組合復習回顧2.排列數公式3.全排列

1.排列數的定義

問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天的一項活動,其中1名同學參加上午的活動,1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加某天一項活動，有多少種不同的選法？甲乙，甲丙，乙丙問題引入從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.從已知的3個不同元素中每次取出2個元素合成一組有順序無順序排列組合甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙探究新知

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(combination).注意：(1)組合的特點：組合要求n個元素是不同的，取出的m個元素也是不同的，即從n個不同的元素中進行m次不放回地取出.(2)組合的特性：元素的無序性.取出的m個元素不講究順序，即元素沒有位置的要求.組合定義:共同點:

都是“從n個不同元素中任取m個元素”

不同點:

排列與元素的順序有關，排列的有序性而組合則與元素的順序無關，組合的無序性探究新知

你能說一說排列與組合之間的聯系與區別嗎？？探究組合

甲乙

甲丙

乙丙

甲乙，乙甲

甲丙，丙甲

乙丙，丙乙排列

問題一和問題二中“排列”和“組合”的對應關系：思考：如何區分排列問題還是組合問題？排列問題若交換某兩個元素的位置對結果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關.組合問題若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關.練習：校門口停放著9輛共享自行車，下面的問題：(1)從中選3輛，有多少種不同的方法？(2)從中選3輛給3位同學，有多少種不同的方法？沒有順序，是組合問題有順序，是排列問題例1

判斷下列問題是組合問題還是排列問題：題型一組合概念的理解(1)a，b，c，d四支足球隊之間進行單循環比賽，共需比賽多少場？(2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結果？(3)從全班40人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？解(1)單循環比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題.(3)3人分別擔任三個不同職務，有順序，是排列問題.(4)3人參加某項相同活動，沒有順序，是組合問題.例5平面內有A，B，C，D共4個點.(1)以其中2個點為端點的有向線段共有多少條?(2)以其中2個點為端點的線段共有多少條?分析:(1)確定一條有向線段，不僅要確定兩個端點，還要考慮它們的順序，是排列問題;(2)確定一條線段，只需確定兩個端點，而不需考慮它們的順序，是組合問題.解：例題講解結論：取出2個元素的組合的個數是排列數的一半利用排列和組合之間的關系，以“元素相同”為標準分類，你能建立起例5(1)中排列和(2)中組合之間的對應關系嗎？進一步地，能否從這種對應關系出發，由排列數求出組合的個數？？思考1.甲、乙、丙、丁4支足球隊舉行單循環賽.(1)列出所有各場比賽的雙方；(2)列出所有冠、亞軍的可能情況.解：(1)甲乙甲丙甲丁乙丙乙丁丙丁.(2)冠軍甲甲甲乙乙乙丙丙丙丁丁丁亞軍乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙課堂練習課本P22解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4個.2.已知平面內A,B,C,D這4個點中任何3個點都不在一條直線上，寫出以其中任意3個點為頂點的所有三角形.3.現有1,3,7,13這4個數.

(1)從這4個數中任取2個相加，可以得到多少個不相等的和?

(2)從這4個數中任取2個相減，可以得到多少個不相等的差?解：(1)不相等的和為4,8,14,10,16,20，共6個.(2)不相等的差為－2,－6,－12,2,－4,－10,6,4,12,10，共10個.課堂練習課本P2210題型三簡單的組合問題例3

有5名教師，其中3名男教師，2名女教師.(1)現要從中選2名去參加會議，有__________種不同的選法；(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有________種不同的選法；(3)現要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有__________種不同的選法.43解析

(1)從5名教師中選2名去參加會議的選法種數，通過列舉法可得共有10種不同的方法.(2)可把問題分兩類情況：第1類，選出的2名是男教師，有3種方法；第2類，選出的2名是女教師，有1種方法.根據分類加法計數原理，共有3＋1＝4(種)不同選法.(3)從3名男教師中選2名的選法有3種，從2名女教師中選2名的選法有1種，根據分步乘法計數原理，共有不同的選法3×1＝3(種).訓練3

一個口袋內裝有大小相同的4個白球和1個黑球.(1)從口袋內取出的3個小球，共有多少種取法？(2)從口袋內取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內的5個球中取出3個球，取法種數是10.(2)從口袋內取出3個球有1個是黑球，于是需要從4個白球中取出2個，取法種數是6.(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從4個白球中取出3個球，取法種數是4.1.組合的定義課堂小結2.判斷一個計數問題是排列問題還是組合問題的方法：排列問題組合問題若交換某兩個元素的位置對結果有影響，則是排列問題，即排列問題與選取的順序有關.若交換任意兩個元素的位置對結果沒有影響，則是組合問題，即組合問題與選取的順序無關.

一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(combination).組合數類比排列數，我們引進組合數概念：組合數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.組合的第一個字母元素總數取出元素數m，n所滿足的條件是：(1)

m∈N*，n∈N*

；(2)

m≤n.

例如，從3個不同元素中任取2個元素的組合數為從4個不同元素中任取3個元素的組合數為符號中的C是英文combination(組合)的第一個字母.組合數還可以用符號表示.思考：探究前面已經提到，組合和排列有關系，我們能否利用這種關系，由排列數

來求組合數

呢?3個不同元素a,b,c中取出2個共有ab,ac,bc3個不同的組合，4個不同元素a,b,c,d中取出3個共有abc,abd,acd,bcd4個不同的組合，4個不同元素a,b,c,d中取出3個元素的排列數為3個不同元素a,b,c中取出2個元素的排列數為下面我們就來探究從3個不同元素a,b,c中取出2個元素從4個不同元素a,b,c,d中取出3個元素組合ab排列acbcabbaaccabccb由此可得組合abc排列abdacdabcacbbacbcacabcbaabdadbbadbdadabdbaacdadccadcdadacdcabcdbcdbdccbdcdbdbcdcb由此可得這里的n,m∈N*，并且m≤n，這個公式叫做組合數公式.組合數公式：另外，我們規定所以上面的公式還可以寫成探究新知解：例6

計算：思考此關系是否具有一般性？性質1性質1性質2組合數的性質：課本P28解：1.計算：課本P25鞏固訓練：1.計算：解：解：解：證明：解：證明：2.求證：課本P25例7在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?解：(1)所有的不同抽法種數，就是從100件產品中抽出3件的組合數，所以抽法種數為(2)從2件次品中抽出1件的抽法有

種，從98件合格品中抽出2件的抽法有

種，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法種數為

從100件產品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品兩種情況，因此根據分類加法計數原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數為例7在100件產品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?（3）解1(直接法)：解2(間接法)：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數，就是從100件產品中抽出3件的抽法種數減去3件都是合格品的抽法種數，即有限制條件的抽(選)取問題，主要有兩類(1)“含”與“不含”問題，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步計數.(2)“至多”“至少”問題，其解法常有兩種解決思路：一是直接分類法，但要注意分類要不重不漏；二是間接法，注意找準對立面，確保不重不漏.思維升華3.有政治、歷史、地理、物理、化學、生物這6門學科的學業水平考試成績，現要從中選3門考試成績.(1)共有多少種不同的選法?(2)如果物理和化學恰有1門被選，那么共有多少種不同的選法?(3)如果物理和化學至少有1門被選，那么共有多少種不同的選法?解：課本P25例4

從0，1，2，3，4，5這六個數字中任取兩個奇數和兩個偶數，組成沒有重復數字的四位數的個數為(

) A.300

B.216 C.180

D.162C題型四排列與組合的綜合問題解析

依題意知，可以分兩類：由分類加法計數原理，組成沒有重復數字的四位數共有72＋108＝18