第一篇熱點、難點突破篇專題15幾何體與球切、接、截的問題（練）【對點演練】一、單選題1．（2022秋·湖南張家界·高三慈利縣第一中學校考階段練習）如下圖是一個正八面體，其每一個面都是正三角形，六個頂點都在球O的球面上，則球O與正八面體的體積之比是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由棱錐與球的體積公式求解，【詳解】由題意得正方形SKIPIF1<0的中心SKIPIF1<0即為外接球球心，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，故正八面體的體積SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故選：A2．（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考階段練習）2022年卡塔爾世界杯是第22屆世界杯足球賽，比賽于2022年11月21日至12月18日在卡塔爾境內7座城市中的12座球場舉行．已知某足球的表面上有四個點A、B、C、P滿足PA＝BC＝5，，，則該足球的表面積為（

）A． B． C． D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】把四面體外接球問題擴展到長方體中，求出長方體外接球半徑為R，進而求出結果．【詳解】因為PA＝BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以可以把A，B，C，P四點放到長方體的四個頂點上，將四面體放入長方體中，四面體各邊可看作長方體各面的對角線，如圖所示：則該足球的表面積為四面體A-BCP外接球的表面積，即為長方體外接球的表面積，設長方體棱長為a，b，c，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設長方體外接球半徑為R，則有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以外接球的表面積為：SKIPIF1<0.故選：D．3．（2022秋·廣東·高三校聯考階段練習）《九章算術·商功》中描述很多特殊幾何體，例如“斜解立方，得兩塹堵，斜解塹堵，其一為陽馬，其一為鱉臑”，即如圖，一個長方體，沿對角面分開（圖1），得到兩個一模一樣的塹堵（圖2），將其中一個塹堵，沿平面分開（圖2），得到一個四棱錐稱為陽馬（圖3），和一個三棱錐稱為鱉臑（圖4）.若鱉臑的體積為4，且，則陽馬的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結合長方體的性質，由鱉臑（即三棱錐）的體積求得SKIPIF1<0，進而求得長方體體對角線SKIPIF1<0，即所求外接球直徑，即可求外接球表面積.【詳解】由切割過程可知，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.SKIPIF1<0為長方體體對角線，即為SKIPIF1<0的外接球直徑，SKIPIF1<0，∴陽馬SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：B4.（2023·廣西梧州·統考一模）在三棱錐SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若三棱錐SKIPIF1<0的各頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用正弦定理求出底面SKIPIF1<0的外接圓半徑，將三棱錐SKIPIF1<0補成三棱柱，過底面外接圓中心作垂線，則垂線的中點即為外接球球心，進而即可求解.【詳解】在SKIPIF1<0中，設其外接圓半徑為r，由正弦定理可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0補成三棱柱，如圖設三棱錐SKIPIF1<0外接球半徑為R，SKIPIF1<0，所以球O的表面積為SKIPIF1<0故選：D二、填空題5．（2022·四川廣安·廣安二中校考模擬預測）已知在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的球面上，且點SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的體積為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】首先求SKIPIF1<0外接圓的半徑，再求球SKIPIF1<0的半徑，最后求球的體積.【詳解】SKIPIF1<0中，根據正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0外接圓的半徑為2，又球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<06．（2022秋·河南·高三安陽一中校聯考階段練習）已知某圓臺的上、下底面面積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，高為2，上、下底面的圓周在同一球面上，則該圓臺外接球的表面積為__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由題意圓臺上下底面的半徑分別為1和2，再分析兩底面在球心同側于異側時兩種情況，再設球的半徑為R，根據垂徑定理列式求解即可.【詳解】由題可知圓臺上下底面的半徑分別為1和2，外接球軸截面如圖所示，設球的半徑為R，當兩底面在球心同側時，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，方程無解；當兩底面在球心異側時，有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴這個球的表面積是SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<07．（2022秋·湖南株洲·高三校聯考階段練習）在四棱錐P－ABCD中，已知底面ABCD是邊長為SKIPIF1<0的正方形，其頂點P到底面ABCD的距離為4．該四棱錐的外接球O的半徑為7，若球心O在四棱錐P－ABCD內，則頂點P的軌跡長度為_____________．【答案】SKIPIF1<0【分析】畫出圖象，判斷出SKIPIF1<0點的軌跡，結合勾股定理以及圓的周長公式求得正確答案.【詳解】設正方形SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，因為四邊形ABCD是邊長為SKIPIF1<0的正方形，對角線長為SKIPIF1<0，所以該正方形外接圓半徑SKIPIF1<0，所以球心O到底面ABCD的距離SKIPIF1<0，又頂點P到底面ABCD的距離為4，點P在與底面ABCD平行的截面圓SKIPIF1<0的圓周上，由球心O在四棱錐P－ABCD內，可得截面圓的半徑SKIPIF1<0，故頂點P的軌跡長度為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<08.（2022·上海長寧·統考一模）已知SKIPIF1<0是圓柱的一條母線，AB是圓柱下底面的直徑，C是圓柱下底面圓周上異于A，B的兩點，若圓柱的側面積為4π，則三棱錐SKIPIF1<0—ABC外接球體積的最小值為___________【答案】SKIPIF1<0【分析】首先根據題意建立SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的關系式，再結合基本不等式即可求解最小值.【詳解】根據題意作圖如下：設底面圓半徑為SKIPIF1<0，圓柱高設為SKIPIF1<0，則根據圓柱的側面積為4π，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0以及SKIPIF1<0均為直角三角形，根據三棱錐SKIPIF1<0—ABC外接球的性質可知，SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0即為球心.則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以外接球的半徑SKIPIF1<0.三棱錐SKIPIF1<0—ABC外接球體積為SKIPIF1<0，所以要外接球體積最小，只需要SKIPIF1<0最小即可，又不等式可知SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，即SKIPIF1<0時成立.故三棱錐SKIPIF1<0—ABC外接球體積的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.9．（2022秋·江蘇南通·高三江蘇省如東高級中學校考階段練習）已知圓臺的內切球SKIPIF1<0與圓臺側面相切的切點位于圓臺高的SKIPIF1<0處，若圓臺的上底面半徑為SKIPIF1<0，則球的體積為______.【答案】SKIPIF1<0【分析】求得圓臺的高，也即求得球的直徑，進而求得球的半徑，從而求得球的體積.【詳解】圓臺的上底面半徑為SKIPIF1<0，由于圓臺的內切球SKIPIF1<0與圓臺側面相切的切點位于圓臺高的SKIPIF1<0處，根據切線長定理可知：圓臺的下底面半徑為SKIPIF1<0，母線長為SKIPIF1<0，所以圓臺的高為SKIPIF1<0，也即球的直徑為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，所以球的體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<010．（2022·浙江·模擬預測）棱長分別為SKIPIF1<0的長方體的所有頂點都在球O的球面上，則球O的表面積為______，體積為______．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】長方體的體對角線的交點到各個頂點的距離相等，利用體對角線公式求得半徑，結合球的表面積和體積公式，即得解.【詳解】由題意，長方體的體對角線的交點到各個頂點的距離相等，即球心SKIPIF1<0即為體對角線交點，半徑為體對角線的一半，即球SKIPIF1<0的半徑SKIPIF1<0，則球SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0【沖刺提升】一、單選題1．（2022秋·江蘇淮安·高三校考階段練習）如圖，已知三棱柱SKIPIF1<0的底面是等腰直角三角形，SKIPIF1<0底面ABC，AC＝BC＝2，SKIPIF1<0，點D在上底面SKIPIF1<0（包括邊界）上運動，則三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由條件確定球心位置，建立關于球的半徑的表達式，從而求出半徑的取值范圍即可.【詳解】如下圖所示：因為SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接球的截面圓心為SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的中點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.設球心為SKIPIF1<0，由球的截面性質可知，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以解得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當SKIPIF1<0時，外接球表面積最小為SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，外接球表面積最大為SKIPIF1<0.所以三棱錐D-ABC的外接球表面積的范圍為SKIPIF1<0.故選：A2．（2022秋·江蘇南京·高三南京師大附中校聯考階段練習）四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是邊長為SKIPIF1<0的正方形，側面SKIPIF1<0為正三角形，則其外接球體積最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】設二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得外接圓半徑最大值，再由球的體積公式求解，【詳解】設二面角SKIPIF1<0的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點為SKIPIF1<0，正方形SKIPIF1<0的中心為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到底面的距離為SKIPIF1<0，設球心SKIPIF1<0到底面的距離為SKIPIF1<0，而正方形的外接圓半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，故SKIPIF1<0最小值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即外接球體積最小值為SKIPIF1<0，故選：C二、多選題3．（2022秋·安徽·高三石室中學校聯考階段練習）已知正四棱臺上?下底面的面積分別為2和8，高為SKIPIF1<0，則下列結論正確的有（

）A．正四棱臺外接球的表面積的最小值為SKIPIF1<0B．當SKIPIF1<0時，正四棱臺外接球球心在正四棱臺下底面下方C．正四棱臺外接球的半徑隨SKIPIF1<0的增大而增大D．當SKIPIF1<0時，正四棱臺存在內切球【答案】ABD【分析】首先根據題干得到正四棱臺的上下底面的半徑,再分別按照SKIPIF1<0選項的內容研究正四棱臺的外接球和內切球,即可解決.【詳解】設正四棱臺上?下底面的外接圓的半徑分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，外接球的半徑為SKIPIF1<0，球心為O，因為正四棱臺的上?下底面面積分別為2和8，所以上?下底面的邊長分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設球心O到上底面的距離為d，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，外接球半徑最小，此時SKIPIF1<0，所以外接球的表面積的最小值為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正確.易知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不正確.當SKIPIF1<0時，所以SKIPIF1<0，所以外接球球心在正四棱臺下底面下方，故SKIPIF1<0正確.正四棱臺內切球存在時，內切球大圓是圖中梯形ABCD的內切圓，圓心SKIPIF1<0是上?下底面中心SKIPIF1<0?SKIPIF1<0連線的中點，SKIPIF1<0，設圓的半徑為r，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可知SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0正確.故選:SKIPIF1<0.4．（2022秋·山東濰坊·高三統考階段練習）截角四面體是一種半正八面體，可由四面體經過適當的截角，即截去四面體的四個頂點處的小棱錐所得的多面體，如圖所示，將棱長為SKIPIF1<0的正四面體沿棱的三等分點作平行于底面的截面，得到所有棱長均為SKIPIF1<0的截角四面體，則下列說法正確的是（

）A．該截角四面體的內切球體積SKIPIF1<0 B．該截角四面體的體積為SKIPIF1<0C．該截角四面體的外接球表面積為SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0外接圓的面積為SKIPIF1<0【答案】BD【分析】根據內切球的直徑等于正四面體高的SKIPIF1<0可求解A項，利用每個截角體積等于正四面體體積的SKIPIF1<0可求解B項，利用勾股定理求外接球的半徑可求解C項，利用勾股定理可確定SKIPIF1<0的斜邊長，進而求解D項.【詳解】該四面體底面正三角形的高等于SKIPIF1<0，所以四面體的高SKIPIF1<0，由圖可知，該截角四面體的內切球的直徑等于SKIPIF1<0，所以內切球的體積等于SKIPIF1<0，故A錯誤；正四面體的體積SKIPIF1<0，所以剪掉一個角的體積等于SKIPIF1<0，所以該截角四面體的體積為SKIPIF1<0,故B正確；取上下底面的中心為SKIPIF1<0,外接球的球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0如圖，因為截角四面體上下底面間的距離等于SKIPIF1<0，設外接球的半徑等于SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0為邊長等于SKIPIF1<0的正三角形，所以SKIPIF1<0的高等于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,又因為下底面SKIPIF1<0為正六邊形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C錯誤；連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，由正四面體對棱互相垂直可知，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圓的面積為SKIPIF1<0，故D正確.故選:BD.5．（2022秋·山東·高三校聯考階段練習）在棱長為2的正方體SKIPIF1<0中，點SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0（包含端點）上一動點，則下列選項正確的是（

）．A．三棱錐SKIPIF1<0的體積為定值B．在SKIPIF1<0點運動過程中，存在某個位置使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．截面三角形SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0D．當三棱錐SKIPIF1<0為正三棱錐時，其內切球半徑為SKIPIF1<0【答案】AC【分析】對于A，證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，從而可得SKIPIF1<0上所有點到平面SKIPIF1<0的距離不變，即可判斷；對于B，假設SKIPIF1<0平面BQC，從而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可判斷；對于C，要使截面三角形SKIPIF1<0面積的最大，只要Q到BC的距離最大，過Q作SKIPIF1<0于F，過F作SKIPIF1<0于G，連接QG，求出SKIPIF1<0的最大值即可；對于D，利用等體積法求解即可.【詳解】解：A.SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0為定值．連接SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四邊形SKIPIF1<0是平行四邊形，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0上所有點到平面SKIPIF1<0的距離不變，所以三棱錐SKIPIF1<0的高不變，所以SKIPIF1<0為定值，故A正確；B．若SKIPIF1<0平面BQC，SKIPIF1<0平面BQC，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不正確，故B錯誤；C．因為BC為定值，所以只要Q到BC的距離最長，過Q作SKIPIF1<0于F，過F作SKIPIF1<0于G，連接QG，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要使QG最長，只需QF最長，即Q點在SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0最長，此時SKIPIF1<0，故C正確，D．當Q在A點時，SKIPIF1<0為正三棱錐，設三棱錐SKIPIF1<0的內切球的半徑為SKIPIF1<0，由等體積法SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D錯誤．故選：AC.6．（2022秋·河北邢臺·高三河北南宮中學校考階段練習）如圖，在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，將SKIPIF1<0沿直線SKIPIF1<0翻折到SKIPIF1<0的位置，連接SKIPIF1<0和SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，在翻折過程中，則下列結論中正確的是（

）A．面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0B．線段SKIPIF1<0長度的取值范圍為SKIPIF1<0C．直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成的角始終為SKIPIF1<0D．當三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，點SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0外接球的外部【答案】AC【分析】利用線面垂直的判定可得SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，可判斷A選項；取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結合余弦定理，求得SKIPIF1<0，并判斷B選項；利用幾何法將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角轉化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角，判斷C選項；將幾何體還原為長方體，求得外接球半徑，進而判斷D選項.【詳解】A選項：連接SKIPIF1<0，由題意在菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，故A選項正確；B選項：如圖所示，取SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.又由A選項得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B選項錯誤；C選項：由B選項得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0所成角即為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故C選項正確；D選項：當三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由四邊形SKIPIF1<0為菱形，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的外接圓內，又SKIPIF1<0的外接圓在三棱錐SKIPIF1<0外接球的內部，故點SKIPIF1<0在三棱錐SKIPIF1<0外接球的內部，故D選項錯誤；故選：AC三、填空題7．（2022秋·江蘇·高三校聯考階段練習）已知半徑為SKIPIF1<0的球O的表面上有A，B，C，D四點，且滿足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四面體SKIPIF1<0的體積最大值為_____________；若M為SKIPIF1<0的中點，當D到平面SKIPIF1<0的距離最大時，SKIPIF1<0的面積為_____________．【答案】

SKIPIF1<0；

SKIPIF1<0【分析】第一空，設SKIPIF1<0，則滿足SKIPIF1<0，即可列出體積函數SKIPIF1<0，由導數法求最值.第二空在平面SKIPIF1<0內過點D向SKIPIF1<0作垂線，垂足為H，則D到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，由均值不等式可得SKIPIF1<0最大值，即可得SKIPIF1<0的各邊長，從而求得面積.【詳解】第一空，設SKIPIF1<0，球心O即為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0．四面體SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0（負值舍去），當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，V單調遞增：當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，V單調遞減，所以當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．第二空，在平面SKIPIF1<0內過點D向SKIPIF1<0作垂線，垂足為H，則D到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0．此時SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.8．（2022秋·江蘇常州·高三統考階段練習）在正四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0邊的中點，過點SKIPIF1<0作該正四面體外接球的截面，記最大的截面面積SKIPIF1<0，最小的截面面積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________；若記該正四面體內切球和外接球的體積分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0__________．【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0【分析】將正四面體SKIPIF1<0放置于正方體中，則正方體的外接球就是正四面體的外接球．由外接球的直徑等于正方體的對角線長，求出外接球的半徑，再利用球的截面圓性質可算出截面面積的最小值T、最大值S，可得SKIPIF1<0；用等體積法求出正四面體內切球的半徑，進而得出其體積SKIPIF1<0，再求出外接球的體積SKIPIF1<0，即可得出SKIPIF1<0．【詳解】將正四面體SKIPIF1<0放置于正方體中，如圖所示，可得正方體的外接球就是正四面體的外接球，外接球的球心O為正方體的體對角線DF的中點，設正四面體SKIPIF1<0的棱長為SKIPIF1<0，則正方體的棱長為SKIPIF1<0，因為外接球的直徑等于正方體的對角線長，所以外接球的半徑為SKIPIF1<0，E為BC邊的中點，過E作該正四面體外接球的截面，當截面過球心O時，截面面積最大，最大值為SKIPIF1<0，當截面到球心O的距離最大時，截面圓的面積取最小值，此時球心O到截面的距離為SKIPIF1<0，可得截面圓的半徑為SKIPIF1<0，從而截面面積的最小值為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0；設正四面體內切球的球心為G，半徑為SKIPIF1<0，取底面BCD的中心H，連接AH，則AH為正四面體的高，G在AH上，H在DE上，正四面體的每個面的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正四面體的高SKIPIF1<0，故正四面體的體積為SKIPIF1<0，連接G與正四面體的4個頂點可以得到4個的正三棱錐，每個正三棱錐體積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，故正四面體內切球的體積SKIPIF1<0，正四面體外接球的半徑為SKIPIF1<0，外接球的體積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案為：SKIPIF1<0；27．9．（2022·河南·統考一模）如圖，在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0沿邊AC翻折，使點D翻折到P點，且SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】先證明出SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，作出SKIPIF1<0的外心SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，判斷出三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0必在直線SKIPIF1<0上，設外接球的半徑為SKIPIF1<0，利用球的性質列方程求出SKIPIF1<0，即可求出三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積.【詳解】在梯形ABCD中，SKIPIF1<0，所以梯形ABCD為等腰梯形，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0作出其外心SKIPIF1<0如圖所示：所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，由球的性質可知，三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心SKIPIF1<0必在直線SKIPIF1<0上.設外接球的半徑為SKIPIF1<0，由球的性質可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.所以三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.10．（2022秋·廣東深圳·高三深圳中學校考階段練習）《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面ABC.已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，請寫出平面SKIPIF1<0的直角：_____________；若P，A，B，C都在球O的球面上，則球O的表面積為____________.【答案】

SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）

SKIPIF1<0【分析】證明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0放入長方體中，計算SKIPIF1<0，得到球的表面積.【詳解】SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；將SKIPIF1<0放入長方體中，如圖所示：外接球的半徑為SKIPIF1<0，故表面積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0；SKIPIF1<011．（2022秋·江蘇常州·高三常州市第一中學校考階段練習）已知空間四邊形SKIPIF1<0的各邊長及對角線SKIPIF1<0的長度均為6，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，點M在SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0外接球的半徑為______；過點M作四邊形SKIPIF1<0外接球的截面.則截面面積最大值與最小值之比為______.【答案】

SKIPIF1<0

SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【分析】空1：根據題意結合球的性質分析可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<