林老師網絡編輯整理林老師網絡編輯整理林老師網絡編輯整理林老師網絡編輯整理導數數列結合1電fM=嚕u,曲線y=/(X)在點(1/(1))處的切線與囪城2x+y+1=0垂直.⑴求G的值；(2)若VjrE［】，*8),f(jr)EmQr-1)恒成立卜求m的范國工(3)求證：由的2.已知函數/(工)=。工+：+儀優)口)的圖象在點(1/(1))處的切線方程為y=x-1.(1)用g表示出b，c；⑵若f㈤*Inx在［1,+s)上恒成立,求n的取值范圍.(.3)證明二工+1+1+…+2Aln{n"F1)+—-—(tiN1)?z3 .J?fh3..已知函數ra)=ln(l+x)+^x2 >0).(1)若門幻>。對比￡(0,+b)都成立.求。的取值范圍:(2)已知e為自然對數的底數，證明匕V?i￡N"h^/e<(1+ (1+之)…<RT.已知函數r(x)=口，+xlnxfa€R),<1)若函數/(切在區間［e,+8)上為增函數,求Q的取值范圍：<2)若函數八外的圖象在點工二u 為自然對數的底數)處的切線斜率為"且kEZ時，不等式#0-工)</a)在nE(l,+8)上也成立，求k的最大他；(3)當之4時.證明：(mnn)m>(n7nm)rt..已知函數f(x)=Inx—ax2+(2—d)x.U)若函數f(x)在口+8)上為減函數，求0的取值范圍；(2)當口=1時,g(工)=x2-b.當工［停工］時.fC琦與g(公有兩個交點，求實數b的取值范圍：(3)證明工捻+a+2+a+…+ >tn(n+1)(VnEN*)*.已知函數f(x)—工一：一Hnx.<1)若fG)無極值點，求&的取值范圍,(2)設gCr)=*+：-Qn工)工當口取(1)中的最K值時.求g(X)的最小值；⑶證明不等式：以品廣|口^5￡燈).7,設函數/（x）=士-Q1n（l+，），g（x）=in（l+x）-bx.（I）若函數八七）在H=0處有極值，求函數八X）的最大值.（2）①是否存在實數乩使得關于I的不等式g（幻<0在（0,+8）上植成立?若存在，求出b的取值范圍:若不存在，說明理由.②iiE明：（n=U/?）,&已知函數人力=：始+。必一由1+1（#￡R，n,B為實數）仃極值.且I在工二1處的切線與直線，-y+1=0平行.（1）求實數q的取值范圍.是否存住實數電使等圖數/G）的極小值為1,若存在，求出實數我的值：若不存在，清說平整歲<3）設函數@（幻=""」方馬：試判斷函數gO）在（1,+8）上的符號，井證明；1皿*乂1+3￡￡3：5€明）.9,已知函數〃G=1口(鏟十口(口為常數)是實數集R上的奇函數.(1)求實數Q的值：(2)討論關Fx的方程Inx=fWtx2-2ex+m)的根的個數:(3)證明tEjjD+曬::T)+…+ <“；；；；：飆WN*#32),10.已知函數/(>)-e1-kxxeR.(1)若k=e,試確定函數/①)的單調區間；(2)若A)0.且對于任意某ER,，(閨)>0恒成立，試確定實數k的取值范圍：(35設函數F(*)=/(0+/(-幻，求證：F(l)F(2).?F(n)>(鏟x+2)KnEN)1】.設施數/(幻=/+如鼠大+1).其中力W(I)當心時.判斷函數汽動在定義域上的單調性,(2)求函數/(工)的極值點：(3)證明對任意的正整數n,不等式伍(：+1))*一*部成立.參考答案，僅供參考I.I.⑴I +Inx(x+1)-(x4-a)lnxF(x) 由題設ra）由題設ra）=g--=[■所以1十口=1,a=0,￡￡(2)f(M)=署，Vxe(t4-oo)t/(x)<m{x-1),即Inx<m(m-5).設g(%)-\nx-m(x-口，即Vxe(1,+⑹田G)<0,，㈤=\m(l+力沖？①若mw0,則g*(x)>0，gM>g(l)=CK這與題設g(x)<0矛盾;②若m>0,方程一mx*+h-m=0的判別式△二1一4m工當AEO.即m之士時.g\x）＜0.2 口Q餅557619246，gO）在（0,十8）上單調遞減;，93）工?。）=0,即不等式成立.當0＜01＜；時，方程—mx2+1一wt=0,U其根1+dl-4m-2m>1+dl-4m-2m>1j皿= 7.一~>口心=2m當工E（1,不）/（工）＞0,g（x）單調遞增.gO）＞g（l）=0.與題設矛盾.綜上所述『m＞p（3）由（2）知，當1時，771=:時丁加＜1（工一J成立.^k^k4ft2-11絳?所以

2k*1 1/2fc+12k-1ln2fr-1C2^2fc-I-2k+1-[ln(2k+1)-】n(掠-1)14 4片4(ln3lnl)<4xi2-r40n5一哂。依-「(lnC2n+1)-ln(2n-1))< 5~~ti=lIn\2n1,1<),4JJ(rEN).2.C1)在題意得解得e二;C2)rti fegQ)=/(則gC0=a故=]一,則有磔田卯五夫0k0.lr(i)=a-b=i>—2fLL/(x)=ax4 +1—2a?令x)-tnx=ax+-——-+1—2o—ln*x￡[1,+8),，一 口一1 1禽，一片一(口-1)g⑺ ”“x2X- /g_11.If”工1)\x a)⑴當0＜口"若M時，詈Al.jg'OQvO,g(x)是減國凱所以g(釐)vg(l)=CL即f(x)<Inz,即f(x)>Inx在［lp+?)上不恒成立.(ii)當q之三時,—<E2a若則g,O)>0.gO)是增函數，所以gQt)>g(l)=0,即f(x)>Inx,故當x>1時，f(x)>Iruc-綜上所述，所求口的取值范圍為原+-(3)證法一,直接證明由(2)知：當九仃￡?當1時，4令或:牛，有當1時，4令或:牛，有k\a(k+1)-Ink<-(i+A+；)**=L2,3.…以將上一述花個不等式依次相加得In.+1)<扛&+，+??,+?+ ；Z\zJn/上1mt1)整理得1+k+m+…+-aln(r+1)+w? 23n 2(ti+L)證法二才用數學歸納法證明M)當打=1射，左邊=1.右邊=ln2+*<l.不等式成立.5)假設n:以k之LAEN")時，不等式成立，就是+泊+…+卜那么11 k11+_+_+^+_+__>in(fc+1)+^-^+—=小1)+選務由(2)知￥當q之g時,^/(x)>lnx(x>I).令Q=%有/㈤=2("；)之加”(工之1)，令T令1/^4-2Jt+lxk+2 , 、 / 、2(六！一—)"n一= +2)Tn-D所以 QQ群5s76192461口"+1)+2伍十1)*1n"+?+乖較J'所以-+*—4*—+■??+1+>In(4+2)+ ——.3kK+1 2(A+2)就是說,當汽=土+1時，不等式也成立.根據(口和(ii),可知不等式對任何TIEN*都成立.3.（1）因為/（工）=ln（l+工）+"之一―其定義域為（一1,十8）,所以ra）=i-i=駕衿①當口=0時,r（幻=一★,當尤6（0,+8）時，f（x）＜0,則/（0在區間（0.+8）上單調遞減，此時，f（x）＜/（O）=0,不符合題意.②當0＜。＜1時，令r（x）=0,得與=0,七二—；＞0，當xw（o‘?）時，r（x）＜o,則在區間上單調遞減，此時，fM＜/（o）=o不符合題意.③當也=1時./1?=占.當工￡（0.+8）時.rG）＞。.則fM在區間（0,+8）上單調遞增，此時，a）A/（o）=o,符合題意.④"in＞1時，令/'（工）=o.律h[=0.x2=＜0./H￡（6+8）時./t（x）＞0,則六*）在區間（。,+8）上單調遞增，此時=0,符合愚意.蹤上所述，Q的取他范困為[1.+8）.(2)由(1)可知，當Q=0時，/(均<0對,6(0+8)都成立，即ln(l+xj<xMX￡(0,+8)都成立.所以ln(l+2)+ln(l+)+…+ln(l+￡)<%+/+*”+￡即]n[0+3(1+9…(1+勤廉覆&寡由于FEN?，則署=/￥|+4=1.所以In|(1+*)(1+,)…。+/)_]VL所以(1+3(1+*)…(1+3<??由(J)可知，當Q=1時./(X)>口對HW(0,+00)都成①,即X-\xZ<ln(l+工)對mE(0,+g)都成立.所以G+城+…+日后G+攝+…+5)<E([+3)+加(1+*)+…+m(1+分即喀制[-十-卜叫】7"十分?(“*)卜舞舞6n^+4n^^3n—1Tu-i12tt由]F由]FEN,則 不——十0睛一310t(1?_1) 6n3_1lln3 ~12nJ2所嗎<ln](l+?(l+/,.(l+￡)].所以依<(1+/)(1+1)產(1+W).所以mV(1+ (1+W)…(1+￡-)<e*4(O因為f{x}=ax+xlnrT又函數/(為在區間叵+00)上為增函數，所以當工之2時，f\x)=a+l+lire>0恒成立.所以a>(―1—Inx%*=—1—Ine=-2,即口的取值范圍為［―2,+8).(2)因為f(，)=口，+;dn，(QER),所以rCx)=。+Ini+工，口)在點工二日(e為自然對數的底數)處的切線斜率為3.fr[e}=3?即口+1牌+1=3,所以q=1.當工>1時，x-1>0,故不等式蟻工-1)</(x)o卜<詈,即對任意丫>1恒成立,令以#)=誓，則g，(町=松苗.令人0)二萬一1曲-23>1),?Jh'M=1一[=三>0=Mr)在Q,+8)上單調遞增，因為的二一貫副嫩般/，4>。，所以存在與E(3,4)使雙陽))=3,朗芍1<匯<勺時.h(x)<0.即g\x)<0.當工)科時，h(x)>0i即，所以小幻在(1人)匕單調遞減，在(見.+8)卜一單調遞增.o-2=Or即In工0工必-2,如C+*}_用口+如T)_ ￡(34).如一1知T 如一1所以A<g(外mm=工0口及￡工，即々max=工(3)由(2)知.@(幻=智是4+8)上的增函數，所以當3%四上>工±型二整理，n-1 hi-1得mnlnn+mlnm>m.nlnm+nlnn+n—因為!i>m.mnlm+ndnm>mnlmn+nlnfit即ImfM+lnmm>lnm^n+Imi% >ln&n?iin),n^m?1>jnmnnrt, >(nmm)n.5.(1)因為八幼在［L+8)上單調遞減，所以roo在口,+8)匕恒成立，所以r5)=：—25+(2—G=-3+1,7X0在［1,+8)上恒成立，所以口之;在［1,+8)上恒成在，因為G)=1，所以n之L(2)當。=1時.,a)=lnx-爐+工，因為“幻與白⑺有兩個交點所以Irw-x2+工=/-2x+b在售W上行兩相異根.所以b=Inx-2x2+3心所以令T(r)=Inr-2xz+3Xi所以T'(h)=：_4,+3=—'"+?匚口,所以「G)>0時，^<x<l,所以丁。)在01)上單調遞增,所以「(幻<0時,1<工<，所以TQ)在(L2)上單調遞減，所以工二1處有極大值也是最大值，"1)=1，7(|)=1-^2>0,7(2)In2—2<0,所以1-E2E5<1.(3)由(1)知當q=1時，/(幻在［L+8)上單調遞減，所以人工)M/(l)=0當且僅當塔逐酉班九解后成立，即InxVx2—X在(11+8)上恒成立.令震=平>1(neN*)-所以In——<—所以In(?i+1)—Irti<—?i=l時,ln2—tad<〃=2時，ln3-In2<r=3時，］n4—【門3<券n=n■時，ln(n+1)-Inn<—累加可得ln(n+l)v捻+攝+&+橙+…+胃(VnwN)

16.⑴由題意/,㈤=1+*一詈號。由于/（工）無極值點,故P—"+1皂。在（0,+8）恒成立即口W工+：■X6（0,+8）恒成立,又工十工之2(王=1取等號)?故(x+B=2,1 1 或/mm所以口的取值范闈是口與乙X3-2Tli1K-1(2)勺cr=2.g(x)=x+i—X3-2Tli1K-1或幻-1-之一21rl廣：設立(幻—r2-2x\tvt-1.kr(x)=2h—21n,—2—2(r—1—加度)，下證：跖量三T-1.設m(z)=Inx-x-l-1,mr(r)=--1=-tHW(0,1)時.m'(H)>0.m(x)單斕遞增.x€(1,+s)時,也'(m)<0.m(x)單調遞減『所以m(K)gm(l)=OiBPInx<r-li所以川(刈蘭0,故Mx)在｛0,+8)單調遞增，又k(l)=0,所以;一“)時，即0,，闔賭黜挑髀減,工E[L+°°)時，此(工)>0, 均單居遞增,gW>gW=2*故?O)的最小值為2：（3）由（2）知力,>1時，x+--（lax）2>2t土+，2）（加工產，（C-q）>Qn，）,v'N一京>lnx,取工iE4行-舄祟即焉司若〉嗚條故2n+2FT122n+2FT1In—= +in—= 421+1 22+1/2口+1/2口+12l+l2?+l2n-l+l=lnV'2l+1'2^+1'23-i-1'''2n+1（D由已知得尸一言，加￡口困數人均在工=0處有極值.所以（（0）=占一3=口，即曰=l所以r⑺二上一W1+6所以r⑺二擊一士=舟?當工￡（―1。）時，/⑺>o,當HW（0,+8）時，r㈤H0?洛'單調髭減.所以函數八乃的最大值為r（o）=o.（2）①由已知得?（動的定義域為（-L+8）,8（公二士」上（i）若BN1,則工￡［0,+8）時，"（幻=占一七Ed所以gCO=ln（l+工）一匕》在（0,+co）上為減函數，所以gW=ln（l+工）一卜工<g（0）=0在（0,+8）上恒成立.}*fc0,則jcE［0,+8）時.g'G）= —b>0.所以gG）=ln（l+工）一加r在［0,+8）上為增函數，所以gM=ln（l+x）-bx>g（0）=0,不能使g（x）V0在（0,十《0上恒成立.（iii）若0<b<l.則"Cr）二上」h=0時，某=，-1*當工￡隙-i）時，廳（分》0,所以g（x）=ln（l+幻-外在［。t―1）上為增函數.此時，g（jr）=ln（l+k）—bx>g（0）=0，所以不能使g（G<o在（。,+8）上恒成立.綜上所述，b的取值范圍是［1,+oo）.(1+34*令』=￡11金(1+34*令』=￡11金取鬣=-：-—<in(14--n1+n一山（1十三）<—————+1ti(爐+i加<0(n—23…).因此xn</_[<…<勺=去又因為Inn=X屋Dnk-ln(k-1)]+Ini二工二：In(1+目，8.(()因為/(工)=;jc*+ax2-歷r+1.所以「(上)=好+2(ih-瓦山題意，所以((1)=1+2。一方=1*所以b=2n. ①因為外功有極值.所以方程尸口)=x2+2ax-b=Q有兩個不等實根.所以A=4序+4b>0,所以出十^〉。.……②由①?可得，az+2a>0.所以。<-2或q>0.故實數a的取值范圍是0E%—2)U(0,+8).(2)存在.由(I)可知r(#)=N+2ax-bt令/(x)=0.所以Xi二一以一7必+2&X2=-a+y/a2+2a,且Q￡(—8『-2)U(0,+8)備x (一8"。 X) (X1^2) X2 (x2t+?)/'(工) + 0 - 0 +f⑺ 的調增 極大值 單調減 極小值 單調噌所以復=冷時，/(刈取極小值，Wf(xz)= 4ax1?2axz+1=1,所以犯n0或+3ax2-60=0.若物=0,即—a+1謁+2口=0?貝(J。=0(舍).若可十3ax?-6口=0,丈『人)=。,所以弓+2奴工一2日二0，所以口小一4以二0一因為口豐0,所以益=4,所以—口―4度+元=4r所以□之—gv—2.所以存在實數1使得函數八幻的極小值為L

21nxt即gCr)=x--2Jnx.故，g'G)=1+ 1 =-^―>口，則21nxt即gCr)=x--2Jnx.故，g'G)=1+ 1 =-^―>口，則以外在(L+8)匕是增函數，故g(￡)>g(l)=0,所以.g(x)在〈1.+8)上恒為正.當口EN?時,—>1>

n，(黨設菱=三二則=士二一如山

nn+1n—1+ 1+--2|ln(Ti4-1)—Inn]=L十~—2[ln(n-fl)—Inn1>0.即,1-I--ly>2pn(n+1)\—IxmL上式分別取抑的值為1.2,3,…*5—1)(n>1)累加得:>2[ln2-】nl+In3-ln24-1口4-ln3H 1-Inn—In(門—l)]fn>L所以1+2(?+：+?+,?，+ >2lnn*n>1?所以2(1+w+1+i+…4—-+—)A2Inm+14—,n>1\ 2 3 4 n-1nx n.所以1+g+]+：+…+—y+工AInn+；(1+工),Ji>I.即,Inn+ji1+;)<n>l.又當黃=工時，Im+30+0=￡：=11故所+H1+》m￡Up當且僅當川=1時取等號.因為/'(-幻=-/(幻，所以加(廣工+區)工-加(爐+口)，所以小，+口=靛X=d(￡-*+e］+n)=0.所以n=0.(2)由⑴知所以】nr=火滓-2叱+m)<=今=(義-+m-e￡f令h(x)—乎tp(x)=(x-e);4-m—e2.h'(x)= 所以也(幻在?啟)上遞增，?+8)上遞減，所以出G)gx=Me)二%平(￡)為二次函數.田儂母在遞J4,?+8)」二遞增，所以甲=m-/?TOC\o"1-5"\h\z當也一/>2時,即0>/十三時,無解：c e當血一/=：時*即/71=d+：時T有一解;當血一/<'u寸,即巾<M+L有二解、e e(3)i正明］由(2)如當m=卡41時ptr)==(M—曰尸+1*甲a)min=m-ez=lt此時甲5)e加>做，)皿恒成立.所以h(x)〈平(x)mui=1,即竽<i*I門及<X恒成立，所以當n上2時育ln{zi2—L)<n2-1,所以叱［“< =1一\n(22-1)ln(32-l) 】n(r?-l) fl1\ +--手+???+-<(門_1)_(*+…+耐〈(-一小+去…島5小("i)GAr2n2-n-12(n+1)J0+(I)由#=都得f(jc)-eT-exf所以r(x)=F-巳由f'MAo得宜>l故，(行的單調遞增區網是(L斗8)，由「(幻vo得工<1.故/(*)的單調遞減區間是(-8」).⑵由/(I一#l)=f(13),可知/。3)是偶函數.于是/(UI)>0對任意her成立等價于/(x)>0對任意XSO成立由得簫=In1①當k仁(0,1］時?f(x)=『-A>1—在之口口>0),此時了(工)在［0,+8)上單調遞增，故六工)=f(0)=l>0,符合題意②當kE(L+8)時.Ink>0.當工變化時ra),f(x)的變化情況如下表！x(OJnfc)Ink(Ink,+8)f(x)一0 +/(x)單調遞減極小值單調遞增由此可得.在0+8)上.f(x)>/QnJt)=A一MnJt依題意,k-kink>0,又k>I.所以1<k<d綜合①.②，得實數上的取值范圍是&<心/3=fM+汽-X)=小+3一'所以FCrjrCii)=四+=+R-X+2+冊-4+>釣+穌+工所以>背包+工F{2}F(n-1)>k+2Ff加⑴+工由此得.—gfF=[rdy^HTOF^一 可利川川1?>(砂句+2]".(3)因為(3)因為f(OF(2)-F(rt>>((*+,+苕葭EM*.11.(1)函數外幻=#+b]n(x+1)的定義域為(一L+8).b2x2+2x4-b令或外工2必+2m+氏則gCO在（一]，+8）上遞增,在（一1,一||卜一速成%）皿=g（_勺=_]+七當6》灑，gQ）min=W+5>0,g（x）=2必+2h+6>0在（-1,+co）上恒成立.二f'（x）>0,即當力時，函數八外在定義城（一L+?0上單調遞增.（2）分以下幾種情形討論：①由（1）知當6>；時函數f無極值點，②當6=3時，片幻=冬色，:工4-L-捌，f（x）>0rHE（-1+8）時，尸（約）0,二h=;時,函數打工）在+上無極值點.③當6時,解r（幻=。得兩個不同解-1―Ji—2b_1+V1—X1= 2 &= 2 當b<0時，_[_Qi=2b —1十—2b必= 2 <-1亞= j 1上勺￡（―1.+8）修ZE（-1,十8）,此時fM在（-L+8）上有唯一的極小值點過=士尸.當時.工力亞e（-L+8）,ra）在（-141（%+⑼都大于0,rex