高等數學教學樣板教案授課次序01教學基本指標教學課題微分方程的基本概念可分離變量的微分方程課的類型新知識課教學方法講授教學手段演示教學重點微分方程、微分方程的階、微分方程的通解、微分方程的特解，可分離變量的微分方程的解法教學難點微分方程的通解和微分方程的特解參考教材武漢大學與同濟大學編《微積分學習指導》安玉偉等編《高等數學定理方法問題》作業布置微積分標準化作業大綱要求了解微分方程的基本概念掌握可分離變量的微分方程的解法雙語教學微分方程differentialequation可分離變量的微分方程：separabledifferentialequations微分方程的通解generalsolutionofdifferentialequation微分方程的階orderofdifferentialequation微分方程的特解particularsolutionofdifferentialequation初值條件initialcondition教學基本內容第四章微分方程第一節微分方程的基本概念第二節可分離變量的微分方程一、引例：一條曲線通過點，且在該曲線上任意一點處的切線斜率等于，求該曲線方程。解：設所求曲線的方程為。由導數的幾何意義知在點切線的斜率即為在該點的導數，故曲線方程應滿足（1）對上式兩端積分，得由已知條件還應滿足當（2）代入上式，得故所曲線方程為二、基本概念微分方程：如（1）將含有未知函數的導數的等式叫做微分方程。常微分方程：未知函數是一元函數的微分方程稱為常微分方程。微分方程的階：微分方程中出現的未知函數的導數的最高階數稱為微分方程的階。微分方程在區間上的解：若在區間上有定義的某個函數滿足微分方程，即將此函數代入微分方程后能使微分方程成為恒等式，就稱該函數是微分方程在區間上的解。微分方程的通解：若微分方程的解中含有互相獨立的任意常數，并且任意常數的個數與微分方程的階數相同，則稱這樣的解為微分方程的通解。定解條件：確定微分方程通解中的任意常數的值的條件稱為定解條件（初值條件）。特解：由初值條件確定了通解中任意常數的值后所得到得解稱為特解。微分方程初值問題或柯西問題：求微分方程滿足初值條件得特解得為題稱為微分方程初值問題或柯西問題。積分曲線：微分方程解得圖形稱為微分方程得積分曲線。三、可分離變量的微分方程1、定義：凡是能夠化為形式的一階微分方程就稱為可分離變量的微分方程，將可分離變量的微分方程化為(*)形式的過程稱為分離變量，而對兩端同時積分來求解的方法稱為分離變量法。那么我們將怎樣解可分離變量的微分方程？通常我們采用兩邊積分的方法求解。假定方程（*）中的函數g(y)和f(x)是連續的。設是方程（*）的解，將它代入（*）中得到恒等式將上式兩端積分，并由引進變量y，得設G(y)及F(x)依次為g(y)及f(x)的原函數，于是有G(y)=F(x)+C因此，方程（*）的解滿足上式。2、舉例例1、求微分方程的通解。解：所給微分方程是可分離變量的，分離變量后可得兩端積分，得從而這里為任意的正常數。注意到也是方程的解，令為任意常數，即得所給方程的通解例2、衰變問題:衰變速度與未衰變原子含量成正比,已知,求衰變過程中鈾含量隨時間變化的規律.解：衰變速度由題設條件衰變系數）即代入得3、可分離變量的微分方程的初值問題初值問題的解為例3、求微分方程的解解：所給微分方程是可分離變量的，分離變量后可得利用可分離變量的微分方程初值問題的解法即化簡整理可得即或寫成小結：本節基本概念：微分方程；微分方程的階；微分方程的解；通解;初始條件；特解；初值問題；分離變量法步驟:1、分離變量;2、兩端積分-------隱式通解.思考題：1、函數是微分方程的什么解?2、求解微分方程練習題：一、填空題:1、是______階微分方程；2、是______階微分方程；3、是______階微分方程；4、一個二階微分方程的通解應含有____個任意常數.二、確定函數關系式所含的參數,使其滿足初始條件,.三、設曲線上點處的法線與軸的交點為,且線段被軸平分,試寫出該曲線所滿足的微分方程.四、已知函數,其中為任意常數,試求函數所滿足的微分方程.五、求下列微分方程的通解:1、；2、；3、.六、求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:1、,；2、,.七、質量的質點受外力作用作直線運動,這外力和時間成正比,和質點運動的速度成反比.在秒時,速度等于,