第03講利用函數的奇偶性、周期性和單調性求解函數問題（十種題型）一．函數單調性的性質與判斷【知識點的認識】一般地，設函數f（x）的定義域為I，如果對于定義域I內某個區間D上的任意兩個自變量x1，x2，當x1＜x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數f（x）在區間D上是增函數；當x1＞x2時，都有f（x1）＜f（x2），那么就說函數f（x）在區間D上是減函數．若函數f（x）在區間D上是增函數或減函數，則稱函數f（x）在這一區間具有（嚴格的）單調性，區間D叫做y＝f（x）的單調區間．【解題方法點撥】證明函數的單調性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結論．利用函數的導數證明函數單調性的步驟：第一步：求函數的定義域．若題設中有對數函數一定先求定義域，若題設中有三次函數、指數函數可不考慮定義域．第二步：求函數f（x）的導數f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導點的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區間，并列表．第四步：由f′（x）在小開區間內的正、負值判斷f（x）在小開區間內的單調性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問題轉化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數的取值范圍．第六步：明確規范地表述結論【命題方向】從近三年的高考試題來看，函數單調性的判斷和應用以及函數的最值問題是高考的熱點，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數的單調性、最值的靈活確定與簡單應用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎上，又注重考查函數方程、等價轉化、數形結合、分類討論的思想方法．預測明年高考仍將以利用導數求函數的單調區間，研究單調性及利用單調性求最值或求參數的取值范圍為主要考點，重點考查轉化與化歸思想及邏輯推理能力．二．函數奇偶性的性質與判斷【知識點的認識】①如果函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函數f（x）就叫做奇函數，其圖象特點是關于（0，0）對稱．②如果函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函數f（x）就叫做偶函數，其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】①奇函數：如果函數定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數；③偶函數：在定義域內一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數的單調性相反．例題：函數y＝x|x|+px，x∈R是（）A．偶函數B．奇函數C．非奇非偶D．與p有關解：由題設知f（x）的定義域為R，關于原點對稱．因為f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），所以f（x）是奇函數．故選B．【命題方向】函數奇偶性的應用．本知識點是高考的高頻率考點，大家要熟悉就函數的性質，最好是結合其圖象一起分析，確保答題的正確率．三．奇偶性與單調性的綜合【知識點的認識】對于奇偶函數綜合，其實也并談不上真正的綜合，一般情況下也就是把它們并列在一起，所以說關鍵還是要掌握奇函數和偶函數各自的性質，在做題時能融會貫通，靈活運用．在重復一下它們的性質①奇函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其圖象特點是關于（0，0）對稱．②偶函數f（x）的定義域關于原點對稱，且定義域內任意一個x，都有f（﹣x）＝f（x），其圖象特點是關于y軸對稱．【解題方法點撥】參照奇偶函數的性質那一考點，有：①奇函數：如果函數定義域包括原點，那么運用f（0）＝0解相關的未知量；②奇函數：若定義域不包括原點，那么運用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關參數；③偶函數：在定義域內一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數，定義域關于原點對稱的部分其單調性一致，而偶函數的單調性相反例題：如果f（x）＝為奇函數，那么a＝．解：由題意可知，f（x）的定義域為R，由奇函數的性質可知，f（x）＝＝﹣f（﹣x）?a＝1【命題方向】奇偶性與單調性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運用奇偶函數的性質是一個基本前提，另外做題的時候多多總結，一定要重視這一個知識點．四．函數的周期性【知識點的認識】函數的周期性定義為若T為非零常數，對于定義域內的任一x，使f（x）＝f（x+T）恒成立，則f（x）叫做周期函數，T叫做這個函數的一個周期．常函數為周期函數，但無最小正周期，其周期為任意實數．【解題方法點撥】周期函數一般和偶函數，函數的對稱性以及它的圖象相結合，考查的內容比較豐富．①求最小正周期的解法，盡量重復的按照所給的式子多寫幾個，例：求f（x）＝的最小正周期．解：由題意可知，f（x+2）＝＝f（x﹣2）?T＝4②與對稱函數或者偶函數相結合求函數與x軸的交點個數．如已知函數在某個小區間與x軸有n個交點，求函數在更大的區間與x軸的交點個數．思路：第一，這一般是個周期函數，所以先求出周期T；第二，結合函數圖象判斷交點個數；第三，注意端點的值．【命題方向】周期函數、奇偶函數都是高考的常考點，學習是要善于總結并進行歸類，靈活運用解題的基本方法，為了高考將仍然以小題為主．【熱點、重難點題型】題型一：利用函數奇偶性求參數值一、單選題1．（2022·河南·項城市第三高級中學高三期中）若函數為奇函數，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據奇函數定義式列方程求解即可.【詳解】因為為奇函數，所以，即所以.故選：C.2．（2022·黑龍江·哈爾濱七十三中高三階段練習）已知函數，則“函數為偶函數”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據偶函數的定義求出當函數為偶函數時，實數的值，再利用集合的包含關系判斷可得出結論.【詳解】若函數為偶函數，則對任意的，，因為，則，即，即，所以，，解得，又因為，因此，“函數為偶函數”是“”的必要不充分條件.故選：B.3．（2022·山西忻州·高三階段練習）已知函數的最大值與最小值之和為6，則實數a的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根據為奇函數，求解即可.【詳解】解：，定義域為，令，因為，所以函數為奇函數，設的最大值為，最小值為，所以，因為，函數的最大值與最小值之和為，所以，解得.故選：B二、填空題4．（2022·全國·高三專題練習）若函數，為奇函數，則參數a的值為___________．【答案】1【分析】根據奇函數的定義可求參數的值.【詳解】當時，，當時，，故，而，故即，故答案為：1.5．（2022·江西·修水中等專業學校高三階段練習）若二次函數為偶函數，則_______．【答案】1【分析】由題意，代入求解即可.【詳解】由題意，為偶函數，故，即，即，對恒成立，故，即.故答案為：1三、解答題6．（2022·山西太原·高三期中）已知是偶函數．(1)求實數k的值；(2)求不等式的解集．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用偶函數的定義，建立方程，結合對數運算，可得答案；（2）由（1）所得函數解析式，整理不等式，利用一元二次不等式的解法，解得指數函數性質，可得答案.【詳解】（1）由題意，，則，解得.（2）由（1）可知，則，整理為，，，，，，解得，即.7．（2022·上海市嘉定區安亭高級中學高三期中）已知函數為奇函數(1)求的值，判斷并證明在其定義域上的單調性；(2)若關于的不等式對任意恒成立，求實數k的取值范圍．【答案】(1)；在定義域上單調遞增，證明見解析；(2).【分析】（1）根據奇函數的定義，結合函數單調性的定義、指數函數的性質進行求解即可；（2）根據函數的單調性和奇偶性，結合常變量分離法、構造函數法，利用導數的性質進行求解即可.【詳解】（1）函數的定義域為R，函數為奇函數，，經檢驗，為奇函數.函數的定義域為R，，R且，，因為，所以，而，所以，故在R上單調遞增．（2）因為為奇函數，所以有又因為在R上單調遞增，，所以對任意恒成立，即，令，，設，，所以在上單調遞增，所以：.8．（2022·上海市控江中學高三階段練習）對于兩個定義域相同的函數，若存在實數使，則稱函數是由“函數”生成的.(1)若和生成一個偶函數，求的值；(2)若是由函數且生成，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）先用待定系數法表示出偶函數，再根據其是偶函數這一性質得到引入參數的方程，求出參數的值，即得函數的解析式，代入自變量求值即可；（2）先用待定系數法表示出函數，再根據同一性建立引入參數的方程求參數，然后再求的取值范圍；（1）設，是偶函數，∴，即，．（2）設，，解得，．由知，，當且時，，當時取等號，當時，，當時取等號，．9．（2022·全國·高三專題練習）已知函數，，且的圖象關于坐標原點成中心對稱.(1)求實數的值；(2)若在y軸的右側函數的圖象始終在的圖象上方，求實數的取值范圍.【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據題意可知函數為奇函數，可利用特殊值計算出實數的值，然后檢驗函數為奇函數即可.（2）在y軸的右側函數的圖象始終在的圖象上方可轉化為在恒成立，然后利用分離參數法轉化為求函數最值即可.（1）的圖象關于坐標原點成中心對稱，是奇函數，，，解得又時，，，所以.（2）在軸的右側函數的圖象始終在的圖象上方，即對恒成立.與在上都是增函數，在上是增函數，當時，，解得，故所求實數的取值范圍為.10．（2022·上海市延安中學高三期中）已知，，其中，且函數為奇函數；(1)若函數的圖像過點A（1，1），求實數m和n的值；(2)當時，不等式對任意恒成立，求實數a的取值范圍；(3)設函數，若對任意，總存在唯一的使得成立，求實數m的取值范圍；【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）運用奇函數的定義可得，再由圖象經過點，解方程可得；（2）問題轉化為在，上恒成立．構造函數，研究單調性求最值即可；（3）求得當時，；當時，．分別討論，，，運用基本不等式和單調性，求得的范圍．【詳解】（1）函數為奇函數，可得，即，，則，由的圖象過，可得（1），即，解得，；（2）當時，，易知，，∴，記，則在，遞增．理由：設，則，由，可得，，，則，即，可得在，遞增；∴，∴實數a的取值范圍；（3）當時，；當時，．①時，時，；時，不滿足條件，舍去；②當時，時，，，時，，，，由題意可得，，，可得，即；綜上可得；③當時，時，，，時，，，，由題意可得，，，可得，可令，則在上遞減，，，可得，即，綜上可得，所以的取值范圍是．題型二：利用函數奇偶性解抽象函數不等式一、單選題1．（2022·陜西·蒲城縣蒲城中學高三階段練習（理））已知是偶函數，是奇函數，定義域均為，二者在上的圖象如圖所示，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先根據圖象求出當時，不等式的解集和的解集，再利用函數奇偶性質得到是奇函數，求出時，不等式的解集，從而得到不等式在定義域為時，的解集.【詳解】有圖可得，當時，，，；當時，，，故.所以當時，不等式的解集為.又因為是偶函數，是奇函數，所以是奇函數，由奇偶性可知，當時，不等式的解集為，所以不等式的解集是.故選：A.2．（2022·廣東·高三階段練習）已知是定義在上的偶函數，在上是增函數，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意，作出函數簡圖，數形結合列指數不等式，并求解.【詳解】是定義在上的偶函數，在上是增函數，且，作出函數的簡圖，如圖所示，則時，，或，所以可得不等式的解集為.故選：B3．（2023·全國·高三專題練習）函數在單調遞增，且為奇函數，若，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由為奇函數可化簡不等式得到，利用單調性可得自變量的大小關系.【詳解】為奇函數，，又，，則可化為：，在單調遞增，，解得：，的取值范圍為.故選：C.4．（2022·安徽省亳州市第一中學高三階段練習）已知函數的定義域為，對定義域內任意，都有，且當時，，則不等式的解集為（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據題意可判斷函數的奇偶性和單調性，即可根據以及單調性，奇偶性進行求解.【詳解】由于對定義域內任意，都有，取則，取則，則，所以是偶函數，令，則由時，得，所以在上單調遞增，由于，當時，原不等式可化為：，即，當時，原不等式可化為：，即，，當時，由是偶函數可得或，故原不等式的解集是：,故選：A5．（2022·上海·上外附中高三階段練習）已知定義在上的奇函數的導函數為，當時，，且，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構造函數，其中，分析函數的奇偶性及其在上的單調性，將所求不等式變形為，利用函數的奇偶性與單調性可得出原不等式的解集.【詳解】由題意可知，當時，，構造函數，其中，則，所以，函數為偶函數，且當時，，所以，函數在上單調遞減，因為，由可得，即，所以，，故，即或，解得或.故選：C.6．（2022·云南·高三階段練習）已知函數，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先判斷函數的奇偶性，再得到時的單調性，利用偶函數比大小的處理方式，轉化為，即可求解.【詳解】因為，所以是偶函數，當時，是增函數．又因為，所以可化為，可得到，解得．故選：A.7．（2023·全國·高三專題練習）已知偶函數在上單調遞減，若，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先利用偶函數的性質得到在上單調遞增，.把原不等式轉化為或即可解得.【詳解】因為偶函數在上單調遞減，所以在上單調遞增，且，又，所以.由，得或所以或解得或.故x的取值范圍是.故選：D.8．（2023·全國·高三專題練習）已知函數為偶函數，且當時，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導數判斷函數的單調性，在根據偶函數性質得到全局的單調性，最后根據單調性脫去函數記號，解不等式來處理.【詳解】當時，，所以，因為，所以，即，所以函數在上單調遞增，又因為函數為上的偶函數，所以函數在上單調遞減．則不等式，即等價于，解得或．故選：D．二、多選題9．（2022·浙江·高三開學考試）已知是定義在上的奇函數，當時，恒成立，則（

）A．在上單調遞增B．在上單調遞減C．D．【答案】BC【分析】由已知，結合題意給的不等關系，兩邊同除得到，然后根據，即可判斷與兩者的大小，從而判斷選項A，選項B由前面得到的不等關系，通過放縮，即可確定與的大小，從而確定函數的單調性，選項C和選項D，可利用前面得到的不等式，令，帶入，然后借助是奇函數進行變換即可完成判斷.【詳解】由已知，，，所以，即，因為，所以，所以，因為，所以，因為是定義在上的奇函數，所以，所以，所以，因為，所以在上單調遞增，故選項A錯誤；因為，，所以，所以，即，又因為，所以在上單調遞減，選項B正確；因為時，恒成立，所以令，代入上式得，即，又因為是定義在上的奇函數，所以，所以，故選項C正確，選項D錯誤.故選：BC.三、填空題10．（2022·上海·同濟大學第一附屬中學高三階段練習）設奇函數在上嚴格遞增，且，則不等式的解集為___________.【答案】【分析】由函數的奇偶性化簡不等式，結合單調性求解【詳解】由題意得是奇函數，則等價于，即，而在上嚴格遞增，，故時，，時，，由為奇函數，得時，，時，，綜上，的解集為故答案為：11．（2022·江西·萍鄉市第二中學高三階段練習（理））已知函數是定義域為的奇函數，當時，，且，則不等式的解集為___________.【答案】【分析】利用奇函數的性質得到，再根據不等式構造函數，分析函數在時的單調性，根據單調性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因為為奇函數，定義域為，所以，，又因為時，，所以，構造函數，所以，所以當時，，在上單調遞增，又因為，所以，在上大于零，在上小于零，又因為，所以當時，在上大于零，在上小于零，因為為奇函數，所以當時，在上小于零，在上大于零，綜上所述：的解集為.故答案為：.【點睛】常見的函數構造形式：①，；②，.12．（2022·山西太原·高三期中）已知定義在上的函數滿足，且是的導函數，當時，，則不等式的解集為________．【答案】【分析】令，進而結合題意得函數為上的偶函數，在上單調遞增，在上單調遞減，，進而根據單調性和奇偶性解不等式即可.【詳解】解：令，則因為，即，所以，即函數為偶函數，因為，當時，所以，當時，，函數為單調遞減函數，因為函數為上的偶函數所以，函數在上單調遞增，在上單調遞減，因為，所以因為可變形為，即，因為函數為上的偶函數，在上單調遞增，在上單調遞減，所以，或，即或，所以，不等式的解集為故答案為：四、解答題13．（2022·江西·貴溪市實驗中學高三階段練習（理））已知函數是定義在上的偶函數，當時，是一個二次函數的一部分，其圖象如圖所示．(1)求在上的解析式；(2)若函數，，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）采用待定系數法，結合圖象可求得在時的解析式；由時，可求得；由此可得分段函數解析式；（2）首先確定解析式，分別在、和的情況下，根據單調性得到最大值.（1）當時，結合圖象可設：，，，；當時，，，又為偶函數，；綜上所述：.（2）當時，，則開口方向向下，對稱軸為；①當，即時，在上單調遞減，；②當，即時，在上單調遞增，在上單調遞減，；③當，即時，在上單調遞增，；綜上所述：.14．（2022·浙江·東陽市橫店高級中學高三階段練習）已知函數的定義域為，滿足且.(1)求函數的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出、的值，即可得出函數的解析式；（2）任取、且，作差，因式分解，并判斷差值符號，即可證得結論；由題意可得出，利用函數的定義域和單調性可得出關于的不等式組，解之即可.（1）由可得，可得，解得，，，故.（2）任取、且，即，則，，所以，，則，所以，函數在上為增函數.由可得，結合單調性可得，解得，因此，不等式的解集為.15．（2022·全國·高三專題練習）已知定義域為的函數為奇函數．(1)求的值；(2)，恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)1(2)【分析】（1）根據奇函數的性質和定義進行求解即可；（2）根據函數的單調性和奇偶性及一元二次函數的恒成立進行求解即可.（1）因為是定義在上的奇函數，所以，則（經檢驗，時為奇函數，滿足題意）．（2）因為是奇函數，所以不等式等價于，又由（1）知，易知是上的減函數，所以，即對任意的有恒成立，從而對應方程的根的判別式，解得．所以的取值范圍為．16．（2022·山東·汶上圣澤中學高三階段練習）定義在上的函數滿足下面三個條件：①對任意正數，都有；②當時，；③(1)求和的值；(2)試用單調性定義證明：函數在上是減函數；(3)求滿足的的取值集合．【答案】(1),(2)證明見解析(3)【分析】（1）賦值計算得解；（2）根據定義法證明單調性；（3）根據①及單調性計算得解.（1）得，則，而，且，則；（2）取定義域中的任意的，，且，，當時，，，，在上為減函數．（3）由條件①及（1）的結果得，，，，，解得，故的取值集合為.題型三：構造奇偶函數求函數值一、單選題1．（2022·四川成都·模擬預測（理））函數在上的最大值與最小值的和為（

）A．-2 B．2C．4 D．6【答案】D【分析】將函數左移一個單位，即，，根據解析式可判斷，即函數關于對稱，即可求解.【詳解】將函數左移一個單位，得，，則，所以函數關于對稱，故最大值與最小值也關于對稱，其和為6，故選：D2．（2022·河南·偃師市緱第四中學高三階段練習（理））已知函數，若，則（

）A．2 B．1 C．－2 D．－5【答案】B【分析】構造函數，利用其奇偶性求解.【詳解】設，則，所以是奇函數．因為，所以，則f(－a)＝1．故選：B3．（2022·江西南昌·模擬預測（理））設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據抽象函數的性質逐項判斷即可.【詳解】因為為奇函數，所以，所以函數圖象關于點對稱，因為是偶函數，所以，即，所以函數圖象關于直線對稱，所以，所以，所以函數周期為4，所以，，無法確定其值，故A正確；BCD無法確定.故選：A4．（2022·陜西·銅川市耀州中學模擬預測（理））已知正方形的四個頂點都在函數圖象上，且函數圖象上的點都滿足，則這樣的正方形最多有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】設，得到，根據的奇偶性，得到，得到，設對角線所在的直線為，聯立方程組求得，，結合，得到，令，求得的值，即可求解.【詳解】設函數，則函數是上的奇函數，且在上單調遞增，可得，所以，所以，即，其對稱中心為原點，所以正方形的中心為原點，設正方形的對角線所在的直線為，由，整理得，所以，同理可得，由，可得，即，令，則，所以或，所以這樣的正方形最多有2個．故選：B.【點睛】對于函數的基本性質綜合應用問題解答時，有時需要通過構造函數的奇偶性進行轉化.二、多選題5．（2022·江蘇·姜堰中學高三階段練習）下列命題中真命題有（

）A．已知，若與的夾角為銳角，則B．若定義域為R的函數f（x）是奇函數，函數f（x－1）為偶函數，則f（2）＝0C．復數z滿足|z|2＝z2D．函數的最大值是5【答案】BD【分析】根據平面向量夾角的坐標表示公式、奇偶函數的性質，結合復數模的定義和乘方運算、導數的性質逐一判斷即可.【詳解】A：因為，所以，當與同向時，有，即，顯然，顯然當時，與的夾角不是銳角，故本命題不是真命題；B：因為函數f（x－1）為偶函數，所以，又因為函數f（x）是奇函數，所以，即，所以本命題是真命題；C：當時，，所以本命題是假命題；D：的定義域為，，當時，單調遞增，當時，單調遞減，所以，因此本命題是真命題，故選：BD【點睛】關鍵點睛：利用導數求函數的最值是解題的關鍵.三、填空題6．（2022·重慶一中高三階段練習）已知（a，b為實數），，則______．【答案】-2014【分析】先化簡得到，再利用函數奇偶性進行求解.【詳解】，因為為奇函數，所以，其中，所以，解得：故答案為：-20147．（2022·福建·高三階段練習）已知函數，若，則______.【答案】【分析】構造奇函數，根據函數的奇偶性性質即可求解.【詳解】令，，所以為奇函數，則有，因為，所以，則，所以，故答案為:.8．（2022·河南省淮陽中學模擬預測（理））已知函數，則在上的最大值與最小值之和為______．【答案】【分析】利用誘導公式化簡，令，，根據奇偶性定義可證得為奇函數，得到，由此推導得到結果.【詳解】；令，當時，，；令，，，為定義在上的奇函數，，，即，在上的最大值和最小值之和為.故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：本題考查構造奇函數求解最值之和的問題，解題關鍵是能夠根據已知函數解析式構造出奇函數的形式，從而利用奇函數的對稱性得到最值之和.四、雙空題9．（2021·河北省曲陽縣第一高級中學高三階段練習）我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖像關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.（1）請寫出一個圖象關于點成中心對稱的函數解析___________；（2）利用題目中的推廣結論，則函數圖象的對稱中心坐標是___________.【答案】

（答案不唯一）

【分析】(1)由推廣結論可得為奇函數，由此寫出符合要求的函數解析式；(2)設為圖象的對稱中心，為奇函數，設，利用為奇函數，則，即可得出結果.【詳解】（1）因為函數的圖象關于點成中心對稱，所以為奇函數，只要設，則.（注：答案不唯一，只要滿足為奇函數）（2）設函數圖象的對稱中心為，則，因為為奇函數，所以，即，所以得，解得，.即函數圖象的對稱中心坐標是故答案為：（答案不唯一）；五、解答題10．（2022·上海市楊浦高級中學高三開學考試）對于兩個定義域相同的函數和，若存在實數m、n使，則稱函數是由“基函數和”生成的．(1)若和生成一個偶函數，求的值；(2)若由函數（，且）生成，求的取值范圍：(3)試利用“基函數和”生成一個函數，使之滿足下列條件：①是偶函數；②有最小值1．求函數的解析式并進一步研究該函數的單調性．（無需證明）【答案】(1)0.(2).(3)，在遞減，在遞增.【分析】（1）由列方程，根據為偶函數求得的關系式，進而求得的值.（2）由列方程組，化簡后求得的關系式，利用導數求得的取值范圍.（3）構造函數，并證得其奇偶性和單調性.（1）解：由為偶函數可知，所以.（2）解：由得，所以，由于，所以可化簡得，所以.構造函數，，所以函數在上遞增，在上遞減，所以函數在處，有極大值，在處有極小值.所以的取值范圍是.（3）解：構造函數，，所以為偶函數.由于，所以有最小值符合題意.在遞減，在遞增.另補證明：由于為偶函數，只需求得上的單調性.構造函數，，由于時，，故，所以函數在上遞增.根據復合函數單調性同增異減可知，函數在上遞增.根據為偶函數可知，函數在遞減.【點睛】本小題主要考查新定義函數的概念理解，考查利用導數、基本不等式等方法求最值，考查函數的單調性和奇偶性，考查化歸與轉化的數學思想方法，綜合性較強，屬于中檔題.11．（2020·全國·高三專題練習）已知冪函數的圖象過(2，).（1）求m的值與函數的定義域；（2）已知，求的值.【答案】（1），；（2）1【分析】（1）由已知得，可求得函數的解析式和定義域；（2）設，則，由，得出為奇函數，可求得所求的值.【詳解】（1）因為冪函數的圖象過(2，)，所以，∴，∴，函數的定義域為.（2）設，則，∴，∴為奇函數，∴.【點睛】本題考查求冪函數的解析式，冪函數的定義域，函數的奇偶性的應用，屬于中檔題.題型四：奇偶性與周期性綜合問題一、解答題1．（2021·全國·高三專題練習）設是定義在上的奇函數，且對任意實數，恒有，當時，，當時，求的解析式．【答案】，【分析】求出是周期為的周期函數，根據奇函數可得時的解析式，再由周期為即可求出當時的解析式.【詳解】因為對任意實數，恒有，所以，所以是周期為的周期函數，當時，時，，又因為是定義在上的奇函數，所以，可得，當時，，所以，因為是周期為的周期函數，所以，.2．（2022·全國·高三專題練習）已知函數是定義在上的奇函數，且它的圖象關于直線對稱.(1)求證：是周期為4的周期函數；(2)若，求時，函數的解析式.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】(1)由函數的圖象關于直線對稱，可得，即，又因為是奇函數，所以，從而得，即可得周期為4；(2)先求得時，，再結合周期為4，即求得在上的解析式.（1）解：證明：由函數的圖象關于直線對稱，有，即有，又函數是定義在上的奇函數，有，故，從而，即是周期為的周期函數；（2）解：由函數是定義在上的奇函數，有，時，，，故時，，時，，，從而，時，函數的解析式為3．（2022·河南·高三階段練習（理））已知是定義在上的偶函數，且.(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍；(3)設，若存在，對任意的，都有，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用偶函數定義可得參數值，從而的解析式；（2）易知在上單調遞增，逆用單調性化為具體不等式問題，參變分離求最值即可；（3）原問題等價于在上的最小值不大于在上的最小值.（1）由題意知，即，所以，故.（2）由（1）知，，易知在上單調遞增，所以不等式恒成立，等價于，即恒成立.又，當且僅當時，等號成立，所以，即實數的取值范圍是.（3）因為存在，對任意的，都有，所以在上的最小值不大于在上的最小值.因為在上單調遞增，所以當時，.圖象的對稱軸方程為，當時，在上單調遞增，，解得，所以；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，，解得；當時，在上單調遞減，，解得，所以.綜上，實數的取值范圍是.4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數．（1）若滿足為R上奇函數且為R上偶函數，求的值；（2）若函數滿足對恒成立，函數，求證：函數是周期函數，并寫出的一個正周期；（3）對于函數，，若對恒成立，則稱函數是“廣義周期函數”，是其一個廣義周期，若二次函數的廣義周期為（不恒成立），試利用廣義周期函數定義證明：對任意的，，成立的充要條件是．【答案】（1）0；（2）證明見解析，正周期為24；（3）證明見解析．【解析】（1）根據為R上奇函數，可得，根據為R上偶函數，可得，進一步可得，所以的一個周期為，根據周期求出結果即可；（2）根據題意推出，得到函數的一個周期為，再結合的一個周期為，可得，從而可得結果；（3）充分性：利用可證；必要性：根據可得，再根據和，得到，根據以及二次函數知識可得，即.【詳解】（1）因為滿足為R上奇函數，所以，所以，又因為滿足為R上偶函數，所以，所以，所以有，所以，所以，所以，所以的一個周期為，所以，在中令，得，所以，在中令，得，所以，所以；（2）因為，所以因為，所以，所以函數的一個周期為，因為，所以，所以是周期函數，一個正周期為24；（3）充分性：當時，，此時，所以充分性滿足；必要性：因為二次函數的廣義周期為，所以，所以，所以，又因為不恒成立，所以，所以，又因為，且，所以，因為，所以，所以，即，也即，所以必要性滿足．所以：對任意的，，成立的充要條件是．【點睛】本題考查了由函數的奇偶性推出周期性，考查了利用奇偶性和周期性求函數值，考查了周期函數的定義，考查了新定義，考查了二次函數的圖象和性質的應用，考查了充要條件的證明，屬于難題.5．（2022·上海·高三專題練習）函數，其中是定義在上的周期函數，，為常數（1），討論的奇偶性，并說明理由；（2）求證:“為奇函數“的一個必要非充分條件是”的圖象有異于原點的對稱中心”（3），在上的最大值為，求的最小值.【答案】（1），奇函數；，非奇非偶函數；（2）證明見解析；（3）.【解析】（1）就分類討論，后者利用反例說明為非奇非偶函數.（2）通過反例說明非充分性成立，設的周期為，可以證明當為奇函數時成立，從而可得有異于原點的對稱中心.（3）先考慮時，，再通過反證法可證明不成立，從而可得，也可以利用絕對值不等式證明成立，結合時，可得.【詳解】（1），時，，為奇函數，時，∵，∴不是奇函數.，，，.若為偶函數，則即，因為，故無解，∴不是偶函數，所以是非奇非偶函數.（2）非充分性：舉反例，有異于原點的對稱中心，但不是奇函數；必要性：設奇函數，且，令，，而，故，令，則的圖象關于對稱.（3）法一：，取，則，∴；下證的最小值為，反證法：假設，，∵，∴，∴①；同理∵，∴②；∵，∴，③；②-①得，③-②得，矛盾，所以假設不成立，得證.法二：，，當時，，.【點睛】方法點睛：（1）說明一個函數為非奇非偶函數，一般利用反例來說明；（2）如果函數滿足，則的圖象有對稱中心.（3）雙重最值問題，可以利用絕對值不等式先求出范圍，再驗證等號可以成立.題型五：單調性與奇偶性綜合問題一、解答題1．（2022·全國·高三階段練習（文））已知對任意兩個實數a，b，定義，設函數，分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且．(1)求函數的最小值；(2)若不等式對任意實數t恒成立，求非零實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用賦值法求得以及，結合圖象求得的最小值.（2）根據的奇偶性、單調性化簡不等式，對進行分類討論，由此求得的取值范圍.【詳解】（1），，令，則是奇函數，而是偶函數，所以，即，解得，.所以的圖象如下圖所示，由圖可知的最小值為.（2）由（1）得，是偶函數，開口向上，在區間上遞增，上遞減，不等式對任意實數t恒成立，，，當時，恒成立，符合題意.當時，，所以，恒成立，所以，解得.當時，，所以，恒成立，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是.2．（2022·湖北·棗陽一中高三期中）已知函數的定義域為R，且．(1)判斷的奇偶性及在上的單調性，并分別用定義進行證明；(2)若對，恒成立，求實數a的取值范圍．【答案】(1)為偶函數，在上的單調遞增，證明見解析.(2).【分析】（1）利用換元法，令，則，，即可求得函數解析式，根據函數奇偶性以及單調性的定義，判斷函數的奇偶性和單調性，進而證明結論.（2）將原不等式化為，進而得在恒成立，繼而轉化為求函數的最值問題，求得答案.【詳解】（1）令，則，，則，為偶函數，下面證明：的定義域為R，關于原點對稱；，則，，所以為偶函數；在上的單調遞增，下面利用定義法證明：設，，，，因為，，所以，，所以，，則，即，所以在上的單調遞增．（2）由題意知，，恒成立，因為，在上的單調遞增，且為偶函數，所以當時，，，即在恒成立，所以a小于或等于的最小值．令，與在上的奇偶性單調性相同，所以，（），故的最小值為2，所以．3．（2022·江蘇鎮江·高三期中）已知函數是定義在上的奇函數.(1)求函數的解析式，判斷函數在定義域上的單調性并證明；(2)令，若對，使得，求實數的取值范圍.【答案】(1)，在上單調遞減，證明見解析(2)【分析】（1）根據函數是定義在上的奇函數，利用奇函數的性質求解，即可得函數的解析式；判斷函數在上的單調性，利用單調性定義任取，且，作差變形，判斷差的符號即可證明單調性；（2）根據不等式，參變分離轉化為函數最值問題，即得實數的取值范圍.【詳解】（1）解：是上的奇函數，再由在上單調遞減任取，且，則，在上遞減.（2）解：對恒成立令，即的取值范圍為.4．（2022·廣東實驗中學高三階段練習）已知函數對任意實數恒有，當時，，且(1)判斷的奇偶性；(2)求函數在區間上的最大值；(3)若恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)奇函數，理由見解析；(2)最大值為；(3)或.【分析】（1）令求得，令結合奇偶性定義即可判斷；（2）令，根據已知條件及單調性定義即可判斷單調性，利用單調性求最值；（3）由（2），問題化為恒成立，根據一次函數性質，討論參數m求范圍.（1）令，則，可得，令，則，可得，又定義域為R，故為奇函數.（2）令，則，且，因為時，，所以，故，即在定義域上單調遞減，所以在區間上的最大值為.（3）由（2），在上，恒成立，即恒成立，所以恒成立，顯然時不成立，則，可得；，可得；綜上，或.5．（2022·上海南匯中學高三期中）歐拉對函數的發展做出了巨大貢獻，除特殊符號、概念名稱的界定外，歐拉還基于初等函數研究了抽象函數的性質，例如，歐拉引入倒函數的定義：對于函數，如果對于其定義域中任意給定的實數，都有，并且，就稱函數為倒函數.(1)已知，，判斷和是不是倒函數，并說明理由；(2)若是上的倒函數，當時，，方程是否有正整數解？并說明理由；(3)若是上的倒函數，其函數值恒大于，且在上是嚴格增函數.記，證明：是的充要條件.【答案】(1)是倒函數，不是倒函數，理由見解析(2)沒有，理由見解析(3)證明見解析【分析】（1）利用“倒函數”的定義判斷函數、，可得出結論；（2）分析可知當時，，則方程若存在整數解，則，構造函數，利用零點存在定理可得出結論；（3）推導出函數為上的奇偶性、單調性，再利用函數的單調性、奇偶性結合充分條件、必要條件的定義證明可得結論.【詳解】（1）解：函數的定義域為，對任意的，，所以，函數為倒函數，函數的定義域為，該函數的定義域不關于原點對稱，故函數不是倒函數.（2）解：當時，則，由倒函數的定義可得，由滿足倒函數的定義，當時，函數、均為增函數，故函數在上為增函數，故當時，，當時，，若函數有整數解，則，設，則函數在上單調遞增，因為，，所以，存在，使得，即，故方程無整數解.（3）解：因為函數是上的倒函數，其函數值恒大于，且在上是嚴格增函數，所以，，任取、且，則，所以，，，所以，，所以，函數為上的增函數，因為，故函數為上的奇函數.當時，即，則，所以，，即“”“”；若，則，所以，，即.所以，“”“”.因此，是的充要條件.【點睛】方法點睛：函數單調性的判定方法與策略：（1）定義法：一般步驟：設元作差變形判斷符號得出結論；（2）圖象法：如果函數是以圖象的形式給出或者函數的圖象易作出，結合圖象可得出函數的單調區間；（3）導數法：先求出函數的導數，利用導數值的正負確定函數的單調區間；（4）復合函數法：先將函數分解為內層函數和外層函數，再討論這兩個函數的單調性，然后根據復合函數法“同增異減”的規則進行判定.6．（2020·全國·高三專題練習（理））設是偶函數，且當時，（1）當時，求的解析式；（2）設函數在區間上的最大值為，試求的表達式；（3）若方程有四個不同的實根，且它們成等差數列，試探求與滿足的條件．【答案】（1）；（2）；（3）與滿足的條件為且，或且，或且.【分析】（1）利用偶函數的性質求得當時，的解析式.（2）根據是偶函數得到在區間上的最大值即為它在區間上的最大值，對分成等情況進行分類討論，結合的單調性，求得的表達式.（3）根據方程在上的根的個數進行分類討論，結合二次函數的性質、偶函數的性質，求得與滿足的條件.【詳解】（1）依題意是偶函數，當時，同理，當時，，所以，當時，的解析式為（2）因為是偶函數，所以它在區間上的最大值即為它在區間上的最大值，①當時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以②當時，在與上單調遞增，在與上單調遞減，所以此時只需比較與的大小．（i）當時，，所以（ii）當時，，所以.③當時，在與上單調遞增，在上單調遞減，且，所以.綜上所述，．（3）設這四個根從小到大依次為，，，，且成等差數列.①當方程在上有四個實根時，根據對稱性可知，所以，，，成等差數列，所以，且，得，，從而，且要求對恒成立．（i）當時，在上單調遞減，所以對恒成立，即適合題意．（ii）當時，要使對恒成立，只要，解得，故此時應滿足．②當方程在上有兩個實根時，，且，，所以必須滿足，且，，解得．③當方程在上無實根時，，，由，，解得，，所以，且由，解得．綜上所述，與滿足的條件為且，或且，或且．【點睛】本小題主要考查函數的奇偶性、單調性，考查方程的根、等差數列等知識，考查分類討論的數學思想方法，屬于難題.題型六：對稱性與奇偶性綜合問題一、解答題1．（2020·全國·高三專題練習）已知函數是奇函數，當時，有最小值，其中且.（1）試求函數的解析式；（2）問函數圖象上是否存在關于點對稱的兩點，若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）存在，兩點的坐標為、.【解析】（1）利用奇函數的定義可求得的值，再由函數有最小值，結合基本等式可得出，再由以及可求得、的值，由此可求得函數的解析式；（2）設存在一點在的圖象上，結合題意可知點，由這兩點在函數的圖象上可得出方程組，可解得的值，由此可得結論.【詳解】（1）∵是奇函數，∴，即，∴，∵，，，∴，當且僅當時等號成立，于是，∴，由得即，∴，解得，又，∴，∴，∴；（2）設存在一點在的圖象上，并且關于的對稱點也在圖象上的點，則，消去得，，∴圖象上存在兩點、關于對稱.【點睛】本題考查利用函數的奇偶性求函數解析式，同時也考查了函數圖象上點的對稱性的求解，考查計算能力，屬于中等題.2．（2020·上海·高三專題練習）以下給出兩種求函數圖像對稱中心的方法：①利用奇函數圖像關于原點對稱這一性質，再結合圖像的變換可得．例如，函數，的對稱中心為．而的對稱中心為；②利用結論：函數的圖像有對稱中心的充要條件是對定義域中的任何一個x，均有．請你根據以上提供的方法，解下列各題．（1）求函數的對稱中心；（2）判斷命題：“若，的定義域都為，且都關于點對稱，則也關于點對稱”的真假，并說明理由；（3）問是否有對稱中心？若有，求出其對稱中心；若沒有，說明理由．【答案】（1）對稱中心為．（2）假命題．見解析（3）有對稱中心．【分析】（1）將函數化為，根據結論得出答案.（2）由題意，，都關于點對稱，得，,從而可得，即關于點成中心對稱，然后得出判斷.（3）設,由，則當時，可得，從而得出結論.【詳解】解

（1）由，可得所以函數化為即，所以其對稱中心為．（2）這個命題是假命題．由題意，，都關于點對稱，得，．∴，即關于點成中心對稱．所以關于點對稱是假命題.（3）函數有對稱中心，設，則．當時，，此時．所以有對稱中心．【點睛】本題考查函數的圖象與性質，考查中心對稱性，考查學生對新信息的加工處理能力，考查學生的邏輯推理能力和分析論證能力，屬于中檔題.題型七：對稱性、周期性與奇偶性綜合問題一、解答題1．（2022·福建省廈門第二中學高三階段練習）已知函數是R上的奇函數，且的圖象關于直線對稱，當時，.(1)求的最小正周期，并用函數的周期性的定義證明；(2)當時，求的解析式；(3)計算的值．【答案】(1)見解析(2)(3)1【分析】（1）結合已知條件，利用函數的對稱關系即可求解；（2）利用函數的對稱關系即可求解；（3）利用周期性和在上的解析式即可求解.（1）因為函數是R上的奇函數，且的圖象關于直線對稱，所以，不妨令，則，即，從而，即，即的一個周期為4，因為當時，，即在上的單調遞增，所以由奇函數性質可知，在上單調遞增，又由對稱性可知，在單調遞減，從而的最小正周期為4.（2）當時，則，因為當時，，且的圖象關于直線對稱，所以當時，.（3）由（1）（2）和的周期性可知，，，，，因為的最小正周期為4，所以.2．（2022·全國·高三專題練習）記，其中，已知是函數的極值點.(1)求實數a的值；(2)的表達式展開可以得到，求的值.(3)設函數定義域為R，且函數和函數都是偶函數，若，求的值【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）求出函數的導數，依題意可得，即可得到方程，求出，再代入檢驗即可；（2）由（1）可得，求出函數的導函數，再令，即可得解；（3）首先判斷、的對稱性，令，即可得到也關于對稱，且為偶函數，即可得到其周期，從而得解；（1）解：因為，所以，依題意，即，解得或，當時，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，在處取得極小值，符合題意；當時，，當時，當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增，不符合題意；綜上可得：.（2）解：因為，所以，又，則，令，則，則（3）解：因為為偶函數，即，所以關于對稱，又，則，，即，所以關于對稱，令，則也關于對稱，即又為偶函數，即，所以，即，所以是以為周期的周期函數，所以，即，即.3．（2022·全國·高三專題練習）定義在R上的函數f（x）同時滿足f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），且當2≤x≤6時，（Ⅰ）求函數f（x）的一個周期；（Ⅱ）若f（4）＝31，求m，n的值．【答案】（Ⅰ）4；（Ⅱ）m＝4，n＝30．【分析】（Ⅰ）結合f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），可得f（4+x）＝f（x），即得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）f（2）＝f（6），又f（4）＝31，代入即得解.【詳解】（Ⅰ）∵f（﹣x）＝f（x），f（x）＝f（4﹣x），∴f（x）＝f（4﹣x）＝f（x﹣4），即f（4+x）＝f（x），即4是函數f（x）的一個周期；（Ⅱ）∵函數的周期是4，∴f（2）＝f（6），即，∴|2﹣m|＝|6﹣m|，解得m＝4，又f（4）＝31，∴f（4）1+n＝31，解得n＝30．故答案為：m＝4，n＝30．4．（2022·全國·高三專題練習）已知函數的定義域為，若存在常數和，對任意的，都有成立，則稱函數為“擬線性函數”，其中數組稱為函數的擬合系數.(1)數組是否是函數的擬合系數？(2)判斷函數是否是“擬線性函數”，并說明理由；(3)若奇函數在區間上單調遞增，且的圖像關于點成中心對稱（其中為常數），證明：是“擬線性函數”.【答案】(1)是；(2)不是；(3)證明見解析.【分析】（1）根據所給新定義推出即可得出結論；（2）根據新定義，利用特例法可知不存在使成立，即可得出結論；（3）根據所給函數的性質可構造函數，利用周期定義可得為周期函數，先證明在時，，再利用周期證明對一切，都有即可得證.(1)因為所以當，當時，因為或，所以，所以數組是函數的擬合系數.(2)①當時，對于恒成立，所以成立，②當時，恒成立，所以成立，由①②可知，不能同時滿足，所以函數不是“擬線性函數”.(3)的圖像關于點成中心對稱，，令x=0，得：，由于在區間上遞增，，，為奇函數，，時，，記，下面證明對一切，都有，為奇函數，，，即，由于是周期函數，且一個周期為，因為當時，，，又因此時，當，，，由于均為奇函數，也為奇函數，當時，，也成立，綜合得:時，,當時，，，因此，對一切，都有，即恒成立.所以是“擬線性函數”.【點睛】方法點睛：根據所給新定義，理解“擬線性函數”，并選取恰當的擬合系數是解題的關鍵所在，證明是“擬線性函數”，需要根據所給函數的奇偶性，單調性，對稱性進行充分推理，為探求擬合系數準備，找到合適的擬合系數，是解決問題的難點，探求出擬合系數后根據定義推導即可，屬于難題.5．（2020·全國·高三專題練習）已知是定義在上的函數，滿足．（1）證明：2是函數的周期；（2）當，時，，求在，時的解析式，并寫出在，時的解析式；（3）對于（2）中的函數，若關于的方程恰好有20個解，求實數的取值范圍．【答案】（1）證明見解析（2）當，時，．當，時，，（3）.【分析】（1）令取代入化簡后，由函數周期性的定義即可證明結論；（2）由，得，，求出代入化簡后求出，即可求出一個周期，上的解析式，利用函數的周期性求出在，時的解析式；（3）由（2）和函數的周期性畫出的圖象，將方程根的問題轉化為圖象的交點問題，根據圖象和條件對分類討論，分別結合圖象和條件列出不等式組求出的取值范圍．【詳解】證明：（1）因為，令取得，所以，所以，2是函數的周期．解：（2）當，時，，，則，又，即，解得．所以，當，時，．所以，因為的周期為2，所以當，時，，（3）由（2）作出函數的圖象，則方程解的個數：就是函數的圖象與直線的交點個數．若，則都是方程的解，不合題意．若，則是方程的解．要使方程恰好有20個解，在區間，上，有9個周期，每個周期有2個解，在區間，上有且僅有一個解．則解得，．若，同理可得．綜上，．【點睛】本題考查了函數周期性以及解析式，方程的根與函數圖象交點之間的轉化問題，考查了數形結合思想，推理能力與計算能力，屬于難題．題型八：定義法判斷證明函數的奇偶性一、單選題1．（2022·湖北·仙桃市田家炳實驗高級中學高三階段練習）設函數，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據給定的函數，分析其奇偶性、單調性，再比較的大小即可判斷作答.【詳解】函數的定義域為R，，即函數是R上的偶函數，當時，在上單調遞增，而，因此，而，所以.故選：D二、多選題2．（2022·江蘇·徐州市第七中學高三階段練習）德國著名數學家狄利克雷在數學領域成就顯著，以其名命名的函數稱為狄利克雷函數，則關于狄利克雷函數，則正確的是（

）A．函數的值域是；B．任意一個非零有理數都是的周期；C．函數是偶函數；D．存在三個點，使得為等邊三角形.【答案】BCD【分析】根據函數解析式，可求得函數值域，判斷A；根據函數解析式結合函數周期性定義可判斷B;根據偶函數定義判斷C;取特殊值，確定，可得為等邊三角形，判斷D.【詳解】的值域為，故A錯誤；對于任意一個非零有理數，若x是有理數，則也是有理數，則，若x是無理數，則也是無理數，則，任意一個非零有理數都是的周期，B正確；若x是有理數，則是有理數，則，若x是無理數，則是無理數，則，故對任意,都有，故函數是偶函數，C正確；取，則，故，則,故為等邊三角形，故D正確，故選:BCD.三、填空題3．（2022·浙江紹興·一模）我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，則的圖象的對稱中心為______.【答案】【分析】求解出，利用定義法判斷出其為奇函數，從而得到的圖象的對稱中心.【詳解】因為，定義域為R，且，所以為奇函數，故的圖象的對稱中心為.故答案為：.四、雙空題4．（2022·北京鐵路二中高三期中）已知函數.①的函數圖象關于__________對稱；②若存在唯一，滿足，則____________.【答案】

軸##

####【分析】由奇偶性定義可知為偶函數，可知圖象關于軸對稱；由對稱性可知，由可求得結果.【詳解】①定義域為，，為偶函數，圖象關于軸對稱；②由①知：圖象關于軸對稱，又存在唯一，滿足，則，，解得：.故答案為：軸；.五、解答題5．（2022·上海大學附屬南翔高級中學高三期中）已知函數．(1)若，解關于x的方程；(2)討論的奇偶性，并說明理由；(3)若在上恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)或(2)當時，為奇函數；當時，為偶函數；當時，函數為非奇非偶函數；(3)【分析】（1）由題意，代入即可求解；（2）要判斷函數的奇偶性，只有檢驗與的關系即可；（3）根據原不等式，分離參數，構造函數求最小值，即可得實數的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意，，，由可整理得：，則可得或，或；（2）解：函數定義域，①當為奇函數時，，，，；②當為偶函數時，，，，；③當時，函數為非奇非偶函數；綜上，當時，為奇函數；當時，為偶函數；當時，函數為非奇非偶函數.（3）解：若在上恒成立，則，整理得令，由，則，又令，，所以是上的減函數所以故實數的取值范圍為.6．（2022·全國·高三專題練習）已知函數,其中常數．(1)討論函數的奇偶性,并說明理由;(2)中內角所對的邊分別為,且,求當時,的面積．【答案】(1)奇偶性見解析，理由見解析(2)【分析】(1)利用函數的奇偶性的定義,通過是否為0,判斷函數的奇偶性即可;(2)利用已知條件求解的大小,然后求解三角形的面積即可．【詳解】（1）解:由題知,①時,,,為偶函數,②時,,不是奇函數,,不是偶函數,,是非奇非偶函數;（2）由,,有余弦定理得,.7．（2022·重慶市長壽中學校高三期中）已知函數．(1)判斷的單調性和奇偶性并簡答說明理由；(2)若對任意恒成立，求實數的取值范圍【答案】(1)在定義域上單調遞增且為奇函數；理由見解析(2)【分析】（1）求出函數的定義域，再判斷的關系即可得出函數的奇偶性，利用作差法判斷函數的單調性即可；（2）由（1）不等式對任意恒成立，即不等式恒成立，即不等式對任意恒成立，分離參數，構造新的函數，求出函數的最值即可得解.【詳解】（1）解：在定義域上單調遞增且為奇函數，證明：函數的定義域為，且，，因為，所以，而，所以，故在R上單調遞增，，所以為奇函數，故在定義域上單調遞增且為奇函數；（2）解：因為為上的奇函數，所以有，所以不等式可轉化為，又因為在上單調遞增，所以對任意恒成立，即，令，設，因為函數在上都是增函數，所以函數在上是增函數，所以．所以，即實數的取值范圍為．8．（2022·河北保定·高三階段練習）已知函數滿足.(1)討論的奇偶性；(2)求函數在上的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）對已知等式中的用代換，得到新的等式，結合已知等式可求出，然后分和討論函數的奇偶性，（2）由（1）知，則對恒成立，得，設函數，利用導數可求出函數的最小值.（1）因為，所以，根據以上兩式可得，從而.當時，為偶函數.當時，因為，所以，，所以為非奇非偶函數.（2）由（1）知.依題意得對恒成立.當，即時，恒成立；當，即時，，得.故.設函數，則.因為，所以.①當，即時，在上恒成立，故在上單調遞增，，則，即在上的最小值為1.②當，即時，因為當時，，當時，，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故，則，即在上的最小值為.綜上，函數在上的最小值【點睛】關鍵點點睛：此題考查導數的綜合應用，考查函數奇偶性的判斷，第（2）問解題的關鍵是由題意得對恒成立，求出的范圍，然后構造函數，利用導數求其最小值，考查計算能力，屬于較難題.9．（2020·上海市奉賢中學高三階段練習）若定義在上的函數滿足：對于任意實數，總有恒成立，我們稱為“類余弦型”函數.（1）已知為“類余弦型”，且，求和的值；（2）在（1）的條件下，定義數列（），求的值；（3）若為“類余弦型”，且對任意非零實數，總有，證明：①函數為偶函數；②設有理數滿足，判斷和的大小關系，并證明.【答案】（1），；（2）；（3）①證明見解析；②證明見解析.【分析】（1）根據題設恒等式，應用特殊值法：令，或，分別求和的值；（2）由題設令，，，可得，易知是首項為，公比為的等比數列，進而可得的通項，利用對數的運算性質即可求值.（3）①根據函數奇偶性定義，令，為任意實數，即可證結論.②若，，都是自然數且，如有，，設數列滿足，只需證數列是增函數，即可證結論.【詳解】（1）令，，則，可得；令，，則，則；（2）令，，，則，∴，即，又，∴是首項為，公比為的等比數列，則，則，∴；（3）①由題意得：函數定義域為，定義域關于原點對稱，令，為任意實數，則，即，∴是偶函數；②∵，是有理數，∴，，令為，分母得最小公倍數，并且，，，都是自然數，且，令數列滿足，證明數列是增函數：，則；若，是正整數，即，令，，則，即∴，即數列單調遞增，∴，又為偶函數，∴.【點睛】關鍵點點睛：根據遞推關系的特點，靈活應用特殊值法求函數值及函數關系，而第三問②：根據有理數的性質：令，，將問題轉化為判斷在上為增函數.題型九：定義法判斷函數的單調性一、多選題1．（2022·浙江·紹興魯迅中學高三階段練習）已知的定義域為，且對任意，有，且當時，，則（

）A． B．的圖象關于點中心對稱C．在上不單調 D．當時，【答案】AD【分析】由賦值法與函數單調性，對稱性的定義對選項逐一判斷【詳解】法一：取特殊函數取函數符合題意，驗證A，D正確，B，C錯誤法二：抽象函數運算對于A，令，可得，因，所以，故A正確，對于C，令可得，設，令所以，即即在上單調遞增，故C錯誤，對于B，令，可得，因所以，所以的圖象沒有關于點中心對稱，故B錯誤，對于D，當時，令，此時，因，所以，故D正確，故選：AD二、解答題2．（2022·江蘇泰州·高三期中）若函數滿足，其中，且．(1)求函數的解析式；(2)判斷并證明函數的單調性；(3)若，在時恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)，(2)見解析，(3).【分析】（1）利用換元法，令，則，代入化簡可求出函數解析式，（2）分和兩種情況，利用單調性的定義判斷即可，（3）由（2）可知在上遞減，所將問題轉化為，即，從而可求出的取值范圍．【詳解】（1）令，則，所以，所以，（2）當時，在上遞增，當時，在上遞減，理由如下：當時，任取，且，則，因為，，所以，，所以，所以，所以，即，所以在上遞增，當時，任取，且，則，因為，，所以，，所以，所以，所以，即，所以在上遞減，（3）當時，由（2）可知在上遞減，因為在時恒成立，所以，所以，即，所以，解得或，因為，所以，即的取值范圍.3．（2022·全國·高三專題練習）對于定義在R上的函數，若存在正數m與集合A，使得對任意的，當，且時，都有，則稱函數具有性質．(1)若，判斷是否具有性質，并說明理由；(2)若，且具有性質，求m的最大值；(3)若函數的圖像是連續曲線，且當集合（a為正常數）時，具有性質，證明：是R上的單調函數．【答案】(1)具有性質，理由見解析；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）對一切，，且由于具有性質.（2）令，則∵具有性質，∴當時，恒有，即，.（3）∵函數具有性質，∴對任意的區間，當時，都有成立.下面證明此時，恒有或恒有若存在，使得①，不妨設②當①或②式中有等號成立時，與矛盾當①②兩式中等號均不成立時，的函數值從連續增大到時，必在存使得，也與矛盾，同理可證也不可能.∴對任意的區間，當時，恒有或恒有，∵對任意的，總存在，使得：，∴當時，，此時在單調遞增，當時，成立，此時在上單調遞減，綜上可知是上的單調函數.【點睛】關鍵點點睛：對于新定義問題，關鍵在于理解所給定義，一般就是需要具體化新定義的內容，研究所給特例問題，一般需要化抽象為具體，具有很強的類比性，對類比推理要求較高.4．（2022·全國·高三專題練習）給定集合，為定義在D上的函數，當時，，且對任意，都有___________．從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，補充在橫線處，使存在且唯一確定．條件①：；條件②：；條件③：．解答下列問題：（1）寫出和的值；（2）寫出在上的單調區間；（3）設，寫出的零點個數．【答案】答案詳見解析【分析】判斷條件③不合題意.選擇條件①②、則先求得當時，的表達式，然后結合函數的解析式、單調性、零點，對（1）（2）（3）進行分析，從而確定正確答案.【詳解】依題意的定義域為，當時，.對于條件③，對任意，都有，以替換，則，這與矛盾，所以條件③不合題意.若選條件①，當時，，.（1）.（2）對于函數，任取，，其中，當時，，，所以在上遞減.當時，，，所以在上遞增.所以在區間，.同理可證得：在上遞增，在上遞減，.當時，，由上述分析可知，在上遞增，在上遞減.且.（3），由（2）的分析可畫出的大致圖象如下圖所示，所以，當或或時，的零點個數是0；當或時，的零點個數是1；當或時，的零點個數是2．若選條件②，當時，，由得，（1）.（2）對于函數，根據上述分析可知：在上遞減，在上遞增，且在區間，.對于，任取，.其中.當時，，遞增；當時，，遞減.所以的增區間為，減區間為.且.（3），結合上述分析畫出的大致圖象如下圖所示，所以當時，的零點個數是0；當時，的零點個數是2．【點睛】利用函數的單調性的定義求函數的單調性，主要是計算出的符號.求解函數零點問題，可利用分離參數法，結合函數圖象來進行求解.題型十：利用周期性求函數值一、單選題1．（2022·江西省豐城中學高三開學考試（理））已知函數是定義在上的奇函數，滿足.若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據函數的奇偶性和對稱性求出函數的周期，結合函數的周期以及等量關系進行轉化求解即可．【詳解】為定義在上的奇函數，，令，有，所以得到，故是以4為周期的周期函數．則由，故．則．函數為定義在上的奇函數，有，由，∴．故．故選：C2．（2022·福建泉州·高三期中）已知定義在上的奇函數滿足，當時，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由奇函數滿足，推導出，得到函數的周期為4，由，結合函數的周期性和奇偶性，得到.【詳解】因為為奇函數所以，又，∴，將替換為得：，即，故，所以的周期，因為，所以，則，則故選：B．3．（2022·廣東汕頭·高三期中）已知定義在上的函數，滿足為奇函數且為偶函數，則下列結論一定正確的是（

）A．函數的周期為 B．函數的周期為C． D．【答案】C【分析】推導出，，可推導出函數的周期，可判斷AB選項的正誤；利用函數的周期性和對稱性可判斷CD選項的正誤.【詳解】因為函數為奇函數，則，令，則，所以，對任意的，，故函數的圖象關于點對稱，因為函數為偶函數，則，令，可得，所以，對任意的，，故函數的圖象關于直線對稱，所以，，所以，，則，所以，函數的周期為，AB都錯；對任意的，，令，可得，，的值不確定，C對D錯.故選：C.【點睛】結論點睛：對稱性與周期性之間的常用結論：（1）若函數的圖象關于直線和對稱，則函數的周期為；（2）若函數的圖象關于點和點對稱，則函數的周期為；（3）若函數的圖象關于直線和點對稱，則函數的周期為.在推導周期時，解答時要注意能夠根據抽象函數的性質進行代換，從而推導出函數的周期.二、多選題4．（2022·廣東實驗中學高三階段練習）設函數的定義域為，且滿足，當時，.則下列說法正確的是（

）A．B．當時，的取值范圍為C．為奇函數D．方程僅有4個不同實數解【答案】BCD【分析】A選項，根據，推導出，所以的周期為8，得到，A錯誤；B選項，根據函數性質求出，，當時，，從而確定的取值范圍；C選項，根據得到關于中心對稱，從而關于原點中心對稱，即為奇函數；D選項，畫出與的圖象，數形結合求出交點個數，即可求出方程的根的個數.【詳解】因為，所以，因為，故，所以，即，所以，所以，所以的周期為8，因為，所以因為，所以，因為時，，所以，故，A錯誤；當，，所以，當，，，所以，綜上：當時，的取值范圍為，B正確；因為，所以關于中心對稱，故關于原點中心對稱，所以為奇函數，C正確；畫出與的圖象，如下：顯然兩函數圖象共有4個交點，其中，所以方程僅有4個不同實數解，D正確.故選：BCD三、填空題5．（2022·上海大學附屬南翔高級中學高三期中）設是上的奇函數，且，當時，，則_____________．【答案】【分析】推導出函數為周期函數，且周期為，利用函數的周期性和奇偶性可求得的值.【詳解】由題意可得，所以，函數為周期函數，且周期為，所以，.故答案為：.6．（2022·上海市復興高級中學高三期中）已知是定義在R上的奇函數且對于任意的均有，若當時，，則________．【答案】【分析】根據已知條件求出的周期，再根據已知條件求出，，，的值，進而可得的值，再根據周期性計算即可求解.【詳解】解：因為，所以，又是定義在R上的奇函數，所以，所以，所以的周期為，當時，所以，，，在中，令可得，所以，，，所以，因為，所以.故答案為：.7．（2023·全國·高三專題練習）設的定義域為，且滿足，若，則___________.【答案】2024【分析】根據所給函數的性質，可推出函數是以4為周期的周期函數，再由函數性質可得，據此即可求解.【詳解】因為，所以，由，得，有，可得，有，又由，可得，可知函數的周期為4，可得，有，因為，所以由得，所以，即，所以所以.故.故答案為：20248．（2022·江蘇省如皋中學高三開學考試）已知為數列的前n項和，數列滿足，且，是定義在R上的奇函數，且滿足，則______．【答案】0【分析】利用數列通項公式與前n項和公式的關系求通項的遞推關系，再構造等比數列求出通項公式.根據和f(x)是R上奇函數可得f(x)是周期為4的函數，且f(0)＝f(2)＝0.，將用二項式定理展開，其中能被4整除的部分在計算時即可“去掉”，由此即可求出答案.【詳解】，，兩式相減得，，即，，即數列是以為首項，3為公比的等比數列，，.是定義在R上的奇函數，且滿足，令，則，又＝－f(－x)，∴f(2＋x)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝－[－f(－x)]＝f(x)，即f(x＋4)＝f(x)，即是以4為周期的周期函數.其中能被4整除，.故答案為：0．【點睛】本題綜合考察了數列求通項公式的兩個方法：利用通項公式和前n項和公式的關系，以及構造等比數列，考察了函數周期的求法，還考察了利用二項式定理處理整除問題，屬于難題.【熱點、重難點真題訓練】一、單選題1．（2022·全國）記函數的最小正周期為T．若，且的圖象關于點中心對稱，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】由三角函數的圖象與性質可求得參數，進而可得函數解析式，代入即可得解.【詳解】由函數的最小正周期T滿足，得，解得，又因為函數圖象關于點對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A2．（2022·全國）已知函數的定義域為R，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據題意賦值即可知函數的一個周期為，求出函數一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以一個周期內的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優解】構造特殊函數由，聯想到余弦函數和差化積公式，可設，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點評】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優解.3．（2021·全國）下列區間中，函數單調遞增的區間是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.【詳解】因為函數的單調遞增區間為，對于函數，由，解得，取，可得函數的一個單調遞增區間為，則，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數的一個單調遞增區間為，且，，CD選項均不滿足條件.故選：A.【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數的單調區間時，首先化簡成形式，再求的單調區間，只需把看作一個整體代入的相應單調區間內即可，注意要先把化為正數．4．（2021·全國）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導出函數是以為周期的周期函數，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.【詳解】因為函數為偶函數，則，可得，因為函數為奇函數，則，所以，，所以，，即，故函數是以為周期的周期函數，因為函數為奇函數，則，故，其它三個選項未知.故選：B.二、多選題5．（2022·全國）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法