PAGE5．2正弦函數(shù)的性質(zhì)學(xué)問點正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)[填一填][答一答]1．“正弦函數(shù)在第一象限為增函數(shù)”的說法正確嗎？為什么？提示：不正確．事實上，“第一象限”是由全部的區(qū)間(2kπ，2kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)構(gòu)成的，在這樣若干個區(qū)間所構(gòu)成的集合的并集內(nèi)，明顯函數(shù)值不是隨著x值的增大而增大的．2．學(xué)習(xí)正弦函數(shù)的單調(diào)性有什么作用？提示：(1)比較三角函數(shù)值的大小．解決這類問題時，要先把所比較的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化成同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角的同名三角函數(shù)值，再比較大小；也可以先轉(zhuǎn)化成與銳角的三角函數(shù)值相關(guān)的形式，再比較大小．(2)求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．對于形如y＝Asin(ωx＋φ)＋k，ω>0的函數(shù)，可把ωx＋φ視為一個整體，按復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，干脆寫出ωx＋φ的單調(diào)區(qū)間，再解關(guān)于x的不等式即可．(3)借助正弦函數(shù)的圖像解三角不等式．對于可化為形如sin(ωx＋φ)≥a(ω>0)或sin(ωx＋φ)<a(ω>0)的正弦函數(shù)不等式，可把ωx＋φ視為一個整體，借助y＝sinx，x∈R的圖像和單調(diào)性，先在長度為2π的一個周期上找出適合條件的區(qū)間，然后兩邊加上2kπ，k∈Z，把它擴展到整個定義域上，最終解關(guān)于x的不等式，便可求出x的解．1．對周期函數(shù)定義的五點說明(1)T是非零常數(shù)．(2)隨意x∈D，都有x＋T∈D，T≠0，所以周期函數(shù)的定義域肯定是無界的．(3)任取x∈D，就是取遍D中的每一個x，所以周期性是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．理解定義時，要抓住每一個x都滿意f(x＋T)＝f(x)成立才行．若只有個別x滿意f(x＋T)＝f(x)，不能把T看作周期，如sin(eq\f(π,4)＋eq\f(π,2))＝sineq\f(π,4)，但sin(eq\f(π,3)＋eq\f(π,2))≠sineq\f(π,3)，所以eq\f(π,2)不是y＝sinx的周期．(4)周期也可遞推，若T是y＝f(x)的周期，那么2T也是y＝f(x)的周期．這是因為f(2T＋x)＝f[T＋(T＋x)]＝f(T＋x)＝f(x)，所以若T是y＝f(x)的周期，k∈Z且k≠0，則kT也是f(x)的周期．(5)并不是全部的函數(shù)都是周期函數(shù)．2．對函數(shù)最小正周期的兩點說明(1)最小正周期是指能使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x要加上的那個最小正數(shù)，這個正數(shù)是對x而言的，如y＝sin2x的最小正周期是π，因為y＝sin(2x＋2π)＝sin2(x＋π)，即π是使函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)的自變量x加上的最小正數(shù)，π是對x而言的，而非2x.(2)并不是全部的周期函數(shù)都有最小正周期，譬如，常數(shù)函數(shù)f(x)＝C，任一個正實數(shù)都是它的周期，因而不存在最小正周期.類型一求函數(shù)的定義域【例1】求下列函數(shù)的定義域．(1)y＝eq\r(2sinx＋1)；(2)y＝eq\r(sinx)＋eq\r(25－x2).【思路探究】(1)滿意2sinx＋1≥0的x的取值集合，即滿意sinx≥－eq\f(1,2)的x的取值集合．(2)可轉(zhuǎn)化為解不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,25－x2≥0，))先將滿意兩個不等式的x的范圍解出，再借助數(shù)軸求交集．【解】(1)由題意可知2sinx＋1≥0，故sinx≥－eq\f(1,2).因為在一個周期eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上符合條件的角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(7π,6)))，所以該函數(shù)的定義域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,6)，2kπ＋\f(7π,6)))(k∈Z)．(2)依據(jù)函數(shù)關(guān)系式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,25－x2≥0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ≤x≤2kπ＋πk∈Z，－5≤x≤5.))如圖，可得該函數(shù)的定義域為[－5，－π]∪[0，π]．規(guī)律方法正弦函數(shù)y＝sinx的定義域為R，但在求由它們與其他函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的定義域時，可由關(guān)系式有意義得到關(guān)于正弦函數(shù)的三角不等式(組)．而解三角不等式(組)，可以利用基本三角函數(shù)的圖像或單位圓中三角函數(shù)線．求函數(shù)y＝eq\r(2sinx＋\r(3))的定義域．解析：要使函數(shù)有意義，只需2sinx＋eq\r(3)≥0，即sinx≥－eq\f(\r(3),2).如圖所示，在區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(3π,2)))上，適合條件的x的取值范圍是－eq\f(π,3)≤x≤eq\f(4π,3).所以該函數(shù)的定義域是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(4π,3)))，k∈Z.類型二求函數(shù)的值域【例2】求下列函數(shù)的值域．(1)y＝3－3sinx；(2)y＝－|sinx|+sinx；(3)y＝sin2x－2sinx＋1.【思路探究】充分利用sinx的有界性及二次函數(shù)區(qū)間最值求解．【解】(1)∵－1≤sinx≤1，∴－3≤－3sinx≤3，∴0≤－3sinx＋3≤6，∴y∈[0,6]．(2)當sinx≥0時，y＝0，當sinx<0時，y＝2sinx，∴y∈[－2,0)，∴函數(shù)的值域為[－2,0]．(3)y＝(sinx－1)2，∵sinx∈[－1,1]，∴sinx－1∈[－2,0]，∴(sinx－1)2∈[0,4]，∴y∈[0,4]．規(guī)律方法函數(shù)y＝asin2x＋bsinx＋c，x∈D型函數(shù)可以通過換元，令t＝sinx化為二次函數(shù)，用配方法求其值域，但求解過程中肯定要留意中間變量的取值范圍，是一個有條件的二次函數(shù)求最值問題．求函數(shù)f(x)＝2sin2x＋2sinx－eq\f(1,2)，x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]的值域．解：令t＝sinx，因為x∈[eq\f(π,6)，eq\f(5π,6)]，所以eq\f(1,2)≤sinx≤1，即eq\f(1,2)≤t≤1.∴y＝2t2＋2t－eq\f(1,2)＝2(t＋eq\f(1,2))2－1，t∈[eq\f(1,2)，1]，且該函數(shù)在[eq\f(1,2)，1]上單調(diào)遞增．∴f(x)的最小值為f(eq\f(1,2))＝1，最大值為f(1)＝eq\f(7,2).∴f(x)的值域為[1，eq\f(7,2)]．類型三求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例3】求函數(shù)y＝logeq\f(1,2)sinx的單調(diào)遞增區(qū)間．【思路探究】設(shè)u＝sinx，先由sinx>0得出x的范圍，再利用y＝logeq\f(1,2)u的單調(diào)性求解．【解】由sinx>0得2kπ<x<2kπ＋π，k∈Z，∵eq\f(1,2)<1，∴函數(shù)y＝logeq\f(1,2)sinx的單調(diào)遞增區(qū)間即為u＝sinx的單調(diào)遞減區(qū)間．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x<2kπ＋π，k∈Z，故函數(shù)y＝logeq\f(1,2)sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋π)，k∈Z.規(guī)律方法求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，要先求定義域，同時還要留意內(nèi)層、外層函數(shù)的單調(diào)性．求函數(shù)y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的單調(diào)遞增區(qū)間．解：∵y＝2sin(eq\f(π,4)－x)＝－2sin(x－eq\f(π,4))，∴函數(shù)y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的單調(diào)遞增區(qū)間就是函數(shù)u＝2sin(x－eq\f(π,4))的單調(diào)遞減區(qū)間．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x－eq\f(π,4)≤2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)．得2kπ＋eq\f(3,4)π≤x≤2kπ＋eq\f(7π,4)(k∈Z)．∴函數(shù)y＝2sin(eq\f(π,4)－x)的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ＋eq\f(3,4)π，2kπ＋eq\f(7π,4)](k∈Z)．類型四推斷函數(shù)的奇偶性【例4】推斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))；(2)f(x)＝eq\r(1－sinx)＋eq\r(sinx－1).【思路探究】首先推斷所給函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，其次用定義干脆推斷函數(shù)的奇偶性．【解】(1)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))＝－coseq\f(3x,4)，x∈R.又f(－x)＝－cos(－eq\f(3x,4))＝－coseq\f(3x,4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)＝sin(eq\f(3x,4)＋eq\f(3π,2))是偶函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－sinx≥0，,sinx－1≥0，))得sinx＝1，所以f(x)＝0，x∈{x|x＝2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z}，定義域不關(guān)于原點對稱．所以函數(shù)f(x)＝eq\r(1－sinx)＋eq\r(sinx－1)是非奇非偶函數(shù)．規(guī)律方法推斷函數(shù)的奇偶性時，必需先推斷其定義域是否關(guān)于原點對稱，假如是，再驗證f(－x)是否等于－f(x)或f(x)，進而推斷函數(shù)的奇偶性；假如不是，那么該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)．推斷函數(shù)f(x)＝xsin(π＋x)的奇偶性．解：∵f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsinx，∴f(－x)＝xsin(－x)＝－xsinx.即f(－x)＝f(x)，又f(x)的定義域為R，∴f(x)為偶函數(shù)．類型五利用正弦函數(shù)的單調(diào)性比較大小【例5】比較下列各組數(shù)的大小．(1)sineq\f(π,4)和sineq\f(2π,3)；(2)sin(－eq\f(π,18))和sin(－eq\f(π,10))；(3)sineq\f(21,5)π和sineq\f(42π,5)；(4)sin194°和cos160°.【思路探究】變形主要有兩種：一是異名函數(shù)化為同名函數(shù)；二是利用誘導(dǎo)公式將角變換到同一單調(diào)區(qū)間上．【解】(1)sineq\f(2π,3)＝sin(π－eq\f(π,3))＝sineq\f(π,3).∵0<eq\f(π,4)<eq\f(π,3)<eq\f(π,2)，且y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，∴sineq\f(π,4)<sineq\f(π,3)，即sineq\f(π,4)<sineq\f(2π,3).(2)∵－eq\f(π,2)<－eq\f(π,10)<－eq\f(π,18)<0，且y＝sinx在區(qū)間[－eq\f(π,2)，0]上單調(diào)遞增，∴sin(－eq\f(π,18))>sin(－eq\f(π,10))．(3)sineq\f(21,5)π＝sin(4π＋eq\f(π,5))＝sineq\f(π,5)，sineq\f(42π,5)＝sin(8π＋eq\f(2π,5))＝sineq\f(2π,5).∵0<eq\f(π,5)<eq\f(2π,5)<eq\f(π,2)，且y＝sinx在(0，eq\f(π,2))上單調(diào)遞增，∴sineq\f(π,5)<sineq\f(2π,5)，即sineq\f(21,5)π<sineq\f(42,5)π.(4)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，且y＝sinx在[0°，90°]上單調(diào)遞增，∴sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.規(guī)律方法比較三角函數(shù)值大小的關(guān)鍵是利用誘導(dǎo)公式將三角函數(shù)式化成同名函數(shù)并將角轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用三角函數(shù)的單調(diào)性進行比較．比較下列各組中兩個三角函數(shù)值的大小．(1)sin250°與sin260°；(2)sin(－eq\f(54π,7))與sin(－eq\f(63π,8))．解：(1)∵sin250°＝sineq\f(25π,18)，sin260°＝sineq\f(26π,18)，y＝sinx在(π，eq\f(3π,2))上為減函數(shù)，∴sineq\f(25π,18)>sineq\f(26π,18)，即sin250°>sin260°.(2)sin(－eq\f(54π,7))＝sin(－8π＋eq\f(2π,7))＝sineq\f(2π,7)，sin(－eq\f(63π,8))＝sin(－8π＋eq\f(π,8))＝sineq\f(π,8)，∵eq\f(π,2)>eq\f(2π,7)>eq\f(π,8)>0，∴sineq\f(2π,7)>sineq\f(π,8)，即sin(－eq\f(54π,7))>sin(－eq\f(63π,8)).——易錯警示——忽視y＝sinx的有界性導(dǎo)致錯誤【例6】已知sinx＋siny＝eq\f(1,3)，求siny－cos2x的最大值．【錯解】∵sinx＋siny＝eq\f(1,3)，∴siny＝eq\f(1,3)－sinx，∴siny－cos2x＝eq\f(1,3)－sinx－(1－sin2x)＝sin2x－sinx－eq\f(2,3)＝(sinx－eq\f(1,2))2－eq\f(11,12).∵－1≤sinx≤1，∴當且僅當sinx＝－1時，siny－cos2x取得最大值eq\f(4,3).【正解】∵sinx＋siny＝eq\f(1,3)，∴siny＝eq\f(1,3)－sinx.又－1≤siny≤1，∴－1≤eq\f(1,3)－sinx≤1，又－1≤sinx≤1，∴－eq\f(2,3)≤sinx≤1.∴siny－cos2x＝eq\f(1,3)－sinx－(1－sin2x)＝sin2x－sinx－eq\f(2,3)＝(sinx－eq\f(1,2))2－eq\f(11,12)，∴當且僅當sinx＝－eq\f(2,3)時，siny－cos2x取得最大值eq\f(4,9).【錯解分析】求三角函數(shù)值時，很多三角函數(shù)式本身隱含了一些條件，在解題過程中若不挖掘出來，就會出現(xiàn)錯誤．求函數(shù)y＝sin2x＋sinx－1的值域．解：令t＝sinx，則t∈[－1,1]，∴y＝t2＋t－1＝(t＋eq\f(1,2))2－eq\f(5,4)，t∈[－1,1]，∴t＝－eq\f(1,2)，即sinx＝－eq\f(1,2)，x＝2kπ－eq\f(π,6)或2kπ－eq\f(5,6)π(k∈Z)時，ymin＝－eq\f(5,4)，當t＝1，即sinx＝1，x＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)時，ymax＝1.∴原函數(shù)的值域為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,4)，1)).一、選擇題1．函數(shù)y＝2－sinx的最大值及相應(yīng)的x的值為(C)A．y＝3，x＝eq\f(π,2)B．y＝1，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)C．y＝3，x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)D．y＝3，x＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)解析：當sinx＝－1時，y有最大值3，此時x＝－eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．2．函數(shù)y＝9－sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是(B