考點41直線與方程知識梳理一．直線的傾斜角(1)定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.(2)規定：當直線l與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角為0.(3)范圍：直線l傾斜角的取值范圍是[0，π)．二．斜率公式(1)定義式：直線l的傾斜角為αeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)))，則斜率k＝tanα.(2)坐標式：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l上，且x1≠x2，則l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).三．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍點斜式y－y0＝k(x－x0)不含垂直于x軸的直線斜截式y＝kx＋b不含垂直于x軸的直線兩點式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直線x＝x1(x1≠x2)和直線y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐標軸和過原點的直線一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面內所有直線都適用四．兩直線的位置關系(1)兩條直線平行①對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l1∥l2?k1＝k2.②當直線l1，l2不重合且斜率都不存在時，l1∥l2.(2)兩條直線垂直①如果兩條直線l1，l2的斜率存在，設為k1，k2，則有l1⊥l2?k1·k2＝－1.②當其中一條直線的斜率不存在，而另一條直線的斜率為0時，l1⊥l2.(3)兩直線相交(1)交點：直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共點的坐標與方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一一對應．(2)相交?方程組有唯一解，交點坐標就是方程組的解．(3)平行?方程組無解．(4)重合?方程組有無數個解．五．三種距離公式(1)兩點間的距離公式平面上任意兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式為|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)點到直線的距離公式點P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).(3)兩平行直線間的距離公式兩條平行直線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).六．與對稱問題相關的四個結論：(1)點(x，y)關于點(a，b)的對稱點為(2a－x,2b－y)．(2)點(x，y)關于直線x＝a的對稱點為(2a－x，y)，關于直線y＝b的對稱點為(x,2b－y)．(3)點(x，y)關于直線y＝x的對稱點為(y，x)，關于直線y＝－x的對稱點為(－y，－x)．(4)點(x，y)關于直線x＋y＝k的對稱點為(k－y，k－x)，關于直線x－y＝k的對稱點為(k＋y，x－k)．精講精練題型一斜率與傾斜角【例1】(1)(2024·全國高三(理))直線的傾斜角是(2)(舊教材必修2P86練習T3改編)若過點M(－2，m)，N(m,4)的直線的斜率等于1，則m的值為________．(3)(2024·全國高三月考(理))已知直線的傾斜角為，則【答案】(1)(2)1(3)【解析】(1)因為直線的斜率為所以其傾斜角為故選：D(2)由題意得eq\f(m－4,－2－m)＝1，解得m＝1.(3)因為直線的傾斜角為，所以.又，分子分母同時除以，得，將代入可得【舉一反三】1.(2024·浙江衢州市·高三學業考試)直線的傾斜角為()A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，故選：D.2．(2024·安徽高三月考(理))直線傾斜角為，則的值為()A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可得，所以，.故選：D.3．(2024·北京高三期末)已知、、三點共線，則的值為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由于、、三點共線，則，即，解得.故選：C.4．(2024·安徽六安市·六安一中高三月考(理))直線的傾斜角是()A． B． C． D．【答案】B【解析】直線的斜率為，所以傾斜角為.故選：B.5．(2024·江蘇蘇州市·高三月考)在平面直角坐標系中，直線與直線垂直，則直線的傾斜角為()A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，所以，因為直線與直線垂直，所以，即，又，所以.故選：D.題型二直線的方程【例2】(1)(2024·全國課時練習)過兩點(－2,1)和(1,4)的直線方程為()A．y＝x＋3 B．y＝－x＋1C．y＝x＋2 D．y＝－x－2(2)．(2024·全國課時練習)在x軸，y軸上的截距分別是－3，4的直線方程是()A． B．C． D．(3)．(2024·云南省)已知直線過點(1，2)，且在軸上的截距是在軸上的截距的2倍，則直線的方程為()A．B．C．或D．或【答案】(1)A(2)A(3)C【解析】(1)由兩點式得：直線方程，整理得y＝x＋3.故選：A.(2)A：時，，即；時，，即，故正確；B：時，，即；時，，即，故錯誤；C：時，，即；時，，即，故錯誤；D：時，，即；時，，即，故錯誤；故選：A.(3)當直線在兩坐標軸上的截距都為0時，設直線的方程為，把點代入方程，得，即，所以直線的方程為；當直線在兩坐標軸上的截距都不為0時，設直線的方程為，把點代入方程，得，即，所以直線的方程為．故選：C．【方法總結】【方法總結】1．求解直線方程的2種方法直接法根據已知條件，選擇適當的直線方程形式，直接寫出直線方程待定系數法①設所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數的方程(組)；③解這個方程(組)求出參數；④把參數的值代入所設直線方程2．謹防3種失誤(1)應用“點斜式”和“斜截式”方程時，要注意討論斜率是否存在．(2)應用“截距式”方程時要注意討論直線是否過原點，截距是否為0.(3)應用一般式Ax＋By＋C＝0確定直線的斜率時注意討論B是否為0.【舉一反三】1．(2024·西安市)過點(5，2)，且在軸上的截距是在軸上截距2倍的直線方程是()A． B．或C． D．或【答案】B【解析】若截距為零，則直線過原點，故此時直線方程為即，若截距不為零，設直線方程為：，代入點可得：，故，故直線方程為，故選：B.2．(2024·全國高二課時練習)過點P(1,2)且在兩坐標軸上截距的和為0的直線方程為_________.【答案】2x－y＝0或x－y＋1＝0【解析】當直線過原點時，得直線方程為2x－y＝0；當在坐標軸上的截距不為零時，設軸截距為，則軸截距為，可設直線方程為，將P(1,2)代入方程，可得，得直線方程為x－y＋1＝0.∴綜上，直線方程為2x－y＝0或x－y＋1＝0.故答案為：2x－y＝0或x－y＋1＝0.3．(2024·遼寧營口市)已知直線過點，經過第一象限且在兩個坐標軸上的截距相等，則直線的方程為___________.【答案】【解析】因為直線過點，經過第一象限且在兩個坐標軸上的截距相等，所以該直線不過原點，設直線的方程為，所以，解得，所以直線的方程為即.故答案為：.題型三直線的位置關系【例3】(1)(2024·北京海淀區·高三期末)已知直線，點和點，若，則實數的值為()A．1 B． C．2 D．(2)已知直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，若l1⊥l2，則a＝()A．2或eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)或－1C.eq\f(1,3) D．－1【答案】(1)B(2)B【解析】(1)，由于，則直線的斜率為即，故選：B(2)因為直線l1：2ax＋(a＋1)y＋1＝0，l2：(a＋1)x＋(a－1)y＝0，l1⊥l2，所以2a(a＋1)＋(a＋1)(a－1)＝0解得a＝eq\f(1,3)或a＝－1.故選B.【方法總結】【方法總結】1．與兩直線的位置關系有關的常見題目類型(1)判斷兩直線的位置關系．(2)由兩直線的位置關系求參數．(3)根據兩直線的位置關系求直線方程．2．由一般式確定兩直線位置關系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq\o\al(2,1)＋Beq\o\al(2,1)≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq\o\al(2,2)＋Beq\o\al(2,2)≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)≠eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件eq\f(A1,A2)≠eq\f(B1,B2)(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)【舉一反三】1．(2024·黑龍江哈爾濱市)直線與直線平行，則m等于()A．2 B． C．6 D．【答案】C【解析】由題意，直線與直線平行，可得，解得.故選：C.2．(2024·云南省)直線與直線互相垂直，則的值是()A． B． C． D．【答案】B【解析】因為，所以，解得．故選：B3．(2024·重慶)已知直線l經過點，且與直線垂直，則直線l在y軸上的截距為()A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】易知的斜率為2，故直線l的斜率為，根據點斜式可得直線l的方程為，整理可得，故直線l在y軸上的截距為，故選：B.4(2024·浙江)已知直線，直線，若，則實數______．【答案】【解析】∵，有，∴，解得或，當時，，，即、為同一條直線；當時，，，即；∴，故答案為：題型四距離【例4】(1)(2024·南昌模擬)已知點A(－3，－4)，B(6,3)到直線l：ax＋y＋1＝0的距離相等，則實數a的值為________．(2)(2024·安徽池州市)若直線與交于點A，且，則___________．(3)(2024·江蘇)兩條平行直線與之間的距離為【答案】(1)－eq\f(1,3)或－eq\f(7,9)(2)(3)2(2)聯立解得，故，則．故答案為：(3)因為與平行所以由兩條平行線間的距離公式可得：【方法總結】【方法總結】1．點到直線的距離的求法可直接利用點到直線的距離公式來求，但要注意此時直線方程必須為一般式．2．兩平行線間的距離的求法(1)利用“轉化法”將兩條平行線間的距離轉化為一條直線上任意一點到另一條直線的距離．(2)利用兩平行線間的距離公式．【舉一反三】1．(2024·浙江湖州市)點到直線的距離是()A． B． C．1 D．【答案】A【解析】點到直線的距離為，故選：A2．(2024·北京房山區)已知點，則線段的中點坐標為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由點，則線段的中點坐標為，即.故選：B3．(2024·黑龍江哈爾濱市)直線與直線之間的距離是___________.【答案】【解析】直線可化為：，由平行直線間距離公式可得所求距離.故答案為：.4．(2024·廣西桂林市)已知點，直線．(1)求A點到直線l距離；(2)求過點A且與直線l平行的直線的方程．【答案】(1)；(2).【解析】(1)設點A到直線l的距離為d，則(2)方法一：∵直線l的斜率，設過點A且與直線l平行的直線方程為，把點A的坐標代入可得，∴過點A且與直線l平行的直線方程為.方法二：設過點A且與直線l平行的直線方程為,把點A的坐標代入可得：，解得,∴過點A且與直線平行的直線方程為.題型五對稱【例5】(1)(2024·全國高三專題練習)點關于點的對稱點為()A． B．C． D．(2)若直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關于點(2,1)對稱，則直線l2過定點()A．(0,4) B．(0,2)C．(－2,4) D．(4，－2)(3)(2024·黑龍江哈爾濱市)直線關于對稱的直線方程為()A． B．C． D．【答案】(1)D(2)B(3)A【解析】(1)設，則，，∴，，∴點，故選：D.(2)由題知直線l1過定點(4,0)，則由條件可知，直線l2所過定點關于(2,1)對稱的點為(4,0)，故可知直線l2所過定點為(0,2)，故選B.(3)設直線上一點關于直線對稱點的坐標為，則，整理可得：，，即直線關于對稱的直線方程為：.故選：A.【方法總結】【方法總結】1.點關于點對稱的求解方法若點M(x1，y1)和點N(x，y)關于點P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，,y＝2b－y1，))進而求解．2.點關于直線對稱的解題方法若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：Ax＋By＋C＝0對稱，則由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，,\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到點P1關于直線l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)．3.線關于點對稱的求解方法(1)在已知直線上取兩點，利用中點坐標公式求出它們關于已知點對稱的兩點坐標，再由兩點式求出直線方程；(2)求出一個對稱點，再利用兩對稱直線平行，由點斜式得到所求直線方程．4.線關于點對稱的實質“線關于點的對稱”其實質就是“點關于點的對稱”，只要在直線上取兩個點，求出其對稱點的坐標即可，可統稱為“中心對稱”．【舉一反三】1.過點P(0,1)作直線l使它被直線l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的線段被點P平分，則直線l的方程為____________________．【答案】x＋4y－4＝0【解析】設直線l1與直線l的交點為A(a,8－2a)，則由題意知，點A關于點P的對稱點B(－a,2a－6)在l2上，把B點坐標代入直線l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即點A(4,0)在直線l上，所以由兩點式得直線l的方程為x＋4y－4＝0.2.已知直線l：2x－