第3章微分中值定理及其應用

3.1微分中值定理3.2洛必達法則3.3函數的單調性與極值*3.4曲率3.5函數圖形的描繪本章小結

3.1微分中值定理

3.1.1羅爾定理

定理3-1(羅爾(Rolle)定理)如果函數f(x)滿足條件：

(1)在閉區間［a，b］上連續；

(2)在開區間(a，b)內可導；

(3)

f(a)=f(b)則在開區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得f′(ξ)=0.羅爾定理的幾何意義如下：在圖3-1中，函數y=f(x)表示了(a，b)內一條光滑連續的曲線，且曲線兩端點A、B的縱坐標相等，即f(a)=f(b)，那么在曲線上至少存在一點ξ，使得曲線在該點處的切線平行于x軸，即f′(ξ)=0.證明由于f(x)在閉區間［a，b］上連續，由閉區間上連續函數的性質可得:f(x)在［a，b］上一定取得最大值M和最小值m.有兩種可能的情形：

(1)M=m.此時f(x)在閉區間［a，b］上恒為常數，則在(a，b)內處處有f′(x)=0.

(2)M>m.因為f(a)=f(b)，所以M和m中至少有一個不能在區間的端點取得.不妨設M≠f(a)，即最大值不在端點處取得，那么在(a，b)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=M.下面證明f′(ξ)=0.因為f(ξ)=M是函數f(x)在[a，b]內的最大值，所以總有f(ξ+Δx)－f(ξ)≤0當Δx>0時，有又因為f(x)在(a，b)內可導，所以f(x)在ξ點可導，即f′(ξ)存在.由極限的局部保號性可得同理，當Δx<0時，有于是故f′(ξ)=0

例3-1驗證函數在區間[0，4]上滿足羅爾定理的條件，并求出羅爾定理中的ξ值.解顯然，函數在閉區間［0，4］上連續，在開區間(0，4)內可導，且f(0)=0，f(4)=0.又由于令f′(x)=0，解得，.故取，則有f′(ξ)=0.3.1.2拉格朗日中值定理定理3-2(拉格朗日(Lagrange)中值定理)如果函數f(x)滿足條件：

(1)在閉區間[a，b]上連續；

(2)在開區間(a，b)內可導則在區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得(3-1)

或f(b)－f(a)=f′(ξ)(b－a)(3-2)顯然，拉格朗日中值定理的幾何意義如下：在圖3-2中，函數y=f(x)表示了(a，b)內一條光滑連續的曲線，則在曲線上至少存在一點ξ，使得曲線在該點處的切線斜率與直線AB的斜率相等.圖3-2

注:當f(a)=f(b)時，拉格朗日中值定理就變成了羅爾定理，即羅爾定理是拉格朗日中值定理的特殊情形.在式(3-2)中，若令x=a，Δx=b－a，則式(3-2)又可以變為f(x+Δx)－f(x)=f′(ξ)Δx

(3-3)

其中，ξ介于x和x+Δx之間.拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理，建立了函數在一個區間上的改變量和函數在該區間內某點的導數之間的聯系，從而使我們有可能利用導數去研究函數在區間上的性態.由于x1、x2是(a，b)內的任意兩點，因此在(a，b)內f(x)是常函數.

推論3-2如果函數f(x)和g(x)在區間(a，b)內的導數處處相等，即f′(x)=g′(x)，那么f(x)和g(x)在區間(a，b)內只相差一個常數.證明略.例3-2求證：在(－∞，+∞)內，恒成立.

證明令f(x)=arctanx+arccotx，則有故由推論3-1可得，f(x)在(－∞，+∞)內是一個常函數，即arctanx+arccotx=C

其中C為常數.取x=1，可得因此，在(－∞，+∞)內，等式恒成立.

例3-3求證:當時，不等式成立.

證明設，因為f(x)為初等函數，所以其在閉區間［0，x］上連續；又f′(x)=sec2x－1+x2=tan2x+x2

故f(x)在開區間(0，x)內可導.f(x)在閉區間［0，x］上滿足拉格朗日中值定理條件，所以，至少存在一點ξ∈(0，x)，使得f(x)－f(0)=f′(ξ)(x－0)由于f′(ξ)=tan2ξ+ξ2

已知x>0，從而有ξ>0，f′(ξ)=tan2ξ+ξ2>0，且f(0)=0，于是f(x)>0即因此，當時，不等式成立.3.1.3柯西定理

定理3-3(柯西(Cauchy)定理)如果函數f(x)與g(x)都在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a，b)內可導，且g′(x)≠0，則在開區間(a，b)內至少存在一點ξ，使得注:(1)在該定理中，將x看成參數，則可將Y=f(x)、X=g(x)(a≤x≤b)看成一條曲線的參數方程表達式.這時，就表示了連接曲線端點A(g(a)，f(a))、B(g(b)，f(b))的直線的斜率，而f′(ξ)/g′(ξ)則表示了該曲線上某一點C(g(ξ)，f(ξ))處的切線斜率.

(2)在式(3-4)中，如果令g(x)=x，那么柯西定理就變成了拉格朗日中值定理，故拉格朗日中值定理是柯西定理的特殊情況.3.2洛必達法則

3.2.1“”和“”基本未定式

定理3-4(洛必達法則一)如果函數f(x)與g(x)滿足條件：

(1)，；

(2)f(x)與g(x)在點x0的某個鄰域內(點x0可除外)可導，且g′(x)≠0；

(3)

則有定理3-5(洛必達法則二)如果函數f(x)與g(x)滿足條件：

(1)，；

(2)

f(x)與g(x)在點x0的某個鄰域內(點x0可除外)可導，且g′(x)≠0；

(3)則有

注:(1)對于洛必達法則一和法則二，把x→x0改為x→∞，該法則仍然成立；

(2)如果應用洛必達法則后，仍得到未定式“”型或“”型，當其滿足定理條件時，可重復使用該法則.例3-4

求.解當x→0時，有ex－1→0，這是“”型未定式，于是

例3-5求.解當x→0時，有1－cosx→0，x2→0，這是“”型未定式，于是例3-6求.解當x→+∞時，有ln3x→+∞，這是“”型未定式，于是注:該題中使用一次洛必達法則后仍滿足法則的條件，故可重復使用.例3-7求.解當x→0+時，有lncotx→∞和lnx→∞，這是“”型未定式，于是3.2.2其他未定式

除了求“”型或“”型基本未定式的極限外，洛必達法則還可以用來求“0·∞”，“∞－∞”、“00”、“∞0”、“1∞”型等其他未定式的極限，但需先將它們轉換為基本未定式“”型或“”型，再使用洛必達法則計算.例3-8求.

解這是“0·∞”未定式，于是例3-9求.解這是“∞-∞”型未定式，于是例3-10求.解這是“∞0”型未定式，于是又所以還須說明，洛必達法則有時會失效，但所求極限卻不一定不存在.例如:

這時，不滿足洛必達法則條件(3)，所以不能使用該法則.但是3.3函數的單調性與極值

3.3.1函數的單調性函數的單調性是函數的一個重要性質，單調函數在高等數學中占有重要的地位，如單調函數才有反函數.利用函數單調性的定義判斷其單調性往往是比較復雜的，下面將討論函數的單調性與導數間的關系，從而提供一種判斷函數單調性的新方法.從下面幾何圖形不難看出，圖3-3中的曲線沿x軸正向是上升的，其上每一點的切線與x軸正向的夾角都是銳角，因而切線的斜率都大于零，即曲線上各點的導數都大于零；相反地，圖3-4中曲線沿x軸正向是下降的，其上每一點的切線與x軸正向的夾角都是鈍角，因而切線的斜率都小于零，即曲線上各點的導數都小于零.圖3-3圖3-4由此可見，函數的單調性與導數有著密切的關系，反之，能否利用導數判斷函數的單調性呢？一般的，有如下判定定理：

定理3-6設函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a，b)內可導，則有

(1)如果在(a，b)內，f′(x)>0，那么函數f(x)在閉區間［a，b］上嚴格單調增加；

(2)如果在(a，b)內，f′(x)<0，那么函數f(x)閉區間［a，b］上嚴格單調減少.

證明設x1、x2為閉區間［a，b］上任意兩點，且x1<x2.因為f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間(a，b)內可導，所以其在閉區間［x1，x2］上連續，在開區間(x1，x2)內可導，滿足微分中值定理條件，有

f(x2)－f(x1)=f′(ξ)·(x2－x1)(x1<ξ<x2)又x2－x1>0，故

(1)如果f′(x)>0，則f′(ξ)>0，從而有f(x2)－f(x1)>0，故證f(x)在閉區間［a，b］上嚴格單調增加；

(2)如果f′(x)<0，則f′(ξ)<0，從而有f(x2)－f(x1)<0，故證f(x)在閉區間［a，b］上嚴格單調減少.注:(1)該定理中的連續區間可改為開區間或半閉半開區間，結論也相應成立.

(2)如果函數f(x)在區間(a，b)內的個別點的導數等于零，在其余點的導數同號，那么不影響函數在該區間內的單調性.如:y=x3在x=0處的導數等于零，而在其余點的導數都大于零，故它在(－∞，+∞)內單調遞增.

(3)有的函數在整個定義域上并不具有單調性，但在其各個子區間上卻具有單調性.如：y=x2在區間(－∞，0)內單調遞減，在區間(0，+∞)內單調遞增，并且分界點x=0處有f′(0)=0(通常把導數為零的點稱為駐點).因此，求函數的單調區間一般分三步：①求一階導數f′(x)；②求分界點.即求使一階導數f′(x)=0的駐點和一階導數不存在的點；③用定理3-6判斷各子區間上的單調性.

例3-11求函數f(x)=x4－2x2+3的單調區間.解因為f′(x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)所以令f′(x)=0，得x1=－1，x2=0，x3=1.

顯然，這些點將區間(－∞，+∞)劃分為四個子區間，列表討論如表3-1所示.表3-1

從表3-1中可得，f(x)在區間(－∞，－1)和(0，1)內單調遞減；在區間(－1，0)和(1，+∞)內單調遞增.例3-12求函數的單調區間.解函數的定義域為(－∞，0)∪(0，+∞)，.

當x=±2時，f′(x)=0；當x=0時，f′(x)不存在.

顯然，這些點將區間(－∞，+∞)劃分為四個子區間，列表討論如表3-2所示.表3-2

從表3-2中可得，f(x)在區間(－∞，－2)和(2，+∞)內單調遞增；在區間(－2，0)和(0，2)內單調遞減.例3-13求證:當x>0時，ex>x.

證明設f(x)=ex－x，顯然，f(x)在［0，+∞)上連續.由于f′(x)=ex－1，因此，當x>0時，有f′(x)>0，從而有f(x)在［0，+∞)上單調遞增，又f(0)=0，故當x>0時，有ex－x>0，即ex>x.3.3.2函數的極值定義3-1設函數f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果對于該鄰域內任一點(x≠x0)，恒有

(1)f(x)<f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)的一個極大值，并稱x0為極大值點；

(2)f(x)>f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)的一個極小值，并稱x0為極小值點.函數的極大值與極小值統稱為函數的極值；極大值點與極小值點統稱為極值點.注:(1)函數的極值是一個局部概念，是相對于極值點x0的某一鄰域而言的；而最值是一個整體概念，是針對整個區間而言.

(2)函數的極值只能在區間內部取得；而最值不僅可以在區間內部取得，還可以在區間的端點處取得.

(3)函數在一個區間內可能有多個極值，并且極大值不一定大于極小值，如圖3-5中極小值f(x4)就大于極大值f(x1)；而最值如果存在，那么有且只有一個.圖3-5從圖3-5中可以看出，可導函數在極值點的切線一定是水平方向的，但是有水平切線的點卻不一定是極值點，如圖中的x5點.

定理3-7(極值存在的必要條件)如果函數f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，則f′(x0)=0.證明略.由定理3-7可知，可導函數的極值點一定是駐點；反之，駐點卻不一定是函數的極值點，如圖3-5中x5點.對于連續函數而言，導數不存在的點也有可能取得極值，如圖3-5中x4點.下面給出判斷極值的兩個充分條件.

定理3-8(極值判別法Ⅰ)設函數f(x)在點x0的某一鄰域內連續且可導(x0點可以不可導)，當x由左到右經過x0點時，如果有

(1)f′(x)由正變負，那么x0點是極大值點；

(2)f′(x)由負變正，那么x0點是極小值點；

(3)f′(x)不變號，那么x0點不是極值點.證明略.從定理3-8可知，求函數極值的一般步驟如下：

(1)求函數的定義域，并求導數f′(x).

(2)求出f(x)的全部駐點和導數不存在的點.

(3)用上述這些點將定義域劃分為若干個子區間，列表考察各子區間內導數f′(x)的符號，再用定理3-8確定該點是否為極值點.例3-14求函數f(x)=x－ex的極值.解

(1)定義域為(－∞，+∞)，一階導數為f′(x)=1－ex.

(2)令f′(x)=0，解得駐點x=0.

(3)用駐點x=0，將定義域劃分為兩個子區間，如表3-3所示.表3-3

由此可知，函數極大值為f(0)=－1.例3-15求函數的極值.解

(1)定義域為D=(－∞，+∞)，一階導數為

(2)令f′(x)=0，解得駐點x1=2；又當x2=1時，f′(x)不存在.

(3)用點x1=2、x2=1將定義域劃分為三個小區間，如表3-4所示.表3-4

由此可得，極大值，極小值.

定理3-9(極值判別法Ⅱ)設函數f(x)在點x0處具有二階導數，且f′(x0)=0，f″(x0)≠0，則有

(1)若f″(x0)<0，則函數f(x)在點x0處取得極大值；

(2)若f″(x0)>0，則函數f(x)在點x0處取得極小值.

例3-16求函數f(x)=x3－4x2+4x的極值.解①定義域為D=(－∞，+∞)，一階導數為f′(x)=3x2－8x+4=(x－2)(3x－2)②令f′(x)=0，解得駐點x1=2，.③又因為f″(x)=6x－8，所以有f″(2)=4>0，.

故函數有極大值，極小值f(2)=0.3.3.3函數的最值在工農業生產和經濟管理等活動中，經常會遇到：在一定的條件下，如何才能做到“用料最省”、“成本最低”、“利潤最大”、“耗時最少”等問題，這類問題在數學上都可以歸結為求函數的最大值、最小值問題.由閉區間上連續函數的性質可知，閉區間［a，b］上的連續函數f(x)一定有最大值和最小值.由極值和最值之間的關系不難看出，函數在閉區間［a，b］上的最大值和最小值只能在開區間(a，b)內的極值點或區間的端點處取得.因此，閉區間［a，b］上函數的最大值和最小值可按如下方法求得：

(1)求出函數f(x)在(a，b)內的所有可能極值點(駐點或不可導點)；

(2)求出所有可能極值點的函數值以及端點的函數值f(a)和f(b)；

(3)比較所求出的所有函數值的大小，其中最大的就是函數f(x)在閉區間［a，b］上的最大值，最小的就是函數f(x)在閉區間［a，b］上的最小值.

例3-17求函數f(x)=x2+x在［－1，3］上的最大值和最小值.

解因為f′(x)=2x+1，令f′(x)=0，解得駐點.又，而端點值f(－1)=0，f(3)=12.所以，函數f(x)在［－1，3］上的最大值為f(3)=12，最小值為

.在實際問題中，往往可以根據問題的性質斷定函數f(x)在其定義區間內部一定有最大值或最小值.可以證明，如果函數f(x)在其定義區間內部存在著最大值或最小值，且f(x)在該區間內只有一個可能極值點，那么，可以斷定f(x)在該點取得相應的最大值或最小值.例3-18將邊長為3m的正方形鐵皮，從四角各截取一個大小相等的小正方形，然后向上折起各邊制成一個無蓋的長方體鐵盒.問所截取的小正方形邊長為多少時，長方體鐵盒的容積最大？解如圖3-6所示，設小正方形的邊長為x(m)，則盒底的邊長為3－2x(m)，于是，鐵盒容積為V(x)=(3－2x)2x

(0<x<1.5)又V′(x)=(3－2x)2－4x(3－2x)=3(1－2x)(3－2x)令V′(x)=0，解得駐點:x1=0.5，x2=1.5(舍去).因為V″(x)=24x－24，所以V″|x=0.5=－12<0，可得x1=0.5是極大值點.由于V在區間(0，1.5)內有唯一的極大值，因此該值一定是最大值.于是，當小正方形的邊長為x1=0.5m時，長方體鐵盒的容積最大.圖3-6例3-19已知某個企業的生產成本函數為C=q3－9q2+30q+25其中，C為成本(單位：千元)，q為產量(單位：噸).求平均可變成本y(單位：千元)的最小值.解依題意，平均可變成本為

于是，y′=2q－9，令y′=2q－9=0，得q=4.5t.

又因為y″|q=4.5=2>0，所以q=4.5時，y取得極小值.由于該值是唯一的極小值，因此也是最小值.即當產量q=4.5t時，平均可變成本y取得最小值y=9.75千元.*3.4曲率

3.4.1曲率的概念怎樣用數量來刻畫曲線的彎曲程度呢？它與切線的轉角Δα有關，Δα越大，曲線彎曲得越厲害.如圖3-8所示.弧和弧的長度一樣，但它們各自曲線弧上的切線的變化卻不同.對于弧，當動點沿曲線從點A變化到點B時，切線的轉角為Δα1.對于弧，當動點沿曲線從點B變化到點C時，切線的轉角為Δα2.很明顯，Δα2>Δα1，這一結果表明，曲線弧比曲線弧彎曲得厲害.此外，曲線的彎曲程度還與轉角所經過的弧長有關，如圖3-9所示.弧與弧它們的切線轉角均為Δα，但明顯較短弧比較長弧彎曲得厲害.從以上分析不難看出，曲線的彎曲程度不僅與切線的轉角Δα有關，而且與曲線段的弧長Δs有關，因此用單位弧長上切線的轉角來衡量曲線的彎曲程度較為合理.圖3-8

如圖3-10所示，設A、B是曲線y=f(x)上的兩個點，曲線在點A和點B處的切線與x軸的夾角分別為α和α+Δα，那么，當點A沿曲線y=f(x)變化到點B時，切線的轉角為Δα，而改變這個角度所經過的弧長.于是，給出如下定義：定義3-2弧的切線轉角Δα與弧長Δs之比的絕對值叫做弧的平均曲率，記作，即為了刻畫曲線在點A處的曲率，給出如下定義：

定義3-3稱為曲線在點A的曲率.顯然，直線上的任意點的曲率都等于零.例3-20求半徑為R的圓的平均曲率及曲率.解如圖3-11所示，圓弧所對應的圓心角Δα就是弧的切線轉角.又弧長Δs=RΔα，于是圓的平均曲率為圓上任意一點的曲率為圓上任意一點的曲率為該結論說明，圓上任意一點的曲率都等于圓半徑的倒數，即彎曲程度處處相等，而且半徑越小，曲率越大，彎曲得越厲害.由于圓的半徑等于圓的曲率的倒數，因此，對于一般的曲線，我們把它在各點的曲率的倒數稱為它在該點的曲率半徑，記作R.因此，(如果k=0，那么說曲率半徑為+∞).3.4.2弧長的微分公式

設函數y=f(x)在某一區間內具有連續導數，在曲線y=f(x)上取定點作為計算弧長度的起點，點M(x，y)為曲線f(x)上任意一點，把弧拉直后的長度稱為弧的長度，簡稱弧長，并且規定：

(1)以x增大的方向作為曲線的正方向，這樣曲線上的任一弧段都是有方向的，稱為有向弧段.

(2)記有向弧段的長度為s，當方向與曲線的正方向一致時，s>0；相反時s<0.顯然，弧長s是x的函數，并且是一個單值增函數，記作s=s(x).下面，我們來求函數s=s(x)的微分.當自變量x取得增量Δx時，函數y=f(x)亦有增量(見圖3-12)，為切線，切線上縱坐標的改變量就是函數f(x)的微分，即.弧長s=s(x)(注意不是y=f(x))的增量為從圖3-12中可以直觀地看到，切線上的線段和弧相差很小，它是Δx的高階無窮小量.又知

所以，根據微分的定義，弧長s=s(x)的微分為\

這就是弧微分公式.或例3-21求函數y=x3的弧微分.解因為y′=3x2，所以3.4.3曲率的計算公式用定義計算曲線的曲率往往比較困難，為此，我們將推導曲率的計算公式.設曲線y=f(x)在M點具有二階導數，該點的切線斜率為y′=tanα，因而α=arctany′，對該式兩邊取微分可得又知，故由曲率概念可得這就是曲率計算公式.例3-22計算等邊雙曲線xy=1在點(1，1)處的曲率.解由，得

因此

將它們代入曲率公式，可得曲線xy=1在點(1，1)處的曲率為，，3.5函數圖形的描繪

3.5.1曲線的凹向與拐點

定義3-4如果在區間(a，b)內，曲線始終位于其上各點的切線的上方，則稱曲線在區間(a，b)內是上凹的；如果曲線始終位于其上每一點的切線的下方，則稱曲線在這個區間內是下凹的.從圖3-13中不難看出，曲線段AB是下凹的，曲線段BC是上凹的.下面，不加證明地給出曲線凹向判定定理.圖3-13定理3-10設函數f(x)在開區間(a，b)內具有二階導數，若

(1)在(a，b)內恒有f″(x)>0，則曲線y=f(x)在(a，b)內是上凹的；

(2)在(a，b)內恒有f″(x)<0，則曲線y=f(x)在(a，b)內是下凹的.

例3-23判斷曲線y=ex的凹向.解函數y=ex的定義域為(－∞，+∞)，且y′=ex，y″=ex

因此，在(－∞，+∞)內恒有y″>0，故曲線y=ex在(－∞，+∞)內是上凹的.例3-24判斷曲線y=3x4－4x3+1的凹向.解函數y=3x4－4x3+1的定義域為(－∞，+∞)，且y′=12x3－12x2

y″=36x2－24x=12x(3x－2)令y″=0，解得x1=0，.

列表討論如表3-5所示.

表3-5所以，曲線在內是下凹的；在(－∞，0)和內是上凹的.從表3-5中可以看出，點(0，1)和點是曲線上凹與下凹的分界點.這種點稱為曲線的拐點.定義3-5連續曲線上上凹與下凹的分界點稱為曲線的拐點.顯然，拐點是連續曲線上凹與下凹的分界點，那么在拐點兩側的f″(x)必然異號，因此在拐點處必有f″(x)=0或f″(x)不存在.也就是說，二階導數為零的點或二階導數不存在的點都可能是曲線的拐點.

例3-25求曲線的凹向區間與拐點.解函數的定義域為(－∞，+∞)，且當x=4時，y″不存在.列表討論如表3-6所示.故曲線在(－∞，4)內是上凹的，在(4，+∞)內是下凹的，拐點為(4，2).表3-63.5.2曲線的漸近線

在描繪函數的圖像時，有些函數的定義域(或值域)是無限區間，此時函數的圖像向無窮遠處延伸，如中學學過的雙曲線、拋物線等.有些曲線在向無窮遠處延伸時常常會接近某一條直線.這樣的直線叫做曲線的漸近線.定義3-6若曲線上的動點沿著曲線無限遠移時，該點與某條定直線的距離趨近于零，則稱這條定直線為曲線的漸近線.并非所有的曲線都有漸近線，下面分三種情況來研究曲線的漸近線.

(1)水平漸近線.如果曲線y=f(x)滿足，則稱直線y=A為曲線f(x)的水平漸近線.

(2)鉛直漸近線.如果曲線y=f(x)在點x0處間斷，且，則稱直線x=x0為曲線f(x)的鉛直漸近線.

(3)斜漸近線.如果曲線f(x)滿足：①；②則稱直線y=kx+b為曲線f(x)的斜漸近線.例3-26求曲線的水平漸近線和鉛直漸近線.

解因為，所以y=0是曲線的水平漸近線.又因為x=1是間斷點，且，所以x=1是曲線的鉛直漸近線，如圖3-14所示.圖3-14例3-27求曲線的漸近線.解因為，所以無水平漸近線.又因為曲線在點x1=1、x2=－3處間斷，且所以直線x=1、x=－3均為曲線的鉛直漸近線.令由于

故得曲線的斜漸近線為y=x－2.，3.5.3函數圖形的描繪在工程實踐中經常用圖形來表示函數，從而可以通過圖形直觀地看到函數的某些變化規律.利用函數的單調性、極值、凹向與拐點、漸近線等特征，結合在中學數學所學的描點作圖法，就可以準確地描繪出函數的圖形.通常按以下幾個步驟來作函數的圖形：

(1)確定函數的定義域和值域；

(2)確定曲線與坐標軸的交點；

(3)判斷函數的奇偶性和周期性；

(4)確定函數的單調區間并求出極值；

(5)確定曲線的凹向區間和拐點；

(6)確定曲線的漸近線.例3-28描繪函數的圖形.解

(1)函數的定義域為(－∞，0)∪(0，+∞).

(2)令y=0，即，化簡得2x2－4x－4=0，解得，即曲線與x軸交于點.

(3)無奇偶性和周期性.

(4)求一階導:令y′=0，解得駐點x=－2.

(5)求二階導:令y″=0，解得x=－3.(6)因為所以直線y=-2為水平漸近線；又，所以直線x=0為鉛直漸近線.

列表討論如表3-7所示.表3-7

根據上述特征描繪出函數圖形，見圖3-15.圖