專題02利用勾股定理解決實際問題壓軸題八種模型全攻略【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一求梯子滑落高度】 1【考點三求大樹折斷前的高度】 6【考點四解決水杯中筷子問題】 8【考點五解決航海問題】 11【考點六判斷汽車是否超速】 13【考點七判斷是否受臺風影響】 16【考點八求最短路徑】 20【過關檢測】 23【典型例題】【考點一求梯子滑落高度】例題：（2023秋·吉林長春·八年級統考期末）如圖，一架長的梯子斜靠在一豎直的墻上，，這時，梯子的底端到墻底的距離為．

(1)求此時梯子的頂端距地面的高度．(2)如果梯子的頂端沿墻下滑，那么梯子底端外移嗎？通過計算說明你的結論．【變式訓練】1.（2023春·寧夏吳忠·八年級校考期中）如圖，將長為25米長的云梯斜靠在建筑物的側墻上，長7米．(1)求梯子上端到墻的底端E的距離的長；(2)如果梯子的頂端A沿墻下滑4米，則梯腳B將外移多少米？2.（2023·全國·八年級假期作業）如圖梯子斜靠在豎直的墻，長為，為．(1)求梯子的長．(2)梯子的頂端A沿墻下滑到點C，梯子底端B外移到點D，求的長．【考點二求旗桿高度】例題：（2023春·廣東汕頭·八年級統考期末）如圖，某攀巖中心攀巖墻的頂部處安裝了一根安全繩，讓它垂到地面時比墻高多出了米，教練把繩子的下端拉開米后，發現其下端剛好接觸地面（即米），，求攀巖墻的高度．【變式訓練】1.（2022春·八年級單元測試）思源中學八（3）班小明和小亮同學學習了“勾股定理”之后，為了測得下圖風箏的高度，他們進行了如下操作：（1）測得的長度為米；（2）根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為米；（3）牽線放風箏的小明身高米，求風箏的高度．2.（2023春·江西宜春·八年級統考期中）一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達一個高為10米的高臺A后，利用旗桿頂部的繩索，劃過90°到達與高臺A水平距離為17米，高為3米的矮臺B．(1)求旗桿的高度OM；(2)瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN．【考點三求大樹折斷前的高度】例題：（2023春·江西南昌·八年級南昌市外國語學校?？计谀毒耪滤阈g》是中國傳統數學的重要著作之一，奠定了中國傳統數學的基本框架．如圖所示是其中記載的一道“折竹”問題：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，問折者高幾何？”題意是：一根竹子原高丈(丈尺)，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根尺，試問折斷處離地面多高？

【變式訓練】1.（2023春·湖南婁底·八年級統考階段練習）如圖，一棵大樹在一次強臺風中在離地某處折斷倒下，樹尖落在離樹底部12米處，已知原樹高是18米，你能求出大樹在離地多少米的位置折斷嗎？

2.（2023春·全國·八年級期中）如圖，一根垂直于地面的旗桿高，因刮大風旗桿從點處折斷，頂部著地且離旗桿底部的距離．(1)求旗桿折斷處點距離地面的高度；(2)工人在修復的過程中，發現在折斷點的下方的點處，有一明顯裂痕，若下次大風將修復好的旗桿從點處吹斷，旗桿的頂點落在水平地面上的處，形成一個直角，請求出的長．【考點四解決水杯中筷子問題】例題：（2023春·河北唐山·八年級統考期中）如圖是一個圓柱形飲料罐，底面半徑是，高是，上底面中心有一個小圓孔，則一條長的直吸管露在罐外部分的長度（罐壁的厚度和小圓孔的大小忽略不計）范圍是（

）

A． B． C． D．【變式訓練】1.（2023·江蘇·模擬預測）我國古代數學著作《九章算術》中記載了一個問題：“今有池方一丈，葭（jiā）生其中，出水一尺．引葭赴岸，適與岸齊．問水深幾何．”（丈、尺是長度單位，1丈尺）其大意為：有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面1尺．如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面．水的深度是多少？則水深為（

）A．10尺 B．12尺 C．13尺 D．15尺2.（2023春·內蒙古通遼·八年級?？计谥校┤鐖D，將一根長的筷子，置于底面直徑為，高為的圓柱形水杯中，設筷子露在杯子外面的長度是，則h的取值范圍是________．【考點五解決航海問題】例題：（2023·寧夏吳忠·統考二模）如圖，一艘輪船自西向東航行，航行到處測得小島位于北偏東方向上，繼續向東航行海里到達點處，測得小島在輪船的北偏東方向上，此時輪船與小島的距離為____海里．【變式訓練】1.（2023春·廣東珠?！ぐ四昙壷楹Ｊ星吧街袑W?？计谥校┤鐖D，某港口O位于東西方向的海岸線上，有甲，乙兩艘輪船同時離港，各自沿著一固定方向航行，甲船沿北偏西方向航行，每小時30海里，乙船沿北偏東方向航行，每小時40海里，2小時后，兩船分別到達A，B處，此時兩船相距多少海里？

2.（2022秋·廣東深圳·八年級深圳市高級中學校考期中）如圖所示，一艘輪船由A港口沿著北偏東的方向航行到達B港口，然后再沿北偏西方向航行到達C港口．(1)求A，C兩港口之間的距離；（結果保留根號）(2)C港口在A港口的什么方向．【考點六判斷汽車是否超速】例題：（2023春·廣東汕頭·八年級統考期末）某條道路限速，如圖，一輛小汽車在這條道路上沿直線行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀A處的正前方的C處，過了，小汽車到達B處，此時測得小汽車與車速檢測儀間的距離為．

(1)求的長；(2)這輛小汽車超速了嗎？【變式訓練】1.（2023春·八年級課時練習）如圖，一輛小汽車在一條限速的街路上沿直道行駛，某一時刻剛好行駛到路面車速檢測儀A的正前方處的C點，過了后，測得小汽車所在的B點與車速檢測儀A之間的距離為．(1)求B，C間的距離．(2)這輛小汽車超速了嗎？請說明理由．2.（2023春·全國·八年級專題練習）“交通管理條例第三十五條”規定：小汽車在城市街路上行駛速度不得超過70千米/小時，如圖，一輛小汽車在一條城市街路上直道行駛，某一時刻剛好行駛到路對面車速檢測儀正前方50米處，過了6秒后，測得小汽車與車速檢測儀距離130米．(1)求小汽車6秒走的路程；(2)求小汽車每小時所走的路程，并判定小汽車是否超速？【考點七判斷是否受臺風影響】例題：（2023·全國·八年級假期作業）6號臺風“煙花”風力強，累計降雨量大，影響范圍大，有極強的破壞力．如圖，臺風“煙花”中心沿東西方向由A向B移動，已知點C為一海港，且點C與直線AB上的兩點A、B的距離分別為，，又，經測量，距離臺風中心及以內的地區會受到影響．(1)海港C受臺風影響嗎？為什么？(2)若臺風中心的移動速度為千米/時，則臺風影響該海港持續的時間有多長？【變式訓練】1.（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，某沿海城市A接到臺風警報，在該市正南方向的B處有一臺風中心正以的速度向方向移動，已知城市A到的距離，那么：(1)臺風中心經過多長時間從B點移到D點？(2)如果在距臺風中心的圓形區域內都有受到臺風破壞的危險，為讓D點的游人脫離危險，游人必須在接到臺風警報后的幾小時內撤離（撤離速度為）最好選擇什么方向？2.（2023春·湖南郴州·八年級校考階段練習）如圖，有一輛環衛車沿公路由點A向點B行駛，已知點C為一所學校，且點C與直線上兩點A，B的距離分別為200m和150m，，環衛車周圍以內為受噪聲影響區域.(1)學校C會受噪聲影響嗎？為什么？(2)若環衛車噪聲影響該學校持續的時間有2min，求環衛車的行駛速度為多少？【考點八求最短路徑】例題：（2023春·黑龍江齊齊哈爾·八年級校聯考階段練習）有一圓柱形油罐，如圖，要從點A環繞油罐建梯子，正好到A點的正上方點B，問梯子最短要多少米？（已知油罐底面周長是12米，高是5米）【變式訓練】1.（2023春·八年級單元測試）如圖，在長方體中，點E是棱的中點，已知cm，cm，cm．一只小蟲從A點出發沿長方體的表面到E點處覓食，求小蟲爬行的最短距離．2.（2023春·全國·八年級專題練習）問題情境：如圖①，一只螞蟻在一個長為80cm，寬為50cm的長方形地毛毯上爬行，地毯上堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側棱平行且等于場地寬，木塊從正面看是一個邊長為20cm的等邊三角形．求一只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程．(1)數學抽象：將螞蟻爬行過的木塊的側面“拉直”“鋪平”，“化曲為直”．請在圖②中用虛線補全木塊的側面展開圖，并用實線連接．(2)線段的長即螞蟻從點處到達點處需要走的最短路程，依據是_____．(3)問題解決：如圖②，展開圖中_____，_____．(4)這只螞蟻從點處到達點處需要走的最短路程是_____．【過關檢測】一、單選題1．（2024下·全國·七年級假期作業）如圖，一棵高為的樹被臺風刮斷．若樹在離地面處折斷，樹頂端剛好落在地面上，則折斷后樹頂端離樹底部（

）A． B． C． D．2．（2023上·陜西渭南·八年級校聯考階段練習）如圖，當秋千靜止時，踏板離地的垂直高度，將它往前推至處時（即水平距離，），踏板離地的垂直高度，它的繩索始終拉直，則繩索的長是（

）A． B． C． D．3．（2024下·全國·八年級假期作業）如圖，正方體的棱長為2，E是的中點．已知一只螞蟻沿正方體的表面從點A出發，到達點E，則它運動的最短路程為（

）A． B．4 C． D．5二、填空題4．（2023上·河北石家莊·八年級校考階段練習）如圖，要從電線桿離地面的C處向地面A處拉一條長的電纜，測得，則電線桿的高度是．5．（2023上·福建泉州·八年級泉州七中?？茧A段練習）如圖，將一根長的筷子，置于底面直徑為，高的圓柱形水杯中，則筷子露在杯子外面的最短長度是6．（2024下·全國·七年級假期作業）如圖，鐵路和公路在點處交會，點到的直線距離為．公路上點處距離點處．如果火車行駛時，周圍以內會受到噪音的影響，那么火車在鐵路上沿方向以的速度行駛時，點處受噪音影響的時間為s．三、解答題7．（2023上·河北邯鄲·八年級統考期中）如圖，湖面上有一朵盛開的紅蓮，它高出水面．大風吹過，紅蓮被吹至一邊，花朵下部剛好齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為，則水深是多少？8．（2023上·寧夏中衛·八年級校考階段練習）《九章算術》中有“折竹抵地”問題：“今有竹高9尺，末折抵地，去根三尺，問折者高幾何？”題意是：有一根竹子原來高9尺，中部有一處折斷，竹梢觸地面處離竹根3尺，試問折斷處離地面多高？9．（2022上·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學?？茧A段練習）如圖是放在地面上的一個長方體盒子，其中，，，點M在棱上，且，點N是的中點，一只螞蟻要沿著長方體盒子的外表面從點M爬行到點N，它需要爬行的最短路程是多少？（盒子底面螞蟻無法到達）10．（2023上·陜西西安·八年級西安市鐵一中學校考階段練習）西安輔輪中學于11月13日對全校師生組織了一場應急疏散演練主題教育，本次活動中同學們加強了消防安全意識、提升了火災預防和應急處置能力同學們通過消防員們的介紹了解到消防云梯主要是用于高層建筑火災等救援任務，它能讓消防員快速到達高層建筑的火災現場，執行滅火、疏散等救援任務，消防云梯的使用可以大幅提高消防救援的效率，縮短救援時間，減少救援難度和風險，如圖，已知云梯最多只能伸長到（即），消防車高（即），救人時云梯伸長至最長，在完成從（即）高的處救人后，還要從（即）高的處救人，這時消防車從處向著火的樓房靠近的距離為多少米？11．（2023上·福建泉州·八年級泉州七中?？茧A段練習）小麗與爸媽在公園里蕩秋千．如圖，小麗坐在秋千的起始位置A處，與地面垂直，兩腳在地面上用力一蹬，媽媽在B處接住她后用力一推，爸爸在C處接住她若媽媽與爸爸到的水平距離分別為、，且．(1)若點A、B到地面的距離是分別是、，，求秋千的長度；(2)在（1）的條件下，求爸爸在距離地面多高的地方接住小麗的？12．（2022上·陜西咸陽·八年級咸陽市實驗中學校考階段練習）大明宮國家遺址公園是世界文化遺產，全國重點文物保護單位，其地處長安城（今西安）北部的龍首原上，公園里視野開闊，障礙物極少，成為不少市民放風箏的絕佳場所．某校八年級某班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度（如圖），他們進行了如下操作：①測得的長度為24米；②根據手中剩余線的長度計算出風箏線的長為30米；③牽線放風箏的小明身高為1.6米（）．已知，，，請你幫他們求出風箏的垂直高度．13．（2023上·陜西西安·九年級西安行知中學校考階段練習）校車安全是近幾年社會關注的重大問題，安全隱患主要是超速和超載．某中學九年一班數學活動小組設計了如下檢測公路上行駛的汽車速度的實驗：先在公路旁邊選取一點，再在筆直的車道上確定點，使與垂直，測得長等于21米，在上點的同側取點，使．(1)求的長（精確到