...wd......wd......wd...第一章向量代數習題1.1試證向量加法的結合律，即對任意向量成立證明：作向量〔如以以以下圖〕，則故設兩兩不共線，試證順次將它們的終點與始點相連而成一個三角形的充要條件是證明：必要性，設的終點與始點相連而成一個三角形，則充分性，作向量，由于所以點與重合，即三向量的終點與始點相連構成一個三角形。試證三角形的三中線可以構成一個三角形。證明：設三角形三邊的中點分別是〔如以以以下圖〕，并且記，則根據書中例1.1.1，三條中線表示的向量分別是所以，故由上題結論得三角形的三中線可以構成一個三角形。用向量法證明梯形兩腰中點連線平行于上、下底且等于它們長度和的一半。證明：如以以以下圖，梯形兩腰中點分別為，記向量，則而向量與共線且同向，所以存在實數使得現在由于是的中點，所以且故梯形兩腰中點連線平行于上、下底且等于它們長度和的一半。試證命題1.1.2。證明：必要性，設共面，如果其中有兩個是共線的，比方是，則線性相關，從而線性相關。現在設兩兩不共線，則向量可以在兩個向量上的進展分解，即作以為對角線，鄰邊平行于的平行四邊形，則存在實數使得，因而線性相關。充分性，設線性相關，則存在不全為零的數，使得。不妨設，則向量可以表示為向量的線性組合，因此由向量加法的平行四邊形法則知道向量平行于由向量決定的平面，故共面。設是不共線的三點，它們決定一平面，則點在上的充要條件是存在唯一的數組使得其中，是任意一點。在內的充要條件是(*)與同時成立。證明：必要性，作如下示意圖，連接并延長交直線于。則由三點共線，存在唯一的數組使得，并且。由三點共線，存在唯一的數組使得，并且。于是，設由，的唯一性知道的唯一性，則且。充分性，由條件有,得到，因而向量共面，即在決定的平面上。如果在內，則在線段內，在線段內，于是，則。如果〔*〕成立且，則有，這說明點在角內。同樣可得到，這說明點在角內。故在內。在中，點分別在邊與上，且與交于，試證證明：作如下示意圖，由三點共線，存在使得，由三點共線，存在使得，由于有因而。由于向量不共線，所以，解此方程組得。由此得，。同理得到。故得用向量法證明的三條中線交于一點，并且對任意一點有證明：設分別是邊的中點，則交于一點，連接。由三點共線，存在使，由三點共線，存在使，于是得，解得。從而有，然而，故，即三點共線，的三條中線交于一點。任取一點，由，得到，于是9.用向量法證明四面體的對棱中點連線交于一點，且對任意一點有證明：設四面體的棱的中點分別是，棱的中點分別是，如以以以下圖。則對棱中點連線為。則容易知道，，因此四邊形是平行四邊形，相交且交點是各線段的中點。同理也相交于各線段的中點，故交于一點。由以上結論知道，對任意一點，由是的中點，有，即10.設是正邊形的頂點，是它的中心，試證證明：設，將正邊形繞著中心旋轉。一方面向量繞點旋轉了角度而得到一個新的向量；另一方面，正邊形繞著中心旋轉后與原正邊形重合，因而向量沒有變化。方向不同的向量要相等只能是零向量，故證法2：由于是正邊形的頂點，是它的中心，所以，其中。由三角不等式得到，故有。所以，由于，所以11.試證：三點共線的充要條件是存在不全為零的實數使得且其中，是任意取定的一點。證明：必要性，如果三點中至少有兩點重合，比方重合，則，所以結論成立。如果互不重合，由例1.1.1知道三點共線的充要條件是存在數使得，令，則不全為零，有，。充分性，設且，則，，由于不全為零，以及點的任意性，可知不全為零，否則也為零。所以不妨設，則，因而三點共線。習題1.2給定直角坐標系，設，求分別關于平面，軸與原點的對稱點的坐標。解：在直角坐標系下，點關于平面，軸與原點的對稱點的坐標分別是，，。設平行四邊形的對角線交于點，設在仿射標架下，求點的坐標以及向量的坐標。解：作如下示意圖，因為是中點，所以=故在仿射標架下，點的坐標分別為所以向量在仿射標架下的坐標為3.設，求以下向量的坐標：〔1〕；〔2〕。解：〔1〕〔2〕4.判斷以下各組的三個向量是否共面能否將表示成的線性組合假設能表示，則寫出表示式。〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕設即則有該方程組只有零解所以三向量不共面?！?〕設即則有該方程組等價于由此得到只要不為零，就不為零，所以三向量共面。取，則所以即可表示成的線性組合。〔3〕設即則有該方程組等價于方程組有非零解〔2，1，0〕，所以三向量共面。由于只能為零，故不能表示成的線性組合。5.在中，設是邊的三等分點，試用和表出與。6.設在一平面上取一個仿射標架，上三點共線當且僅當證明：三點共線當且僅當，即展開得展開行列式得故命題成立。7.在中，設分別是直線上的點，并且證明共線當且僅當證明：作如下示意圖，由于分別是直線上的定比分點，所以。建仿射標架，由于；；。所以在仿射標架下的坐標分別為。根據上題的結論，共線當且僅當展開行列式即得到試證命題1.2.1。證明：取定標架，設向量〔1〕〔2〕〔3〕。習題1.31.設，求。解：由，得，所以2.，求。解：3.與垂直，與垂直，求。解：因為與垂直，與垂直，所以得到于是故4.證明：對任意向量都有當與不共線時，說明此等式的幾何意義。證明：當與不共線時，此等式的幾何意義是以與為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的平方和等于四邊的平方和。5.以下等式是否正確說明理由〔習慣上把記為〕。(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：〔1〕錯誤，因為左邊表示向量，右邊是數?！?〕正確，因為?！?〕錯誤，因為左邊向量與共線，而右邊向量與共線?！?〕錯誤，因為?！?〕錯誤，因為左邊向量與共線，而右邊向量與共線?！?〕錯誤，因為與垂直。6.證明：三角形的垂直平分線交于一點，且交點到三頂點的距離相等。證明：設三角形的兩條邊的垂直平分線交于一點，為邊的中點，以為始點，為終點的向量記為。則，由于是的垂直平分線，所以由此得到說明是的垂直平分線，即三角形的垂直平分線交于一點，且交點到三頂點的距離相等。7.證明：設不共面，如果向量滿足則。證明：因為不共面，所以可設。則故。8.用幾何方法證明：假設都是實數，則有等號成立的充分必要條件是且分別同號。證明：設在直角坐標系下，向量則由三角不等式得，并且等號成立的條件是向量同向，將坐標代入就有等號成立的充分必要條件是且分別同號。習題1.41.設表示向量在與向量垂直的平面上的投影，則有。證明：由于表示向量在與向量垂直的平面上的投影〔如以以以下圖〕，則由構成的平行四邊形的面積與構成的矩形的面積相等，的方向一樣，因而，。2.證明：。證明：，故。3.證明：假設，,則與共線。證明：，故與共線。4.證明：,并說明其幾何意義。證明：以為鄰邊的平行四邊形的對角線構成的平行四邊形的面積等于為鄰邊的平行四邊形的面積的2倍。5.在直角坐標系中，，求與都垂直，且滿足如下條件之一的向量：〔1〕為單位向量；〔2〕，其中。解：因為向量與都垂直，所以可設，而?！?〕因為為單位向量，所以，即故?！?〕由，，得于是。6.用向量法證明：〔1〕三角形的正弦定理；〔2〕三角形面積的海倫(Heron)公式，式中，為三角形的面積，其中為三角形三邊的長。證明：〔1〕設角對應邊表示的向量為，由向量外積的模的幾何意義知道，于是，故?！?〕。7.證明Jacobi恒等式。證明：由雙重外積公式。8.設，求滿足方程的點的軌跡。解：由外積的定義及外積模的幾何意義，點的軌跡在與垂直的平面上，且與過點平行于的直線的距離為的直線，而且保持右手系。習題1.51.證明：。證明：如果共面，則。如果不共面，則，符合一樣的右手或左手規則，因而有一樣的符號，故。2.證明：不共面當且僅當不共面。證明：因為，所以。故不共面當且僅當不共面。3.在右手直角坐標系中，一個四面體的頂點為，，求它的體積。解：因為所以四面體的體積4.證明Lagrange恒等式。證明：。5.證明：。證明：因為，所以。6.證明：。證明：左邊=右邊。7.證明：對任意四個向量有。證明：因為，同理所以。8.證明：假設與不共線，則與不共線。證明：因為與不共線，所以由于，因而與不共線。9.都是非零實數，向量的混合積，如果向量滿足，求此向量。解：由條件得到，而且，因此可設，現在兩邊分別與作內積，則有，，故。10.設不共面，證明：任一向量可以表示成。證明：因為不共面，所以任一向量可以表示成。兩邊分別與向量作內積，得到因而。11.設不共面，設向量滿足，那么有。證明：因為不共面，所以不共面，從而可設，兩邊分別與作內積，則有，于是。第二章直線與平面習題2.11.求通過兩點和的直線方程。解：直線的方向向量為，所以直線的方程為2.在給定的仿射坐標系中，求以下平面的普通方程和參數方程。〔1〕過點；〔2〕過點和軸；〔3〕過點和，平行于軸；〔4〕過點，平行于平面。解：〔1〕平面的方位向量為，所以平面的參數方程平面的普通方程為即〔2〕平面的方位向量為，所以平面的參數方程因為過軸，所以也可選經過的點為，那么參數方程也可以寫為平面的普通方程為即〔3〕平面的方位向量為，所以平面的參數方程平面的普通方程為即〔4〕平面的方位向量平行于平面，方位向量滿足，因此可以選為。所以平面的參數方程平面的普通方程為即3.在直角坐標系中，求通過點并與平面和均垂直的平面方程。解：平面的法向量分別是，所求平面與均垂直，所以它的法向量與均垂直，因此平面的方程為即4.在直角坐標系中，求經過點，垂直于平面的平面方程。解：設平面的法向量為，則它與垂直，它又與平面的法向量，故所以所求平面的方程為即5.在直角坐標系中，設平面的方程為，其中。設此平面與三坐標軸分別交于，求三角形的面積和四面體的體積。解：由于，所以平面的三個截距分別為。因此四面體的體積為三角形的面積而所以6.設平面與連接兩點和的線段相交于點，且，證明。證明：因為，所以由定比分點的坐標公式得到點的坐標將它們代入平面方程中得整理即得。習題2.21.求經過點，并且通過兩平面與的交線的平面方程。解：經過交線的平面束方程為，其中不全為零。所求平面經過點，將它代入上式得到，可以取，因此平面的方程為2.判斷以下各對平面的相關位置?！?〕與；〔2〕與；〔3〕與。解：〔1〕平面的法向量分別是，它們不共線，所以兩平面相交?！?〕兩平面的系數之比的關系為，所以兩平面重合。〔3〕第二個平面的方程化為，所以兩平面的系數之比的關系為，所以兩平面平行。3.將以下直線的普通方程化為標準方程。〔1〕〔2〕解：〔1〕方程可寫成所以標準方程為〔2〕標準方程為4.求通過點且與兩平面均平行的直線方程。解：直線的方向向量與兩平面均平行，所以得到于是直線的方程為5.判斷以下各對直線的位置。〔1〕；〔2〕解：〔1〕直線經過點，方向向量是，直線經過點，方向向量是?；旌戏e所以兩直線異面?！?〕直線方程可分別化為經過的點分別是方向向量分別是混合積且所以兩直線異面且互相垂直。6.求直線與平面的交點。解：將直線方程代人平面方程得到所以，故交點為。7.求通過直線且與直線平行的平面方程。解：通過直線的平面方程可設為，由于平面與直線平行，所以，即，故平面方程為。8.在直角坐標系中，求直線在平面上的垂直投影直線的方程。解：垂直投影直線在過直線且垂直于平面的平面中，平面的方程為所以垂直投影直線方程是9.在仿射坐標系中，求過直線且在軸和軸上有一樣的非零截距的平面方程。解：通過直線的平面方程可設為，由于平面在軸和軸上有一樣的非零截距，所以，即，故平面方程為10.在中，設分別是直線上的點，并且。證明三線共點的充要條件是。證明：取仿射標架，則點的坐標分別是直線的方程分別為三線共點的充要條件是的交點在直線上。的交點為，將該點的坐標代人直線的方程中化簡得到。11.用坐標法證明契維定理：假設三角形的三邊依次分割成，其中均為正實數，則此三角形的頂點與對邊分點的連線交于一點。證明：由于，由上題的結論知道三角形的頂點與對邊分點的連線交于一點。12.證明：如果直線與直線交于一點，那么。證明：由于兩直線交于一點，所以方程組有解，則齊次方程組有解，由齊次線性方程組有解的條件得到。13.在直角坐標系中，給定點和，直線，設各為在上的垂足，求以及的坐標。解：為向量在直線的方向向量的方向上的分量，故過點作與直線垂直的平面，它的方程為，過點作與直線垂直的平面，它的方程為，將直線的參數方程分別代人，方程中，得所以14.求與三直線都相交的直線所產生的曲面的方程。解：與三直線都相交的直線設為，交點可設為，由于三點共線，所以，即有。直線的方程，即消去得到直線構成的曲面方程15.證明：包含直線，且平行于直線的平面方程為。假設是之間的距離，證明。證明：包含直線的平面方程可設為，它的法向量為，它又與直線平行，此直線的方向向量是，所以，得到，于是平面方程為。直線的方向向量是，經過點。直線經過點，所以兩直線的距離為，，因此，，故。習題2.31.在直角坐標系下，求以下直線方程。〔1〕過點且垂直于平面；〔2〕過點且與三坐標軸夾角相等。解：〔1〕直線的方向向量是平面的法向量，所以直線的方程為〔2〕設直線的方向向量是，由于直線與三坐標軸的夾角相等，所以于是。因此直線有4條，方程為，，，。2.在直角坐標系中，求平面與面的夾角。解：平面的法向量為，面的法向量為，所以夾角的余弦為，夾角為或3.求到兩個給定平面的距離成定比的點的軌跡。解：設點到兩平面的距離之比為。如果兩平面平行，則選直角坐標系使得其中一個平面為面，另一個平面的方程為，于是，當時，得。當時，得如果兩平面相交，則選兩平面的角平分面為兩坐標面和，則兩平面的方程可設為，于是即4.證明：空間中滿足條件的點位于中心在原點，頂點在坐標軸上，且頂點與中心距離為的八面體的內部。證明：條件等價于八個不等式：，這些點對于平面來說都在負側，即包含原點的那一側。故它們位于由八個平面構成頂點在坐標軸上，且頂點與中心距離為的八面體的內部。5.在仿射坐標系中，設，都不在平面上，且。證明：與在平面的同側的充分必要條件是與同號。證明：〔1〕與平面平行的充要條件是即與同號?！?〕如果與平面不平行，則設直線與平面相交于點，且。因而與在平面的同側的充分必要條件是。因為，所以與同號。6.在直角坐標系中，求與平面平行且與它的距離為的平面方程。解：設點到平面的距離為，則因而所求平面的方程為7.求點到直線的距離。解：直線方程的標準形式為所以直線經過點，方向向量為，則，點到直線的距離為8.求以下各對直線之間的距離?！?〕〔2〕〔3〕解：〔1〕兩直線分別經過點，，方向向量分別是，因此兩直線平行，它們的距離為一直線的某點到另一直線的距離，所以，它們的距離為〔2〕兩直線分別經過點，，方向向量分別是，，所以它們異面，它們的距離為〔3〕兩直線方程的標準形式可寫為兩直線分別經過點，，方向向量分別是，不平行，，所以它們相交，它們的距離為0。9.求以下各對直線的公垂線的方程?！?〕與〔3〕與解：〔1〕兩直線的方向向量是，所以公垂線的方向向量為。公垂線在過直線且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是。公垂線又在過直線且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是，因此公垂線的方程是〔2〕兩直線方程的標準形式可為，，所以公垂線的方向向量為。公垂線在過直線且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是。公垂線又在過直線，且與向量平行的平面上，平面法向量是，所以該平面方程是，因此公垂線的方程是10.求以下各對直線的夾角?！?〕〔2〕解：〔1〕兩直線的方向向量是，所以夾角滿足因此夾角為。〔2〕兩直線的方向向量是，所以夾角滿足因此夾角為或11.求以下直線與平面的夾角?！?〕〔2〕解：〔1〕直線的方向向量為，平面的法向量為，則，所以夾角滿足因此夾角〔2〕直線的方向向量為，平面的法向量為，則，所以夾角滿足因此夾角12.兩條異面直線與，證明：連接上任一點和上任一點的線段的中點軌跡是公垂線段的垂直平分面。證明：以公垂線為軸，過公垂線段的中點與公垂線垂直的平面為面，兩異面直線在面上的投影直線的角平分線為軸和軸建設空間直角坐標系。則兩異面直線的方程可設為與其中是兩直線的距離，。現在從兩直線上分別任取一點，則它們的中點滿足，這是公垂線段的垂直平分面的參數方程，所以中點軌跡是公垂線段的垂直平分面。13.設在直角坐標系中，平面與的方程分別為和求由與構成的二面角的角平分面的方程，在此二面角內有點。解：角平分面上的點到兩平面的距離相等，所以，由于該二面角內有點，且，所以在的負側，在的正側，因此角平分面上的點在的負側，在的正側，或在的正側，在的負側，所以角平分面上的點滿足，整理得到14.證明：兩異面直線，的公垂線段的長度就是，之間的距離。證明：以公垂線為軸，過公垂線段的中點與公垂線垂直的平面為面，兩異面直線在面上的投影直線的角平分線為軸和軸建設空間直角坐標系。則兩異面直線的方程可設為與其中是兩直線的距離即公垂線段的長度，?，F在從兩直線上分別任取一點，兩點距離為即公垂線段的長度是最小的，因此兩異面直線，的公垂線段的長度就是，之間的距離。第三章常見曲面習題3.11.證明：如果，那么由方程給出的曲面是一球面，求出它的球心坐標和半徑。證明：將方程配方得，由，得到方程表示球心是，半徑為的球面。2.求過三點的圓的方程。解：空間中的圓可由過三點的一個球面和一個平面的交線表示，設過該三點的球面方程為，得到球面方程為，其中任意。過該三點的平面方程是，所以所求圓的方程可以為其中任意。3.證明曲線在一球面上，并此球面方程。證明：因為曲線滿足即，所以曲線在一個球面上。4.適中選取坐標系，求以下軌跡的方程〔1〕到兩定點距離之比等于常數的點的軌跡；〔2〕到兩定點距離之和等于常數的點的軌跡；〔3〕到定平面和定點等距離的點的軌跡。解〔1〕選直角坐標系使得定點坐標為。設定比常數為。所以動點滿足，化簡有，當時，軌跡為平面。當時，軌跡為球面?！?〕選直角坐標系使得定點坐標為。設常數為。所以動點滿足，化簡有〔3〕選直角坐標系使得定點坐標為定平面為。所以動點滿足，化簡有5.曲面在柱面坐標系下的方程為，求的直角坐標方程。解：將柱面坐標與直角坐標的關系代入方程得到6.曲面的直角坐標方程為，試求其球面坐標方程。解：將球面坐標與直角坐標的關系代入方程得到即習題3.21.求半徑為1，對稱軸為的圓柱面方程。解：圓柱面上的點到對稱軸的距離是常數1，所以，即有2.與圓柱面的三條母線為求這個圓柱面的方程。解：先求對稱軸，對稱軸上的點到三母線的距離相等，所以，化簡整理得對稱軸的方程：。圓柱面上的點到對稱軸的距離等于對稱軸上的點到母線的距離，所以，即展開得到圓柱面方程3.求母線方向為，準線為的柱面方程。解：柱面上的點一定在經過準線上一點的母線上，所以消去得到柱面方程：4.圓柱面的對稱軸為，點在此圓柱面上，求此圓柱面的方程。解：圓柱面上的點與點到對稱軸的距離相等，所以，展開整理得5.求準線為的圓柱面方程。解：因為準線是橢圓，所以圓柱面的對稱軸一定過橢圓的中心，母線方向不可能平行于坐標面，可設為。在準線上取三點它們到對稱軸的距離都等于圓柱面的半徑，于是，得化簡有顯然所以。因而圓柱面有兩個，即6.求以軸為對稱軸，坐標原點為頂點，半頂角為的圓錐面方程。解：因為圓錐面以軸為對稱軸，坐標原點為頂點，半頂角為，所以圓錐面非常為即7.求頂點在原點，準線為的錐面方程。解：錐面上的點一定在經過準線上某點的母線上，所以因此得到錐面方程8.求以原點為頂點，包含三條坐標軸的圓錐面方程。解：設圓錐面的對稱軸的方向向量為，依照題意對稱軸的方向向量與三坐標軸的坐標向量的夾角的余弦的絕對值相等，所以有即，對稱軸的方向向量為。因此圓錐面上的點滿足，化簡得即有四個圓錐面。9.求頂點為，準線為的錐面方程。解：錐面上的點一定在經過準線上某點的母線上，所以因此得到錐面方程10.證明：母線方向為，與球面外切的柱面方程為。證明：依照題意知柱面是半徑為1的圓柱面，對稱軸為所以柱面上的點滿足，由公式得到，故柱面方程為。11.過軸和軸分別作動平面，交角為常數，求交線的軌跡方程，并且證明它是一個錐面。解：過軸和軸的動平面方程可設為它們的交線是由于兩平面的交角是常數，所以，交線方程中的系數按此關系消去得到軌跡方程：，該方程明顯是4次齊次方程，所以是錐面。12.證明：以為頂點的錐面方程是關于的齊次方程。證明：我們知道頂點在原點的錐面方程是關于的齊次方程，所以將坐標系的原點平移到，新坐標系的坐標用，則，故錐面方程是關于的齊次方程，即關于的齊次方程。13.求以下曲線向各坐標面投影的投影柱面方程，和在各坐標面上的投影曲線，并作出曲線的簡圖：〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲線是在方程組中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲線是在方程組中消去得到向面投影的投影柱面方程是，在面上的投影曲線是〔2〕在方程組中分別消去得到向面投影的投影柱面方程分別是在面上的投影曲線方程分別是〔3〕在方程組中分別消去得到向面投影的投影柱面方程分別是。在面上的投影曲線方程分別是14.設柱面的準線的參數方程為，母線方向為，求柱面的參數方程。解：柱面上的點在過準線上點的母線上，所以柱面的方程為這就是柱面的參數方程。習題3.31.求曲線繞軸旋轉所得的曲面方程。解：點在旋轉面上當且僅當它是曲線上點旋轉而來：消去得到旋轉面的方程：，由于曲線只是的一局部，所以旋轉面也是一局部：，。2.求直線繞直線旋轉所得的曲面的方程。解：設曲面上的點是直線上的點旋轉來的，則消去得到：整理得旋轉面的方程：3.求曲線繞軸旋轉所得的曲面的參數方程。解：設曲面上的點是曲線上的點〔對應的參數為〕旋轉來的，則所以曲面的參數方程可寫為：4.證明：表示一個旋轉面，并求它的母線和轉軸。證明：方程的形式可改寫為，發現以曲線或為母線，軸為旋轉軸，就可得到曲面的方程。習題3.41.一個橢球面以三個坐標面為對稱平面，并且經過三個點，求其方程。解：設橢球面的方程為，將三個點的坐標代入得到解得所以橢球面的方程為。2.求以原點為頂點，軸為對稱軸，并通過兩點的拋物面的方程。解：設拋物面的方程為將兩個點的坐標代人得到，解得，所以拋物面的方程為3.求通過兩條拋物線和的二次曲面方程。解：設二次曲面方程為一般方程：由于曲面通過兩條拋物線，所以將分別代人方程中得到兩條拋物線與給的拋物線方程進展對比得到所以曲面的方程為，其中不全為0。當時，方程為，當時，方程可化為，其中為任意常數。4.給定方程問當取異于的各種實數值時，它表示若何的曲面解：由于，所以當時，，方程表示橢球面；當時，，方程表示單葉雙曲面；當時，，方程表示雙葉雙曲面；當時，，方程表示虛橢球面。5.適中選取坐標系，求以下軌跡方程?！?〕到兩定點距離之差等于常數的點的軌跡；〔2〕到一定點和一個定平面〔定點不在定平面上〕距離之比等于常數的點的軌跡；〔3〕設有一個定平面和垂直于它的一條定直線，求到定平面與到定直線的距離相等的點的軌跡；〔4〕求與兩給定直線等距離的點的軌跡，兩直線之間的距離為，夾角為。解：〔1〕選直角坐標系使得定點坐標為。設距離之差為。所以動點滿足，化簡有〔2〕選直角坐標系使得定點坐標為定平面為，定比為。所以動點滿足，化簡有〔3〕以定平面為面，定直線為軸建設直角坐標系。所以動點滿足，于是動點軌跡方程為〔4〕設兩直線異面，以兩條定直線的公垂線為軸，過公垂線段的中點與公垂線垂直的平面為面，兩直線在面上的投影直線的角平分線為軸和軸，建設直角坐標系，使得兩直線的方向向量為，兩直線分別過點。所以動點滿足，展開得化簡得。如果兩直線平行，即，則動點軌跡為平面。如果兩直線相交，則，則動點軌跡為兩相交平面：。6.設是橢球面上的一點，向量的方向余弦為，且，試證：證明：由題意得到點的坐標為，將它代入橢球面方程得到即有7.由橢球面的中心引三條互相垂直的射線，與橢球面分別交于，設，試證：證明：設三向量的方向余弦為，由上題結論有由于三向量兩兩互相垂直，所以矩陣為正交矩陣，因而從而得到8.求與橢圓拋物面的交線為圓的平面。解：因為橢圓拋物面開口朝軸方向，交線為圓，所以平面的法向量不會平行于坐標面，可設所求平面為。由于空間的圓一定是某球面與平面的交線，所以該圓可設為球面與平面的交線。交線向坐標面的投影柱面是一樣的，而它們的方程分別為對比它們的系數得到，于是平面方程：。該平面要與橢圓拋物面相交，將平面方程代人橢圓拋物面方程中得該方程有解，經配方得到滿足：習題3.51.求單葉雙曲面上過點的直母線。解：單葉雙曲面的直母線族為及將點代入直母線族的方程中，得到(I)的參數為v=0，(II)的參數為,所以過點的直母線為，2.求直線族所形成的直紋面方程。解：直線族改寫為消去參數得到直紋面方程。3.求與以下三直線同時共面的直線所產生的曲面，解：依題意，所求直線應同時在過的平面束中，即該直線經過點，方向向量為。由于與共面，所以，化簡得到。將直線的方程中的參數依此關系消去，得到動直線產生的曲面方程。4.證明單葉雙曲面的同族中的任意兩條直母線異面；異族中的任意兩條直母線共面。證明：設單葉雙曲面的方程為直母線族為及〔1〕在(I)中任取兩條直母線，對應的參數為，分別經過點，，方向向量是，，顯然兩方向不共線，計算混合積所以(I)中任意兩條直母線異面。同理可得(II)中任意兩條直母線也異面?！?〕在兩族直母線中分別任取一條，記為，對應的參數為分別經過點，，方向向量是，。如果，由于它們經過同一個點，所以共面。如果，則計算混合積，所以共面。并且當時，平行。5.設是馬鞍面，證明：〔1〕同族中的任意兩條直母線異面；〔2〕異族中的任意兩條直母線相交；〔3〕同族中的全體直母線平行于同一個平面。證明：設馬鞍面的方程為它的兩族直母線為及〔1〕在(I)族中任取兩條直母線，對應的參數為，分別經過點，，方向向量是，，顯然兩方向不共線，計算混合積所以(I)中任意兩條直母線異面。同理可得(II)中任意兩條直母線也異面?！?〕在兩族直母線中分別任取一條，記為，對應的參數為分別經過點，，方向向量是，。顯然兩方向不共線，即它們不可能平行。計算混合積所以異族中的任意兩條直母線相交?！?〕由于(I)中任意直母線的方向向量為它平行于平面，所以(I)中所有直母線平行于平面。由于(II)中任意直母線的方向向量為它平行于平面，所以(II)中所有直母線平行于平面。6.證明馬鞍面的正交直母線的交點在一條雙曲線上。證明：設馬鞍面的方程為由上一題的結論，馬鞍面的相交直母線一定是異族的，所以在(I)，(II)族中分別選直線使得它們正交：及(I)中直線的方向向量為(II)中直線的方向向量為由于它們正交，所以要得到正交直母線的交點的軌跡方程，只需在兩族直母線中的參數按上述關系消去即可，于是得到它表示平面上的一條雙曲線。7.平面與錐面的交線是兩條正交的直線，證明。證明：已給錐面方程變形為設比值為，得到錐面的直母線族：的方向向量為。因為所求直母線在平面上，所以有即它的兩個解就是所求直母線的參數，它們滿足由于兩條直母線正交，所以將上述關系代入，得到即有。習題3.61.用不等式組表達由以下平面或曲面所圍成的空間區域，并作簡圖?！?〕〔2〕〔在第卦限內〕。解：〔1〕分別是圓柱面，兩平面，要使得它們圍成一個空間有界區域，應該在圓柱面的內部，平面的負側，平面的正側〔上側〕，所以用不等式組表示區域為：〔2〕由于橢球面整個都在球面的內部，所以它們在第卦限內圍成的區域應該在橢球面的外部，在球面的內部，所以用不等式組表示區域為：2.作出由不等式組所確定的空間區域簡圖。二次曲線和二次曲面習題4.11.在直角坐標系中，以直線為新坐標系的軸，取通過且垂直于的直線為軸，寫出點的坐標變換公式，并且求直線在新坐標系中的方程。解：直線的方向是，與它垂直的方向是，新坐標系的軸的坐標向量取為，軸坐標向量取為，與直線垂直且的直線方程可設為，由于過點，得到直線方程是，兩直線的交點是新坐標原點，所以點的坐標變換公式：直線在新坐標系中的方程：，化簡有2.作直角坐標變換，點的新坐標分別為，求點的坐標變換公式。解：設同定向的點的坐標變換公式是：它的向量的坐標變換公式是：由題意知向量變為，于是有得到于是點的坐標變換公式是：將點及它的像點代入得到所以點的坐標變換公式是：設反定向的點的坐標變換公式是：它的向量的坐標變換公式是：由題意知向量變為，于是有得到于是點的坐標變換公式是：將點及它的像點代入得到所以點的坐標變換公式是：3.設新舊坐標系都是右手直角坐標系，點的坐標變換公式為其中，與分別表示同一點的舊坐標與新坐標，求新坐標系的原點的舊坐標，并且求坐標軸旋轉的角。解：〔1〕新坐標系的原點的舊坐標為代入公式中計算的結果，即。由點的坐標變換公式知道是同定向的，于是轉角滿足由于，所以〔2〕與上一問題同理，新坐標系的原點的舊坐標為。轉角滿足由于，所以4.在右手直角坐標系中，設兩直線互相垂直，取為右手直角坐標系的軸，軸，試求到的點的坐標變換公式。解：由于兩直線互相垂直，且為右手直角坐標系的軸，軸，即在右手直角坐標系下的方程為，所以當時，到的點的坐標變換公式：當時，到的點的坐標變換公式：5.設為四面體，依次是的三邊的中點，取，。〔1〕求到點的坐標變換公式和向量的坐標變換公式，再到求點〔向量〕的坐標變換公式。〔2〕求的坐標。解：〔1〕依題意有所以到點的過渡矩陣是，到點的坐標變換公式到點的向量的坐標變換公式其中分別是向量在仿射坐標系和下的坐標。由以上關系得到所以到點的過渡矩陣是，到點的坐標變換公式向量的坐標變換公式一樣。〔2〕的坐標分別是，由到點和向量的坐標變換公式得到的坐標分別是。6.在右手直角坐標系中，已給三個互相垂直的平面。確定新的坐標系，使得分別為坐標面，且在新坐標系的第一卦限內，求到的點的坐標變換公式。解：由于三個平面分別為坐標面，所以坐標之間的關系可設為，又在新坐標系的第一卦限內，所以在新坐標系的三個坐標都為正，于是，故到的點的坐標變換公式7.在右手直角坐標系中，方程表示什么曲面解：將方程進展配方，，由于平面兩兩垂直，所以將它們分別作為新坐標系的坐標平面，于是作坐標變換：將它們代入方程得到因此該方程表示雙曲拋物面。8.，將繞右旋角度得，試用,,表示。解：如以以以下圖由于是單位向量，且所以繞右旋角度得到，三向量，，共面且有一樣的模長，于是可表示為與的線性組合，即，分別與，作內積，得到，故9.將右手直角坐標系繞方向右旋，原點不動，得坐標系，求到的點的坐標變換公式。解：先考慮一個向量繞另一個向量右旋得到的向量的表達式，過的終點作垂直于的向量，繞右旋得到的向量，的終點就是的終點，于是而，，所以由此表達式繞方向右旋得到，所以坐標變換為。設與是兩條不垂直的異面直線，分別通過和作兩個互相垂直的平面，證明交線的軌跡是單葉雙曲面。解：設異面直線的距離為，夾角為，建直角坐標系使得公垂線為軸，公垂線段的中點為坐標原點，兩異面直線在坐標面上的投影的兩角平分線為坐標軸，則兩直線的方程可表示為通過和的平面束方程分別為：要使得兩平面垂直，則有即于是相交直線的軌跡滿足因而所以交線的軌跡是單葉雙曲面。習題4.31.利用不變量求以下曲面的簡化方程：〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕〔5〕解：〔1〕二次曲面的矩陣：計算不變量特征方程是即特征根為于是，簡化方程為即〔2〕二次曲面的矩陣：計算不變量特征方程是即特征根為于是，簡化方程為〔3〕二次曲面的矩陣：計算不變量特征方程是即特征根為于是，簡化方程為〔4〕二次曲面的矩陣：計算不變量特征方程是特征根為于是，簡化方程為〔5〕二次曲面的矩陣：計算不變量特征方程是即特征根為于是，簡化方程為即2.證明：二次曲面為圓柱面的條件為。證明：用不變量表示的圓柱面的簡化方程是，于是特征方程有兩個一樣的根，即有兩個一樣的根，因而3.求之值，使二次曲面表示二次錐面。解：二次錐面的不變量所以4.求出曲面方程的簡化方程。解：設平面：兩平面的法向量為如果兩平面重合，則簡化方程為，其中如果兩平面平行不重合，則共線，令于是所以簡化方程為如果兩平面不平行，則以它們的角平分面為新坐標面建設新坐標系，單位法向量記為，因而角平分面的方程為它們的法向量分別是。前一個角平分面為面，后一個角平分面為面，因而令于是簡化方程為5.證明：在直角坐標系中，頂點在原點的二次錐面有三條互相垂直的直母線的充分必要條件是。證明：必要性，因為二次錐面的頂點為原點，且有三條互相垂直的直母線，所以選取該三條直母線為新坐標系〔原點不變〕的坐標軸，新坐標系下的方程變為：新坐標系下的點都在曲面上，應滿足上述曲面的方程，因而得到，即不變量充分性，因為曲面是二次錐面，所以可以選取適當的直角坐標系使曲面的方程是且不變量其上選點即一直母線的方向向量，則由向量確定的直母線與直母線垂直?，F在以這兩條直母線為新坐標系的坐標軸軸，在此坐標系下的點在曲面上，所以曲面的方程為，由此可見點也在曲面上，它決定的直母線與直母線、都垂直，故曲面上有三條互相垂直的直母線。習題4.41.求以下曲面的中心〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕曲面的中心滿足此方程組有唯一解，即為中心?！?〕曲面的中心滿足它等價于表示中心在該直線上?！?〕曲面的中心滿足等價于，表示中心在此平面上。2.判斷以下各二次曲面何者是中心曲面，何者是非中心曲面，并進一步區分是線心曲面、面心曲面還是無心曲面。〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕曲面的矩陣，不變量曲面是中心曲面?！?〕曲面的矩陣，不變量所以曲面是非中心曲面。曲面的中心滿足方程組等價于即中心在一個平面上，所以是面心曲面?！?〕曲面的矩陣，不變量曲面是非中心曲面，曲面中心滿足方程組無解，所以曲面是無心曲面。3.求以下各二次曲面的漸近錐面：〔1〕〔2〕〔3〕解：〔1〕曲面的不變量所以曲面是中心曲面，有漸近錐面，曲面的中心為原點，故漸近錐面方程為〔2〕曲面的中心滿足原點是它的唯一解，曲面是中心曲面，故漸近錐面方程為〔3〕曲面的不變量所以曲面是非中心曲面，因此沒有漸近錐面。習題4.51.求以下二次曲面的奇向〔1〕〔2〕解：〔1〕曲面的不變量所以曲面沒有奇向?！?〕曲面的不變量所以曲面有奇向，奇向滿足方程組等價于所以平行于平面的方向都是奇向。2.曲面，求與方向共軛的直徑面方程。解：曲面的矩陣，與方向共軛的直徑面方程，即。3.曲面，求過原點的直徑面。解：曲面的矩陣，則與方向共軛的直徑面是，因為經過原點，所以，即，代入直徑面的方程中得到由此得直徑面的方程4.求曲面的公共的直徑面。解：因為有中心的曲面的直徑面都要經過中心，所以求出曲面的中心就可以解決問題。與方向共軛的直徑面方程。的中心滿足方程組，即中心是，該中心應該在直徑面上，所以，故公共的直徑面方程是5.求以下二次曲面的主方向與主徑面，并且求出直角坐標變換，寫出簡化方程?！?〕〔2〕解：〔1〕曲面的矩陣，不變量特征方程是即特征根是簡化方程是特征根的主方向滿足方程組得到主方向，對應的主經面是特征根的主方向滿足方程組得到主方向，對應的主經面是特征根的主方向滿足方程組得到主方向，對應的主經面是曲面的中心是，直角坐標變換是〔2〕曲面的矩陣，不變量特征方程是即特征根是簡化方程是特征根的主方向滿足方程組得到主方向，對應的主經面是特征根的主方向滿足方程組得到主方向，對應的主經面是特征根的主方向滿足方程組得到主方向，對應的主經面是曲面的中心是，直角坐標變換是6.證明：過中心曲面的中心的任何平面都是直徑面。證明：設中心曲面的中心為原點，則過曲面的中心的平面方程為：。因為中心曲面的不變量，所以與任何方向共軛的直徑面均存在，可設為。由于，所以方程組有唯一解，即存在與方向共軛的直徑面就是所給的平面。7.請寫出二次曲線的弦、直徑、奇向、共軛方向、共軛直徑、對稱軸、主軸與主方向的定義。解〔略〕8.證明定理。證明〔略〕9.證明定理。證明〔略〕10.求二次曲線的中心、主方向與主軸。解：二次曲線的中心滿足方程組：有唯一解，這就是中心。二次曲線的矩陣，不變量特征方程：，所以特征根是特征根對應的主方向滿足：所以主方向為相應的主軸是即特征根對應的主方向滿足：所以主方向為相應的主軸是即11.曲線的一條直徑與軸平行。求這條直徑的方程，并求出它的共軛直徑。解：曲線的矩陣是，不變量所以任何方向都有共軛的直徑：與軸平行的直徑應滿足即，所以直徑方程是，直徑的方向是，與該直徑共軛的直徑是即通過兩點和的二次曲線，以兩直線為其一對共軛直徑，求的方程。解：因為曲線關于直徑在其共軛方向上具有對稱性，所以如果以共軛直徑為仿射坐標軸，則曲線的方程為，這相當于用仿射坐標變換的結果，因而曲線的方程可設為將點和代入上述方程，則有所以，故所求曲線的方程是習題4.61.寫出以下二次曲面在點處的切平面和法線的方程：〔1〕，點〔2〕，點解：〔1〕點在曲面上，切平面方程是，即法線方程是〔2〕點不在曲面上，所以過點有曲面的切錐，切錐方程是即2.在曲面上求一點，使曲面在該點的切平面平行于某一坐標面。解：設切點是則切平面方程是〔1〕設切平面與平行，則有解得點是。〔2〕設切平面與平行，則有解得點是?！?〕設切平面與平行，則有解得點是。3.求與兩直線及相切的諸球面的中心軌跡，其中為實數。解：設球面的球心是，直線與球面的切點是，直線與球面的切點是。直線的參數方程，對應于切點，將參數方程代入球面方程中有，它有重根，則。同理，得到。兩式中消去，有因此，球心軌跡滿足方程4.給定球面，求〔１〕過點的切平面方程；〔２〕以為頂點的切錐面方程。解：〔1〕點在球面上，，因而切平面方程是即〔2〕所以以為頂點的切錐面方程是5.證明平面與二次曲面相切，并求出切點坐標。證明：設切點是，則切平面是假設該平面就是，則解得切點是，故平面是二次曲面的切平面。6.求平面與二次曲面相切的條件。解：設二次曲面的切平面的切點是，則切平面方程是，設它就是平面，于是有，即有因為在曲面上，故即7.求二次曲面上具有方向的切線的軌跡。解：設具有方向的直線與二次曲面相切，切點是。將切線方程代入曲面方程有即該方程的有重根，由于是切點，則于是因而現在從直線的方程中按上述關系消去，得到參數的關系：代入直線方程中，則有以下關系：由于滿足曲面方程，所以這些切線的軌跡方程是正交變換和仿射變換習題5.1證明變換的乘法適合結合律，即證明：設，顯然都是的變換，對任給，有因此從而求出平面上對直線的反射公式。解：在直角坐標系中，設點關于直線的對稱點是，則的中點在直線上，且與直線垂直，因此有：得到即平面上對直線的反射公式：設平面上直線的方程，求平面對于直線的反射的公式。解：在直角坐標系中，設點關于直線的對稱點是，則的中點在直線上，且與直線垂直，因此有：解此方程得到平面對于直線的反射的公式：設是平面上兩條平行直線，而分別是平面對于直線的反射，證明是一個平移。證明：以為軸，建設直角坐標系，設的方程是：，則平面對于直線的反射是面對于直線的反射是設點，計算，的坐標是，的坐標是，于是的公式是，故是以向量的平移。設是平面的點變換，的公式為問點分別變成什么點，直線變成什么圖形解：將點分別代入的公式中得到。從變換公式中求出的表達式：將它代入直線中得到因此直線變成直線求平面的點變換的逆變換。解：矩陣的逆矩陣是，用左乘點變換的兩邊得到：將記號與互換得到逆變換或將矩陣表示形式寫成方程組的形式，解出用表示也可同樣得到結論。在直角坐標系中，求出平面繞點旋轉角的變換公式。解：設繞點旋轉角后的點是，則因此于是平面繞點旋轉角的變換公式是：證明：平面繞原點旋轉的集合是平面的一個變換群。證明：記平面繞原點旋轉的集合為。恒等變換是繞原點旋轉角度上0的旋轉，所以恒等變換。設分別是繞原點轉角是的旋轉，則設，是，則所以繞原點轉角是的旋轉，即設分別是繞原點轉角是的旋轉，則轉角為〔或〕的旋轉就是的逆變換，因此。故平面繞原點旋轉的集合是平面的一個變換群。證明：平面上運動的集合是平面的一個變換群。證明：由于運動是旋轉與平移的乘積，所以恒等變換也是運動。運動在直角坐標系下的表示公式是設是兩個運動，則于是的表示公式是因此乘積也是運動。設運動的表示公式是則解出的表達式有：因此有逆變換故平面上運動的集合是平面的一個變換群。習題5.21.平面繞原點旋轉，再平移，寫出變換公式，并求出點。解：平面繞原點旋轉的變換：平移的變換：先繞原點旋轉，再平移，即為：于是點經此變換后的對應點的坐標是。2.求把點變成點的繞原點的旋轉，并求出曲線經此旋轉的對應曲線。解：設平面繞原點旋轉的變換：由于將點變成點，所以解此方程得到，故變換是：即。曲線經此旋轉的對應曲線方程是，即。3.設正交變換在直角坐標系Ⅰ中的公式為假設作直角坐標變換求在新坐標系中的公式。解：點，在新坐標系中的坐標分別記為，，于是有以下關系：將它們代入變換公式中得到：兩邊左乘矩陣的逆，整理得到這就是變換在新坐標系中的公式。4.平面上的點變換把直角坐標系Ⅰ變到直角坐標系Ⅱ，并且使每一點在Ⅰ下的坐標與它的像在Ⅱ下的坐標一樣，則是正交變換。證明：設直角坐標系Ⅰ為，直角坐標系Ⅱ為，并且則過渡矩陣是正交矩陣。再設在直角坐標系Ⅰ下，于是得到點變換在直角坐標系Ⅰ下的變換公式：故該點變換是正交變換。5.設平面上的點變換在直角坐標系下的公式為其中是正交矩陣，證明是正交變換。證明：設兩點，的坐標，的坐標。則因為是正交矩陣，所以。兩點的距離是故是正交變換。6.設和分別是平面上對于直線和的反射，設與交于點，且夾角為，證明：是繞點的旋轉，轉角為。證明：以直線為軸，點為坐標原點建設直角坐標系，設由于和分別是平面上對于直線和的反射，則且所以是繞點轉角為的旋轉。此題也可以用寫出變換公式來證明，請讀者試一試。習題5.31.求把三點分別變到點的仿射變換。解：設仿射變換是依題意得到，且即即解以上方程組得于是仿射變換是2.證明：在仿射變換下，兩個不動點的連線上每一點都是不動點。證明：設是仿射變換的兩個不動點，則設的連線上的任一點，滿足則故與重合，即是不動點。3.求把三條直線依次變到的仿射變換的公式。解：兩直線的交點是，的交點是；的交點是，的交點是；的交點是，的交點是。設仿射變換的公式是則，且即即解以上方程組得于是仿射變換是4.如果一條直線與它在仿射變換下的像重合，則稱這條直線為的不動直線。求仿射變換的不動直線。解：設不動直線是經仿射變換后直線的方程仍可化簡為將仿射變換代入后一個方程，則有即于是存在關系：因而得到或假設則故于是不動直線是假設則得到于是不動直線是綜上所述，仿射變換的不動直線有兩條：5.橢圓經過仿射變換：化為，由此證明：橢圓的面積。證明：仿射變換的變積系數是設橢圓的面積是，圓的面積是，則故橢圓的面積6.設是平面上一個定點，如果平面上一個點變換把保持不變，且使平面上任一點變到，它們滿足，其中，常數，則稱是同位相似〔或相似〕，稱為位似中心，稱為位似系數?！?〕適中選取標架，求出位似的公式；〔2〕證明位似是仿射變換；〔3〕證明位似保持角度不變；〔4〕證明位似可以分解成某兩個伸縮的乘積。解：〔1〕以為原點建設直角坐標系，設，由于，所以，即位似的公式〔2〕位似的變換矩陣是，由于常數，所以可逆，故位似是仿射變換。〔3〕設的夾角是，由于常數，所以經位似變換后的向量的夾角仍然是。〔4〕由于位似的變換矩陣，所以位似分解為兩個伸縮的乘積。7.如果平面的一個點變換，使得對應線段的長度之比為一個正常數，則稱為相似，稱為相似系數?！?〕證明相似是仿射變換；〔2〕證明相似把一個三角形變到一個與之相似的三角形；〔3〕證明相似可以分解成一個正交變換與一個位似的乘積。證明：建設直角坐標系，設點變換將不共線三點變成三點，由于點變換將對應線段的長度之比是一個正常數，所以三點不可能共線，否則，設依次共線，則有，于是，三點依次共線，與假設矛盾，故三點不可能共線。該點變換將共線三點變成共線三點，不妨設，則。于是點變換將直線變成直線。由以上結論得出點變換將三角形變成一個與之相似的三角形?！?〕證明完畢?！?〕設，則再設，，點變成。因而或。由于點變換將三角形變成一個與之相似的三角形，所以不妨假設，則有關系，因而得，，寫成矩陣形式，于是得到點變換在直角坐標系下的表達形式或，故該點變換是仿射變換。〔3〕由于變換公式是所以它可以分解為正交變換，與位似變換的乘積。8.設平面的一個仿射變換使直線上的每一點都不動，證明：〔1〕直線與或者同時平行于，或者相交于上一點?！?〕直線與彼此平行。證明：〔1〕如果與直線平行〔不重合〕，而與不平行，設相交于點，由于仿射變換使直線上的每一點都不動，則點是不動點，也在上，這是不可能的，所以與平行。如果與直線相交，設交于點，則點是不動點，因而與相交于點?！?〕如果與直線平行，在上取兩點，則。由于仿射變換保持向量的線性關系不變，所以，得到故直線與彼此平行。如果與直線不平行，設相交于點，則與也相交于點。因此設由于仿射變換保持向量的線性關系不變，則三角形與三角形相似，從而直線與彼此平行。9.在題8中的，假設有一個點和它的像點的連線，這時稱為錯切，稱為錯切軸。證明：在適中選取的仿射坐標系中，錯切的公式為并且證明錯切不改變圖形的面積。證明：以變換的不動直線為軸，直線為軸建設仿射坐標系，設，。顯然，變換將原點變成原點，所以可設變換公式是變換將變成，將點變成，所以有我們得到故錯切的公式為。由于變換矩陣的行列式等于1，所以錯切不改變圖形的面積。習題5.41.證明：橢圓的共軛直徑與橢圓的交點處的切線構成的平行四邊形的面積是常數。證明：以橢圓的中心為原點，長軸，短軸為軸和軸建設直角坐標系，設橢圓的方程為作仿射變換其變積系數是，則橢圓變成單位圓，同時將橢圓的共軛直徑變成單位圓的共軛直徑，單位圓的共軛直徑是互相垂直的，交點處的切線構成的平行四邊形變成正方形，其面積為4，所以交點處的切線構成的平行四邊形的面積是為常數。2.證明：橢圓的任一外切平行四邊形的兩條對角線所在的直線是橢圓的一對共軛直徑。證明：作一個仿射變換將橢圓變成單位圓，由于切線，平行線，共軛直徑都是仿射不變的，并且圓的外切平行四邊形就是正方形，而正方形的對角線是圓的互相垂直的共軛直徑，因此橢圓的任一外切平行四邊形的兩條對角線是橢圓的一對共軛直徑。3.證明：雙曲線的切線與它的漸近線確定的三角形的面積是一個常數。證明：設在直角坐標系下，雙曲線的方程為作仿射變換其變積系數是，則雙曲線的方程變成軸和軸是雙曲線的兩條漸近線。雙曲線上任何一點的切線方程是，截距分別是。所以切線與它的漸近線確定的三角形的面積說，故雙曲線的切線與它的漸近線確定的三角形的面積是為常數。4.證明：雙曲線的兩條漸近線之間的切線段被切點等分。證明：設在直角坐標系下，雙曲線的方程為作仿射變換則雙曲線的方程變成軸和軸是雙曲線的兩條漸近線。雙曲線上任何一點的切線方程是，它與坐標軸的交點分別是，它們的中點坐標是，所以雙曲線的兩條漸近線之間的切線段被切點等分。5.證明：所有內接于橢圓的四邊形中面積最大的是以一對共軛直徑和橢圓的交點為頂點的平行四邊形。證明：作仿射變換將橢圓變成單位圓，由于圓的內接四邊形中面積最大的是正方形，而對角線是一對互相垂直的共軛直徑，所以經過仿射變換的逆變換得到內接于橢圓的四邊形中面積最大的是以一對共軛直徑和橢圓的交點為頂點的平行四邊形。6.以下概念中哪些是圖形的度量性質，哪些是仿射性質：〔1〕等邊三角形，〔2〕平行四邊形，〔3〕多邊形，〔4〕三角形的中線，〔5〕三角形的高線，〔6〕圓的半徑。解：圖形的度量性質有：等邊三角形，三角形的高線，圓的半徑。圖形的仿射性質有：平行四邊形，多邊形，三角形的中線。7.證明：如果平面的仿射變換將一個圓變成它自身，則是正交變換。證明：以圓的圓心為原點建設直角坐標系Ⅰ，由于平面的仿射變換將一個圓變成它自身，所以以為方向的共軛直徑變成圓的共軛直徑，向量變成互相垂直的單位向量，于是直角坐標系Ⅰ變成直角坐標系Ⅱ。由于仿射變換保持向量的線性關系不變，所以任何一點在Ⅰ中的坐標與像點在Ⅱ中的坐標一樣。故這樣的仿射變換就是正交變換。習題5.51.證明下述空間的點變換是第一類正交變換，并且求轉軸。證明：因為變換矩陣的每一行的向量都是單位向量且兩兩之間是正交的，所以變換矩陣式正交矩陣。變換矩陣的行列式等于1，故該變換是第一類的正交變換。變換的兩個不動點的連線就是轉軸。顯然原點是不動點，再求一個不動點，即解方程組解得，所以旋轉軸方程是2.在直角坐標系中，求出把點分別變成點的正交變換公式。解：由于將原點變成原點，所以可設變換公式是其中變換矩陣是正交矩陣，將點代入得到解此方程組得到由于矩陣是正交矩陣，可得到所以所求正交變換是3.設是空間的第一類的正交變換，證明：對于空間的任意兩個向量有〔1〕〔2〕證明：取一個右手直角坐標系，第一類正交變換將變成右手直角坐標系。設在右手直角坐標系的坐標為，則〔1〕?！?〕由于，所以4.證明：空間中任給兩組不共面的四點和，則存在唯一的仿射變換，把變成。證明：設在一個仿射標架下，設仿射變換將變成，則從而有，因為四點不共面和不共面，所以兩個矩陣均可逆，并且唯一確定，其行列式不為0，故變換矩陣可逆。于是存在唯一的仿射變換，把變成。5.在仿射變換下，在不共線的3個不動點所在的平面上的每一點都是不動點。證明：設是仿射變換的三個不共線的不動點，在它們確定的平面內任取一點，則對任意的點成立：設則故6.求橢球面圍成的區域的體積。解：作一個仿射變換：其變積系數是則橢球面變成單位球面，單位球面圍成的區域的體積是故橢球面圍成的區域的體積是7.證明：分別對于兩個平行平面的反射變換的乘積是一個平移。證明：以其中一個平面為坐標面建設直角坐標系，則另一個平面方程設為。對于平面的反射為對于平面的反射為兩個反射的乘積是這是一個平移。8.證明：分別對于兩個相交平面的仿射變換的乘積是一個繞定直線的旋轉。證明：以兩平面的交線為軸，平面為坐標面建設直角坐標系，設兩平面的夾角為。關于平面的反射記為，則反射的變換公式是反射的變換公式如下計算：的方程是，對任何一點，則，的中點在上，于是，即解得于是變換乘積的變換公式是由此看到的交線軸是變換乘積的不動點構成的直線，即旋轉軸，繞旋轉軸旋轉的角度為兩平面的夾角的2倍。平面射影幾何簡介習題6.11.設在擴大的歐氏平面上兩點，求〔1〕直線在齊次坐標中的普通方程和參數方程；〔2〕直線上的無窮遠點的齊次坐標和它所對應的參數值。解：〔1〕設直線方程為點在直線上，得解得故直線方程是參數方程是〔2〕令則故無窮遠點的坐標是對應的參數值滿足所以2.證明：擴大的歐氏平面上的三直線共點，并求該點的齊次坐標。證明：由于方程組的解為故僅有一個公共點所以三直線共點。3.在擴大的歐氏平面上，給出了的歐氏直線在仿射坐標中的方程，求由它確定的射影直線在齊次坐標中的方程，并求出它上面的無