方法技巧專題5立體幾何中平行與垂直證明解析版一、立體幾何中平行與垂直知識框架二、立體幾何中的向量方法【一】“平行關系”常見證明方法1.1直線與直線平行的證明1.1.1利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對邊互相平行等1.1.2利用三角形中位線性質1.1.3利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。1.1.4利用直線與平面平行的性質定理：bαbαβ1.1.5利用平面與平面平行的性質定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行．1.1.6利用直線與平面垂直的性質定理：垂直于同一個平面的兩條直線互相平行。1.1.7利用平面內直線與直線垂直的性質：在同一個平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。1.1.8利用定義：在同一個平面內且兩條直線沒有公共點1.2直線與平面平行的證明1.2.1利用直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行。1.2.2利用平面與平面平行的性質推論：兩個平面互相平行，則其中一個平面內的任一直線平行于另一個平面。ββαa1.2.3利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒有公共點1.3平面與平面平行的證明1.3.1利用平面與平面平行的判定定理：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。PP1.3.2利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等1.3.3利用定義：兩個平面沒有公共點1.例題【例1】如圖，已知菱形，其邊長為2，，繞著順時針旋轉得到，是的中點．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．證明（1）連結AC交BD于點O，連結OM在菱形中，O為AC中點，M為的中點OM為APC的中位線，OM∥AP---------------（利用1.1.2中位線性質）又OM面，且PA面平面----------------（利用1.2.1直線與平面平行的判定定理）【例2】已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是、邊長為的菱形，又，且PD=CD，點M、N分別是棱AD、PC的中點．證明：DN//平面PMB。證明：取PB中點為E，連結ME、NE點M、N分別是棱AD、PC的中點NEBC,又MDBCNEMD，即四邊形ABCD為平行四邊形．ME//DN----------（利用1.1.1平行四邊形性質）又ME面PMB，且DN面PMB，DN//平面PMB----------（利用1.2.1直線與平面平行的判定定理）【例3】如圖，已知點是平行四邊形所在平面外的一點，，分別是，上的點且，求證：平面．證明：過E作EM//AD交PD于點M,連結MF===PB//MF，又AD//BC，EM//BCBC面PBC，且EM面PBC，EM//面PBC，同理MF//面PBC，----------（利用1.2.1直線與平面平行的判定定理）FM面EFM，EM面EFM，EMMF于點M,面EMF//面PBC,------------（利用1.3.1平面與平面平行的判定定理)EF//面PBC------------(利用1.2.2平面與平面平行的性質)2.鞏固提升綜合練習【練習1】如圖，在六面體中，平面∥平面，⊥平面，,,∥,且,．求證：∥平面；AABCDEGF證明：取DG的中點為M連結FM、AM，∴DM=MG=EF=1又∵∥∴四邊形EFMD為平行四邊形，∴EFDE∵⊥平面,且平面∥平面∴AD⊥DE,AD⊥AB,又∵AB、DE面ABED,AB=DE=2∴ABDE∴ABFM,即四邊形ABFM為平行四邊形，∴BF∥AM，又∵BF面，AM面∴∥平面【練習2】如圖，，，，分別是正方體的棱，，，的中點．求證：（1）平面；（2）平面平面．【解析】證明（1）如圖，取的中點，連接，，因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，故，因為平面，平面，所以平面．（2）由題意可知．連接，，因為，所以四邊形是平行四邊形，故又，，所以平面平面．【練習3】在如圖所示的五面體中，四邊形為菱形，且，平面，，為中點.求證：平面.【解析】證明：取中點，連接，因為分別為中點，所以，又平面，且平面，所以平面，因為平面，平面，平面平面，所以．又，，所以，.所以四邊形為平行四邊形.所以.又平面且平面，所以平面，又，所以平面平面.又平面，所以平面.【二】“垂直關系”常見證明方法2.1直線與直線垂直的證明2.1.1利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直,等邊、等腰三角形（中線即高線），正方形、矩形鄰邊垂直，正方形菱形對角線垂直等。2.1.2看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。2.1.3利用直線與平面垂直的性質：如果一條直線與一個平面垂直，則這條直線垂直于此平面內的所有直線。ααb2.1.4利用平面與平面垂直的性質推論：如果兩個平面互相垂直，在這兩個平面內分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。bbβα2.1.5利用常用結論：c如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于第三條直線。cbbb如果有一條直線垂直于一個平面，另一條直線平行于此平面，那么這兩條直線互相垂直。bαα2.2直線與平面垂直的證明2.2.1利用某些空間幾何體的特性：如長方體側棱垂直于底面等2.2.2看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂直于此平面。2.2.3利用直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線垂直于此平面。SHAPE2.2.4利用平面與平面垂直的性質定理：兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直。SHAPE2.2.5利用常用結論：一條直線平行于一個平面的一條垂線，則該直線也垂直于此平面。兩個平面平行，一直線垂直于其中一個平面，則該直線也垂直于另一個平面。2.3平面與平面垂直的證明2.3.1利用某些空間幾何體的特性：如長方體側面垂直于底面等2.3.2看二面角：兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就說這連個平面互相垂直。2.3.3利用平面與平面垂直的判定定理一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。1.例題【例1】APBCFED如圖,四邊形ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P為ABAPBCFED證明：ABCD為矩形，AB=2BC,P為AB的中點，PBC為等腰直角三角形，∠BPC=45°.同理可證∠APD=45°.∠DPC=90°，即PC⊥PD.-----------（利用2.1.1）又DE⊥面ABCD，PC面ABCD，PC⊥DE.-----------（利用2.1.3）DE∩PD=D，PC⊥面PDE.-----------（利用2.2.3）又PC面PCF，面PCF⊥面PDE。-----------（利用2.3.3）【例2】如圖，在四棱錐中，ABCD是矩形，，，點是的中點，點在上移動。求證：。【證明】，-----------（利用2.1.3），-----------（利用2.1.1），-----------（利用2.2.3），點是的中點-----------（利用2.1.1）又-----------（利用2.1.3）【例3】如圖，在四邊形中，，，點為線段上的一點.現將沿線段翻折到，使得平面平面，連接，.證明：平面.【證明】(Ⅰ)連結，交于點,在四邊形中，∵，∴，∴,∴又∵平面平面，且平面平面=∴平面-----------（利用2.2.4）2.鞏固提升綜合練習【練習1】如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P為BC邊的中點，SB與平面ABCD所成的角為，且AD=2，SA=1。求證：PD平面SAP；【證明】∵SA⊥面ABCD，∴SBA為SB與面ABCD的夾角，∴SBA=，且SA⊥AB，∴AB=1在矩形ABCD中，P為BC邊的中點，∴AB=BP=1,∴AP=,同理DP=又∵AD=2，∴APD=,即AP⊥PD∵SA⊥面ABCD,∴SA⊥PD,且SA、AP面SAP，SAAP于點A,∴PD平面SAP【練習2】如圖，在三棱柱中，側棱底面，為棱的中點．，，．（1）求證：平面；（2）求證：平面；【解析】（1）證明：連接與，兩線交于點，連接．在中，∵，分別為，的中點，∴，又∵平面，平面，∴平面．（2）證明：∵側棱底面，平面，∴，又∵為棱的中點，，∴．∵，，平面，∴平面，∴∵，∴．又∵，∴在和中，，∴，即，∴∵，，平面，∴平面．【練習3】如圖，四棱錐中，，，，為正三角形．且．證明：平面平面．【解析】（1）證明：∵，且，∴，又為正三角形，∴，又∵，，∴，又∵，，∴，，∴平面，又∵平面，∴平面平面．三、課后自我檢測1．如圖，四邊形為正方形，平面，，，，．（1）求證：；（2）若點在線段上，且滿足，求證：平面；（3）求證：平面．【解析】（1）∵，∴與確定平面，∵平面，∴．由已知得且，∴平面．又平面，∴．（2）過作，垂足為，連接，則．又，∴．又且，∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴．又平面，平面，∴平面．（3）由（1）可知，．在四邊形中，，，，，∴，則．設，∵，故，則，即．又∵，∴平面．2．直三棱柱中，，，，點是線段上的動點.（1）當點是的中點時，求證：平面；（2）線段上是否存在點，使得平面平面？若存在，試求出的長度；若不存在，請說明理由.【解析】（1）如圖，連接，交于點，連接，則點是的中點，又點是的中點，由中位線定理得，因為平面，平面，所以平面.（2）當時平面平面.證明：因為平面，平面，所以．又，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故點滿足.因為，，，所以，故是以角為直角的三角形，又，所以.3.如圖，為等邊三角形，平面，，，為的中點.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面.【解析】（1）證明：取的中點，連結∵在中，，∵，∴，∴四邊形