高等數學

?基礎篇-

函數函限函投

第一節函數......................................................<2>

一?品故的蝴念兀甯更品敦......................................⑵

二、品社的性點..................................................3)

第二節極限......................................................<7)

一、M來的史念..................................................(7)

二.極限的代居..................................................

三,極限的存在汽則.............................................(12)

四.無方小黃....................................................13)

五、無害大蜚....................................................<H>

第三節函數的連續性...........................................(33)

一，違此性的祗.金................................................<33)

二、間新點及其分矣.............................................<35)

三,違心性的送4?與此演........................................136)

四.閉區同上連續防蛻的性發....................................(36)

手及9徽分

第

一,導*與總分的她令.........................................(10)

,?■二?導致公式及求導法■.......................................(II)

三、高的宇秋...................................................(18)

第微分中值定理及早數應川...............................一

?；?一?總分中(A定理................................................(55)

二,導效應用....................................................(57)

不定機分................................................"儲

,一,不定我分的樹.念與版.......................................(6N)

0二,不定僅分及乂公式............................................(70)

三、三款主妻領分法.......................................(71)

四,三長常必可船昌救枳才......................................(75)

定枳分/反常積分.......................................(X：D

第一節定積分..................................................(?3)

一?定枳分的稅令................................................(H3>

二,定奴才的性成................................................(XI)

h

.三?央珍上限的品孰.............................................(85)

W.定如分的計耳................................................(85)

第二節反常積分................................................(91)

一、無一區同上的反常枳分......................................(91)

二,無不民效的反常規令.........................................(96)

流定供分的應川..........................................<1'?1>

一,幾何應用..................................................(11”)

二?物理?用?'*'.......................................<102)

假分"程.............................................<1川力

一、一fit的&本概念....................................<1<?7)

L

二?一階微分方n.......................................<h>7)

三,可降階的商院方我'if..........................<no>

門、高階找性斷分方程........................................<H1)

2

多元函數俄分學......................................

第一節多元函數的基本微念....................................<123>

一，多元品敕的極限...........................................（123）

二.多五法我的連結壯.......................................（121）

三.偏導我....................................................（125）

第日、全微分....................................................（126）

八

落第二節多元函數的微分法......................................（130）

一、及臺醺教城分法...........................................（130）

二/2擊效盤分法.............................................（130）

第三節多元函數的極值與顯值.................................（137）

一、無為求極伍................................................（137）

二.條件極值及拉格朗日柒教法...............................（138）

三、最大我小值................................................（139）

:，n枳分.......................................................??

笫?

九

?X一,二。機分的掘金及念衣....................................（H2）

二,二七做分的計算...........................................（143）

無力級數.......................................................

第一節常數項級數.............................................（仔”

一、愎會的概,意與性腐.........................................（150）

二,喊父的巾效尊聯...........................................（151）

第二節Stttt..............................................（156）

平一?送絨道的收效率柱,收斂區間反收效域.....................（156）

r

景二,“級改的包罐..............................................（157）

三、島-的■纜效展開........................................（157）

第三節傅里葉級效.............................................（161）

一?件2葉系式與件田葉絨收.................................（161）

二?收效定理（收利克需）......................................（164）

三,周期為2霏的晶盤的展開....................................（163）

E.網期為2/的工效的展開....................................（165>

向經代收^空間解析幾何及

名無談分學仔兒何I:的應川

第一節向量代數..............................................U69）

第二節空間平面與直線.......................................（171）

第三節曲面與空間曲線.......................................（171）

第四節多元微分學在幾何上的應用...........................（176）

%山記辦學及4應川.........................................

第一節三?積分..............................................（179）

三支粗分.......................................................（179）

第二節曲線積分................................................（1?3）

一、對我長的線枳分（第一大理積分）.........................<183>

二.時堂林的儀儀分（第二類二確分）.........................（184）

二,不二美線以分的計算.....................................（187）

第三節曲面積分..............................................<!<>0>

一?對?曲幟的面枳分《不一發而僅分）........................（190）

二.葉比林的面例分（第二具而我分）........................（191）

第四節多元積分應用.........................................（195）

第五節場論初步..............................................（197）

第一章的數根信連弦

大綱考試要求

大綱考試內容

效一敦二數三

的發的他念北令函數及分段畫軟的概念

無方小量的亂念而氣連投柱的概念（含左連共與右連小）

理解1理解理解

同區間上述小品收的性收（有界性、笈大值加出小值定

理、介值文理）

的雙的表示法出條初等函數的收點及其僧出

極限的叮W運算法??］利用兩個卡費極限求極爾的方法拿我室提室提

無方小弟的比技方法

品數的布庫性.單調性、周期柱和奇偶姓

反；ut及檢品款的觀念初乎國秋的概念TM了解了解

連共的數的性質和初等西教的迷處姓

應用問題的由軟關系會建立會ita會比立

國數間斷點的臭型會到副會軻羽於弼.

用區間上述饞品收的性收會應用會應用會應用

登”極限和昆4tM限的蝌.念

品軟左極根與右極雁的概念理冢理解理髀

的數儀限存在與左極限.右極般之間的關系

無岑大爻的蛾金

理解此斛a解

無窮大量與無窮小量的關系

極濯的林度與現果存在的兩個漁財掌握拿提了解

極限存在的兩個〃則求楓果會利用T*

等價無方小受求極限?會用會用會用

元由?小量的&本性晚理解或解JT坪

匕，生至-長

第一節函數

O考試內容概要

,函數的凡念及常見函數

!?生效

￡、足曲個費盤?，）是一個：為敵案.如與你個數，￡〃?殳3.，拉

JR一定的法，總有一八輛定的數空.、?和它對應?刻松.v勺蠹數?記為

vy（.，）?.，￡0.

L—,自變量.「因變量?”卜士二點七定義域?.'；〃.*I）"

潞微值“，）—'，：,：?“，i；：;，值域.KA/（/?.?

RR/（/>>—<vIy/（.r）?.，6/>,

【注】函數/iffl個璃公要能：定義域.U應規即或稱依贛關系）.呻兩個函?的定義域

9封應埋則完全相同時?它GI就型同一函數.

【例I】函數

I-I.r<0.

vsun.r0..1-（i.

I..1><）,

稱為符號函數.

I9i2]設，為仔意實數?不都過，￡大要數稱為，的整數部分?記為【.『1.函數.v-

U二稱為取整語《L

【注】取出函數的不等式:，I]」，.

2.1全國報

宅，設'熱.，?八八的3義鹿為”.為數〃小，）主定義垃尢〃.小城上K?千

”,CR/它?典稱的戰.、,-/“，）為由數.V-八〃）與〃一*《.，）的復合函數?它的正義

域為「?I.，eis€oj.

【注】不足任何四個雨故都叫以乂合?如Y八">In〃和“#（.，）<n/I就

不能“介?這拈山「D"?，>?/<:2.0?/）。K-.

?V?

i3數板機連續

3.及函數

.?為我.V—八八的t義域為〃?值域「f,；一，一二冷端::

〃?使-，（」）?□記為」f（］）?稱其為ft教.v"，）；工反語數.

【注】（I）不及從個南故居仃反而敵.加了一，“反南數?而丫.1段有反雨數.

??0,.r<I?

（2）單期函數?定行反雨故.但反之則不然.如八.C--〃亞麗

3.t?1.」￡2

數?倒不單淵.

（3）外時也將F八」）的反函數」/心）。成.V/（.—.在同小系中.

VK.1）和，=/（W的圖形幣:合?「一/（r）和.、,/（，）的圖形關于八戲V?（I你.

（D/L/"）」=，?，/（?）」—」?

【例3】求1教V-如」=r盧沱反函教.

好———

由.、,=已/知

f2vv,10?

慨將，?=y+yr+y.|

由于e?>0?則

<**—.V+MIIV*?

.1—ill（.v=、I?V1?

則禹數v—、卜，—V-一^六一的反函數為.V=，1+尸》.

I.4力3品致

的3?增刑片故.淚教函牧.魚：教及反魚隹JVQt為基本初等函數.

第忑第V-，％J；★荔）

<I）*「故.VL的定義域和值域取決?〃“取值?當時?Y-廣都有定義.

⑵常見孱的數g-1.

.4

“，〃?tJ-I*

（I）定義域：（?）?臂域：（”??>.

（2）生當〃>1對?.、，=</電謔堵iV（）?“VI時?.v=“.單調減.

（3》常見用數灑故；、=，?中班照.litnr,-0.linic??,.

討效嫉故yr1，收.，J-1.<4I）

3）定義域：（。?1）?伯域：（-.4）.

④⑨?④但小名

>單調性:當。I3"單漫44:c“?：—?、=l<?K,.r單第溫

（3）常見本數話故：了Int?i.?In.liniIn/—?limIn?—?.

1?

\_'illt?y<t???y—“illj?ymli?y-*tr/?yr*rr

<1>正核由收sini勺余Oqtc<》si

j定義域：（?）?仙—i.r.

②奇偶4i、inj是一密數?COKJ?*偶函數.

;，潦期性：Mti,和rtw工―以2…期.

①有界性:Isin.1?1.<,<?<r|I.

（2）正切品>lan，與余切得與coii

①定義域：

tan.；的定義崗「，…:”?￡Z）：:；、*，：

,

，的定義域為.，-,W，）的V）i秋

2至偶々Em，和《5,2；翅匕.?:也.

⑶閭明斗-n『和rot-都以K-一期.

?“，7"t.y=;?r<?<i*!.vart'lnn，

（I）反正，式J，.aresinJ與氏—一品itarrei?.r

J定義域i1?1】?值域：）心in，？,'?：；「一：；?：；-arcWH?內值就為?二.

L■■.

2單調片iiirc+n.，單謂2.arccus」單洞或.

③奇偶性：“「EnJ是奇的致.

I、杓界F:nrcsin.r-.:.arrms.rr.

<2）反正切品及arrlanj

I定義城：《?）?什1—（:

一單調處xurcumJ里調增.

5；奇儡斗xarcun/是一匡政.

「為界'”：nrrinnJ?J

,

文人由常效和從小初，；*故"it有雙次內/ZKM,區次線由故復合身詫成K可

用一個式子表示的居數?稱為初等函數.

、函教.竹痂

1.，徜代

￡-設函數，，在某5/?有定義?如果對于區間/二一，tS

f]/（.r）/（，（或八，）l（.i）>.!1Vy八」—內弟調增加（鼻單調減少

3-t品改如限逢處

【注】南故的單蝴件屜利川中兩件的定義和?階山致晌1E負進行月定.

2.奇偈收

/（「）依】：/）?,對稱（即若，￡Q?則占一.，6Q）?圮干

仔二,r6〃?二寶:/

f<J?/（.，）?

城―為〃偶函數；力迫

/1r）/（.,）?

則稱f（，一/）卜的奇西也

【注】<I>sin，?tan/.aresin,t?arctiinr.In

./（.，）I（，J都止奇FflV（;?.i.v<?>，?/一）?/（-，）柘足偶函數.

⑶奇雨故.v/《，）的國附關「領點M稱-1"八，）A，“處〃定義.則〃一山

他兩故的圖形關干.V*川稱,

（：，）四;令（偏）函以之田3有，偏》翁力?網個小|峨通敕二根必為部函數.介函數叮

偶函放之阻必為價由收.

【例』】證冏八，）ln（,-、1?/）是左*.舐.

<L

顯然f（.r）=|n（/tJi?，）的定義城關干守點對傷.生于

八一」）hit.rt、'I.r>hi—I-一（石理化）

J?J\一/

-―hit.r??r）/（3）?

處八」）一InJ?<「r）是奇小了.

3.周劃收

二/?一，//，一八，）.貝正、周期國

數.—?：小了用。：；,卜，7「/（??最小正周期——J）的周期.

【注】（I2in.，ftlr<>5t142K為周期?、m2r.smJ.i;m/?coi.t17K力科斷.

（2）桁〃7以丁為科斯?喇八山b）H1為周期.

</

I.若卡代

，工工山丫八,，1勺\'（乂.，?在右M-d5U仟音?的」6\.恒號

/（?）;\/.

「/"\’有界函數.一，\無界函數.即8如祟對任怠的V?.至

"J個，￡\?使“八，>”?□/（，），、t工無界函數.

承⑨，④兄K%

【注】如果沒行指如上的祖圍.而說“〃，）為有界雨故”?必措f（-r）八K定N域I：

為rr界南數.

<2）常見的〃界函數：

*inrI?rt?.1I?aroin，!片.arttan/<'：?;irrv（?，&K.

3《

【例5】訐明函數八」）=asin.r是無界函數.

，證—--------------------------------------------------------------------

1I/（5廠刃=2而，卜所以.,一:V.只要正整數，一，卜大?總有

|/（2wx+1）I.2"u-；M?

故屆數八，）二.，，加，是無界的數.

，常匕題"J"」典型例題

?9H9

I.讒教育界性，單周性、周比性及奇偈性的劉定

2,復合南數

,w（|界<1,單叫竹、用網片及向偶11的判定

KM6],■7?1.11X?v'八，>是

（A）偶函數.《B）無界密數.

（C）周期函數.（1?必調的敵.

a燈及火諦注介在世勺外戈多；??。與，1?公*H04》

[B]

0指1!21）年ft學四試卷的學題.后同.

Z三,品數極限連姓

,V介函麴

7]（2WI?數二）設八'、貝I/八，）.等于

0..r?I.

.I?1xI?0.Ix,.I?

（A）0.（B）L<（>（l?c

<?.?J>1.1.xI1.

得----------------—______

當」I對?./《/?-I.I01?3/1/（.，）I：

當1/>I時?/<.，?）二。?c&1?叫/[八上）：h

W門一1?故應選（1力.

【例》】（19X8?故一.二）已知八.r）>mr./"（r>~I?則夕（，）

的定義瓏為.

M-

由/（」）；*in.，?/*（」）-1一.，?葭

?in不<">1x.

ff（I）：troin（Ii）?

這里1x|--虎?，?盧.

第二節極限

o考試內容概要

、我限俏懼念

I.致用的極收

攵工如果對于仟意給定的■二。.總存引才有

I，、0|V￡

成立.則稱常數〃為政列..J當〃趨于/窮對的極限?記〉lim,.u.

1?

【刃】“"是川來刎周八9〃的接近科'隙?、足川北刻則〃?這個拔限過程.

（3lirn,，〃的幾何心「〃點的任何￡鄰域即間

???ZJZU-t（“一八”C.一定，“1\.

,"7即第壩以行的點八冊落，/nxfiij（<；.?〃一.）內.哪1!〃〃網個（蛇名“V個）

住這X間之外.

?7?

<3）數列（八的微限比否存在?如果你作槌限值等r步少與數列的前于限項無關.

<I）lim-“GUmi,=lim.r—a.

??，?IIJ??

【01]（2006.我三>lim（"」）=.

斛-一

【方法1當〃為奇數時田（七」）」：J

\HfIIII

lim.t.-lim-^―：~1.

-???w4I

當，，為鴻斂時??，,一

〃

lim八一lim-------1.

?-o?n

卯=lim（"；」）=1.

,[方法】由于（寧）,&（寧廠>廿」?

由央遇冷則知!小（，；3）'=1,

【92】試證用3

(I)lini.r,lim.I-1u.伊反之不成。*

(2>iirn.r.=0的充分必要條件是lim.，.-0.

遼

(I)由Jlim.i,"及段列極限定義知?VG0.3、>()?、]〃\電.

??

J*.-a<€.

又”“1-1”141，??.則Ve>0?m、'>C?當〃：?、'時?

I|x,|-1<?1l<?-

故limJ「丁\u\.

??

反之不成立?例如a-(|1].但110^??1訕(”?不有4?

■—ir^??

(2)由⑴可知?若limj=0?[Jlim.，.=|0|-0.

w??一??

所以.以卜只要注明：若1加。」=O.gjlmu,-0.

???

由lim，.|=。可知?▼?><)?三、>0.當〃>、時?

??-

Ilxj-O|<c.

即”■一oIv■?故原

?K?

部我極限逢蛙

2.由數的極限

，人若對任意給定小E“?總乙，.\T：?，，XEI/（r）\￡?則稱

常敖.'為/（，）當，，一堂極限?1一巾"“，）.\.

意給定的g二.X\.1￡?

號常數人為/J）工，*丁的S限.出力hl“八，》一\

1?

.\?\.'\￡?

刃稱拿敖.'支八，〉當」?玄學極限.己為IE”J，?，

??

【汗】這里的.，?是指，…，向故列低跳中的〃》是指〃….

￡理極限存在的充要條件是極限lim-，）及lim〃.，I-在井且相等.

??-???

<，.若對仔也給定/￡>。?總存在，；”.、），，汆I?伯力/<.r>A<

￡?劉稱調M'為手斂人.「）'，?，三極段..二li“i八」）一?\?

4??

1.1}“）￡北川來刻州/（，>,/、的按近仃收?3是用來劃岫」?，這個極限過電

<2）幾何點文：《寸任意紿定的，?0?總，“"（，?8》.“i.，E[<，.?）時?仙我.v/（.|）

夾住強化線丫=八一￡和丫「\一<之間.

（3）這里.，?，?但?，，?械限Hni八小止否〃住?如果〃住極限值等JB少，八.，）

在，，處力沒打定義，如果內定N雨釵I匕少無大?只，，一，的去心然域，《，?6）

雨數值有關.加嚶在?〃『）?0倒在lJ的奈去心鄰域「<r?浦處處仃定義.

??，

若謝任章給定的￡>n?總存<?當1-6V，"時?恒有/<r）AL

￡,則稱常數八為濟數/*）當X?，時的左極限.記為

lim/（.1）A.Afit）.1?戈八，一n）\.

一，

省『：定的￡>“,總存力》?“."i，，<.，?，.z八，）\1<

e?則株常數人為逆數，（」）當二?，時的右橫■?記為

lim/（.I>—,1.或八，）.\?或八"<>>=.A.

<-?t

定.極限巾“/（r）存4的無序條件是左極限1訕八，）及彳極限lim八G存在并0一等.

---

【注】由暮分生,行橫IW分微取的同期常如仃以K??：

（I）分段函數一分界,也處的梃.?而八該分界點兩例函數入達A公M（這甲也包括帶在

絕對的的雨散.如lim上）.

,??x

（2）e一—限（如linw?lime.liinv>

?9?

⑥④a?

lime—()<Innv--.則hmc4'(fft：

4???'

linic(■=-?：.limv.則lime不存在.

??J?????

[i:]cW-.e—一?0-0.

C3>nrctan1s極限(如limaivian-?limarctan.t)

limarcun.limarvian*-2?Mflimaretail不存C;

limard;mr=力.lifnarrlan」Uijliinnrctan.r不存

JT一

[，王];irrt;m.:.).;irri;ui(->:;.ar<i;m(—)

CM3]（1992?屐一、二.三）當.，一I二?士

?T一

（B>弓T（（、》為.“））不彳f"但人為?.

本JH中出現C.所以更分五,；、；工

產-2Xo

lim

所以lim?不存七.但不是.應胃（I））.

?I.11

【?1;(2，)21.教三)ar<i;tn:?(I+|,)；"會.求a的仙.

M-----

市于litnaarctnn?<IJ)存？I?「

，?，L工?

、伊果的H版

I.""

」*,.?/、興八丁

（；]反之不成S,反例為，=<I尸.「然?之數的仃界仰/收斂?由此可W“琳Ji

與二?品盤板般連續

敢列收斂的必?條件向作充分*件?無界數列一定發散?似發散數列不?定尢界?

<-；^>.，漢，.[八,，匚，=.：F：?|<<]?,

■?

【注】反之不成九反例為八，）、mI.核雨馥住，一。的人心鄰域行界?似它〃，-

4?

0處的楣限沙in十代〃住.

2.保號檢

《徵列》設lini#?L

（I）如果>4或八<n）?3存在'<）.]〃，\時?，.?，-<）i

（2）女:果在存、什?3〃.、時..，.o（*<，"?；!.！）。（工八:

【注】注總結論II）中止產恪公等號（或“而（2）中是『嚴格小等，，丁或）.

<.-）-I/（J:=.V

（11:W\>0，或人<。）?則存在慶：?0.當，￡C</.（?）n|./（/>T機19

（2）如果存在"u?當.，w。（,，?加時?/（1）。（或/（.『），。）?那么八—“）.

【例5】3”一?；「，..；;」“‘一=I?員"上點J”

<?-（?a>

（的導數，在?目/'（“>，（）.）取代為大侑.

（0/（J）取得機小您.的導致人有4.

*-

【方法】直接法貝『出""‘'I改W仃*'：，?壽二，；

?（，一。）

。?當heL*<u.a>時.

（ra）,

乂閃為當，6匹〃“）時?（，一〃）>0.^/I?>/（<^><<>.U?

/（.1></<</）.

內極值的定義御4在1〃處/<>>取得理大伍.

【方法】排除法令八.，）-（r，”弋八，）漏總/沒條，?生。「

u處/（X）可導目/'（“）。?城根大仙?則受心（―不1確.故7位《I力.

3.技放優劣也令小之間的上A

)-；\f(j)-?<.1)?

U中Hmo(.r)

?11?

4

,出網的（i（\41則

1.女逅我見

'?-\?,.i：.Rlim.r.-lime.-a?,

2.，柳十弓戊則

單濡在界斂外必有極限,即單調信（選）有t<b）界爾教為必不極限.

［）（I）夾地用則比較多地用八求〃網和的收列微限匕?而中凋〃界加則比較多地兄

川住求遞招關系，/".）所定義的數列極限上M2）雨文極限電育對應的1乂上利條存在

淮期.

「小」求極時（〃］一〃'%〃七J

由二

又liin—一—lim/一

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田夬通原理￡.（六丁〃？七）L

【'?廠】求極限lim.r,.

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上式兩談同乘以，健

由央通.原理知hm.「2-I.

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