遼寧省沈陽市東北育學校2024?2025學年高二上學期期中考試數學試卷一、單選題（本大題共8小題）1．下列可使，，構成空間的一個基底的條件是（

）A． B．，，兩兩垂直C． D．2．已知直線：，直線：，則命題：是命題：的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知雙曲線的離心率為，則的值為（

）A．18 B． C．27 D．4．若方程表示圓，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．5．已知橢圓的兩焦點為為橢圓上一點且，則（

）A． B． C． D．26．在平面直角坐標系中，已知向量與關于軸對稱，若向量滿足，記的軌跡為，則（

）A．是一條垂直于軸的直線 B．是兩條平行直線C．是一個半徑為1的圓 D．是橢圓7．“十字貫穿體”是學習素描時常用的幾何體實物模型，圖①是某同學繪制“十字貫穿體”的素描作品.“十字貫穿體”是由兩個完全相同的正四棱柱“垂直貫穿”構成的多面體，其中一個四棱柱的每一條側棱分別垂直于另一個四棱柱的每一條側棱，兩個四棱柱分別有兩條相對的側棱交于兩點，另外兩條相對的側棱交于一點（該點為所在棱的中點）.若該同學繪制的“十字貫穿體”有兩個底面邊長為2，高為的正四棱柱構成，在其直觀圖中建立如圖②所示的空間直角坐標系，則（

）A．B．點的坐標為C．，，，四點共面D．直線與直線所成角的余弦值為8．已知橢圓的左、右焦點分別為，過的直線與橢圓交于兩點，若且，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．關于空間向量，以下說法正確的是（

）A．若空間向量，，則在上的投影向量為B．若空間向量，滿足，則與夾角為銳角C．若對空間中任意一點，有，則，，，四點共面D．若直線的方向向量為，平面的一個法向量為，則10．已知點是左、右焦點為，的橢圓：上的動點，則（

）A．若，則的面積為B．使為直角三角形的點有6個C．的最大值為D．若，則的最大、最小值分別為和11．四葉草又稱“幸運草”，有一種說法是：第一片葉子代表希望?第二片葉子表示信心?第三片葉子表示愛情?第四片葉子表示幸運.在平面直角坐標系中，“四葉草形”曲線的方程為，則下列關于曲線的描述正確的有（

）A．其圖象是中心對稱圖形B．其圖象只有2條對稱軸C．其圖象繞坐標原點旋轉可以重合D．其圖象上任意兩點的距離的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，，點，若平面ABC，則點P的坐標為．13．已知直線與圓相交于兩點，當的面積取得最大值時，直線的斜率為，則.14．已知橢圓，過橢圓右焦點F作互相垂直的兩條弦，，則的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．已知的三個頂點分別是，，.(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)若直線過點，且與直線平行，求直線的方程；(3)求邊上的中線所在的直線方程.16．已知以點為圓心的圓與直線相切.(1)求圓的方程;(2)過點的直線與圓相交與兩點，當時，求直線方程；(3)已知實數滿足圓的方程，求的最小值.17．如圖，在三棱柱中，，，，，點是的中點，平面.

(1)求證：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.18．設常數且，橢圓：，點是上的動點．(1)若點的坐標為，求的焦點坐標；(2)設，若定點的坐標為，求的最大值與最小值；(3)設，若上的另一動點滿足（為坐標原點），求證：到直線PQ的距離是定值．19．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為經過點且傾斜角為的直線l與橢圓交于A，B兩點（其中點A在x軸上方），且的周長為8．將平面沿x軸向上折疊，使二面角為直二面角，如圖所示，折疊后A，B在新圖形中對應點記為，．

(1)當時，①求證：；②求平面和平面所成角的余弦值；(2)是否存在，使得折疊后的周長為？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．

參考答案1．【答案】B【詳解】選項AD中，三個向量一定共面，選項C中，可能共面，只有選項B中，一定不共面，故選：B．2．【答案】C【詳解】由可得：，解得：或，當時，兩直線重合，不合題意，當時，兩直線平行.故選：C.3．【答案】A【分析】借助雙曲線離心率定義計算即可得.【詳解】由題可得實半軸長，所以半焦距，所以．故選A．4．【答案】B【詳解】因為表示圓，所以,解得或.故選：B.5．【答案】A【詳解】橢圓得，，，設，，則，，，，，，即．故選：A．6．【答案】C【詳解】不妨設點的坐標為，，，，由可得，即.故選：C.7．【答案】C【詳解】依題意，正方形的對角線，則，，，，對于A，，A錯誤；對于B，由，得，B錯誤；對于C，，于是，又為三個向量的公共起點，因此四點共面，C正確；對于D，，，直線與直線所成角的余弦值為，D錯誤.故選：C8．【答案】A【詳解】如圖，，垂足為，因為，所以，為的中點，，，，，整理得，所以，即，，，在中，，在中，，，化簡整理得，，解得或，又，.故選：A.

9．【答案】ACD【詳解】對于A，在上的投影向量為，故A正確；對于B，當，同向共線時也成立，但與夾角不為銳角，故B錯誤；對于C，在中，故四點共面，故C正確；對于D，由，即，故，故D正確.故選：ACD.10．【答案】BCD【詳解】A選項：由橢圓方程，所以，，所以，所以的面積為，故A錯誤；B選項：當或時為直角三角形，這樣的點有4個，設橢圓的上下頂點分別為，，則,同理，知，所以當位于橢圓的上、下頂點時也為直角三角形，其他位置不滿足，滿足條件的點有6個，故B正確；C選項：由于，所以當最小即時，取得最大值，故C正確；D選項：因為，又，則的最大、最小值分別為和，當點位于直線與橢圓的交點時取等號，故D正確.故選：BCD11．【答案】AC【詳解】在方程中，以替換，以替換，方程不變，所以其圖象是中心對稱圖形，故正確；在方程中，以替換，以替換，方程不變，所以其圖象關于直線對稱，同理，以替換，以替換，方程不變，所以其圖象關于直線對稱，所以其圖象有4條對稱軸，故錯誤；在方程中，以替換，以替換，方程不變，設為曲線上任意一點，則點繞坐標原點旋轉得到的點為或，將點或的坐標代入曲線的方程，方程不變，所以圖象繞坐標原點旋轉可以重合，故正確；曲線上任意兩點的距離的最大值即為曲線的外接圓的直徑，，，所以曲線在圓的內部，所以曲線上任意兩點的距離的最大值小于，故錯誤.故選：.12．【答案】【詳解】由題可得，，平面ABC，，，，.故答案為：.13．【答案】.【分析】設圓的半徑為且，根據三角形的面積公式，得到時，的最大值為，結合圓的性質和點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】由，可化為，則圓心，設圓的半徑為且，則，當時，的最大值為，不妨取直線的方程為，因為，所以點到直線的距離為，所以，解得，又由，可得，解得.故答案為：.14．【答案】/【詳解】由橢圓可知右焦點，當直線的斜率不存在時，方程為，則，此時，；當直線的斜率存在時，設，則，又設點．聯立方程組，消去y并化簡得，因為過橢圓右焦點F，則必有，，，，由題意知，直線的斜率為，同理可得，所以．所以，當且僅當時取得等號，故綜合以上，的最小值為，故答案為：.15．【答案】(1)；(2)；(3).【詳解】（1）直線的斜率，則邊上的高所在的直線斜率為3，所以邊上的高所在的直線方程為，即.（2）依題意，設直線的方程為，而直線過點，則，解得，所以直線的方程為.（3）依題意，邊的中點，因此邊上的中線所在直線的斜率，所以邊上的中線所在直線的方程為，即.16．【答案】(1)(2)x=0或(3)【詳解】（1）（1）由題意知點到直線的距離為圓的半徑，由點到直線的距離公式可得,所以圓的方程為.（2）因為直線與圓相交與兩點，且，所以可得圓心到直線的距離為，當直線的斜率不存在時，直線方程為，圓心到直到直線的距離為，符合題意，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，由題意可得，解得，所以直線的方程為，即，綜上所述：直線的方程為或.（3）表示點到的距離的平方，又圓心到到的距離為，所以點到的距離的最小值為，所以的最小值為.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）連接，設，連接，由三棱柱的性質可知，側面為平行四邊形，為的中點，又為中點，在中，，又平面，平面，平面.（2）由題意可知，，兩兩垂直，故以，，所在直線為軸、軸、軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，，，，.所以，，，設平面的法向量為，則，令，得；設與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.18．【答案】(1)；(2)最大值為5，最小值為；(3)詳見解析.【分析】(1)由題可得，，即得；(2)由題可得，利用二次函數的性質即得；(3)當直線PQ斜率存在時設其方程為，聯立橢圓方程可得，利用韋達定理及條件可得，進而可得到直線PQ的距離為定值，當直線PQ斜率不存在時，可得，易得到直線PQ的距離為定值，即證.【詳解】(1)∵橢圓：，點的坐標為，∴，，∴的焦點坐標為；(2)設，又，由題知，即，∴，又，∴當時，取得最大值為25；當時，取得最小值為；∴的最大值為5，最小值為.(3)當時，橢圓：，設，當直線PQ斜率存在時設其方程為，則由，得，∴，由可知，即，∴，即，∴，可得，滿足，∴到直線PQ的距離為為定值；當直線PQ斜率不存在時，，可得直線方程為，到直線PQ的距離為.綜上，到直線PQ的距離是定值．19．【答案】(1)①證明過程見解析；②(2)，理由見解析【分析】（1）①根據橢圓定義得到，結合離心率得到，求出，得到橢圓方程，聯立直線方程和橢圓，得到，得到⊥，結合二面角為直二面角，得到線面垂直，證明出結論；②建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，從而求出面面角的余弦值；（2）設折疊前，折疊后對應的，設出直線的方程，與橢圓方程聯立，得到兩根之和，兩根之積，根據折疊前后的周長關系得到，變形得到，代入兩根之和，兩根之積，求出，進而求出的值.【詳解】（1）①由橢圓定義可知，所以的周長，所以，因為離心率為，故，解得，則，由題意，橢圓的焦點在軸上，所以橢圓方程為，直線，即，聯立得，解得或，當時，，當時，，因為點A在x軸上方，所以，故⊥，折疊后有⊥，因為二面角為直二面角，即平面⊥，交線為，平面，所以⊥平面，因為平面，所以⊥；②以為坐標原點，折疊后的軸負半軸為軸，原軸為軸，原軸正半軸為軸，建立空間直角坐標系，

則，，其中平面的法向量為，設平面的法向量為，則，令得，故，設平面與平面的夾角為，則，故平面與平面的夾角的余弦值為；（2）設折疊前，折疊后對應的，設直線方程為，將直線與橢圓方程聯立得，，則，在折疊前可知，折疊后