PAGE第1章集合與常用邏輯用語[老師用書獨具]類型1集合的交集、并集、補集運算集合的運算主要包括交集、并集和補集運算．這也是高考對集合部分的主要考查點．有些題目比較簡潔，干脆依據集合運算的定義可得，有些題目與解不等式或方程相結合，須要先正確求解不等式或方程，再進行集合運算，還有的集合問題比較抽象，解題時需借助維恩圖進行數形分析或利用數軸等，采納數形結合思想方法，可使問題直觀化、形象化，進而能使問題簡捷、精確地獲解．【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．(1)用列舉法表示集合A與B；(2)求A∩B及?U(A∪B)．[解](1)由題知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由題知，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3,4}，所以?U(A∪B)＝{0,5,6}．eq\o([跟進訓練])1．設集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{1,2,3}，則圖中陰影部分所表示的集合是()A．{4} B．{2,4}C．{4,5} D．{1,3,4}A[題圖中陰影部分所表示的是集合A中的元素除去與集合B相同的元素構成的集合，故題圖中陰影部分所表示的集合是{4}，故選A．]類型2集合關系與運算中的求參數問題已知兩集合間的關系求參數時，關鍵是將兩集合間的關系轉化為元素間的關系，進而轉化為參數滿意的關系．解決這類問題經常須要合理利用數軸、維恩圖幫助分析．同時還要留意“空集”這一“陷阱”，尤其是集合中含有字母參數時，要分類探討，探討時要不重不漏．【例2】已知集合A＝{x|x＜－1或x≥1}，B＝{x|2a＜x≤a＋1，a＜1}，B?A，則實數aa＜－2或eq\f(1,2)≤a＜1[因為a＜1，所以2a＜a＋1，所以B≠?.畫數軸如圖所示，由B?A知，a＋1＜－1，或2a≥即a＜－2，或a≥eq\f(1,2).由已知a＜1，所以a＜－2，或eq\f(1,2)≤a＜1，即所求a的取值范圍是a＜－2或eq\f(1,2)≤a＜1．]eq\o([跟進訓練])2．已知集合A＝{x|－3≤x＜2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且B?A，求實數k的取值范圍.[解]由題意知B≠?，由于B?A，在數軸上表示A，B，如圖，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2k－1≥－3，,2k＋1＜2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥－1，,k＜\f(1,2).))所以k的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(k\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－1≤k＜\f(1,2))))).類型3充分條件與必要條件充要條件是數學的重要概念之一，在數學中有著特別廣泛的應用，在高考中有著較高的考查頻率，其特點是以中學數學的其它學問為載體考查充分條件、必要條件、充要條件的推斷．【例3】已知集合A＝{x∈R|2x＋m＜0}，B＝{x∈R|x＜－1或x＞3}．(1)是否存在實數m，使得x∈A是x∈B成立的充分條件？(2)是否存在實數m，使得x∈A是x∈B成立的必要條件？[解](1)欲使x∈A是x∈B成立的充分條件，則只要eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))?{x|x＜－1或x＞3}，則只要－eq\f(m,2)≤－1，即m≥2，故存在實數m≥2時，使x∈A是x∈B成立的充分條件．(2)欲使x∈A是x∈B成立的必要條件，則只要{x|x＜－1或x＞3}?eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜－\f(m,2)))))，則這是不行能的，故不存在實數m，使x∈A是x∈B成立的必要條件．eq\o([跟進訓練])3．若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分條件，則實數a的值為________．－eq\f(1,2)或eq\f(1,3)[p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3.q：ax＋1＝0，當a＝0時，方程無解；當a≠0時，x＝－eq\f(1,a).由題意知pq，q?p，故a＝0舍去；當a≠0時，應有－eq\f(1,a)＝2或－eq\f(1,a)＝－3，解得a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).綜上可知，a＝－eq\f(1,2)或a＝eq\f(1,3).]類型4全稱量詞命題與存在量詞命題“一般命題的否定”與“含有一個量詞的命題的否定”的區分與聯系(1)一般命題的否定通常是在條件成立的前提下否定其結論，得到真假性完全相反的兩個命題；含有一個量詞的命題的否定，是在否定其結論的同時，變更量詞的屬性，即將全稱量詞改為存在量詞，存在量詞改為全稱量詞．(2)與一般命題的否定相同，含有一個量詞的命題的否定的關鍵也是對關鍵詞的否定．【例4】(1)下列語句不是全稱量詞命題的是()A．任何一個實數乘以零都等于零B．自然數都是正整數C．高一(一)班絕大多數同學是團員D．每一個實數都有大小(2)命題p：“?x∈R，x2＞0”A．p是假命題；?p：?x∈R，x2＜0 B．p是假命題；?p：?x∈R，x2≤0C．p是真命題；?p：?x∈R，x2＜0D．p是真命題；?p：?x∈R，x2≤0(1)C(2)B[(1)A中命題可改寫為：隨意一個實數乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：隨意的自然數都是正整數，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一(一)班存在部分同學是團員，C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為：隨意的一個實數都有大小，故D是全稱量詞命題．故選C．(2)由于02＞0不成立，故“?x∈R，x2＞0”為假命題，依據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知，“?x∈R，x2＞0”的否定是“?x∈R，x2≤eq\o([跟進訓練])4．下列命題不是存在量詞命題的是()A．有些實數沒有平方根B．能被5整除的數也能被2整除C．在實數范圍內，有些一元二次方程無解D．有一個m使2－m與|m|－3異號B[選項A、C、D中都含有存在量詞，故皆為存在量詞命題，選項B中不含存在量詞，不是存在量詞命題．]5．命題“能被7整除的數是奇數”的否定是________．存在一個能被7整除的數不是奇數[原命題即為“全部能被7整除的數都是奇數”，是全稱量詞命題，故該命題的否定是：“存在一個能被7整除的數不是奇數”．]1．(2024·全國卷Ⅱ)已知集合U＝{－2，－1,0,1,2,3}，A＝{－1,0,1}，B＝{1,2}，則?U(A∪B)＝()A．{－2,3} B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3} D．{－2，－1,0,2,3}A[由題意，得A∪B＝{－1,0,1,2}，所以?U(A∪B)＝{－2,3}，故選A．]2．(2024·全國卷Ⅱ)已知集合A＝{x||x|<3，x∈Z}，B＝{x||x|>1，x∈Z}，則A∩B＝()A．? B．{－3，－2,2,3}C．{－2,0,2} D．{－2,2}D[法一：因為A＝{x||x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<3，x∈Z}＝{－2，－1,0,1,2}，B＝{x||x|>1，x∈Z}＝{x|x>1或x<－1，x∈Z}，所以A∩B＝{－2,2}，故選D．法二：A∩B＝{x|1<|x|<3，x∈Z}＝{x|－3<x<－1或1<x<3，x∈Z}＝{－2,2}．]3．(2024·全國卷Ⅰ)設集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，則a＝()A．－4 B．－2C．2 D．4B[易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(a,2)))))，因為A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－eq\f(a,2)＝1，解得a＝－2.故選B．]4．(2024·新高考全國卷Ⅰ)設集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，則A∪B＝()A．{x|2<x≤3} B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x<4} D．{x|1<x<4}C[A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2<x<4}，則A∪B＝{x|1≤x<4}，故選C．]5．(2024·全國卷Ⅲ)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的