2024年高考數(shù)學(xué)終極押題密卷1（全國(guó)乙卷文科）

一.選擇題（共12小題）

I.已知集合4=“￡師2?-5不忘0},B={），b，<2},則4UB=（）

A.[0,2）B,{0,1,2}C.（…，2]D.{0}1}

2.若復(fù)數(shù)z滿足（2+i）z=IV2-V2i|（i為虛數(shù)單位）,則在復(fù)平面內(nèi)z的共挽復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第?象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.若命題“八￡1,4],使右2+.”2>0成立”的否定是真命題，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

A.（…，]]B.[_X,1]C.（-8,-A]D.[I,+8）

88

4.如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）

A.72B.64C.56D.32

5.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2021年11月發(fā)布的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況，現(xiàn)有如下說法：

①2021年10月份，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的同比和環(huán)比均呈現(xiàn)增漲趨勢(shì)；

②2020年10月至2021年10月，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比增漲的月份個(gè)數(shù)是下跌的5倍；

③從2020年10月至2021年10月中任取1個(gè)月，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的同比呈現(xiàn)增漲的概率為此；

則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（）

(%)全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格漲跌幅

2.5

一同比--環(huán)比

10J]1月

A.0B.IC.2D.3

1+a

6.若數(shù)列｛m｝滿足41=-3,。“+1=----則42022的值為()

1-an

A.2B.-3C.」D.A

23

log](-x)+4,-24x<0

7.若函數(shù)/(x)=<萬(a>0且aWl)的值域是[3,+8),則實(shí)數(shù)”的取值

ax-l，x<-2

范圍是()

A.(0,-j-]B.[A,1)C.(1,2]D.[2,+8)

8.將函數(shù)/(x)=2sin(u)x+—)(u)>0)的圖像向右平移」匚個(gè)單位，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，若

66(。

y=g(x)在[0,工]上為增函數(shù)，則O)的取值范圍是()

3

A.(■1，2)B,(0.1]C,(0,1)D,(1,2]

9.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線『=4.1上，點(diǎn)M(2,0)為AABC的重心，直線4B經(jīng)過該拋物線

的焦點(diǎn)，則線段從4的長(zhǎng)為()

A.8B.6C.5D.4.

10.更相減損術(shù)是出自中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的一種算法，其內(nèi)容如下：“可半者半之，不可半

者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之"，如圖是該算法的程序框圖,

如果輸入。=99,b=231,則輸出的。是()

C.37D.42

11.已知S是等比數(shù)列｛即｝的前〃項(xiàng)和,且S=2*1+皴則0。2+。2。3+…+4311=()

A223-8220-1D,2f18

B.亭c

.333

12.已知點(diǎn)〃為拋物線C：y=隊(duì)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸作兩條互相垂直的直線力/2,直線人與C交于A,B

IAB|TIDEI的最小值為（

兩點(diǎn)，直線/2與。交于D,E兩點(diǎn)，則)

A.64B.54C.50D.48

二.填空題（共4小題）

13.若雙曲線2--匚=1(?>0,b>0）的漸近線方程為y=±lx,則雙曲線的離心率e

2,2

ab2

14.若數(shù)列｛所｝第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列｛板｝為二階等差數(shù)列，已知數(shù)列

｛〃“｝是一個(gè)一階等差數(shù)列，且m=3,42=7,43=13,則

15.若直線/：y=x+3與拋物線a：J=i2y和圓黑：，+（丫-3）2=1從左到右依次交于點(diǎn)小B、。、

14

則|A8|+|CD|=.

16.在△ABC中，NB4C的角平分線A。交邊于點(diǎn)。，若BC=3,CD=2Q&則△A8C面積的最大值

為.

三,解答題（共7小題）

17.已知數(shù)列｛?〃｝的前〃項(xiàng)和為S”，當(dāng)〃22時(shí)，S〃（S〃?a〃+l）=Sn.\.

（1）證明：數(shù)列｛￡-｝是等差數(shù)列；

（2）若a1上，數(shù)歹U圖｝的前〃項(xiàng)和為乙,若mTn<（n2+16）?2n+l恒成立，求正整數(shù)〃?的最大

2Syin

（1）若4=1時(shí)函數(shù)/（X）有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求機(jī)的取值范圍：

（2）若函數(shù)/（X）在XWL1,1］內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求4的取值范圍.

22.在直角坐標(biāo)系上Qy中，直線！的參數(shù)方程為［x=l+tc°sa'（/為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，4軸的

y=tsinCI

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為p:+4pcos0+l=O.

（1）求直線/和曲線。的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線/和曲線C恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求lana.

23.已知函數(shù)/（x）=\2x+a\+\x-2|.

（1）若a=2,求不等式/（#212的解集：

（2）對(duì)于任意的在［-5,-2J,都有/（x）<2a,求。的取值范圍.

2024年菁優(yōu)高考數(shù)學(xué)終極押題密卷1（全國(guó)乙卷文科）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共12小題）

I.已知集合4={尤凡2?-5,良0},8={如<2},則AU8=（）

A.[0,2）B.{（）,I,2}C.（-8,2JD.{0,I|

【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算.

【專題】集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】先化簡(jiǎn)集合A,再利用集合的并集運(yùn)算求解.

【解答】解：由題意知，A={xGN|2?-5xW0}={0,1,2},

所以AUb={.中W2}.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

2.若復(fù)數(shù)Z滿足（2+i）z=lV2-V2i|（i為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)Z的共擾復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【考點(diǎn)】共挽復(fù)數(shù)；復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義；復(fù)數(shù)的運(yùn)算.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】先求出z'2i，再求出W1七2i即得解.

Z551z551

【解答】解：因?yàn)椋?+i）z=|&-V^iI，即（2+i）z=2,

所以z二二「（票）、二工「

2+i（2+i）（2-i）55

所以：=±+2力其所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（4,2）,位于第一象限.

5555

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

3.若命題“外￡1,4],使必2+.”2>0成立”的否定是真命題，則實(shí)數(shù)人的取值范圍是（）

A.（-8,1]B.[-A,1]C.（-8,-A]D.[1,+8）

88

【考?點(diǎn)】特稱命題的否定；命題的真假判斷與應(yīng)用；存在量詞和特稱命題.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法：簡(jiǎn)易邏輯；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】真命題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍求解即可.

【解答】解:若“3日1,4],使卜2以?2>0成立”的否定是：

“VxW[l,4],使X?+x?2W0”為真命題，

2

即入4號(hào)；令f（x）卓=2（工4）等

Y乙Y，x48

由.同1,41，得!€[1,1],所以f（X）疝1d（4）=~1，

所以X<—

8

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查存在量詞和特稱命題，屬于基礎(chǔ)題.

4.如圖，網(wǎng)格紙中小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何為的三視圖，則該幾何體的體枳為（）

A.72B.64C.56D.32

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為正四棱柱挖去一個(gè)正四棱錐，再由棱柱體積減去楂錐

體積得答案.

【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖，

該幾何體為正四棱柱挖去?個(gè)正四棱錐,

正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為4,高為5,正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為蓊，高為3.

，該幾何體的體枳為V=4X4X5-4X2V2X2>/2X3=72-

0

【點(diǎn)評(píng)】本題考查由三視圖求面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題.

5.如圖是國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2021年11月發(fā)布的全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的漲跌幅情況，現(xiàn)有如下說法:

①2021年10月份，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的同比和環(huán)比均呈現(xiàn)增漲趨勢(shì)；

②2020年10月至2021年10月，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格同比增漲的月份個(gè)數(shù)是下跌的5倍；

③從2020年10月至2021年10月中任取1個(gè)月，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的同比呈現(xiàn)增漲的概率為此；

則上述說法正確的個(gè)數(shù)為（）

A.0B.IC.2D.3

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；頻率分布折線圖、密度曲線.

【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，依次分析3個(gè)說法是否正確，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析3個(gè)說法：

對(duì)于①,2021年D月份,全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的同比和環(huán)比都是正數(shù),即同比和環(huán)比均呈現(xiàn)增漲趨勢(shì),

正確；

對(duì)于②，由圖表可得：同比增漲的月份有10個(gè)，下降的月份有3個(gè)，錯(cuò)誤；

對(duì)于③，在2020年10月至2021年10月的13個(gè)月中，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的同比呈現(xiàn)增漲的有10個(gè)月，

則從2020年10月至2021年10月中任取I個(gè)月，全國(guó)居民消費(fèi)價(jià)格的同比呈現(xiàn)增漲的概率為此，③

13

正確；

其中正確的有2個(gè)；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)圖表數(shù)據(jù)的分析處理能力及進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理，注意同比、環(huán)比的定義，屬于

基礎(chǔ)題.

1+a

6.若數(shù)列｛"〃｝滿足。1=-3,an+\=----?則42022的值為（）

1-an

A.2B.-3C.」D.-1

23

【考點(diǎn)】數(shù)列遞推式.

【專題】整體思想：綜合法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析1由已知可先求出數(shù)列的項(xiàng)，進(jìn)而確定數(shù)列的周期，從而可求.

【解答】解：由題意得。2=-工，ay=—,出=2,。5=-3,

23

所以數(shù)列他〃｝是以4為周期的數(shù)列，

故42022=42="-.

2

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，周期的確定是求解問題的關(guān)健.

log]（-x）+4,-2<x<0

7.若函數(shù)/（x）=<2（。>0且。工1）的值域是[3,+8）,則實(shí)數(shù)。的取值

ax-hx<-2

范圍是（）

A.(0,y]B.[-1,1)c.(1,2]D.[2,+8)

【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用；函數(shù)的值域.

【專題】函數(shù)思想：分析法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】先求出-2WxV()時(shí)/(式)G[3,+8),則當(dāng)xV-2,f(x)的取值范圍包含在[3,+?>)即可,

再分u>\和OVuVl兩種情況求解即可.

【解答】解：(I)當(dāng)-2WxV0時(shí)，f(A)=logl(-x)+4,所以，此時(shí)/⑴單調(diào)遞增，所以/(X)

~2

€[3>+8),

(2)當(dāng)xV-2時(shí)，/(/)=爐-1,只需此時(shí)/(x)的取值范圍包含在[3,+8)即可，

①當(dāng)加>1時(shí)，/(x)="-1單調(diào)遞增，/(x)E(-1,a2-I),不滿足題意，舍去，

②當(dāng)0<a〈l時(shí)，/(x)=ax-1單調(diào)遞減，/(x)e(?-2-1,+?>),只需/2-丘3,解得0<@<工

2

綜上所述，0<a<印，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

8.將函數(shù)/(x)=2sin(a).v+2L)(a)>0)的圖像向右平移」二個(gè)單位，得到函數(shù)),=g(x)的圖像，若

66(0

y=g(x)在[0,工]上為增函數(shù)，則<0的取值范圍是()

3

A.*2)B,(0,1]C.(0,1)D,(1,2]

【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin(a)x+(p)的圖象變換.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】先由/(x)圖像平移求得g(x)的解析式,再利用爽元法結(jié)合題設(shè)條件，得到關(guān)于七3的不

等式組，解之即可.

【解答】解：因?yàn)橄蛴移揭迫齻€(gè)單位，得到函數(shù)y=g(X),

63

兀7T

所以g(x)=2sin[3-^-]=2sin3x，

TTTT

令貝ijy=2sinf在[-,+2kJT，」~+2k耳卜keZ上單調(diào)遞增，

22

因?yàn)間(x)在[0,工]上為增函數(shù)，故由3>0,得OWa)xW?Lco,即0Wf<2La),

3333

所以)，=2sinr在［0,微_但］上為增函數(shù)，故［0,?-3］工［一^-+2k兀，今+2k打卜火口,

當(dāng)k=O時(shí)，21》3兀,

2戶3

所以由千+2kJl得千A,故u)w3,

2

所以O(shè)Vo)W旦,即(OW(0,2］.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)圖象的平移及正弦函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題.

9.已知△/WC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線)2=4x上，點(diǎn)M(2,0)為△A4C的重心，直線A4經(jīng)過該拋物線

的焦點(diǎn)，則線段4B的長(zhǎng)為()

A.8B.6C.5D.4.

【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】判斷直線人8的斜率存在，設(shè)出宜線方程，聯(lián)立拋物線方程可得根與系數(shù)的關(guān)系式，利用三角

形的重心即可求得參數(shù)k的值，根據(jù)拋物線的弦長(zhǎng)公式即可求得答案.

【解答】解：設(shè)拋物線『=4人?的焦點(diǎn)為F,則產(chǎn)(1,0),

根據(jù)題意可知，點(diǎn)也(2,0)為△A8C的重心，

若直線A3的斜率不存在，則不妨取A(1,2),B(1,-2),

則結(jié)合重心可得。為(4,0),不合題意；

故直線A8的斜率存在，

???設(shè)直線A3的方程為y=A(x-1),女WO,A(xi,yi),13(X2>”)，CCm,n),

則有yj=4x/72=4x2*"2=4〃?，

聯(lián)立方程得益2-4y-4攵=0,△=16(l+S)>0,

則丫產(chǎn)2=生yiy2='4，

n+Yi+y

因?yàn)辄c(diǎn)M(2,0)為△ABC的重心，所以---?一一?.9

3

一,m+x1+xQ

即〃=-(戶+”)，所以---i——-=2*

2+y；+J2(y+y)2-2yy

.n1212

m+xj+x2二—

44

即善+8=24，解得正=2,

k2

(y+y)2-2yiy

1224

則|AB|=X]+x+p-+2哼+4=6,

24

故線段AS的長(zhǎng)為6,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓錐曲線相交時(shí)的弦長(zhǎng)問題，聯(lián)立圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系去化簡(jiǎn)

求值，三角形重心的坐標(biāo)公式，拋物線的幾何性質(zhì)，屬中檔題.

10.更相減損術(shù)是出自中國(guó)古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》的一種算法，其內(nèi)容如下：“可半者半之，不可半

者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也,以等數(shù)約之"，如圖是該算法的程序框圖,

如果輸入。=99,。=231,則瑜出的。是（）

/輸入a,”

A.23B.33C.37D.42

【考點(diǎn)】程序框圖.

【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；算法和程序框圖；邏輯推理;數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】B

【分析】根據(jù)程序框圖依次計(jì)算得到答案.

【解答】解：根據(jù)程序框圖，輸入。=99,〃=231,因?yàn)椤９?旦所以》=231?99=132；

第二次循環(huán)，〃=132-99=33；

第三次循環(huán)，a=99-33=66；

第四次循環(huán)，。=66-33=33,此時(shí)〃=方=33,輸出33.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問題，解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過程，以便得出正確的結(jié)論，

是基礎(chǔ)題.

11.已知S〃是等比數(shù)列｛m｝的前〃項(xiàng)和，且s=2/l+a，則43+0243+…+aiMi=（）

Q23Qn13Qn20[n25Q

A.B.2_^8c.D.2-^8

3333

【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和：等比數(shù)列的性質(zhì).

【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】A

【分析】由。〃與S〃的關(guān)系求出數(shù)列優(yōu)〃｝的通項(xiàng)公式，推導(dǎo)出數(shù)列為等比數(shù)列，確定其首項(xiàng)和公

比，結(jié)合等比數(shù)列求和公式可求得所求代數(shù)式的值.

【解答】解：因?yàn)?所以m=J=4+a,@/S廣Si=（23+a）Y22+a）=4,

￡1乙乙工

=43

a3S3-S2=（2+a）-（2+a）=8?

乂｛〃“｝是等比數(shù)列，所以a爛a,a.即4?=8（4+。），解得〃=-2,所以s=2田-2?

213n

n+1nn

當(dāng)心2時(shí)，an=Sn-Sn_1=（2-2）-（2-2）=2*又m=2滿足@廣2凡

ann+1

對(duì)任意的〃6N*,上L*—=2,故數(shù)列｛〃“｝是公比為2的等比數(shù)列,

an2n

所以，Wn+1一=4,故數(shù)列｛〃〃｝是公比為4,首項(xiàng)為042=2X4=8的等比數(shù)歹|J,

an+lanan2n

23

所以+++8(1-1°)2-8

WrUala2+a2a3+*"+a10all=-五———

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主:要考查了數(shù)列的和與項(xiàng)的遞推關(guān)系的應(yīng)用及等比數(shù)列的求和公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

12.已知點(diǎn)尸為拋物線C）2=次的焦點(diǎn)，過點(diǎn)尸作兩條互相垂直的直線/1,/2,直線/1與C1交于4,B

兩點(diǎn)，直線/2與c交于。，E兩點(diǎn),則|AB|號(hào)|DE|的最小值為（）

A.64B.54C.50D.48

【考點(diǎn)】直線與拋物線的綜合；拋物線的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題：轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】C

【分析】利用韋達(dá)定理求出|AB|和|。月，再利用基本不等式的性質(zhì)求解最小值.

【解答】解:拋物線C：V=8.1的焦點(diǎn)尸（2,0）,

因?yàn)?1JJ2,所以直線/I,/2斜率存在，且均不為0.

由題意可設(shè)直線八的方程為y=A（X-2）,A（XI,戶），B（.V2,”）,

2

=8x，

直線/1的方程與拋物線方程聯(lián)立Wy消去y整理得好』-4（F+2）X+4F=0,

y=k（x-2），

所以a.4（k2+2）

所以Xl+，2二——

2

所以|AB|=xi+x2+4=*(k2.1)

因?yàn)?I_L/2,所以將H8I中的A替換為一』，可得|。月=8+89,

|AB|-^|DE1=8-^--^(8+8k2)=26+^-+i8k2>26+2

所以二50,

當(dāng)且僅當(dāng)吃=18卜2,即卜=土逅■時(shí)取等號(hào)，

/3

故50.

IAB|號(hào)IDE|的最小值是

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)以及直線和拋物線的位置關(guān)系，注意運(yùn)用韋達(dá)定理用弦長(zhǎng)公式,

屬于中檔題.

二,填空題（共4小題）

22/

13.若雙曲線與-4=1（。>0,b>0）的漸近線方程為y=±當(dāng)，則雙曲線的離心率e=_2/g

a2b222

【考點(diǎn)】雙曲線的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案］逗.

2

【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線方程為），=±3x,求出小人之間的關(guān)系，再代入離心率e結(jié)合小b,

2

之間的關(guān)系即可求出結(jié)論.

【解答】解：因?yàn)殡p曲線彳-彳=1（〃>0,b>0）的漸近線方程為），=±m(xù),

a2b22

故答案為：運(yùn).

2

【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的性質(zhì)及其方程.雙曲線離心率的求法，是基礎(chǔ)題.

14,若數(shù)列｛〃”｝第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列，則稱數(shù)列｛?｝為二階等差數(shù)列，已知數(shù)列

是一個(gè)二階等差數(shù)列，且m=3,42=7,43=13,則層+〃+1.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】"2+〃+1.

【分析】利用已知條件求出二階等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，再求出二階等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用累

加法即可得到數(shù)列｛〃〃｝的通項(xiàng)公式.

【解答】解：-。1=4,03-42=6,且數(shù)列｛st｝是一個(gè)二階等差數(shù)列，

a..a[=4

a3-a2=6

-。〃=4+(〃?1)?2=2刀+2,,

n2

由累力口;占得an-a廣4+6+'?*+2n=(d=n+n-2，

?99

,,an=3+n+n-2=n+n+l-

而a\=3也符合上式，

所以an=n2+n+\.

故答案為：，尸+〃+1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，累加法的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

15.若直線/：了=%+3與拋物線c：x2=12/口圓J：x。(y-3)11從左到右依次交于點(diǎn)“、氏。、

D,則|AB|+ICQ|=22.

【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)；圓與圓錐曲線的綜合.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】22.

【分析】由/：y=x+3與c/乂2=12丫聯(lián)立得尸?18討9=0,利用韋達(dá)定理和拋物線的定義即可求解.

【解答】解：若直線/：)=x+3與拋物線g：x2=12y和圓J：x2+(y-3)2=l從左到右依次交于點(diǎn)

4、B、C、D,

由/：)=%+3與C]：乂2=12丫聯(lián)立得?1打+9=0,

設(shè)A(xi,yi),D(X2?”)，F(xiàn)(0,3),

則戶+”=]8,

：.\AD\=\AF]+\DF]=(yi+3)+(戶+3)=(yi+.y2)+6=24,

：.\AB\+\CD\=\AD\-\BC]=22.

故答案為：22.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于中檔題.

16.在△ABC中，NBAC的角平分線4。交邊8C于點(diǎn)。，若BC=3,CD=2DB,則△ABC面積的最大值

為3.

【考點(diǎn)】解三角形.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；解三角形：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】3.

【分析】由角平分線的性質(zhì)可得A/工AC的比值，建立坐標(biāo)系，可得三角形面積的最大值.

【解答】解：因?yàn)榻侨说钠椒志€交AC于點(diǎn)4則

則幽典」，

ACDC2

以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖平面直角坐標(biāo)系，

則因?yàn)锽C=3,毀」，

DC2

可得CO=2,BD=\t故8(-I,0),C(2,0),

設(shè)4(x,y),則化簡(jiǎn)可得/+以+)2=0,

BP(x+2)2+)2=4,

故點(diǎn)A(x,y)的軌跡是以(-2,0)為圓心，2為半徑的圓(除去(?4,0)),

故A(?2,±2)時(shí)，

△A3C面積取最大值為SAABC3X2=3-

故答案為：3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的面積的求法，屬于中檔題.

三,解答題（共7小題）

17.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為品,當(dāng)〃22時(shí)，Sn（Sn-On+1）=Sn-\.

（1）證明：數(shù)列｛」一｝是等差數(shù)列；

Sn

（2）若&]△",數(shù)歹U｛得一｝的前〃項(xiàng)和為力o若mTn<（n2+16）?2“+1恒成立，求正整數(shù)"?的最大

2n

值.

【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式；等差數(shù)列的性質(zhì).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）證明見解析；

（2）2.

【分析】（1）〃22時(shí)，用a〃=S“-S”」代入化簡(jiǎn)，用等差數(shù)列的定義即可證明；

（2）用錯(cuò)位相減法求出右，不等式可化為m《n」與恒成立，再用基本不等式求得n*的最大值，從

nn

而可得加的最大值.

【解答】證明：（1）由題意知,當(dāng)心2時(shí)，Sn（Sn-an+\）=S*l,所以Sn[（Sn-（S“-S“-l））+1J

=Sn-1?

整理得：SnSn-l=Sz-Sn,艮]」——]所以數(shù)列/｝是以I為公差的等差數(shù)列；

SnSn-1Sn

（2）解：由a1小，由（1）知｛二一｝是以2為首項(xiàng)、1為公差的等差數(shù)列，

2Sn

所以V■=n+1，所以=（n+1）?2%

bnbn

2n-1

^^Tn=2-2+3<+*-+n-2+（n+l）-2"①

所以21=2?22+3?23+?，，y?211+（門+1）?2"1，②

23n

①■②得-Tn=4+(2+2+--+2)-(n+1)?2"L

所以-1=4+（22+23+…+2力-（"1）?2"L-n?2血所以%F?2田,

因?yàn)閙T4（n2+16）?2n+1,所以

nn

由于&當(dāng)且僅當(dāng)〃=4時(shí)等號(hào)成立，故正整數(shù)/〃的最大值為8.

n

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和，考查轉(zhuǎn)化能力，屬「中檔題.

18.2022年，隨著最低工資標(biāo)準(zhǔn)提高，商品價(jià)格上漲，每個(gè)家庭的日常消費(fèi)也隨著提高，某社會(huì)機(jī)構(gòu)隨機(jī)

調(diào)查了200個(gè)家庭的日常消費(fèi)金額并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如表：

消費(fèi)金額（千元）[2,3）[3,4）[4,5）[5,6）[6,7）[7,8]

人數(shù)406040302010

（1）求這200個(gè)家庭消費(fèi)金額的平均數(shù)7及方差J（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）；

（2）通過進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)這200個(gè)家庭中收入不低于5千的有100個(gè)家庭，這些家庭成員到商場(chǎng)購(gòu)物

時(shí)駐留時(shí)間互不相同，通過調(diào)杳得到如表聯(lián)表:

駐留時(shí)間少于1小時(shí)駐留時(shí)間不少于1小時(shí)

低于5千7030

不低于5千4060

能否有999%的把握認(rèn)為家庭成員在商場(chǎng)駐留的時(shí)間與家庭收入有關(guān)？

小得)熏：

附：R)(b+d)'i2

P(產(chǎn)2ko)0.0500.0100.001

ko3.8416.63510.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【以題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計(jì)；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】（1）平均數(shù)4.3,方差2.06；

（2）有99.9%的把握認(rèn)為家庭成員在商場(chǎng)的駐留時(shí)間與家庭收入有關(guān).

【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的公式求解即可；

（2）用公式計(jì)算出代的值，再根據(jù)臨界值分析判斷即可.

解答[解：（1）由題意得

60..匚丫40

￡25X瑞+3.5X2004-5*2005x懸+6.5X黑+7.5X瑞=4.3

52二(2?5一4.3)2><懸+(3.5-4.3)2乂黑+(4.5-4.3)2><券+(5.5-4.3)2><饋+

(6.5-4.3)2X第+(7?5-4.3)2義^=2?06-

(2)根據(jù)歹U聯(lián)表可知：。=70,。=30,c=40,d=60,a+b=c^-d=\00,?+c=110,b+d=90,〃=a+b+c+d

=200,

則K2________n("bc)2________200(70X60-30X40)2>

K--?國(guó)?

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)100X100X110X90182110828

所以有99.9%的把握認(rèn)為家庭成員在商場(chǎng)的駐留時(shí)間與家庭收入有關(guān).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題.

19.如圖，四邊形ACOAi與四邊形8COB是全等的矩形，AB=V2AC斗AA1，若「是的中點(diǎn).

2

(1)求證：平面PBiCiJL平面P81C；

(2)如果4(7=1,求三棱錐Bi-A1C1P與多面體ABCPBi的體積比值.

【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；平面與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離：立體幾何：邏輯推理：數(shù)學(xué)運(yùn)算.

【答案】(1)證明見解析；

(2)V三棱椎B「A[C]P：V多面體ABCPB[g.

【分析】(1)通過證明CP_L平面PBCi,即可證明平面尸BiCi_L平面尸BiC；

(2)分別求出三棱錐Bi-AiCiP與多面體ABCPB1的體積，即可得出三棱錐B\-A1C1P與多面體

ABCPB\的體積比值.

【解答】(1)證明：因?yàn)锳C=BC=("AB，所以4c

又因?yàn)镃Ci_LBC,JSCC\QAC=C,4Cu面ACOAi,CCiu面ACC.,

所以4C_L平面ACCMi,

又CPu平面ACCiAi,所以BC_LCR

V2AC=^AAf^AC-^AAf所以所以/APC二;，

21214

同理NAiPCi=；，所以NCPCIT，即PC」CR

11412

又由于8c〃陰a,

所以B\C\LCP,

因?yàn)镻CinBCi=Ci,PC1U平面P81C1,B1C1U平面P81C1，

所以CP_L平面PBiCi,

因?yàn)镃Pu平面PBiC,

所以平面P3Ci_L平面PB\C.

（2）解：由題意及（1）得，兒何體人為直三楂柱，

V多面體ABCPB]=丫三棱柱詆-.4遇]（：1=丫四棱錐氏_/（：1?，

因?yàn)閂三棱柱ABCfB臼卷XBCXACXAAi=fxiXlX2=l，

V四棱錐BLAQCpAx/xaF+CCpxAiCiXBiC廣衣

所以V多面體ABCPBjV三棱柱過—A/iCjV四棱鋌B「A[C]CPV.

WvX-XAPXACXBC

H?fiB1-A1c1p42iiiiT

所以V三棱椎B[-A[C]P：V多面體

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查面面垂直的證明，棱柱體積的求法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

20.已知點(diǎn)。是平面直角坐標(biāo)系X。），內(nèi)異于。的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。作直線上），=*2?及勿）'=-喙工

的平行線，分別交x軸于M,N兩點(diǎn)，H.|aW|2+|OM2=8.

（I）求點(diǎn)。的軌跡C的方程：

（2）在x軸正半軸上取兩點(diǎn)4（〃?，0）,B（〃，0）,且"?〃=4,過點(diǎn)4作直線/與軌跡。交于E,F兩

點(diǎn)，證明：sinZEBA=sinZFBA.

【考點(diǎn)】直線與橢圓的綜合；軌跡方程.

【專題】整體思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；邏輯推理；數(shù)學(xué)運(yùn)算.

22

【答案】（1）W_q=i（x卉±&）；（2）證明過程如上解析.

43

【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用已知求出點(diǎn)M,N的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)己知建立等式關(guān)系，從而可

以求解；

（2）討論直線/的斜率不存在與存在的情況，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，由角相等轉(zhuǎn)化為證明直線BE和直線

8尸的斜率的和為0,設(shè)出直線/的方程以及點(diǎn)E,/的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理求出直線8E和直線8尸的

斜率的和的關(guān)系式，利用直線方程化簡(jiǎn)即可證明.

【解答】解：(1)設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(刈，如),

根據(jù)題意可得：M(Xc-^Yc，0)，N(x。哈yi

0V30

由|OMF+|O/V|2=8得：/yj2+(x00)2=8,

化簡(jiǎn)可得:

22

所以軌跡C的方程為：亍+^-=i(x卉土企)；

(2)證明：當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，sinNE8/l=sinNF必成立，

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，由題意設(shè)直線/的方程為：y=k(X-/M),E(xi,yi),F(X2,

y=k(x-m)

聯(lián)立方程J丫22，消去整理可得：(3+4/)f-89心+我％2?]2=0,

由A>。得：〃1V3+4汽且.+J咨，

1/3+4k21/3+4k2

+

Yiy2Yi(x2-n)+y2(xi-n)2kxix2-(km+kn)(xi+x2)2imk

則kBE^F=--^--=―(x「n)(x2-n)—=(xrn)(x2-n)

又如4■(如+加)(制+/)+2〃?〃-2k(4k2m：-12)_8k21n(km：kn)十2.

3+4k23+4k2

=-24k+6innk,因?yàn)椤ā?=4,所以kBE+kBF=0,

2

3+4k

則sin/E5A=sinN/?7M,

綜上，sinZEBA=sinZFBA.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了求點(diǎn)的軌寵方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，涉及到證明角相等轉(zhuǎn)化為證明

直線斜率和為。的問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算推理能力，屬于中檔題.

21.設(shè)函數(shù)/(x)-a2x+m(a>0).

(1)若〃=1時(shí)函數(shù)/(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，求〃?的取值范圍：

(2)若函數(shù)/(外在八日-1,1]內(nèi)沒有極值點(diǎn)，求〃的取值范圍.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系.

【專題】綜合題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】(1)當(dāng)a=\時(shí)，f(J)=/+/-x+m,f(A)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，即〃?=-9-有三

個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根，構(gòu)造函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值，從而可得〃?的取值范圍；

(2)要使函數(shù)/(x)在.隹［-1,1］內(nèi)沒有極值點(diǎn)，只需/CO=0在(-1,1)上沒有實(shí)根即可.

【解答】解：(1)當(dāng)4=1時(shí)，，fG)=?+?-x+m.

V/(x)有三個(gè)互不相同的零點(diǎn)，

(x)=.r3+x2-x+/n=0,即m=-x3-/+x有三個(gè)互不相同的實(shí)數(shù)根.

令g(%)=-/-/+x,則g'(X)=-(3x-1)(x+1)

令父(x)>0,可得?1VXV_1；令父(x)<0,可得x<-l或二>2，

33

A.?(X)在(-8,-1)和(_1,+8)上為減函數(shù)，在(-1,A)上為增函數(shù)，

33

(X)極小=g(-1)=-1,g(x)極大=g)=-^-