呂梁市重點中學2025屆高三下學期一模考試數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若向量，，則與共線的向量可以是（）A． B． C． D．2．已知正方體的棱長為2，點在線段上，且，平面經過點，則正方體被平面截得的截面面積為（）A． B． C． D．3．空氣質量指數是反映空氣狀況的指數，指數值趨小，表明空氣質量越好，下圖是某市10月1日-20日指數變化趨勢，下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數值的中位數略高于100B．這20天中的中度污染及以上（指數）的天數占C．該市10月的前半個月的空氣質量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好4．若復數滿足，則（其中為虛數單位）的最大值為（）A．1 B．2 C．3 D．45．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．86．已知函數，存在實數，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．7．已知集合，，則A． B．C． D．8．執行如圖所示的程序框圖，若輸入的，則輸出的()A．9 B．31 C．15 D．639．已知數列是公比為的等比數列，且，若數列是遞增數列，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一，它歷史悠久，風格獨特，神獸人們喜愛．下圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形．若在這個窗花內部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方形內的概率是（）A． B． C． D．11．已知等差數列的公差為-2，前項和為，若，，為某三角形的三邊長，且該三角形有一個內角為，則的最大值為（）A．5 B．11 C．20 D．2512．《普通高中數學課程標準（2017版）》提出了數學學科的六大核心素養.為了比較甲、乙兩名高二學生的數學核心素養水平，現以六大素養為指標對二人進行了測驗，根據測驗結果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優），則下面敘述正確的是（）A．甲的數據分析素養高于乙B．甲的數學建模素養優于數學抽象素養C．乙的六大素養中邏輯推理最差D．乙的六大素養整體平均水平優于甲二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的三個內角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知，則________.14．的展開式中，若的奇數次冪的項的系數之和為32，則________．15．函數的單調增區間為__________.16．已知集合，.若，則實數a的值是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數列滿足，且，，成等比數列．（1）求證：數列是等差數列，并求數列的通項公式；（2）記數列的前n項和為，，求數列的前n項和．18．（12分）已知拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F到準線的距離為3，拋物線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2），其中x1≠x2且x1+x2＝1．線段AB的垂直平分線與x軸交于點C．（1）求拋物線E的方程；（2）求△ABC面積的最大值．19．（12分）在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），以為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）把曲線向下平移個單位，然后各點橫坐標變為原來的倍得到曲線（縱坐標不變），設點是曲線上的一個動點，求它到直線的距離的最小值.20．（12分）已知函數，且曲線在處的切線方程為.（1）求的極值點與極值.（2）當，時，證明：.21．（12分）如圖，在直三棱柱中，，，D，E分別為AB，BC的中點.（1）證明：平面平面；（2）求點到平面的距離.22．（10分）如圖所示，在四面體中，，平面平面，，且.（1）證明：平面；（2）設為棱的中點，當四面體的體積取得最大值時，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【詳解】故選B【點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.2、B【解析】

先根據平面的基本性質確定平面，然后利用面面平行的性質定理，得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示：確定一個平面，因為平面平面，所以，同理，所以四邊形是平行四邊形.即正方體被平面截的截面.因為，所以，即所以由余弦定理得：所以所以四邊形故選：B【點睛】本題主要考查平面的基本性質，面面平行的性質定理及截面面積的求法，還考查了空間想象和運算求解的能力，屬于中檔題.3、C【解析】

結合題意，根據題目中的天的指數值，判斷選項中的命題是否正確.【詳解】對于，由圖可知天的指數值中有個低于，個高于，其中第個接近，第個高于，所以中位數略高于，故正確.對于，由圖可知天的指數值中高于的天數為，即占總天數的，故正確.對于，由圖可知該市月的前天的空氣質量越來越好，從第天到第天空氣質量越來越差，故錯誤.對于，由圖可知該市月上旬大部分指數在以下，中旬大部分指數在以上，所以該市月上旬的空氣質量比中旬的空氣質量好，故正確.故選：【點睛】本題考查了對折線圖數據的分析，讀懂題意是解題關鍵，并能運用所學知識對命題進行判斷，本題較為基礎.4、B【解析】

根據復數的幾何意義可知復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，再根據復數的幾何意義即可確定，即可得的最大值.【詳解】由知，復數對應的點在以原點為圓心，1為半徑的圓上，表示復數對應的點與點間的距離，又復數對應的點所在圓的圓心到的距離為1，所以.故選：B【點睛】本題考查了復數模的定義及其幾何意義應用，屬于基礎題.5、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．6、A【解析】

畫出分段函數圖像，可得，由于，構造函數，利用導數研究單調性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點睛】本題考查了導數在函數性質探究中的應用，考查了學生數形結合，轉化劃歸，綜合分析，數學運算的能力，屬于較難題.7、D【解析】

因為，，所以，，故選D．8、B【解析】

根據程序框圖中的循環結構的運算，直至滿足條件退出循環體，即可得出結果.【詳解】執行程序框；；；；；，滿足，退出循環，因此輸出，故選:B.【點睛】本題考查循環結構輸出結果，模擬程序運行是解題的關鍵，屬于基礎題.9、D【解析】

先根據已知條件求解出的通項公式，然后根據的單調性以及得到滿足的不等關系，由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得，則.因為，數列是單調遞增數列，所以，則，化簡得，所以.故選：D.【點睛】本題考查數列通項公式求解以及根據數列單調性求解參數范圍，難度一般.已知數列單調性，可根據之間的大小關系分析問題.10、D【解析】

由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比,即可求解.【詳解】由題,窗花的面積為,其中小正方形的面積為,所以所求概率,故選:D【點睛】本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎題.11、D【解析】

由公差d=-2可知數列單調遞減，再由余弦定理結合通項可求得首項，即可求出前n項和，從而得到最值.【詳解】等差數列的公差為-2，可知數列單調遞減，則，，中最大，最小，又，，為三角形的三邊長，且最大內角為，由余弦定理得，設首項為，即得，所以或，又即,舍去，，d=-2前項和.故的最大值為.故選：D【點睛】本題考查等差數列的通項公式和前n項和公式的應用，考查求前n項和的最值問題，同時還考查了余弦定理的應用.12、D【解析】

根據雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項，甲的數據分析分，乙的數據分析分，甲低于乙，故A選項錯誤.對于B選項，甲的建模素養分，乙的建模素養分，甲低于乙，故B選項錯誤.對于C選項，乙的六大素養中，邏輯推理分，不是最差，故C選項錯誤.對于D選項，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養整體平均水平優于甲，故D選項正確.故選：D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數據處理，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用正弦定理邊化角可得，從而可得，進而求解.【詳解】由，由正弦定理可得，即，整理可得，又因為，所以，因為，所以，故答案為：【點睛】本題主要考查了正弦定理解三角形、兩角和的正弦公式，屬于基礎題.14、【解析】試題分析：由已知得，故的展開式中x的奇數次冪項分別為，，，，，其系數之和為，解得．考點：二項式定理．15、【解析】

先求出導數，再在定義域上考慮導數的符號為正時對應的的集合，從而可得函數的單調增區間.【詳解】函數的定義域為.，令，則，故函數的單調增區間為：.故答案為：.【點睛】本題考查導數在函數單調性中的應用，注意先考慮函數的定義域，再考慮導數在定義域上的符號，本題屬于基礎題.16、9【解析】

根據集合交集的定義即得.【詳解】集合，，，，則a的值是9.故答案為：9【點睛】本題考查集合的交集，是基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）因為，所以，所以，所以數列是等差數列，設數列的公差為，由可得，因為成等比數列，所以，所以，所以，因為，所以，解得（舍去）或，所以，所以．（2）由（1）知，，所以，所以．18、（1）y2＝6x（2）．【解析】

（1）根據拋物線定義，寫出焦點坐標和準線方程，列方程即可得解；（2）根據中點坐標表示出|AB|和點到直線的距離，得出面積，利用均值不等式求解最大值.【詳解】（1）拋物線E：y2＝2px（p＞0），焦點F（，0）到準線x的距離為3，可得p＝3，即有拋物線方程為y2＝6x；（2）設線段AB的中點為M（x0，y0），則，y0，kAB，則線段AB的垂直平分線方程為y﹣y0（x﹣2），①可得x＝5，y＝0是①的一個解，所以AB的垂直平分線與x軸的交點C為定點，且點C（5，0），由①可得直線AB的方程為y﹣y0（x﹣2），即x（y﹣y0）+2②代入y2＝6x可得y2＝2y0（y﹣y0）+12，即y2﹣2y0y+2y02＝0③，由題意y1，y2是方程③的兩個實根，且y1≠y2，所以△＝1y02﹣1（2y02﹣12）＝﹣1y02+18＞0，解得﹣2y0＜2，|AB|，又C（5，0）到線段AB的距離h＝|CM|，所以S△ABC|AB|h?，當且僅當9+y02＝21﹣2y02，即y0＝±，A（，），B（，），或A（，），B（，）時等號成立，所以S△ABC的最大值為．【點睛】此題考查根據焦點和準線關系求拋物線方程，根據直線與拋物線位置關系求解三角形面積的最值，表示三角形的面積關系常涉及韋達定理整體代入，拋物線中需要考慮設點坐標的技巧，處理最值問題常用函數單調性求解或均值不等式求最值.19、（1），；（2）.【解析】

（1）在直線的參數方程中消去參數可得出直線的普通方程，在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以得，進而可化簡得出曲線的直角坐標方程；（2）根據變換得出的普通方程為，可設點的坐標為，利用點到直線的距離公式結合正弦函數的有界性可得出結果.【詳解】（1）由（為參數），得，化簡得，故直線的普通方程為.由，得，又，，.所以的直角坐標方程為；（2）由（1）得曲線的直角坐標方程為，向下平移個單位得到，縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍得到曲線的方程為，所以曲線的參數方程為（為參數）.故點到直線的距離為，當時，最小為.【點睛】本題考查曲線的參數方程、極坐標方程與普通方程的相互轉化，同時也考查了利用橢圓的參數方程解決點到直線的距離最值的求解，考查計算能力，屬于中等題.20、（1）極小值點為，極小值為，無極大值；（2）證明見解析【解析】

先對函數求導，結合已知及導數的幾何意義可求，結合單調性即可求解函數的極值點及極值；令，問題可轉化為求解函數的最值，結合導數可求．【詳解】（1）由題得函數的定義域為.，由已知得，解得∴，令，得令，得，∴在上單調遞增.令，得∴在上單調遞減∴的極小值點為，極小值為，無極大值.（2）證明：由（1）知，∴，令，即∵，，∴恒成立.∴在上單調遞增又，∴在上恒成立∴在上恒成立∴，即∴【點睛】本題考查了利用導數研究函數的極值問題，考查利用導數證明不等式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于中檔題．21、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）通過證明面，即可由線面垂直推證面面垂直；（2）