所以E/7/48,所以A,B,E,F四點共面；

(2)因為底面4BCD為正方形，所以力B1AD,

因為PA1底面ABC。，AB,ADu底面ABC。，

所以PA1AB,PA1AD,

所以4B、AD,2P兩兩垂直，

故以力為原點，以AB、AD,4P所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示:

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3

PA=AD=2,

則4(0,0,0),B(2,0,0),P(0,0,2),E(|,翁,

費=(2,0,0),族=(|翁，

設平面45E的法向量為記=(x,y,z),

(m-AB=0口」/=94

人nl“方?族=o，即+|y+^z=。，

取y=-2,則％=0,z=1,則布=(0,—2,1),

易得平面的法向量為元=(0,1,0),

因為二面角P-AB-E是銳角,所以二面角P-4B-E的余弦值為庫具=告=攣.

16.解：(i)r(x)=~i,r(i)=o,且/(i)=—i,

所以曲線y=/(x)在(1/(1))處的切線為y=—1,

貝仁=ax2-2ax>^x2-2ax+1=0,

因為y=-1與g(%)=Q%2—2。%相切，

所以/=4a2—4a=0,得a=0(舍)或a=1；

(2)/i(x)=/(%)+gQ)=Inx—x+ax2—2ax=Inx+ax2—(2a+1)%的定義域為(0,+8),

則〃(無)=^+2ax-(2a+1)=2a工2-(2：+1)久+1=(2=一；)(久一1),

因為a>0,

令h(%)=0,得久=1或久=—,

當0<a時,擊>1,當尤G(0,1和點+8)時，h!(x)>0,函數<x)單調遞增,

當Xe(1嘮-1)時,八'(久)<0,函數h(久)單調遞減，

當。>拊，/<L

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所以當x6(0,為和(1,+8)時，h'(x)>0,函數九(x)單調遞增，當久6(J)時,h'(x)<0,函數九(無)單

乙CC乙CL

調遞減，

當a=3時，h'(x)>0,當久=1時取等號，函數h(x)在(0,+8)上單調遞增，

綜上所述，0<a<手寸，以久)的單調增區間為(0,1),(2,+8),單調減區間為(1,*)；

a=，時，八(久)的單調增區間為(0,+8),沒有減區間；

a,時，以久)的單調增區間為(0卷)，(1,+8),單調減區間為扇1).

17.解：①設參與“自由式滑雪”人數超過40人的學校為事件4參與“單板滑雪”超過30人的學校為事

件B,則P(4)=2=|，P(B)=*|,P(AB)=.

3

所以P(B|4)=號符=?=|；

(n)由題知，“基地學校”有4個，貝吸的可能取值為o,1,2,

所以P(x=o)=警=蔡/

P(X=1)=警=評AP(X=2)=需眷看

所以X的分布列為

X012

182

P

31515

1Q24

所以E(X)=0x1+lx^+2x^=-;

(卬)因為李華同學一次測試達到優秀的概率p=髭x(|)2x(1-|)=諼,

則設李華同學測試獲得優秀的次數為丫，貝W?B(n,急，

因為E(y)=黑71>5,解得n>11||,

因為neN+，所以至少要進行12輪測試.

18.解：(l)sin3a=sin(2a+a)=sin2acosa+cos2asina

=2sinacos2a+(1—2sin2a)sma

=2sincr(l—sin2cr)+(1—2sm2cr)sincr

=—4sin3a+3sina.

(2)因為36。+54°=90°,所以s譏36。=cos540,

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即sin(2x18°)=cos(3x18°),可得2s譏18°cosl8°=4cos318°—3cosl8°,

因為cosl80H0,所以2s譏18。=4cos218。-3,nj^2sml8°=4(l-sin218°)-3,

整理得4s譏218。+2sml8°-l=0,

因為s譏18。>0,所以s譏18。二非—.

4

(3)由(1)得sin3a=-sina--sin3a,

所以sin3126。+sin36°—sin366°

3i313i

=7sml26°-4sin378°+^sin6o-^sinl8°-^sin660+：sinl98。

444444

=^3(sml26°+sm6°-sm66o)-^i(sin378°+sinl80-sml98°)

=1[sin(120°+6°)+sm6°-sin(60°+6°)]-i[sin(360°+18°)+sml8°-sin(180°+18°)]

=^(^-cos6°—^sin6°+sin6—^-cos6°~sin60>)-sinl8°

=-■18。=令

19.解：（1）易知雙曲線c的漸近線11：y=宗，漸近線。y=-%

易知△Fz。"三4N0M,

所以“2。用=LN0M,

由雙曲線對稱性可得4/2。用=N%0N,

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所以4F20M=^N0M=（F]0N,

TT|-Xc|

止匕時4尸2。"=3，F2M=[Ry+]=4

在RtZ\F2?！爸?，sinNFzOM=?=3=多,

解得b=2平,

所以M=c2—b2=42—12=4,

22

則c的方程為a-3=1;

4IN

(2)證明:不妨設PQi,yi),。()2沙2)，5(x3,y3),(。必),直線PQ的方程為y=k(x-6),

則直線PS：y=五%0+4），

'y=^T（x+4）

聯立Nyi_,消去y并整理得［3（