專題03講：不等式【考點專題】1．兩個實數比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b,a－b＝0?a＝b,a－b<0?a<b))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?a>b,\f(a,b)＝1?a＝b,\f(a,b)<1?a<b))(a∈R，b>0)2．不等式的基本性質性質性質內容特別提醒對稱性a>b?b<a?傳遞性a>b，b>c?a>c?可加性a>b?a＋c>b＋c?可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?ac>bc注意c的符號eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?ac<bc同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))?a＋c>b＋d?同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))?ac>bd?可乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥1)a，b同為正數可開方性a>b>0?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)a，b同為正數3．一元二次不等式的解集判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實根x1，x2(x1<x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a))))){x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??4．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數a，b的算術平均數，eq\r(ab)叫做正數a，b的幾何平均數．5．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.6．用基本不等式求最值用基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)求最值應注意：一正二定三相等.(1)a，b是正數；(2)①如果ab等于定值P，那么當a＝b時，和a＋b有最小值2eq\r(P)；②如果a＋b等于定值S，那么當a＝b時，積ab有最大值eq\f(1,4)S2.(3)討論等號成立的條件是否滿足．【方法技巧】一、比較大小的常用方法(1)作差法：①作差；②變形；③定號；④得出結論．(2)作商法：①作商；②變形；③判斷商與1的大小關系；④得出結論．(3)構造函數，利用函數的單調性比較大小．二、判斷不等式的常用方法(1)直接利用不等式的性質逐個驗證，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特別注意前提條件．(2)利用特殊值法排除錯誤答案．(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數函數、對數函數、冪函數等函數的單調性來比較．三、利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；三是消元法．【核心題型】題型一：比較兩個數（式）的大小1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關系為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知：SKIPIF1<0，則3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小關系是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<03．設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．無法確定題型二：不等式的基本性質4．對于實數a，b，c，下列命題中正確的是（

）A．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<05．（多選）已知a，b，c，d均為實數，則下列命題正確的是（

）A．若a>b，c>d，則a-d>b-c B．若a>b，c>d則ac>bdC．若ab>0，bc-ad>0，則SKIPIF1<0 D．若a>b，c>d>0，則SKIPIF1<06．（多選）已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0題型三：不等式性質的綜合應用7．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．已知SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0的取值范圍為__________.題型四：利用基本不等式求最值命題點1配湊法10．設實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，函數SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．611．已知x>0，y>0,2x＋3y＝6，則xy的最大值為________．12．已知a>b>c，求(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))的最小值．命題點2常數代換法13．已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．7 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<014．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．9 B．10 C．11 D．SKIPIF1<015．若實數SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．216．已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_________．命題點3消元法17．負實數SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．若實數x，y滿足xy＋3x＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<x<\f(1,2)))，則eq\f(3,x)＋eq\f(1,y－3)的最小值為________．19．已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2題型五：基本不等式的綜合應用20．已知正實數a、b滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的最小值為4，則實數m的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<021．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，且點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<022．設等差數列{an}的公差為d，其前n項和是Sn，若a1＝d＝1，則eq\f(Sn＋8,an)的最小值是________．【高考必刷】一、單選題1．（2021·山西太原·高一階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的大小關系為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<02．（2022·湖北·葛洲壩中學高一階段練習）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的大小關系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．不能確定3．（2022·江蘇宿遷·高一期中）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·江西·貴溪市實驗中學高三階段練習（文））若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級中學高三階段練習）已知SKIPIF1<0為正實數且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．36．（2022·全國·高三專題練習）已知兩個正實數SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．8 D．37．（2022·全國·高一單元測試）已知正數SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2022·浙江·高一期中）已知實數SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（

）A．6 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<09．（2021·安徽合肥·高一期末）已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一中學校高一階段練習）下列說法正確的是（

）A．若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0至少有一個大于2B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<011．（2022·甘肅省會寧縣第一中學高一期中）若函數SKIPIF1<0在SKIPIF1<0處取最小值，則SKIPIF1<0等于（

）A．3 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．412．（2015·湖南·高考真題（文））若實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．413．（2022·山東·青島二中高一期中）十六世紀中葉，英國數學家雷科德在《礪智石》一書中首先把“=”作為等號使用，后來英國資學家哈利奧特首次使用“>”和“<”符號，并逐步被數學界接受志不等號的引入對不等式的發展景響深遠．已知a，b為非零實數，且SKIPIF1<0；則下列結論正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．（2022·福建·福州第十五中學高三階段練習）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<015．（2021·山西·太原市第五十六中學校高一階段練習）若正數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0取得最小值時，SKIPIF1<0的值為（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．516．（2022·全國·高三專題練習）當SKIPIF1<0時，不等式SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<017．（2022·天津·靜海一中高一期中）已知正數SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<018．（2022·福建·莆田一中高一階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若不等式SKIPIF1<0恒成立，則實數SKIPIF1<0的最大值為（

）A．10 B．9 C．8 D．7二、多選題19．（2022·全國·高一單元測試）下列命題為真命題的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0 D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<020．（2022·河南省浚縣第一中學高一階段練習）若正實數a，b滿足SKIPIF1<0則下列說法正確的是（

）A．ab有最大值SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0有最小值2 D．SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0三、填空題21．（2022·山東·乳山市銀灘高級中學高一階段練習）若實數SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍為________．22．（2018·天津·高考真題（理））已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為_____________.23．（2023·廣東·惠來縣第一中學高一期中）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為________．24．（2022·天津市第四中學高三期中）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.25．（2019·天津·高考真題（文））設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為__________.26．（2017·天津·高考真題（文））若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為___________.27．（2017·江蘇·高考真題）某公司一年購買某種貨物SKIPIF1<0噸，每次購買SKIPIF1<0噸，運費為SKIPIF1<0萬元/次，一年的總存儲費用為SKIPIF1<0萬元．要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則SKIPIF1<0的值是__________．28．（2022·全國·高考真題（理））已知SKIPIF1<0中，點D在邊BC上，SKIPIF1<0．當SKIPIF1<0取得最小值時，SKIPIF1<0________．四、解答題29．（2022·海南·儋州川綿中學高一期中）比較下列兩組代數式的大小(1)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0與SKIPIF1<030．（2022·河北·衡水市冀州區滏運中學高一階段練習）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1