第四章三角形第17課時線段、角、相交線與平行線研究

維度三角形相交線與平行線一般三角形全等、相似三角形數量關系：線(段)、角特殊三角形幾何測量問題三角形基本性質等腰三角形直角三角形等邊三角形等腰直角三角形關系研究維度角、邊、重要線段、面積全等三角形是特殊的相似三角形兩角一邊兩邊一角三邊特殊三角形性質、全等和相似三角形、銳角三角函數解決問題位置關系：平行、垂直判定性質全章縱覽(一)線段的相關概念及運算兩個基本事實(1)兩點確定一條直線；(2)兩點之間，線段最短線段的中點如圖，點M把線段AB分成相等的兩條線段AM與MB，點M叫做線段AB的中點，則AM＝BM＝

AB

兩點間的距離連接兩點間的線段的長度

線段的和與差如圖，點B是線段AC上的一點，則有AB＝AC－BC，BC＝AC－AB，AC＝AB＋BC1.如圖，從A地到B地，路徑______最短，用數學原理解釋是______________________.②兩點之間，線段最短2.如圖，點C在線段AB上，點M是AC的中點，點N是BC的中點.(1)若AC＝8

cm，BC＝4

cm，則MN的長為___cm；(2)若AB＝a

cm，則MN的長為______cm.6

（一）（二）（三）（四）（五）(二)角的有關概念及運算1.定義：①有公共端點的兩條射線組成的圖形.②一條射線繞著它的端點旋轉而形成的圖形.（一）（二）（三）（四）（五）2.相關概念及運算：角的表示方法角的分類周角(360°)＞平角(180°)＞鈍角＞直角(90°)＞銳角＞0°（一）（二）（三）（四）（五）角的單位轉化1°＝60'，1'＝60″角平分線如圖，射線OB在∠AOC內部，若∠BOC＝∠AOB，則OB是∠AOC的平分線余角與補角①α的余角為90°－α；②α的補角為180°－α.性質：同角或等角的余角(補角)相等

BODAOB9059121（一）（二）（三）（四）（五）(3)∠AOE＝∠______，∠EOF＝____°；(4)圖中與∠1互余的角有________________，與∠1互補的角有________.DOF90∠AOE，∠DOF∠AOF（一）（二）（三）（四）（五）（一）（二）（三）（四）（五）(三)相交線的有關概念1.相交(1)對頂角相等；(2)鄰補角互補.

2.垂直(1)基本事實：在同一平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.(2)連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短.（一）（二）（三）（四）（五）3.三線八角(1)同位角(“F”型4組)：∠1與∠5，∠2與∠6，∠3與∠7，∠4與∠8.(2)內錯角(“Z”型2組)：∠2與∠8，∠3與∠5.(3)同旁內角(“U”型2組)：∠2與∠5，∠3與∠8.4.如圖，三條直線兩兩相交，∠1＝75°.(1)∠2＝_____°，∠3＝____°；(2)∠3與∠5是_____角，∠4與∠8是_____角，∠4與_____是同旁內角.10575內錯同位∠5（一）（二）（三）（四）（五）（一）（二）（三）（四）（五）(四)平行線的性質與判定基本事實及推論基本事實：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行，即若a∥b，b∥c，則a∥c（一）（二）（三）（四）（五）性質與判定兩直線平行

同位角相等兩直線平行

內錯角相等兩直線平行

同旁內角互補平行線間的距離兩條平行線間的距離處處相等.注意：在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線互相平行（一）（二）（三）（四）（五）5.如圖，若a∥b，∠1＝60°，則∠2的度數是_____，∠3的度數是______，∠4的度數是_____.60°120°60°（一）（二）（三）（四）（五）6.如圖.(1)若∠1＝∠4，則_____∥_____；(2)若∠2＝∠3，則_____∥_____.ABCDADBC(五)命題、定理、證明、反證法1.命題：(1)命題：判斷一件事情的語句叫做命題，命題由題設和結論兩部分組成.(2)真假命題：正確的命題稱為真命題，不正確的命題稱為假命題.(3)互逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，那么這兩個命題叫做互逆命題.原命題成立，其逆命題不一定成立.3.反證法的步驟：假設結論不正確→推理后與基本事實或已知矛盾→假設錯誤，原結論正確.2.證明：演繹推理的過程稱為證明.定理：經過證明的真命題稱為定理.（一）（二）（三）（四）（五）7.已知命題：兩直線平行，同位角相等.(1)此命題為____命題(填“真”或“假”)；(2)將該命題改寫成“如果……那么……”的形式：___________________________________；(3)它的逆命題為__________________________；真如果兩直線平行，那么同位角相等同位角相等，兩直線平行（一）（二）（三）（四）（五）(4)如圖，若a∥b，則∠1＝∠2，用反證法證明此命題，需先假設_________.∠1≠∠2考點1考點2考點3考點4考點1

線段、角的有關概念及運算例1：

已知A，B，C是同一直線上的三點，D為AB的中點，若AB＝10，BC＝6，則CD的長為_______.11或1考點1考點2考點3考點4如圖，A，B是數軸上位于原點O兩側的兩點，C是線段AB的中點，OA＝2OB＋1，點C表示的數是－2，則點A表示的數是_____.例2：已知同一平面上以O為端點有三條射線OA，OB，OC，∠AOB＝80°，∠BOC＝20°，則∠AOC的度數為___________.－7100°或60°例3：如圖，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，OE⊥OD.求證：A，O，B三點共線.[2023寧德三模改編]證明：∵OE⊥OD，∴∠DOE＝90°.∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠AOC＝2∠COD，∠BOC＝2∠COE.∴∠AOC＋∠BOC＝2(∠COD＋∠COE)＝2∠DOE＝180°，即∠AOB＝180°，∴A，O，B三點共線.考點1考點2考點3考點4考點1考點2考點3考點4考點2

相交線的有關概念例4：如圖，線段AB和CD相交于點O，則下列結論一定正確的是

[2024南平二模4分]()A.∠1＝∠2 B.∠1＝∠5C.∠3＝∠4 D.∠4＝∠5A考點1考點2考點3考點4例5：

如圖，直線AB，CD相交于點O，OE把∠BOD分成兩部分，∠AOC＝70°，∠BOE∶∠EOD＝2∶3，則∠AOE的度數為______.152°考點1考點2考點3考點4考點3

平行線的性質與判定例6：在同一平面內，將直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如圖所示的方式擺放，若AB∥CD，則∠1的大小為

[2024福建4分]()A.30°

B.45°

C.60°

D.75°A考點1考點2考點3考點4例7：河南“小豫米”應邀到哈爾濱觀賞冰雕，其中一個“小豫米”從某個角度發現一座冰雕(圖①)中隱藏著數學問題，建立模型如圖②所示，直線AB∥CD，點G在直線AB上，點E在直線CD上，EF平分∠GEC，交AB于點F，若∠EFG＝62°，則∠EGF的度數為______.56°考點1考點2考點3考點4例8：如圖，MN∥PQ，將兩塊直角三角尺(一塊含30°角，一塊含45°角)按如下方式進行擺放，恰好滿足∠NAC＝20°，∠MAE＝∠CBQ.(1)∠CBQ＝____°；25考點1考點2考點3考點4如圖，過點C作CF∥PQ，∵MN∥PQ，∴MN∥CF∥PQ，∴∠ACF＝∠CAN＝20°，∠CBQ＝∠BCF.∵∠ACB＝∠ACF＋∠BCF＝45°，∴∠BCF＝25°，∴∠CBQ＝25°.考點1考點2考點3考點4(2)試判斷AB與DE的位置關系，并說明理由.解：AB∥DE，理由如下：∵∠MAE＝∠CBQ＝25°，∠BAC＝45°，∠NAC＝20°，∴∠EAB＝180°－∠MAE－∠BAC－NAC＝90°.又∵∠DEA＝90°，∴∠DEA＋∠EAB＝180°，∴AB∥DE.考點1考點2考點3考點4

－1(答案不唯一)考點1考點2考點3考點4【變式題】小明想用反證法證明“如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行”這條定理的正確性，請幫他將步驟補充完整.已知：直線a，b，c在同一平面內，a∥c，b∥c，求證：_______a∥b.考點1考點2考點3考點4證明：假設a，b相交，且交點為A，則過A點有兩條直線a，b都平行于c，這與“在同一平面內，過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行”相矛盾，所以假設是錯誤的，所以a∥b.