學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精課堂探究1．眾數、中位數、平均數與頻率分布直方圖的關系剖析:(1)在樣本數據的頻率分布直方圖中，眾數的估計值就是最高矩形上端中點的橫坐標．(2)在頻率分布直方圖中,中位數左右兩側的直方圖的面積相等，但是因為樣本數據的頻率分布直方圖只是直觀地表明分布的特征，因而從直方圖本身得不出原始的數據內容，所以由頻率分布直方圖得到的中位數估計值往往與樣本的實際中位數的值不一致．（3)平均數顯然是頻率分布直方圖的“重心”．在頻率分布直方圖中,平均數的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和．2．理解方差與標準差剖析:(1）標準差、方差描述了一組數據圍繞平均數波動的大小．標準差、方差越大，數據的離散程度越大；標準差、方差越小,數據的離散程度越小．(2)標準差、方差的取值范圍是［0，＋∞）．標準差、方差為0時，樣本各數據全相等，表明數據沒有波動幅度，數據沒有離散性．(3)因為方差與原始數據的單位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以雖然方差與標準差在刻畫樣本數據的分散程度上是一樣的,但在解決實際問題時,一般多采用標準差．題型一計算方差(標準差）【例題1】從某項綜合能力測試中抽取100人的成績,統計如下表，則這100人成績的標準差為________．分數54321人數2010303010解析:這100人的總成績為5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10＝300，平均成績為eq\f（300,100）＝3，則該100人成績的標準差為eq\r（\f（1,100)［(5－3)2×20＋（4－3）2×10＋(3－3）2×30＋(2－3)2×30＋（1－3)2×10])＝eq\f(2\r（10），5)。答案:eq\f(2\r（10），5)反思求一組數據的方差和標準差的步驟如下：①先求平均數eq\x\to(x）。②代入公式得方差和標準差s2＝eq\f(1，n)［(x1－eq\x\to（x)）2＋（x2－eq\x\to（x)）2＋…＋(xn－eq\x\to（x））2］，s＝eq\r（\f(1,n)[（x1－\x\to（x）)2＋（x2－\x\to(x))2＋…＋（xn－\x\to(x)）2］)。題型二眾數、中位數、平均數的應用【例題2】某工廠人員及月工資構成如下：人員經理管理人員高級技工工人學徒合計月工資（元)22000250022002000100029700人數16510123合計22000150001100020000100069000(1）指出這個問題中的眾數、中位數、平均數．(2）這個問題中，平均數能客觀地反映該工廠的月工資水平嗎?為什么?解:（1)由表格可知，眾數為2000元．把23個數據按從小到大(或從大到小）的順序排列,排在中間的數應是第12個數，其值為2200，故中位數為2200元．平均數為（22000＋15000＋11000＋20000＋1000)÷23＝69000÷23＝3000(元）．(2）雖然平均數為3000元/月，但由表格中所列出的數據可見，只有經理在平均數以上,其余的人都在平均數以下，故用平均數不能客觀真實地反映該工廠的工資水平．反思(1)如果樣本平均數大于樣本中位數，說明數據中存在較大的極端值．在實際應用中,如果同時知道樣本中位數和樣本平均數，可以使我們了解樣本數據中的極端數據信息，幫助我們作出決策．(2）眾數、中位數、平均數三者比較,平均數更能體現每個數據的特征,它是各個數據的重心.題型三方差的應用【例題3】甲、乙兩臺包裝機同時包裝質量為200克的糖果,從中各抽出10袋,測得其實際質量分別如下（單位：克)：甲:203204202196199201205197202199乙：201200208206210209200193194194(1）分別計算兩個樣本的平均數與方差．(2）從計算結果看，哪臺包裝機包裝的10袋糖果的平均質量更接近于200克？哪臺包裝機包裝的10袋糖果的質量比較穩定？解:(1)eq\x\to（x甲）＝eq\f（1，10)（3＋4＋2－4－1＋1＋5－3＋2－1)＋200＝200.8。eq\x\to(x乙)＝eq\f（1,10)(1＋0＋8＋6＋10＋9＋0－7－6－6）＋200＝201.5。seq\o\al（2,甲）＝7。96，seq\o\al（2，乙）＝38。05。(2)∵200＜eq\x\to(x甲)＜eq\x\to(x乙)，∴甲臺包裝機包裝的10袋糖果的平均質量更接近于200克．∵seq\o\al(2,甲）＜seq\o\al（2，乙），∴甲臺包裝機包裝的10袋糖果的質量比較穩定．反思研究兩個樣本的波動情況或比較它們的穩定性、可靠性等性能好壞的這類題，先求平均數，比較一下哪一個更接近標準．若平均數相等，則再比較兩個樣本方差的大小來作出判斷．在計算過程中，要仔細觀察所給樣本數據的特征，選擇恰當的公式來計算平均數和方差,這樣可避免計算的煩瑣，降低錯誤率。題型四易錯辨析【例題4】小明是班里的優秀學生,他的歷次數學成績是96,98,95,93分,但最近的一次考試成績只有45分,原因是他帶病參加了考試．期末評價時，怎樣給小明評價？錯解：這五次數學考試的平均分是eq\f（96＋98＋95＋93＋45，5）＝85.4,則按平均分給小明一個“良好”．錯因分析：這種評價是不合理的，盡管平均分是反映一組數據平均水平的重要特征，但任何一個數據的改變都會引起它的變化，而中位數則不受某些極端值的影響