一元二次不等式恒成立問題

一元二次方程根的分布問題學(xué)習(xí)目標(biāo)：1：理解一元二次不等式恒成立問題的條件（重難點(diǎn)）2：理解一元二次方程的根的分布條件（重難點(diǎn)）知識點(diǎn)一：一元二次不等式恒成立問題一：四個(gè)重要類型(1)ax2+bx+c>0,?x∈R恒成立的條件：(2)ax2+bx+c≥0,?x∈R恒成立的條件：(3)ax2+bx+c<0,?x∈R恒成立的條件：(4)ax2+bx+c≤0,?x∈R恒成立的條件：例1：不等式x2-4x+a>0的解集為R，求則a的范圍知識點(diǎn)一：一元二次不等式恒成立問題法一：解：開口向上的拋物線在x軸上方

∴??<0∴(-4)2-4a<0解得a>4法二：解：令f(x)=x2-4x+a∴f(x)=(x-2)2+a-4（x∈R）∴f(x)min=f(2)=a-4∵?x∈R，f(x)恒大于零∴a-4>0∴a>4練1：不等式x2-4ax+4a2+a≤0的解集為空集，求則a的范圍練1：不等式x2-4ax+4a2+a≤0的解集為空集，求則a的范圍知識點(diǎn)一：一元二次不等式恒成立問題解：∵x2-4ax+4a2+a≤0的解集為空集，∴x2-4ax+4a2+a>0的解集為R，∴開口向上的拋物線在x軸上方∴??=（-4a)2-4(4a2+a)<0解得：a>0法二：解：令f(x)=x2-4ax+4a2+a∴f(x)=(x-2a)2+a≤0（x∈R）的解集為空集∴f(x)min=a>0∴?x∈R，f(x)恒大于零解得：a>0已知自變量范圍求參數(shù)范圍知識點(diǎn)一：一元二次不等式恒成立問題例2：不等式x2-2x+k2-1>0的解集為A，若[1,2]?A，求k的范圍解：令f(x)=x2-2x+k2-1=(x-1)2+k2-2結(jié)合圖像可知：f(x)在x∈[1,2]中最小值為f(1)由題得：?x∈[1,2]，x2-2x+k2-1>0恒成立∴f(x)min>0即：f(1)=k2-2>0知識點(diǎn)二：一元二次方程根的分布設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0對應(yīng)的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),根的分布情況分為以下九類：根的分布

圖像

等價(jià)條件1

等價(jià)條件20<x1≤x2（兩根大于零）x1<0<x2（一根大于零一根小于零）0>x1≥x2（兩根小于零）解題技巧：①畫圖②條件一：??，兩根和，兩根與k的差的積③條件二：??，f(k),k與對稱軸比較設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0對應(yīng)的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),根的分布情況分為以下九類：根的分布

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等價(jià)條件1

等價(jià)條件2x2≤x1<k（兩根＜零）x1<k<x2（一根大于k一根小于k）k<x2≤x1（兩根小于零）解題技巧：①畫圖②條件一：??，兩根和，兩根與k的差的積③條件二：??，f(k),k與對稱軸比較設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0對應(yīng)的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a>0),根的分布情況分為以下九類：根的分布

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等價(jià)條件1

等價(jià)條件2k1<x2<k2<x1<k3x1,x2僅有一根在(k1，k2)解題技巧：①畫圖②條件一：??，兩根和，兩根與k的差的積③條件二：??，f(k),k與對稱軸比較f(k1)f(k2)<0例3：設(shè)方程x2+(m-3)x+m=0有兩負(fù)根，求m的范圍練3：已知關(guān)于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0有兩實(shí)數(shù)(1)如果兩根都大于1，求m的范圍。(2)如果兩根都在區(qū)間(1,3)內(nèi)，求m的范圍(3)如果一根大于2，另一根小于2，求m的范圍練3：已知關(guān)于x的方程8x2-(m-1)x+m-7=0有兩實(shí)數(shù)(1)如果兩根都大于1，求m的范圍。(2)如果兩根都在區(qū)間(1,3)內(nèi)，求m的范圍(3)如果一根大于2，另一根小于2，求m的范圍本堂知識小結(jié)1：理解一元二次不等式恒成立問題的條件（重難點(diǎn)）2：理解一