方程（組）和函數(shù)中的分類(lèi)討論知識(shí)方法精講1．含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程解含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程要根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)和絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)代數(shù)式的值分情況討論，即去掉絕對(duì)值符號(hào)得到一般形式的一元一次方程，再求解．例如：解方程|x|＝2解：去掉絕對(duì)值符號(hào)x＝2或﹣x＝2方程的解為x1＝2或x2＝﹣2．2．一元一次方程的應(yīng)用（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類(lèi)型有：（1）探索規(guī)律型問(wèn)題；（2）數(shù)字問(wèn)題；（3）銷(xiāo)售問(wèn)題（利潤(rùn)＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率＝×100%）；（4）工程問(wèn)題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；（5）行程問(wèn)題（路程＝速度×?xí)r間）；（6）等值變換問(wèn)題；（7）和，差，倍，分問(wèn)題；（8）分配問(wèn)題；（9）比賽積分問(wèn)題；（10）水流航行問(wèn)題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．（二）利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問(wèn)什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫(xiě)出答句．3．一元二次方程的定義（1）一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必須同時(shí)滿(mǎn)足三個(gè)條件：①整式方程，即等號(hào)兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無(wú)未知數(shù)；②只含有一個(gè)未知數(shù)；③未知數(shù)的最高次數(shù)是2．（3）判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程應(yīng)注意抓住5個(gè)方面：“化簡(jiǎn)后”；“一個(gè)未知數(shù)”；“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”；“二次項(xiàng)的系數(shù)不等于0”；“整式方程”．4．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意義因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．5．根的判別式利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．上面的結(jié)論反過(guò)來(lái)也成立．6．函數(shù)關(guān)系式用來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱(chēng)為函數(shù)關(guān)系式．注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個(gè)字母表示自變量的函數(shù)．③函數(shù)的解析式在書(shū)寫(xiě)時(shí)有順序性，例如，y＝x+9時(shí)表示y是x的函數(shù)，若寫(xiě)成x＝﹣y+9就表示x是y的函數(shù)．7．動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象函數(shù)圖象是典型的數(shù)形結(jié)合，圖象應(yīng)用信息廣泛，通過(guò)看圖獲取信息，不僅可以解決生活中的實(shí)際問(wèn)題，還可以提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．用圖象解決問(wèn)題時(shí)，要理清圖象的含義即會(huì)識(shí)圖．8．一次函數(shù)的定義（1）一次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)．（2）注意：①又一次函數(shù)的定義可知：函數(shù)為一次函數(shù)?其解析式為y＝kx+b（k≠0，k、b是常數(shù)）的形式．②一次函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征：k≠0；自變量的次數(shù)為1；常數(shù)項(xiàng)b可以為任意實(shí)數(shù)．③一般情況下自變量的取值范圍是任意實(shí)數(shù)．④若k＝0，則y＝b（b為常數(shù)），此時(shí)它不是一次函數(shù)．9．一次函數(shù)的性質(zhì)一次函數(shù)的性質(zhì)：k＞0，y隨x的增大而增大，函數(shù)從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數(shù)從左到右下降．由于y＝kx+b與y軸交于（0，b），當(dāng)b＞0時(shí)，（0，b）在y軸的正半軸上，直線(xiàn)與y軸交于正半軸；當(dāng)b＜0時(shí)，（0，b）在y軸的負(fù)半軸，直線(xiàn)與y軸交于負(fù)半軸．10．一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征一次函數(shù)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）的圖象是一條直線(xiàn)．它與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，0）；與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，b）．直線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝kx+b．11．一次函數(shù)圖象與幾何變換直線(xiàn)y＝kx+b，（k≠0，且k，b為常數(shù)）①關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，就是x不變，y變成﹣y：﹣y＝kx+b，即y＝﹣kx﹣b；（關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)是原來(lái)的相反數(shù)）②關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，就是y不變，x變成﹣x：y＝k（﹣x）+b，即y＝﹣kx+b；（關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來(lái)的相反數(shù)）③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，就是x和y都變成相反數(shù)：﹣y＝k（﹣x）+b，即y＝kx﹣b．（關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱(chēng)，橫、縱坐標(biāo)都變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)）12．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱(chēng)軸直線(xiàn)x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線(xiàn)的最高點(diǎn)．③拋物線(xiàn)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線(xiàn)y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．13．二次函數(shù)的最值（1）當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線(xiàn)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因?yàn)閳D象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（2）當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線(xiàn)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因?yàn)閳D象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x＝時(shí)，y＝．（3）確定一個(gè)二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實(shí)數(shù)時(shí)，其最值為拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個(gè)范圍時(shí)，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值．14．拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．15．坐標(biāo)與圖形變化-平移（1）平移變換與坐標(biāo)變化①向右平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x+a，y）①向左平移a個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x﹣a，y）①向上平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y+b）①向下平移b個(gè)單位，坐標(biāo)P（x，y）?P（x，y﹣b）（2）在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，把一個(gè)圖形各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)都加上（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度；如果把它各個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)都加（或減去）一個(gè)整數(shù)a，相應(yīng)的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個(gè)單位長(zhǎng)度．（即：橫坐標(biāo)，右移加，左移減；縱坐標(biāo)，上移加，下移減．）16.分類(lèi)討論思想每個(gè)HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類(lèi)問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類(lèi)，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類(lèi)，然后再逐一研究解決的HYPERLINK\t"/item/%E5%88%86%E7%B1%BB%E8%AE%A8%E8%AE%BA%E6%80%9D%E6%83%B3/_blank"數(shù)學(xué)思想，稱(chēng)之為分類(lèi)討論思想。一．選擇題（共5小題）1．（2021秋?黔西南州期末）如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)分別是0和10，是線(xiàn)段上一動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間的值為A．或 B．3或7 C．或或或 D．3或或7或【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；數(shù)軸【分析】分與兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)列方程，求解即可．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所表示的數(shù)是，，，，或，解得或；②當(dāng)時(shí)，動(dòng)點(diǎn)所表示的數(shù)是，，，，或，解得或．綜上所述，運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為或或或．故選：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸上點(diǎn)的位置關(guān)系，根據(jù)點(diǎn)位置的不同正確進(jìn)行分類(lèi)討論，進(jìn)而列出方程是解題的關(guān)鍵．2．（2020秋?撫順期末）關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是A． B． C． D．【考點(diǎn)】一元二次方程的定義；根的判別式【分析】由于方程有實(shí)數(shù)根，當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，令△，即可求出的取值范圍，要注意，．再令方程為一元一次方程，進(jìn)行解答．【解答】解：當(dāng)方程為一元二次方程時(shí)，，即．關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根，△，解得；，當(dāng)方程為一元一次方程時(shí)，且，則，綜上，時(shí)方程有實(shí)數(shù)根．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，注意要分類(lèi)討論，對(duì)一元一次方程和一元二次方程分別解答．3．（2021秋?金安區(qū)期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿著運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著運(yùn)動(dòng)，其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)，時(shí)間為，則與之間的函數(shù)圖象大致為A． B． C． D．【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象【分析】利用分類(lèi)討論的思想方法分四種情況討論解答：①，②，③，④；依據(jù)的取值范圍畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，根據(jù)解析式的大致圖象即可得出結(jié)論．【解答】解：①當(dāng)時(shí)，此時(shí)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，由題意得：，．．，此時(shí)函數(shù)的圖象是以和為端點(diǎn)的線(xiàn)段；②當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，如圖，由題意得：，．，．，此時(shí)函數(shù)的圖象為開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)的拋物線(xiàn)的一段；③當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)，均在線(xiàn)段上，此時(shí)，函數(shù)圖象為軸上以和為端點(diǎn)的線(xiàn)段；④當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)在線(xiàn)段上，點(diǎn)在線(xiàn)段上，如圖，由題意得：，．．．，當(dāng)時(shí)，．此時(shí)的函數(shù)的圖象是拋物線(xiàn)上以和為端點(diǎn)的一段．綜上，符合上述特征的函數(shù)圖象為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題函數(shù)的圖形，利用分類(lèi)討論的方法求出相應(yīng)的函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?江門(mén)期末）如圖，等腰直角三角形的邊和矩形的邊在軸上，，，．將矩形沿軸正方向平移個(gè)單位，所得矩形與公共部分的面積記為．將看作的函數(shù)，當(dāng)自變量在下列哪個(gè)范圍取值時(shí)，是的一次函數(shù)A． B． C． D．或【考點(diǎn)】一次函數(shù)的定義；等腰直角三角形；坐標(biāo)與圖形變化平移【分析】分，，，，，討論即可得出結(jié)果．【解答】解：，，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動(dòng)時(shí)，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動(dòng)時(shí)，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動(dòng)時(shí)，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動(dòng)時(shí)，，當(dāng)矩形在范圍內(nèi)移動(dòng)時(shí)，，當(dāng)矩形在時(shí)范圍內(nèi)移動(dòng)時(shí)，，綜上所述，矩形在或范圍內(nèi)移動(dòng)時(shí)，是的一次函數(shù)，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的平移、一次函數(shù)的定義，抓住一次函數(shù)的定義分類(lèi)討論是解決本題的關(guān)鍵．5．（2021秋?市中區(qū)期末）定義，圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)的函數(shù)叫做關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)函數(shù)，它與軸負(fù)半軸交點(diǎn)記為，與軸正半軸交點(diǎn)記為．例如，如圖：直線(xiàn)，關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)函數(shù)與該直線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)與關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則的取值范圍是A． B． C． D．【考點(diǎn)】一次函數(shù)的性質(zhì)；兩條直線(xiàn)相交或平行問(wèn)題；一次函數(shù)圖象與幾何變換【分析】分兩種情況討論；列出關(guān)于的方程，求得的值，結(jié)合圖象即可求得的取值范圍．【解答】解：令，解得或，故點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，函數(shù)與軸負(fù)半軸交點(diǎn)為，與軸正半軸交點(diǎn)記，則；從圖象看，時(shí)，，故點(diǎn)．當(dāng)直線(xiàn)與關(guān)于的對(duì)稱(chēng)函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得；，當(dāng)時(shí)，，解得，．又，．綜上所述：的取值范圍是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象與幾何變換，一次函數(shù)的性質(zhì)、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共4小題）6．（2021秋?昌江區(qū)校級(jí)期中）若關(guān)于的方程有唯一解，則的取值范圍是．【考點(diǎn)】含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程【分析】分類(lèi)討論確定，再由題意求的范圍即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，有唯一解，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查含絕對(duì)值符號(hào)的一元一次方程，根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分類(lèi)討論確定的取值范圍是解題的關(guān)鍵．7．（2021秋?利津縣期中）已知函數(shù)是常數(shù)）的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則．【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)【分析】此題要分兩種情況進(jìn)行討論：（1）當(dāng)時(shí)，此函數(shù)為一次函數(shù)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，此函數(shù)為二次函數(shù)，當(dāng)△時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，分別計(jì)算即可．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則；（2）當(dāng)時(shí)，圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)則，，，，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)，關(guān)鍵是注意分類(lèi)討論，不要漏解．8．（2020秋?江門(mén)期末）若函數(shù)的圖象與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則的值為或或1．【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)【分析】分該函數(shù)是一次函數(shù)和二次函數(shù)兩種情況求解，若為二次函數(shù)，由拋物線(xiàn)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，據(jù)此求解可得．【解答】解：當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)解析式為，與軸只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，根據(jù)題意知，，整理，得：，解得：或；綜上，的值為或或1．故答案為：或或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令，即，解關(guān)于的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．二次函數(shù)，，是常數(shù)，的交點(diǎn)與一元二次方程根之間的關(guān)系，△決定拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：△時(shí)，拋物線(xiàn)與軸有2個(gè)交點(diǎn)；△時(shí)，拋物線(xiàn)與軸有1個(gè)交點(diǎn)；△時(shí)，拋物線(xiàn)與軸沒(méi)有交點(diǎn)．9．（2021?德州模擬）若函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么的值為0或2或．【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)【分析】當(dāng)時(shí)，函數(shù)為一次函數(shù)與軸有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，△時(shí)，拋物線(xiàn)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．【解答】解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)為，其圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，△，即．解得：．當(dāng)，或時(shí)，函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn)．故答案為：0或2或．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)問(wèn)題、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共16小題）10．（2021秋?梅里斯區(qū)期末）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，、滿(mǎn)足．（1）點(diǎn)表示的數(shù)為．點(diǎn)表示的數(shù)為．（2）數(shù)軸上有一個(gè)點(diǎn)，且，則點(diǎn)表示的點(diǎn)為．（3）、都是數(shù)軸上的點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①點(diǎn)、出發(fā)幾秒后相遇？②點(diǎn)、出發(fā)幾秒后相距4個(gè)單位長(zhǎng)度？【考點(diǎn)】非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；數(shù)軸；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)絕對(duì)值的非負(fù)性，可求出，的值；（2）分點(diǎn)在線(xiàn)段上和線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上兩種情況討論即可求解；（3）①設(shè)點(diǎn)，出發(fā)秒后相遇．列方程求解即可；②點(diǎn)，出發(fā)秒后相距3個(gè)單位長(zhǎng)度，分兩種情況討論即可求解【解答】解：（1），，，，．故答案為：；1；（2）設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為．，，即．，點(diǎn)不可能在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則點(diǎn)可能在線(xiàn)段上和線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上．①當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，則有，得，解得；②當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，則有，得，解得．故當(dāng)時(shí)，或，故答案為：或6；（3）①設(shè)點(diǎn)，出發(fā)秒后相遇，依題意，得，解得，答：點(diǎn)，出發(fā)秒后相遇；②設(shè)點(diǎn)，出發(fā)秒后相距4個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，，解得，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，，解得，答：點(diǎn)，出發(fā)2秒或秒后相距4個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離，有一定難度，運(yùn)用分類(lèi)討論思想、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．11．（2021秋?重慶期末）已知：如圖1，點(diǎn)、、依次在直線(xiàn)上，現(xiàn)將射線(xiàn)繞點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，同時(shí)射線(xiàn)繞點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛞悦棵氲乃俣刃D(zhuǎn)，如圖2，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒秒）．（1）則度，度（用含的代數(shù)式表示）；（2）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)達(dá)到時(shí)，求的值；（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中是否存在這樣的，使得，如果存在，直接寫(xiě)出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】角的計(jì)算；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)題意進(jìn)行求解即可；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)與重合前；②當(dāng)與重合后，列出相應(yīng)的方程求解即可；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)與重合前；②當(dāng)與重合后，列出相應(yīng)的方程求解即可．【解答】解：（1）由題意得：，，故答案為：，；（2）①當(dāng)與重合前，有：，解得：，②當(dāng)與重合后，有：，解得：，故的值為11秒或29秒；（3）①當(dāng)與重合前，有：，解得：，②當(dāng)與重合后，有：，解得：，故的值為15秒或30秒．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，找到等量關(guān)系列出方程．12．（2021秋?重慶期末）已知數(shù)軸上有，，三點(diǎn)，分別表示數(shù)，，，并且滿(mǎn)足，與互為相反數(shù)，兩只小蝸牛甲、乙分別從，兩點(diǎn)同時(shí)沿?cái)?shù)軸相向而行，甲的速度為2個(gè)單位長(zhǎng)度秒，乙的速度為3個(gè)單位長(zhǎng)度秒．（1）求，，的值；（2）運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，甲、乙在數(shù)軸上相遇？設(shè)相遇點(diǎn)為點(diǎn)，請(qǐng)求出點(diǎn)所表示的數(shù)；（3）設(shè)點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為，且點(diǎn)滿(mǎn)足．若甲運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)（此時(shí)甲、乙還沒(méi)有相遇）立即掉頭返回，問(wèn)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）首先由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得，；然后由相反數(shù)的定義求得；（2）令運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，甲、乙在數(shù)軸上相遇．則有等量關(guān)系是：，解方程即可；（3）由于甲運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，甲乙未相遇，則分和兩種情況討論即可求解．【解答】解：（1），，，解得，．又與互為相反數(shù)，；（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，甲、乙在數(shù)軸上相遇．則依題意得：，解得，則表示的數(shù)為：；（3）由于甲運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，甲乙未相遇，則：①當(dāng)時(shí)，由，得，解得，即點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)是．設(shè)甲、乙還能在數(shù)軸上相遇，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是．則依題意，得，，解得．即甲、乙還能在數(shù)軸上相遇，相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)是，②當(dāng)時(shí)，由，得，解得（不合題意舍去）．綜上所述，甲、乙還能在數(shù)軸上相遇，相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所表示的數(shù)是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系列出方程，再求解．本題在解答第二問(wèn)注意分類(lèi)思想的運(yùn)用．13．（2020秋?巴中期末）如圖，點(diǎn)、在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是、，其中、滿(mǎn)足，點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離表示為．（1）5；（2）若點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)、、三點(diǎn)中有一點(diǎn)是以另兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)表示的數(shù)是；（3）點(diǎn)、是數(shù)軸上兩動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從點(diǎn)出發(fā)，若點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，點(diǎn)、兩點(diǎn)間的距離為12個(gè)單位長(zhǎng)度．【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得，，從而可求的長(zhǎng)；（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①點(diǎn)是的中點(diǎn)；②點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而可求解；（3）分四種情況進(jìn)行討論：①、同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)；②、同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)；③、相向運(yùn)動(dòng)；④向左運(yùn)動(dòng)，向右運(yùn)動(dòng)；【解答】解：（1），，，解得：，，，故答案為：5；（2）①點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，有：，，點(diǎn)的位置為：；②點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，有：，點(diǎn)的位置為；故答案為：0.5或8；（3）①當(dāng)、同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：，解得：；②當(dāng)、同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：，解得：；③當(dāng)、相向運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：，解得：；④當(dāng)向左運(yùn)動(dòng)，向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，有：，解得：，綜上所述：當(dāng)、同時(shí)向左運(yùn)動(dòng)7秒時(shí)，當(dāng)、同時(shí)向右運(yùn)動(dòng)17秒時(shí)，當(dāng)、相向運(yùn)動(dòng)3.4秒時(shí)，當(dāng)向左運(yùn)動(dòng)，向右運(yùn)動(dòng)1.4秒時(shí)，、兩點(diǎn)間的距離為12個(gè)單位長(zhǎng)度．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，絕對(duì)值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，分類(lèi)討論各種情況．14．（2021秋?濟(jì)寧月考）為節(jié)約用水，某市居民生活用水實(shí)行按級(jí)收費(fèi)，居民用水價(jià)格（含污水處理費(fèi)）按用水量分為三級(jí)，如表是某市目前實(shí)行的水費(fèi)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：級(jí)別用水量（單位：立方米）水價(jià)（含污水處理費(fèi)）第一級(jí)不超過(guò)17立方米部分3.4元立方米第二級(jí)超過(guò)17立方米至30立方米部分5.32元立方米第三極超過(guò)30立方米部分7元立方米（1）若某用戶(hù)用水量為16立方米，則該用戶(hù)需交水費(fèi)54.4元；若用水量為27立方米，則該用戶(hù)需交水費(fèi)元．（2）若用水量為立方米，則請(qǐng)用含的代數(shù)式表示需交的水費(fèi)．（3）十月份，小王、小胡兩家用水情況如下：①小王家用水量比小胡家少；②兩家用水量達(dá)到的級(jí)別不同，小王家的用水量在第二級(jí)；③兩家用水量總共60立方米；④水費(fèi)共270.72元．請(qǐng)根據(jù)以上信息，算一算：小王、小胡兩家用水量分別是多少立方米？【考點(diǎn)】有理數(shù)的混合運(yùn)算；列代數(shù)式；代數(shù)式求值；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）由，，根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量建立式子求出其解即可；（2）由條件可以得出需交的水費(fèi)第一級(jí)17立方米的水費(fèi)第二級(jí)13立方米的水費(fèi)超過(guò)30立方米部分的水費(fèi)，列出代數(shù)式化簡(jiǎn)即可；（3）設(shè)小江家的用水量是立方米，則小北家的用水量是立方米，分情況討論：當(dāng)和，由小江家的水費(fèi)小北家的水費(fèi)元建立方程求出其解，進(jìn)一步求解．【解答】解：（1）（元；（元．故若某用戶(hù)用水量為15立方米，則該用戶(hù)需交水費(fèi)51元；若用水量為27立方米，則該用戶(hù)需交水費(fèi)111元．故答案為：54.4；111；（2）元．故需交的水費(fèi)是元；（3）設(shè)小王家的用水量是立方米，則小胡家的用水量是立方米，根據(jù)題意得：當(dāng)時(shí)，，解得，所以．故小王家的用水量是20立方米，小胡家的用水量是40立方米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列代數(shù)式，列一元一次方程解實(shí)際問(wèn)題的運(yùn)用，分類(lèi)討論思想的運(yùn)用，解答時(shí)根據(jù)總費(fèi)用各部分費(fèi)用之和建立方程是關(guān)鍵．15．（2021秋?瑞安市月考）甲乙兩家店，在雙十一期間的優(yōu)惠活動(dòng)方案如下表：甲乙一次性購(gòu)買(mǎi)不足200元打標(biāo)價(jià)的9折無(wú)優(yōu)惠一次性購(gòu)買(mǎi)滿(mǎn)200元不滿(mǎn)500元打標(biāo)價(jià)的8折共減30元一次性購(gòu)買(mǎi)滿(mǎn)500元不滿(mǎn)1000元打標(biāo)價(jià)的7折共減元（1）當(dāng)天在甲乙兩店分別購(gòu)買(mǎi)標(biāo)價(jià)300元的商品，問(wèn)：共支付多少元？（2）已知兩次在乙店購(gòu)買(mǎi)標(biāo)價(jià)均為400元的商品，發(fā)現(xiàn)比在該店一次性購(gòu)買(mǎi)這兩件商品要多支付30元．①求的值．②若小明當(dāng)天在甲乙兩店各購(gòu)買(mǎi)一件商品，兩件商品總標(biāo)價(jià)合計(jì)700元，且在甲店購(gòu)買(mǎi)的商品標(biāo)價(jià)小于乙店，實(shí)際共支付605元，問(wèn)小明在甲乙兩店購(gòu)買(mǎi)的商品標(biāo)價(jià)分別是多少？【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）根據(jù)甲乙兩家店的優(yōu)惠活動(dòng)方案分別求得消費(fèi)總額，然后求和即可；（2）①根據(jù)題意列出方程，并解答；②設(shè)小明在甲店購(gòu)買(mǎi)的商品售價(jià)是元，在乙店購(gòu)買(mǎi)的商品售價(jià)是元，需要對(duì)的取值范圍進(jìn)行分類(lèi)討論．【解答】解：（1）（元．答：共支付510元；（2）①根據(jù)題意，列得方程：．解得；②設(shè)小明在甲店購(gòu)買(mǎi)的商品售價(jià)是元，在乙店購(gòu)買(mǎi)的商品售價(jià)是元，當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，即．當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)，即．答：小明在甲店購(gòu)買(mǎi)的商品售價(jià)50元，乙店650元；或在甲店購(gòu)買(mǎi)的商品售價(jià)325元，乙店375元．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是小明當(dāng)天在甲乙兩店各購(gòu)買(mǎi)一件商品可能有兩種情況，需要討論清楚．本題要注意不同情況的不同算法，要考慮到各種情況，不要丟掉任何一種．16．（2021秋?黔西南州月考）甲、乙兩地相距，一輛小轎車(chē)和一輛貨車(chē)分別沿同一條路線(xiàn)從甲地出發(fā)駛往乙地．已知貨車(chē)的速度為，小轎車(chē)的速度為，貨車(chē)先出發(fā)后小轎車(chē)再出發(fā)．（1）小轎車(chē)出發(fā)多長(zhǎng)時(shí)間后追上貨車(chē)？（2）在兩車(chē)的行駛過(guò)程中，小轎車(chē)行駛多長(zhǎng)時(shí)間后與貨車(chē)相距？【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）小轎車(chē)追上貨車(chē)則兩車(chē)的路程相等，設(shè)時(shí)間為未知數(shù)列方程求解即可；（2）小轎車(chē)出發(fā)后與貨車(chē)相距，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中存在三種情況：小轎車(chē)在追上貨車(chē)之前；小轎車(chē)超過(guò)貨車(chē)且未到地之前；小轎車(chē)到達(dá)地后在原地等貨車(chē)相距；根據(jù)三種情況利用兩車(chē)路程之間的關(guān)系列方程即可求得．【解答】解：（1）設(shè)小轎車(chē)出發(fā)小時(shí)追上貨車(chē)，由題意得：，解得．故小轎車(chē)出發(fā)2小時(shí)追上貨車(chē)．（2）小轎車(chē)出發(fā)后小時(shí)與貨車(chē)相距，存在以下三種情況：①小轎車(chē)出發(fā)后在追上貨車(chē)之前，兩車(chē)相距，則有：，解得；②小轎車(chē)超過(guò)甲車(chē)且未到地之前，兩車(chē)相距，則有：，解得；③小轎車(chē)到達(dá)地后在原地等貨車(chē)相距，則有：，解得．故小轎車(chē)出發(fā)小時(shí)、小時(shí)、小時(shí)與貨車(chē)相距．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用，行程問(wèn)題為很常見(jiàn)的一元一次方程應(yīng)用題型，關(guān)鍵在于理解清楚題目中路程的等量關(guān)系，才能列出方程求解．17．（2021秋?平陽(yáng)縣期中）2021年十一國(guó)慶期間，鰲江銀泰商場(chǎng)打出促銷(xiāo)廣告，如下表所示：優(yōu)惠條件一次性購(gòu)物不超過(guò)200元一次性購(gòu)物超過(guò)200元，但不超過(guò)600元一次性購(gòu)物超過(guò)600元優(yōu)惠辦法沒(méi)有優(yōu)惠全部按九折優(yōu)惠其中600元扔按九折優(yōu)惠，超過(guò)600元部分按八折優(yōu)惠用代數(shù)式表示（所填結(jié)果需化簡(jiǎn)）（1）設(shè)一次性購(gòu)買(mǎi)的物品原價(jià)為元，當(dāng)原價(jià)超過(guò)200元，但不超過(guò)600元時(shí)，實(shí)際付款為元；當(dāng)原價(jià)超過(guò)600元時(shí)，實(shí)際付款為元．（2）若甲購(gòu)物時(shí)一次性付款580元，則所需物品的原價(jià)是多少元？（3）若乙分兩次購(gòu)物，兩次所購(gòu)物品的原價(jià)之和為1200元（第二次所購(gòu)物品的原價(jià)高于第一次），兩次實(shí)際付款共1068元，則乙兩次購(gòu)物時(shí)，所需物品的原價(jià)分別是多少元？【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；列代數(shù)式【分析】（1）根據(jù)給出的優(yōu)惠辦法，用含的代數(shù)式表示出實(shí)際付款金額即可；（2）設(shè)甲所購(gòu)物品的原價(jià)是元，先求出購(gòu)買(mǎi)原價(jià)為580元商品時(shí)實(shí)際付款金額，比較后可得出，結(jié)合（1）的結(jié)論即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；（3）由第二次所購(gòu)物品的原價(jià)高于第一次，可得出第二次所購(gòu)物品的原價(jià)超過(guò)600元且第一次所購(gòu)物品的原價(jià)低于600元，設(shè)乙第一次所購(gòu)物品的原價(jià)是元，則第二次所購(gòu)物品的原價(jià)是元，分、兩種情況列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，實(shí)際付款元；當(dāng)時(shí)，實(shí)際付款元．故答案為：；．（2）甲一次性付了580元元．甲購(gòu)物享受了600元按9折優(yōu)惠，超過(guò)部分8折優(yōu)惠．設(shè)甲所購(gòu)物物品原價(jià)為元，根據(jù)題意，得元，解得：．所需物品的原價(jià)為650元．（3）因?yàn)榈诙钨?gòu)物物品原價(jià)高于第一次，故第二次所購(gòu)物品的原價(jià)超過(guò)600元，第一次所購(gòu)物品原價(jià)低于600元．設(shè)第二次所購(gòu)物品原價(jià)為元，則第一次所購(gòu)物品的原價(jià)為元，①若第一次所購(gòu)物品原價(jià)不超過(guò)200元，則：，解得，此時(shí)，不符合題意，舍去．②若第一次所購(gòu)物品原價(jià)超過(guò)200元但不超過(guò)600元，則，解得，，符合題意．乙兩次購(gòu)物原價(jià)分別為480元和720元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)以及代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)優(yōu)惠政策，列出代數(shù)式；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（3）分、兩種情況列出關(guān)于的一元一次方程．18．（2021秋?新洲區(qū)期中）已知數(shù)軸上、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為、，且．（1）求點(diǎn)、兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有理數(shù)是、；、兩點(diǎn)之間的距離是．（2）若點(diǎn)到點(diǎn)的距離剛好是6，求點(diǎn)所表示的數(shù)應(yīng)該是多少？（3）若點(diǎn)所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，到的距離剛好等于到的距離的2倍？（4）若點(diǎn)所表示的數(shù)為8，現(xiàn)有一只電子螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，若運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的值不隨時(shí)間的變化而改變，求的值．【考點(diǎn)】數(shù)軸；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：絕對(duì)值；列代數(shù)式；一元一次方程的應(yīng)用【分析】（1）兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個(gè)數(shù)分別為0，據(jù)此可求，的值，從而可求、的距離；（2）令點(diǎn)所表示的數(shù)為，結(jié)合（1）中的值，可列式求解；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí)，到的距離剛好等于到的距離的2倍，據(jù)題意列方程求解即可；（4）根據(jù)題意列出相應(yīng)的式子求解即可．【解答】解：（1），，，解得：，，對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為，對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為3，、兩點(diǎn)的距離為：，故答案為：，3，4；（2）令點(diǎn)所表示的數(shù)為，依題意得：，解得：或，則點(diǎn)所表示的數(shù)應(yīng)該是5或；（3）設(shè)經(jīng)過(guò)秒時(shí)，到的距離剛好等于到的距離的2倍，依題意得：，整理得：，當(dāng)點(diǎn)在的右側(cè)時(shí)，則，有，解得：，當(dāng)點(diǎn)在、之間時(shí)，則，有，解得：；當(dāng)點(diǎn)在的左側(cè)時(shí)，則，有，解得：（不符合題意舍去），綜上所述：經(jīng)過(guò)0.5秒或秒時(shí)，到的距離剛好等于到的距離的2倍；（4）由題意得：，，，的值不隨時(shí)間的變化而改變，，解得：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查一元一次方程的應(yīng)用，解答的關(guān)鍵是理解清楚題意，明確兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個(gè)數(shù)分別為0；對(duì)點(diǎn)的位置進(jìn)行討論．19．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）已知常數(shù)為實(shí)數(shù)，討論關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)情況．【考點(diǎn)】根的判別式【分析】分類(lèi)討論：當(dāng)，即時(shí)，方程變?yōu)橐辉淮畏匠?，所以有一個(gè)根；當(dāng)，即時(shí)，先計(jì)算△，△，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；△，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；△，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；分別可求出對(duì)應(yīng)的的值或取值范圍，最后綜合表述即可．【解答】解：當(dāng)，即時(shí)，方程變?yōu)椋?，解得．?dāng)，即時(shí)，△，若，即時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，即時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，即時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．綜上所述得：當(dāng)時(shí)，原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)且時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)數(shù)根．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程，，，為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．20．（2021秋?秦都區(qū)月考）作為世界蘋(píng)果最佳優(yōu)生區(qū)，洛川蘋(píng)果備受市場(chǎng)青睞！蘋(píng)果產(chǎn)業(yè)已成為縣城經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和農(nóng)民增收致富奔小康的主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)．小李想在洛川縣某果園購(gòu)買(mǎi)一些蘋(píng)果，經(jīng)了解，該果園蘋(píng)果的定價(jià)為5元斤，如果一次性購(gòu)買(mǎi)10斤以上，超過(guò)10斤部分的蘋(píng)果的價(jià)格打8折．設(shè)小李在該果園購(gòu)買(mǎi)蘋(píng)果斤，付款金額為元，求出與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若小李想在該果園購(gòu)買(mǎi)130元的蘋(píng)果送給朋友，請(qǐng)你算一算，小李一共能購(gòu)買(mǎi)多少斤蘋(píng)果？【考點(diǎn)】函數(shù)關(guān)系式【分析】（1）利用分類(lèi)討論的思想依據(jù)題意付款金額單價(jià)數(shù)量解答即可；（2）將代入函數(shù)解析式中計(jì)算對(duì)應(yīng)的的值即可．【解答】解：（1）由題意得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．（2）令，則，解得：．答：小李一共能購(gòu)買(mǎi)30斤蘋(píng)果．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的關(guān)系式，利用分類(lèi)討論的方法依據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．21．（2021秋?鐵西區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)是線(xiàn)段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過(guò)點(diǎn)作平行于軸的直線(xiàn)，分別交直線(xiàn)，于點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．①求線(xiàn)段的長(zhǎng)（用含的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)，，三點(diǎn)中有一個(gè)點(diǎn)是另兩個(gè)點(diǎn)構(gòu)成線(xiàn)段的中點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值；（3）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上且不與點(diǎn)重合，點(diǎn)在線(xiàn)段上，，連接，，是否存在最小值？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出最小值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）聯(lián)立方程組：，解得：，即可求解；（2）①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，由軸，得點(diǎn)、三點(diǎn)橫坐標(biāo)都為，點(diǎn)坐標(biāo)為，得；②，先表示出，，三點(diǎn)坐標(biāo)，分兩種情況第一種情形：點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，第二種情形：點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解；（3）在上取點(diǎn)，使得，連接，先證，，，當(dāng)最小，即、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，即可求解．【解答】解：（1）直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)，聯(lián)立方程組：，解得：，點(diǎn)的坐標(biāo)為；（2）①點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，軸，點(diǎn)、三點(diǎn)橫坐標(biāo)都為，當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，；②當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，而點(diǎn)坐標(biāo)為，第一種情形：點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；第二種情形：點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，，解得：；綜上，或；（3）存在最小值，在上取點(diǎn)，使得，連接，，，，，，，點(diǎn)坐標(biāo)為，垂直平分，，，，，，，，，，，當(dāng)最小，即、、三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最小，此時(shí)最小值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，全等三角形的性質(zhì)與判定，最值問(wèn)題，解題關(guān)鍵是利用全等三角形的性質(zhì)把的值轉(zhuǎn)化為的值．22．（2021秋?洪洞縣期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)和直線(xiàn)交于軸上的點(diǎn)，且分別交軸于點(diǎn)，．（1）求的面積；（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；（3）已知點(diǎn)為射線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連結(jié)，如圖．是否存在點(diǎn)，使得為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】一次函數(shù)綜合題【分析】（1）由題意可求出點(diǎn)、、的坐標(biāo)，從而得出、的長(zhǎng)度；（2）由坐標(biāo)可知，，，利用勾股定理的逆定理即可判斷；（3）分當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上和點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，兩種情形，分別畫(huà)出圖形，證明，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由題意得，，，令，得，令，得，，，，；（2）是直角三角形，理由如下：由（1）知，，，，，，，，，，，是直角三角形；（3）存在，，，，，，，，，，為等腰三角形，，分