四川省宜賓四中2025屆高三第五次模擬考試數學試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．將函數f(x)=sin3x-cos3x+1的圖象向左平移個單位長度，得到函數g(x)的圖象，給出下列關于g(x)的結論：①它的圖象關于直線x=對稱；②它的最小正周期為；③它的圖象關于點(，1)對稱；④它在[]上單調遞增.其中所有正確結論的編號是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④2．若實數滿足不等式組則的最小值等于（）A． B． C． D．3．若將函數的圖象上各點橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變)得到函數的圖象，則下列說法正確的是（）A．函數在上單調遞增 B．函數的周期是C．函數的圖象關于點對稱 D．函數在上最大值是14．用數學歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+15．已知，則（）A．2 B． C． D．36．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．87．已知，若，則等于（）A．3 B．4 C．5 D．68．若x,y滿足約束條件的取值范圍是A．[0,6] B．[0,4] C．[6, D．[4,9．已知定義在上函數的圖象關于原點對稱，且，若，則（）A．0 B．1 C．673 D．67410．某空間幾何體的三視圖如圖所示（圖中小正方形的邊長為1），則這個幾何體的體積是（）A． B． C．16 D．3211．博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發奇想，設計兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P212．函數的圖象向右平移個單位得到函數的圖象，并且函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，則實數的值為（）A． B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在邊長為的菱形中，點在菱形所在的平面內．若，則_____．14．正方形的邊長為2，圓內切于正方形，為圓的一條動直徑，點為正方形邊界上任一點，則的取值范圍是______.15．（5分）已知函數，則不等式的解集為____________．16．“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月共織九匹三丈．”其白話意譯為：“現有一善織布的女子，從第2天開始，每天比前一天多織相同數量的布，第一天織了5尺布，現在一個月（按30天計算）共織布390尺．”則每天增加的數量為____尺，設該女子一個月中第n天所織布的尺數為，則______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數，（1）證明：在區間單調遞減；（2）證明：對任意的有．18．（12分）選修4-5：不等式選講設函數.（1）當時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）有甲、乙兩家外賣公司，其送餐員的日工資方案如下：甲公司底薪元，送餐員每單制成元；乙公司無底薪，單以內（含單）的部分送餐員每單抽成元，超過單的部分送餐員每單抽成元.現從這兩家公司各隨機選取一名送餐員，分別記錄其天的送餐單數，得到如下頻數分布表：送餐單數3839404142甲公司天數101015105乙公司天數101510105（1）從記錄甲公司的天送餐單數中隨機抽取天，求這天的送餐單數都不小于單的概率；（2）假設同一公司的送餐員一天的送餐單數相同，將頻率視為概率，回答下列兩個問題：①求乙公司送餐員日工資的分布列和數學期望；②小張打算到甲、乙兩家公司中的一家應聘送餐員，如果僅從日工資的角度考慮，小張應選擇哪家公司應聘？說明你的理由.20．（12分）設函數.（1）求的值；（2）若，求函數的單調遞減區間.21．（12分）在三棱柱中，四邊形是菱形，，，，，點M、N分別是、的中點，且.（1）求證：平面平面；（2）求四棱錐的體積.22．（10分）已知是等腰直角三角形,．分別為的中點,沿將折起,得到如圖所示的四棱錐．(Ⅰ)求證：平面平面．(Ⅱ)當三棱錐的體積取最大值時,求平面與平面所成角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據函數圖象的平移變換公式求出函數的解析式，再利用正弦函數的對稱性、單調區間等相關性質求解即可.【詳解】因為f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由圖象的平移變換公式知，函數g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期為，故②正確；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是對稱軸，故①錯誤；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函數g(x)的圖象關于點(，1)對稱，故③正確；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④錯誤；故選：B【點睛】本題考查圖象的平移變換和正弦函數的對稱性、單調性和最小正周期等性質；考查運算求解能力和整體代換思想；熟練掌握正弦函數的對稱性、單調性和最小正周期等相關性質是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型2、A【解析】

首先畫出可行域，利用目標函數的幾何意義求的最小值．【詳解】解：作出實數，滿足不等式組表示的平面區域（如圖示：陰影部分）由得，由得，平移，易知過點時直線在上截距最小，所以．故選：A．【點睛】本題考查了簡單線性規劃問題，求目標函數的最值先畫出可行域，利用幾何意義求值，屬于中檔題．3、A【解析】

根據三角函數伸縮變換特點可得到解析式；利用整體對應的方式可判斷出在上單調遞增，正確；關于點對稱，錯誤；根據正弦型函數最小正周期的求解可知錯誤；根據正弦型函數在區間內值域的求解可判斷出最大值無法取得，錯誤.【詳解】將橫坐標縮短到原來的得：當時，在上單調遞增在上單調遞增，正確；的最小正周期為：不是的周期，錯誤；當時，，關于點對稱，錯誤；當時，此時沒有最大值，錯誤.本題正確選項：【點睛】本題考查正弦型函數的性質，涉及到三角函數的伸縮變換、正弦型函數周期性、單調性和對稱性、正弦型函數在一段區間內的值域的求解；關鍵是能夠靈活應用整體對應的方式，通過正弦函數的圖象來判斷出所求函數的性質.4、C【解析】

首先分析題目求用數學歸納法證明1+1+3+…+n1=n4【詳解】當n=k時，等式左端=1+1+…+k1，當n=k+1時，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【點睛】本題主要考查數學歸納法，屬于中檔題./5、A【解析】

利用分段函數的性質逐步求解即可得答案．【詳解】，；；故選：．【點睛】本題考查了函數值的求法，考查對數的運算和對數函數的性質，是基礎題，解題時注意函數性質的合理應用．6、A【解析】

由三視圖還原出原幾何體，得出幾何體的結構特征，然后計算體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個四棱錐，四棱錐底面是邊長為2的正方形，高為2，直觀圖如圖所示，．故選：A．【點睛】本題考查三視圖，考查棱錐的體積公式，掌握基本幾何體的三視圖是解題關鍵．7、C【解析】

先求出，再由，利用向量數量積等于0，從而求得.【詳解】由題可知，因為，所以有，得，故選：C.【點睛】該題考查的是有關向量的問題，涉及到的知識點有向量的減法坐標運算公式，向量垂直的坐標表示，屬于基礎題目.8、D【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：目標函數z=x+2y經過C點時，函數取得最小值，由解得C（2，1），目標函數的最小值為：4目標函數的范圍是[4，+∞）．故選D．9、B【解析】

由題知為奇函數，且可得函數的周期為3，分別求出知函數在一個周期內的和是0，利用函數周期性對所求式子進行化簡可得.【詳解】因為為奇函數，故；因為，故，可知函數的周期為3；在中，令，故，故函數在一個周期內的函數值和為0，故.故選：B.【點睛】本題考查函數奇偶性與周期性綜合問題.其解題思路：函數的奇偶性與周期性相結合的問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行變換，將所求函數值的自變量轉化到已知解析式的函數定義域內求解．10、A【解析】幾何體為一個三棱錐，高為4，底面為一個等腰直角三角形，直角邊長為4，所以體積是，選A.11、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數，屬于基礎題.12、C【解析】由函數的圖象向右平移個單位得到，函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，可得時，取得最大值，即，，，當時，解得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數圖象的平移變換和性質的靈活運用，屬于基礎題；據平移變換“左加右減，上加下減”的規律求解出，根據函數在區間上單調遞增，在區間上單調遞減可得時，取得最大值，求解可得實數的值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

以菱形的中心為坐標原點建立平面直角坐標系,再設,根據求出的坐標,進而求得即可.【詳解】解：連接設交于點以點為原點,分別以直線為軸,建立如圖所示的平面直角坐標系,則：設得,解得,,或,顯然得出的是定值,取則,．故答案為：．【點睛】本題主要考查了建立平面直角坐標系求解向量數量積的有關問題,屬于中檔題.14、【解析】

根據向量關系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得：，故答案為：【點睛】此題考查求平面向量數量積的取值范圍，涉及基本運算，關鍵在于恰當地對向量進行轉換，便于計算解題.15、【解析】

易知函數的定義域為，且，則是上的偶函數．由于在上單調遞增，而在上也單調遞增，由復合函數的單調性知在上單調遞增，又在上單調遞增，故知在上單調遞增．令，知，則不等式可化為，即，可得，又，是偶函數，可得，由在上單調遞增，可得，則，解得，故不等式的解集為．16、52【解析】

設從第2天開始,每天比前一天多織尺布,由等差數列前項和公式求出,由此利用等差數列通項公式能求出.【詳解】設從第2天開始,每天比前一天多織d尺布,

則,

解得,即每天增加的數量為，

，故答案為，52.【點睛】本題主要考查等差數列的通項公式、等差數列的求和公式，意在考查利用所學知識解決問題的能力，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析．（2）答案見解析【解析】

（1）利用復合函數求導求出，利用導數與函數單調性之間的關系即可求解.（2）首先證，令，求導可得單調遞增，由即可證出；再令，再利用導數可得單調遞增，由即可證出.【詳解】（1）顯然時，，故在單調遞減．（2）首先證，令，則單調遞增，且，所以再令，所以單調遞增，即，∴【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性、利用導數證明不等式，解題的關鍵掌握復合函數求導，屬于難題.18、（1）；（2）【解析】

（1）當時，將原不等式化簡后兩邊平方，由此解出不等式的解集.（2）對分成三種情況，利用零點分段法去絕對值，將表示為分段函數的形式，根據單調性求得的取值范圍.【詳解】（1）時，可得，即，化簡得：，所以不等式的解集為.（2）①當時，由函數單調性可得，解得；②當時，，所以符合題意；③當時，由函數單調性可得，，解得綜上，實數的取值范圍為【點睛】本小題主要考查含有絕對值不等式的解法，考查不等式恒成立問題的求解，屬于中檔題.19、（1）；（2）①分布列見解析，；②小張應選擇甲公司應聘.【解析】

（1）記抽取的3天送餐單數都不小于40為事件，可得（A）的值．（2）①設乙公司送餐員送餐單數為，可得當時，，以此類推可得：當時，當時，的值．當時，的值，同理可得：當時，．的所有可能取值．可得的分布列及其數學期望．②依題意，甲公司送餐員日平均送餐單數．可得甲公司送餐員日平均工資，與乙數學期望比較即可得出．【詳解】解：（1）由表知，50天送餐單數中有30天的送餐單數不小于40單，記抽取的3天送餐單數都不小于40為事件，則．（2）①設乙公司送餐員的送餐單數為，日工資為元，則當時，；當時，；當時，；當時，；當時，．所以的分布列為228234240247254．②依題意，甲公司送餐員的日平均送餐單數為，所以甲公司送餐員的日平均工資為元，因為，所以小張應選擇甲公司應聘．【點睛】本題考查了隨機變量的分布列與數學期望、古典概率計算公式、組合計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．20、（1）（2）的遞減區間為和【解析】

（1）化簡函數，代入，計算即可；（2）先利用正弦函數的圖象與性質求出函數的單調遞減區間，再結合即可求出.【詳解】（1），從而.